TOC \ "1-2" \h \z \u \l "_Tc181178604" 【題型歸納】 PAGEREF _Tc181178604 \h 2
\l "_Tc181178605" 題型一：橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程 PAGEREF _Tc181178605 \h 2
\l "_Tc181178606" 題型二：橢圓方程的充要條件 PAGEREF _Tc181178606 \h 4
\l "_Tc181178607" 題型三：橢圓中焦點(diǎn)三角形的周長與面積及其他問題 PAGEREF _Tc181178607 \h 5
\l "_Tc181178608" 題型四：橢圓上兩點(diǎn)距離的最值問題 PAGEREF _Tc181178608 \h 6
\l "_Tc181178609" 題型五：橢圓上兩線段的和差最值問題 PAGEREF _Tc181178609 \h 8
\l "_Tc181178610" 題型六：利用第一定義求解軌跡 PAGEREF _Tc181178610 \h 11
\l "_Tc181178611" 【重難點(diǎn)集訓(xùn)】 PAGEREF _Tc181178611 \h 13
\l "_Tc181178612" 【高考真題】 PAGEREF _Tc181178612 \h 23
【題型歸納】
題型一：橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程
1．（2024·高二·全國·課后作業(yè)）已知橢圓的焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過和兩點(diǎn)，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .
【答案】
【解析】設(shè)所求橢圓方程為：(，，)將和的坐標(biāo)代入方程得：
，解得，
所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.
故答案為：.
2．（2024·高二·北京海淀·階段練習(xí)）兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，，橢圓上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離的和等于10的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為 .
【答案】
【解析】兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，，橢圓的焦點(diǎn)在橫軸上，并且，
由橢圓的定義可得：，即，由，，的關(guān)系解得，
橢圓方程是.
故答案為：.
3．（2024·高二·上?！て谀┙裹c(diǎn)在軸上的橢圓過點(diǎn)，且點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和為8，則該橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為 .
【答案】
【解析】設(shè)橢圓方程為，
因?yàn)辄c(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和為8，所以，
又焦點(diǎn)在軸上的橢圓過點(diǎn)，
所以，
所以該橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為：.
故答案為：.
4．（2024·高二·山東青島·期中）若中心在原點(diǎn)，對稱軸為坐標(biāo)軸的橢圓過點(diǎn)，且長軸長是短軸長的2倍，則其標(biāo)準(zhǔn)方程為 ．
【答案】或
【解析】當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在軸，設(shè)橢圓方程為，
因?yàn)闄E圓過點(diǎn)，
所以，
又因?yàn)殚L軸長是短軸長的2倍，
所以，
所以橢圓方程為；
當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在軸，設(shè)橢圓方程為，
因?yàn)闄E圓過點(diǎn)，
所以，
又因?yàn)殚L軸長是短軸長的2倍，
所以，
所以橢圓方程為.
綜上，橢圓的方程為或.
故答案為：或
5．（2024·高二·江蘇南京·階段練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)為，且過點(diǎn)則橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為 ．
【答案】
【解析】由題知：，①
又橢圓經(jīng)過點(diǎn)，
所以，②
又，③
聯(lián)立解得：，
故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.
故答案為：.
題型二：橢圓方程的充要條件
6．（2024·高二·安徽蕪湖·期中）若方程表示焦點(diǎn)在x軸的橢圓，則t的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】命題等價(jià)于，解得.
故選：C.
7．（2024·高二·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）若方程表示橢圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由題意知表示橢圓，則，
解得.
故選：A.
8．（2024·高二·重慶·階段練習(xí)）已知,則方程可表示焦點(diǎn)在軸上的不同橢圓的個(gè)數(shù)為（ ）
A．9B．8C．7D．6
【答案】C
【解析】由題意可知，則有如下，
，
共7種情況.
