TOC \ "1-2" \h \z \u \l "_Tc179279121" 【題型歸納】 PAGEREF _Tc179279121 \h 2
\l "_Tc179279122" 題型一：不含參數(shù)（含參數(shù)）的直線與圓的位置關(guān)系 PAGEREF _Tc179279122 \h 2
\l "_Tc179279123" 題型二：由直線與圓的位置關(guān)系求參數(shù)、求直線與圓的交點(diǎn)坐標(biāo) PAGEREF _Tc179279123 \h 3
\l "_Tc179279124" 題型三：切線與切線長(zhǎng)問題 PAGEREF _Tc179279124 \h 4
\l "_Tc179279125" 題型四：弦長(zhǎng)問題 PAGEREF _Tc179279125 \h 6
\l "_Tc179279126" 題型五：判斷圓與圓的位置關(guān)系 PAGEREF _Tc179279126 \h 8
\l "_Tc179279127" 題型六：由圓的位置關(guān)系確定參數(shù) PAGEREF _Tc179279127 \h 9
\l "_Tc179279128" 題型七：公共弦與切點(diǎn)弦問題 PAGEREF _Tc179279128 \h 11
\l "_Tc179279129" 題型八：公切線問題 PAGEREF _Tc179279129 \h 13
\l "_Tc179279130" 題型九：圓中范圍與最值問題 PAGEREF _Tc179279130 \h 17
\l "_Tc179279131" 題型十：圓系問題 PAGEREF _Tc179279131 \h 20
\l "_Tc179279132" 題型十一：直線與圓的實(shí)際問題 PAGEREF _Tc179279132 \h 20
\l "_Tc179279133" 【重難點(diǎn)集訓(xùn)】 PAGEREF _Tc179279133 \h 23
\l "_Tc179279134" 【高考真題】 PAGEREF _Tc179279134 \h 37
【題型歸納】
題型一：不含參數(shù)（含參數(shù)）的直線與圓的位置關(guān)系
1．（2024·高一·陜西寶雞·期末）直線與圓的位置關(guān)系是（ ）
A．相切B．直線過(guò)圓心
C．直線不過(guò)圓心但與圓相交D．相離
【答案】B
【解析】的圓心為，
符合直線方程，故直線過(guò)圓心，
故選：B
2．（2024·安徽·模擬預(yù)測(cè)）已知直線，圓，則該動(dòng)直線與圓的位置關(guān)系是（ ）
A．相離B．相切C．相交D．不確定
【答案】C
【解析】因?yàn)橹本€，即，
當(dāng)時(shí)，，解得，
所以直線表示過(guò)定點(diǎn)，且除去的直線，
將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，因?yàn)椋c(diǎn)在圓上，
所以直線與圓可能相交，可能相切，相切時(shí)直線為，不合題意，
所以直線與圓相交．
故選：C．
3．（2024·高二·廣東惠州·階段練習(xí)）直線與圓的位置關(guān)系是（ ）
A．相離B．相交C．相切D．無(wú)法確定
【答案】B
【解析】由，所以直線恒過(guò)定點(diǎn)1，0，
因?yàn)椋渣c(diǎn)1，0在圓的內(nèi)部，
所以直線與圓相交．
故選：B．
4．（2024·高二·廣東梅州·階段練習(xí)）已知圓，則直線與圓C（ ）
A．相交B．相切C．相離D．相交或相切
【答案】A
【解析】可化為，
即該圓圓心為，半徑為，
由可得該直線過(guò)定點(diǎn)0，1，
有，即該定點(diǎn)必在圓內(nèi)，
故兩者位置關(guān)系為相交．
故選：A．
題型二：由直線與圓的位置關(guān)系求參數(shù)、求直線與圓的交點(diǎn)坐標(biāo)
5．（2024·高二·全國(guó)·課后作業(yè)）已知?jiǎng)又本€截圓可得兩段弧，當(dāng)劣弧最短時(shí)，（ ）
A．B．C．2D．4
【答案】B
【解析】圓化為，圓心坐標(biāo)為，半徑為4．
因?yàn)閯?dòng)直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，