故選：C
9．（2024·高二·江西宜春·期末）“”是“方程表示的曲線為橢圓”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】若方程表示橢圓，則
，解得：，且，
所以“”是“方程表示的曲線為橢圓”的必要不充分條件.
故選：B
題型三：橢圓中焦點(diǎn)三角形的周長與面積及其他問題
10．（2024·高二·重慶·階段練習(xí)）經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，是橢圓的左焦點(diǎn)，則的周長是（ ）
A．8B．9C．10D．20
【答案】D
【解析】
為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，
，
的周長為．
故選：D．
11．（2024·黑龍江哈爾濱·三模）已知是橢圓的左焦點(diǎn)，直線與交于、兩點(diǎn)，則周長為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由，故AB經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)，
故的周長.
故選：D.
12．（2024·高二·安徽蕪湖·期末）已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，則的面積為（ ）
A．3B．4C．6D．10
【答案】C
【解析】由橢圓定義可得，
故，
又，
則由余弦定理得，
故，
故.
故選：C
題型四：橢圓上兩點(diǎn)距離的最值問題
13．（2024·高二·湖南長沙·階段練習(xí)）已知，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，則的最大值是（ ）
A．B．9C．16D．25
【答案】D
【解析】因?yàn)?，所以?br>當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到最大值.
故選：D.
14．（2024·高三·云南·階段練習(xí)）已知，P是橢圓上的任意一點(diǎn)，則的最大值為（ ）
A．9B．16C．25D．50
【答案】C
【解析】由題意，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，
所以，即，故最大值為.
故選：C
15．（2024·高二·陜西寶雞·期末）已知橢圓上的動(dòng)點(diǎn)到右焦點(diǎn)距離的最大值為，則（ ）
A．1B．C．D．
【答案】A
【解析】根據(jù)橢圓的性質(zhì)，橢圓上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)距離最大值為，
即 ，又，所以，
由，所以；
故選：A
16．（2024·遼寧沈陽·三模）已知?jiǎng)狱c(diǎn)在橢圓上，F(xiàn)為橢圓C的右焦點(diǎn)，若點(diǎn)M滿足且，則的最大值為（ ）
A．B．C．8D．63
【答案】B
【解析】因?yàn)?，所以點(diǎn)M在以為圓心，1為半徑的圓上，
又因?yàn)?，所以，PM為圓的切線，
，所以當(dāng)PF最長時(shí)，切線長PM最大．
當(dāng)點(diǎn)P與橢圓的左頂點(diǎn)重合時(shí)，最大，最大值為．
此時(shí)的最大值為．
故選：B．
17．（2024·高二·吉林長春·期末）已知是橢圓的上頂點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上的任意一點(diǎn)，則的最大值為（ ）
A．2B．C．D．
【答案】C
【解析】設(shè)，，且，
所以
，
又因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)取最大值，
所以，
故選：C.
題型五：橢圓上兩線段的和差最值問題
18．（2024·高二·江蘇徐州·期末）已知P是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，則的最小值為 .
【答案】
【解析】易知為橢圓的下焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓內(nèi)部；
設(shè)為橢圓的上焦點(diǎn)，連接，
由橢圓定義可得，則，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，如下圖所示：
因此則的最小值為.
故答案為：
19．（2024·高二·全國·專題練習(xí)）已知定點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在橢圓上移動(dòng)，求的最大值與最小值的和為 .
【答案】
【解析】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，可得，
由橢圓定義知，
又由點(diǎn)在橢圓內(nèi)，，直線交橢圓于，
因?yàn)?，即?br>當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)共線時(shí)取等號，
當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，，則，
當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，，則，
所以的最大值和最小值為，可得.
故答案為：.
20．（2024·高二·四川成都·階段練習(xí)）阿基米德是古希臘著名的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家，他利用“通近法”得到橢圓的面積，除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.已知面積為的橢圓，以()的左焦點(diǎn)為，P為橢圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，則的最大值為 .
【答案】7
【解析】由題意且，又，可得，
所以橢圓方程為，而，即Q在橢圓內(nèi)，如下圖，
若為右焦點(diǎn)，由，則，
所以，而，
所以的最大值為7.
故答案為：7
21．（2024·高三·江蘇·專題練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，P為橢圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，Q為圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為 ．
【答案】12
【解析】由橢圓可知，，
橢圓在圓內(nèi)，而圓的圓心為，半徑為，
易知，所以橢圓與圓相離，
而，故，
要求的最大值，只需求的最大值，
而Q在圓上，
只需求的最大值，當(dāng)共線時(shí)（如圖），最大，
此時(shí)，即為的最大值，
則的最大值為，
則的最大值為，
故答案為：12
題型六：利用第一定義求解軌跡
22．（2024·高二·吉林遼源·期末）古希臘后期的數(shù)學(xué)家帕普斯在他的《數(shù)學(xué)匯編》中探討了圓錐曲線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線的性質(zhì)：平面內(nèi)到一定點(diǎn)和定直線的距離成一定比例的所有點(diǎn)的軌跡是一圓錐曲線.這就是圓錐曲線的第二定義或稱為統(tǒng)一定義.若平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)和到定直線的距離之比是，則點(diǎn)的軌跡方程為 .
【答案】
【解析】由題意得，化簡解得，即，
所以點(diǎn)的軌跡方程為：.
故答案為：.
23．（2024·高二·河南信陽·期末）圓與的位置關(guān)系為 ；與圓，都內(nèi)切的動(dòng)圓圓心的軌跡方程為 ．
【答案】 內(nèi)含
【解析】依題意，圓心，半徑，圓心，半徑，
所以，則兩圓內(nèi)含；
設(shè)動(dòng)圓的圓心，半徑為，則，
，
依橢圓的定義知，的軌跡為橢圓，其中，
又，
所以的軌跡方程為.
故答案為：內(nèi)含；.
24．（2024·高二·河北石家莊·期中）已知兩點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)在軸上的射影為，，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是 .
【答案】
【解析】因?yàn)?，，設(shè)動(dòng)點(diǎn)，所以在軸上的射影為，
所以，
所以，
所以，
化簡為，
故答案為
25．（2024·高二·海南?？凇て谥校┰趫A上任取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作y軸的垂線PD，D為垂足，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段PD的中點(diǎn)M的軌跡方程為 ．
【答案】
【解析】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，依題意，，，
由點(diǎn)在圓上，得，因此，即，
所以點(diǎn)的軌跡方程為.
故答案為：
26．（2024·高二·安徽亳州·階段練習(xí)）已知點(diǎn)M到定點(diǎn)的距離與到定直線l：的距離之比為，求點(diǎn)M的軌跡方程．
【解析】設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，
由題意，得，
左、右平方，得，
整理，得，
所以點(diǎn)M的軌跡方程為．
【重難點(diǎn)集訓(xùn)】
1．（2024·高二·江西·階段練習(xí)）已知圓：和：，若動(dòng)圓P與這兩圓一個(gè)內(nèi)切一個(gè)外切，記該動(dòng)圓圓心的軌跡為M，則M的方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】圓：和：的圓心、半徑分別為，
由可知圓內(nèi)含于圓內(nèi)，
設(shè)動(dòng)圓半徑為,
由題意，，,
兩式相加可得,
故P點(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn)的橢圓，其中，
所以，
所以橢圓方程為.
故選：C
2．（2024·高二·河南南陽·階段練習(xí)）動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和到定直線的距離的比是常數(shù)，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】設(shè)是點(diǎn)到直線的距離，
根據(jù)題意，動(dòng)點(diǎn)的軌跡就是集合.
由此得，將上式兩邊平方并化簡，得，
即.
所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為.
故選：B.