定點(diǎn)恰好在圓內(nèi)．
根據(jù)圓的性質(zhì)，動(dòng)直線與垂直時(shí)，動(dòng)直線截圓所得的兩段弧中，優(yōu)弧最長(zhǎng)，劣弧最短，
故，則．
故選：B．
6．（2024·高三·江蘇蘇州·開學(xué)考試）過(guò)點(diǎn)作直線l交圓于點(diǎn)，，若 ，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】設(shè)，故有，即，
由，則點(diǎn)為中點(diǎn)，
故，故有，
即有，整理得，
即．
故選：A．
7．（2024·高二·湖北荊州·期末）已知點(diǎn)和，點(diǎn)在軸上，且為直角，則點(diǎn)坐標(biāo)為（ ）
A．B．或
C．或D．
【答案】B
【解析】為直角，故在以為直徑的圓上，
圓心為，半徑為，
圓方程為，取得到或，
即點(diǎn)坐標(biāo)為或．
故選：B．
8．（2024·高二·江蘇宿遷·期中）直線與曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【解析】聯(lián)立直線方程和曲線方程可得可得，
即，解得或，故方程組的解為或．
故選：C
題型三：切線與切線長(zhǎng)問題
9．（2024·高二·上?！て谀┻^(guò)點(diǎn)作圓的切線，則切線方程為 ．
【答案】或
【解析】當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)切線的點(diǎn)斜式方程為：，圓心到直線的距離為，
化簡(jiǎn)得到，故；
另一條應(yīng)為不存在的情況，即滿足題意．
故答案為：或．
10．（2024·高二·海南省直轄縣級(jí)單位·期末）過(guò)點(diǎn)作圓的切線，則切線的斜率為 ．
【答案】或
【解析】當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線為，
此時(shí)圓心到的距離，故不符，
當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線為，
即，
此時(shí)圓心到的距離，
即，即或．
故答案為：或．
11．（2024·高二·上海靜安·期末）圓在點(diǎn)處的切線方程為 ．
【答案】
【解析】由題意可知：圓的圓心為O0，0，半徑，
因?yàn)椋芍c(diǎn)在圓上，
又因?yàn)椋芍芯€方程的斜率，
所以切線方程為，即．
故答案為：．
12．（2024·高二·廣東肇慶·階段練習(xí)）從點(diǎn)向圓作切線，則切線長(zhǎng)為 ．
【答案】
【解析】由題意可知：圓的圓心為，半徑，
則，
所以切線長(zhǎng)為．
故答案為：．
13．（2024·高二·上?！ふn堂例題）若從點(diǎn)引圓的切線，則切線長(zhǎng)是 ．
【答案】
【解析】記圓，圓心為，半徑，
則，
所以切線長(zhǎng)為．
故答案為：3．
題型四：弦長(zhǎng)問題
14．（2024·天津武清·模擬預(yù)測(cè)）已知直線與圓C：相交于A，B兩點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù) ．
【答案】
【解析】根據(jù)題意，圓，
即，其圓心為，半徑，
若，則圓心到直線即的距離，
又由圓心到直線的距離，
則有，解可得：．
故答案為：．
15．（2024·高二·上海·期中）過(guò)點(diǎn)的直線被圓截得的弦長(zhǎng)為，則直線的方程為 ．
【答案】或
【解析】當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為，
此時(shí)直線l截圓所得弦長(zhǎng)為，滿足題意，
設(shè)直線l的方程為，即．
由垂徑定理，得圓心到直線l的距離，
結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式，得，
化簡(jiǎn)得，解得，即直線l的方程為．
故答案為：或．
16．（2024·天津·一模）已知過(guò)點(diǎn)的直線與圓相交于，兩點(diǎn)，若，則直線的方程為 ．
【答案】或
【解析】當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線為，