3．（2024·高二·全國·課后作業(yè)）已知點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，過原點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，為橢圓上另一動(dòng)點(diǎn)，若，則（ ）
A．2B．C．0D．1
【答案】C
【解析】設(shè)點(diǎn)Ax1,y1，則，
即，又，
則，
因?yàn)?，所以?br>故選：C.
4．（2024·高二·江蘇南京·階段練習(xí)）已知圓與圓內(nèi)含，且圓心不重合，動(dòng)圓與兩圓相切，則圓心的軌跡為（ ）
A．直線B．圓C．雙曲線D．橢圓
【答案】D
【解析】由題意，記圓半徑為．不妨令圓的半徑為，圓的半徑為，且，
則動(dòng)圓與圓內(nèi)切，與圓外切，可得：，
兩式相加得：，且，故圓心的軌跡為橢圓．
故選：D．
5．（2024·高二·北京·期中）數(shù)學(xué)家華羅庚曾說：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微”.事實(shí)上，很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決，例如，與相關(guān)的代數(shù)問題，可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)與點(diǎn)之間距離的幾何問題.結(jié)合上述觀點(diǎn)，可求得方程的解是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因?yàn)椋?br>所以可以轉(zhuǎn)化為到的距離，
同理，可以轉(zhuǎn)化為到的距離，
因?yàn)椋?br>所以到兩定點(diǎn)和的距離之和為，
所以在以點(diǎn)和為焦點(diǎn)的橢圓上，
設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，
則，，
即，
又，
所以，
所以橢圓的方程為：，
由，
得，
解得，.
故選：D.
6．（2024·山東泰安·模擬預(yù)測）已知點(diǎn)在橢圓上，，是該橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由題知，，，即，，則，
因?yàn)椋ó?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立），
所以，
所以
（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立）．
故選：D.
7．（2024·高二·浙江嘉興·階段練習(xí)）設(shè)P是橢圓上的點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2為其兩焦點(diǎn)，則滿足的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)是（ ）
A．0B．1C．2D．4
【答案】D
【解析】
在橢圓中，，所以.
當(dāng)P為橢圓虛軸的頂點(diǎn)時(shí)，最大，因?yàn)椋?br>所以，所以，則這樣的點(diǎn)P有四個(gè)．
故選：D.
8．（2024·高二·山東青島·期末）點(diǎn)在橢圓上，，點(diǎn)到直線的距離為，則（ ）
A．與無關(guān)B．
C．D．
【答案】C
【解析】設(shè)點(diǎn)，，
因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)在橢圓上，則，
因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離為，所以，
又F0,1，
所以
．
故選：C．
9．（多選題）（2024·高二·全國·課后作業(yè)）設(shè)點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，動(dòng)點(diǎn)滿足：，則下列說法正確的有（ ）
A．點(diǎn)的軌跡方程為
B．
C．存在4個(gè)點(diǎn)，使得的面積為
D．
【答案】AD
【解析】對于A，由得，，
所以點(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn)的橢圓，且，即，
則，故點(diǎn)Px,y的軌跡方程為，A正確.
對于B，D，將-1,1的坐標(biāo)代入橢圓方程左邊得，所以點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，
如圖所示，所以，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)處時(shí)，等號成立，故B錯(cuò)誤；
，
因?yàn)?，所以?br>當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)處時(shí)，等號成立，故D正確.
對于C，，其中為點(diǎn)到直線的距離，若，則，
由于當(dāng)點(diǎn)為橢圓的右頂點(diǎn)時(shí)，取得最大值3，故滿足條件的點(diǎn)只有一個(gè)，C錯(cuò)誤.
故選：AD.
10．（多選題）（2024·高二·廣東肇慶·階段練習(xí)）已知，是橢圓C：的上、下焦點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，則（ ）
A．的周長等于B．時(shí)，滿足的點(diǎn)有2個(gè)
C．的最大值為D．面積的最大值為
【答案】BCD
【解析】對于A，橢圓的長軸長為，焦距為，則的周長為：，由，所以的周長小于，故A不正確；
對于B，當(dāng)時(shí)，則，滿足的點(diǎn)，以為圓心，為半徑的圓與橢圓交于橢圓短軸兩端點(diǎn)，即使得的點(diǎn)為橢圓短軸的端點(diǎn)，故B正確；
對于C，設(shè)，，，則，由橢圓的定義知：，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，故的最大值為，所以C正確；
對于D，由橢圓幾何性質(zhì)，焦點(diǎn)三角形面積僅當(dāng)P點(diǎn)在短軸頂點(diǎn)時(shí)最大，為，故D正確.
故選：BCD
11．（多選題）（2024·高二·安徽馬鞍山·期末）平面直角坐標(biāo)系數(shù)Oxy中，已知，則使得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為圓的條件有（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【解析】設(shè)，則，
對于A，由得，
此時(shí)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為圓，A正確；
對于B，由得，
則，該式無意義，此時(shí)點(diǎn)P不存在，B錯(cuò)誤；
對于C，由得，
整理得，即，
此時(shí)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為圓，C正確；
對于D，由可知，動(dòng)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)的距離之和為3，
且，此時(shí)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為橢圓，D錯(cuò)誤，
故選：AC
12．（2024·高二·上海楊浦·階段練習(xí)）與橢圓有相等的焦距，且過圓的圓心的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ．
【答案】或
【解析】由題意可知，
即其圓心為，
因?yàn)闄E圓的焦距為，
所以與該橢圓等焦距的橢圓的焦點(diǎn)為或，
若焦點(diǎn)為，則圓心到兩焦點(diǎn)的距離之和為，
所以相應(yīng)橢圓方程為；
若焦點(diǎn)為，則圓心到兩焦點(diǎn)的距離之和為，
所以相應(yīng)橢圓方程為.
故答案為：或.
13．（2024·高二·江西贛州·階段練習(xí)）《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，第九章“勾股”提出直角三角形的三邊邊長分別稱為“勾”“股”“弦”.如圖為一直角三角形，以所在的直線為軸，的中垂線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，若以，為焦點(diǎn)，且過點(diǎn)C的橢圓方程為則直角三角形的“勾”“股”之積的最大值為 .
【答案】
【解析】設(shè)，，根據(jù)橢圓定義得 ，
所以 ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，
所以直角三角形的“勾”“股”之積的最大值為.
故答案為：
14．（2024·高二·福建三明·階段練習(xí)）如圖，橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn)（與，不共線），M在的延長線上，PN是的角平分線，過作垂直于PN，垂足為Q，則 ．
【答案】2
【解析】由題意，延長交于，連接，如下圖：
因?yàn)闉榈慕瞧椒志€且，所以，
則，即，
在中，易知分別為的中點(diǎn)，即為中位線，
所以.
故答案為：.
15．（2024·高二·黑龍江牡丹江·階段練習(xí)）求下列曲線方程：
(1)求過點(diǎn)且與橢圓有相同焦點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)已知?jiǎng)訄A與圓內(nèi)切，與圓外切，記圓心的軌跡為曲線．求曲線的方程．
【解析】（1）方法一：由題意得.
因此所求橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，.
由橢圓定義得，
即，所以.
故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
方法二：因?yàn)樗髾E圓與橢圓的焦點(diǎn)相同，
所以其焦點(diǎn)在x軸上，且.
設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則①.
又點(diǎn)在所求橢圓上，所以，即②.
由①②得，，故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
方法三： 由條件設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入，得，解得或（舍去）.
故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）由題意可知，動(dòng)圓與圓內(nèi)切，與圓外切，設(shè)圓的半徑為，
則，
所以，
所以點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，
設(shè)點(diǎn)的軌跡方程，
所以，則，
所以點(diǎn)的軌跡方程為.