則有，即，
則，符合題意；
當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線為，即，
由可得圓心為，半徑為，
則圓心到直線的距離為，
則有，即，
即，即．
故答案為：或．
17．（2024·高二·陜西西安·期末）已知直線與交于，兩點(diǎn)，則的面積為 ．
【答案】
【解析】的圓心坐標(biāo)為，半徑，
圓心到直線的距離，
直線被圓截得的弦長(zhǎng)為．
面積為．
故答案為：．
18．（2024·高二·福建廈門·期中）已知直線與交于，兩點(diǎn)，寫出滿足“面積為”的的一個(gè)值 ．
【答案】（中任意一個(gè)皆可以，答案不唯一）
【解析】的圓心為，半徑，
設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，由弦長(zhǎng)公式得，
所以，解得或，
由，所以或，
解得或．
故答案為：（中任意一個(gè)皆可以，答案不唯一）．
題型五：判斷圓與圓的位置關(guān)系
19．（2024·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)）已知圓，圓，則這兩圓的位置關(guān)系為（ ）
A．內(nèi)含B．相切C．相交D．外離
【答案】A
【解析】圓的圓心為，半徑；
圓的圓心為，半徑，
則，故，所以兩圓內(nèi)含；
故選：A
20．（2024·高二·北京·期中）已知圓，圓，那么兩圓的位置關(guān)系是（ ）
A．相交B．外離C．外切D．內(nèi)含
【答案】A
【解析】由于點(diǎn)和都在圓上，而在圓內(nèi)部，
在圓外部，故兩圓一定相交．
故選：A．
21．（2024·高二·甘肅慶陽(yáng)·期末）圓：與圓的位置關(guān)系為（ ）
A．相交B．內(nèi)切C．外切D．相離
【答案】A
【解析】圓的圓心為，半徑為；，
則圓的圓心為，半徑為．
兩圓心之間的距離，
且滿足，可知兩圓相交．
故選：A．
22．（2024·山東·模擬預(yù)測(cè)）已知圓的圓心到直線的距離是，則圓與圓的位置關(guān)系是（ ）
A．相離B．相交C．內(nèi)切D．內(nèi)含
【答案】D
【解析】圓：，所以圓心，半徑為．
由點(diǎn)到直線距離公式得：，且，所以．
又圓的圓心，半徑為：1．
所以，．
由，所以兩圓內(nèi)含．
故選：D
23．（2024·高二·上?！て谥校﹫A與圓的位置關(guān)系是（ ）
A．相交B．外切C．外離D．內(nèi)含
【答案】B
【解析】的圓心為，半徑為1，
的圓心為，半徑為1，
可知兩圓圓心距為2，恰好等于兩圓半徑之和，所以兩圓是外切．
故選：B
24．（2024·高二·安徽蕪湖·階段練習(xí)）設(shè)圓：，圓：，則圓，的位置關(guān)系是（ ）
A．內(nèi)切B．外切C．相交D．相離
【答案】B
【解析】由題可知圓的半徑為，圓心；圓的半徑為，圓心，
所以，，所以，故兩圓外切，
故選B．
題型六：由圓的位置關(guān)系確定參數(shù)
25．（2024·高二·江蘇南京·期末）已知點(diǎn)，圓，若圓上存在點(diǎn)使得，則實(shí)數(shù)的最小值是（ ）
A．－1B．1C．0D．2
【答案】C
【解析】根據(jù)題意，點(diǎn)，若，則點(diǎn)的軌跡是以為圓心，3為半徑的圓，設(shè)該圓為圓，
圓，若圓上存在點(diǎn)使得，則圓與圓有公共點(diǎn)，
則，解得，即的取值范圍為0，4，
故的最小值為0．
故選：C．
26．（2024·北京·三模）已知圓和兩點(diǎn)，若圓上存在點(diǎn)，使得，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】說(shuō)明在以為直徑的圓上，
而又在圓上，因此兩圓有公共點(diǎn)，
則圓心距位于半徑差的絕對(duì)值與半徑和的閉區(qū)間中，
所以，即，又，解得．
故選：B
27．（2024·高三·云南昆明·階段練習(xí)）已知是圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線上存在兩點(diǎn)，使得恒成立，則的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】如圖，已知圓O：的圓心為O0，0，半徑，
若直線上存在兩點(diǎn)A，B，使得恒成立，
則以為直徑的圓要內(nèi)含或內(nèi)切圓，
點(diǎn)到直線l的距離，
所以的最小值為，
選B．
28．（2024·廣西河池·模擬預(yù)測(cè)）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》中有這樣一個(gè)結(jié)論：平面內(nèi)與兩點(diǎn)距離的比為常數(shù)（）的點(diǎn)的軌跡是圓，后人稱這個(gè)圓為阿波羅尼斯圓．已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足，若點(diǎn)的軌跡與圓：（）有且僅有三條公切線，則（ ）
A．B．1C．2D．3
【答案】D
【解析】由題意可得，化簡(jiǎn)得，
即，即動(dòng)點(diǎn)的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，
由：（），可得，
故圓以為圓心，為半徑，由兩圓有且僅有三條公切線，
故兩圓外切，即有，即．
故選：D．
題型七：公共弦與切點(diǎn)弦問題
29．（2024·高二·全國(guó)·課后作業(yè)）已知圓與圓相交，則相交弦的長(zhǎng)為 ．
【答案】
【解析】設(shè)兩圓相交弦所在直線為，則直線的方程為，
即到直線的距離，則相交弦的長(zhǎng)為．
故答案為：
30．（2024·高二·吉林延邊·期中）已知圓與圓相交于A，B兩點(diǎn)，則直線AB的方程為 ．
【答案】
【解析】由，得，
化簡(jiǎn)得，
所以直線AB的方程為．
故答案為：
31．（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知圓外一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為和，則直線的方程為 ．
【答案】
【解析】由題意，切點(diǎn)弦所在直線的方程為：
，
化簡(jiǎn)得：．
故答案為：．
32．（2024·高二·河北·期中）過(guò)點(diǎn)作圓：的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，則直線的方程為 ．
【答案】
【解析】
由圖可知，其中一條切線為軸，切點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)．
因?yàn)?，?br>則，
所以直線的方程為．
故答案為：．
題型八：公切線問題
33．（2024·高二·甘肅慶陽(yáng)·階段練習(xí)）已知圓與圓有且僅有一條公共切線，則實(shí)數(shù)的值是 ．
【答案】3或
【解析】因?yàn)閮蓤A有一條公切線，所以兩圓內(nèi)切．
圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，
而兩圓圓心距，即，
解得的值為3或．
故答案為：3或
34．（2024·山東·模擬預(yù)測(cè)）已知圓：，圓：，直線與圓分別相交于四點(diǎn)，若，則直線的方程可以為 ．（寫出一條滿足條件的即可）．
【答案】，，，，，，，，，，，，，，，（答案不唯一）
【解析】對(duì)于一個(gè)半徑為的圓，若一條直線被該圓截得的弦與圓心構(gòu)成面積為的三角形，則這意味著弦對(duì)應(yīng)的圓心角滿足，即或．
由于弦到圓心的距離，故或．
這就將命題轉(zhuǎn)化為：直線到的距離是或，到的距離也是或．
分別以和為圓心，以為半徑作圓和，以為半徑作圓和．
則直線需要滿足：與或相切，與或相切．
首先，由于，故不可能同時(shí)和一條豎直直線相切，從而的斜率一定存在．
①若直線與和相切，則直線經(jīng)過(guò)兩圓的內(nèi)位似中心，或與兩圓圓心連線平行，即斜率為（此種情況亦可視為直線經(jīng)過(guò)兩圓的外位似中心：方向的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)）．
對(duì)于前一種情況，即直線到原點(diǎn)的距離為，使用距離公式得到，解得；
對(duì)于后一種情況，即直線到原點(diǎn)的距離為，使用距離公式得到，解得．
所以我們得到此時(shí)滿足條件的直線可能是：，，，；