16．（2024·高二·江蘇連云港·階段練習(xí)）（1）已知點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為，2,0，直線AM，BM相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之積是，求點(diǎn)M的軌跡方程；
（2）如圖，已知圓和定點(diǎn)，P為圓O外一點(diǎn)，直線PQ與圓O相切于點(diǎn)Q，若，求點(diǎn)P的軌跡方程．
【解析】（1）設(shè)Mx,y，則，，
，
化簡整理得，，
所以點(diǎn)的軌跡方程為：.
（2）設(shè)Px,y，依題意，則，
即，即，
整理得.
17．（2024·高二·全國·假期作業(yè)）已知矩形中，分別是矩形四條邊的中點(diǎn)，以矩形中心為原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.直線上的動(dòng)點(diǎn)滿足.求直線與直線交點(diǎn)的軌跡方程.
【解析】依題意，，
設(shè)點(diǎn)，由，得，即，
由，得，即，
當(dāng)時(shí)，直線，直線，
聯(lián)立消去參數(shù)得，即，
當(dāng)時(shí)，得交點(diǎn)，滿足上述方程，
所以直線與直線交點(diǎn)的軌跡方程:不含點(diǎn).
【高考真題】
1．（2024年新課標(biāo)全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）已知曲線C：（），從C上任意一點(diǎn)P向x軸作垂線段PP'，為垂足，則線段PP'的中點(diǎn)M的軌跡方程為（ ）
A．（）B．（）
C．（）D．（）
【答案】A
【解析】設(shè)點(diǎn)，則，
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，即，
又在圓上，
所以，即，
即點(diǎn)的軌跡方程為.
故選：A
2．（2023年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（文）真題）設(shè)為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，若，則（ ）
A．1B．2C．4D．5
【答案】B
【解析】方法一：因?yàn)?，所以?br>從而，所以．
故選：B.
方法二：
因?yàn)?，所以，由橢圓方程可知，，
所以，又，平方得：
，所以．
故選：B.
3．（2023年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn) P在C上，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】方法一：設(shè)，所以，
由，解得：，
由橢圓方程可知，，
所以，，解得：，
即，因此．
故選：B．
方法二：因?yàn)棰?，?br>即②，聯(lián)立①②，
解得：，
而，所以，
即．
故選：B．
方法三：因?yàn)棰?，?br>即②，聯(lián)立①②，解得：，
由中線定理可知，，易知，解得：．
故選：B．
4．（2021年全國新高考I卷數(shù)學(xué)試題）已知，是橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，則的最大值為（ ）
A．13B．12C．9D．6
【答案】C
【解析】由題，，則，
所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立）．
故選：C．
5．（2019年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（新課標(biāo)Ⅰ））已知橢圓C的焦點(diǎn)為，過F2的直線與C交于A，B兩點(diǎn).若，，則C的方程為
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】法一：如圖，由已知可設(shè)，則，由橢圓的定義有．在中，由余弦定理推論得．在中，由余弦定理得，解得．
所求橢圓方程為，故選B．
法二：由已知可設(shè)，則，由橢圓的定義有．在和中，由余弦定理得，又互補(bǔ)，，兩式消去，得，解得．所求橢圓方程為，故選B．
6．（2013年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)（全國大綱卷））已知是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，過且垂直于x軸的直線交C于A、B兩點(diǎn)，且，則的方程為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】如圖所示：，，
由橢圓定義得.①
在中，.②
由①②得，則，
所以橢圓C的方程為.
故選：C.
7．（2005年普通高等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)（文）試題（重慶卷））已知，B是圓（F為圓心）上一動(dòng)點(diǎn).線段AB的垂直平分線交BF于P，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為 .
【答案】．
【解析】由題意，在線段的垂直平分線上，則，
所以，又，
所以在以為焦點(diǎn)，長軸長為2的橢圓上，
，，，則，
所以軌跡方程為．
故答案為：．

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3.1 橢圓

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