②若直線與和相切，則直線經(jīng)過(guò)兩圓的內(nèi)位似中心，或與兩圓圓心連線平行，即斜率為（此種情況亦可視為直線經(jīng)過(guò)兩圓的外位似中心：方向的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)）．
對(duì)于前一種情況，即直線到原點(diǎn)的距離為，使用距離公式得到，解得；
對(duì)于后一種情況，即直線到原點(diǎn)的距離為，使用距離公式得到，解得．
所以我們得到此時(shí)滿足條件的直線可能是：，，，；
③若直線與和相切，則直線經(jīng)過(guò)兩圓的內(nèi)位似中心，或經(jīng)過(guò)兩圓的外位似中心．
對(duì)于前一種情況，即直線到原點(diǎn)的距離為，使用距離公式得到，解得；
對(duì)于后一種情況，即直線到原點(diǎn)的距離為，使用距離公式得到，解得．
所以我們得到此時(shí)滿足條件的直線可能是：，，，；
④若直線與和相切，則直線經(jīng)過(guò)兩圓的內(nèi)位似中心，或經(jīng)過(guò)兩圓的外位似中心．
對(duì)于前一種情況，即直線到原點(diǎn)的距離為，使用距離公式得到，解得；
對(duì)于后一種情況，即直線到原點(diǎn)的距離為，使用距離公式得到，解得．
所以我們得到此時(shí)滿足條件的直線可能是：，，，．
綜上，滿足條件的直線一共有16種可能：，，，，，，，，，，，，，，，．
故答案為：，，，，，，，，，，，，，，，．（答案不唯一）
35．（2024·高二·河南鄭州·期末）寫出圓：與圓：的一條公切線方程 ．
【答案】（答案不唯一）
【解析】圓的圓心，半徑為，圓的圓心為，半徑為，
故，故圓與圓外切，
將與相減得，
即兩圓內(nèi)公切線方程為，
兩圓圓心所在直線方程為，即，
由于兩圓半徑相等，故兩圓的外公切線所在直線方程與平行，
設(shè)為，圓心到的距離為，解得，
故兩圓的外公切線所在直線方程為和．
故答案為：（或之一也可以）
36．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知圓，圓，直線分別與圓和圓切于兩點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)度為 ．
【答案】
【解析】圓，圓心，半徑，
圓，圓心，半徑，
圓心距，由，
所以兩圓相交，則．
故答案為：
題型九：圓中范圍與最值問題
37．（2024·高二·河南洛陽(yáng)·階段練習(xí)）如果實(shí)數(shù)，滿足，則的范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】設(shè)，則表示經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線，為直線的斜率．
如果實(shí)數(shù)，滿足和，即直線同時(shí)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)和圓上的點(diǎn)．
其中圓心，半徑
從圖中可知，斜率取最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的直線斜率為正且剛好與圓相切，設(shè)此時(shí)切點(diǎn)為
則直線的斜率就是其傾斜角的正切值，易得，，
可由勾股定理求得，于是可得到為的最大值；
同理，的最小值為－1．
則的范圍是．
故選：B．
38．（多選題）（2024·高二·河南安陽(yáng)·期中）已知直線過(guò)定點(diǎn)，且與圓相交于兩點(diǎn)，則（ ）
A．點(diǎn)的坐標(biāo)為B．的最小值是
C．的最大值是0D．
【答案】ACD
【解析】根據(jù)題意，圓的圓心為，半徑．
對(duì)于A，直線，可化為，
所以直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，斜率為，
因此直線過(guò)定點(diǎn)，A項(xiàng)正確；
對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，直線到圓心的距離達(dá)到最大值，
此時(shí)，可知的最小值是，故B項(xiàng)不正確；
對(duì)于C，，由于的最小值是，此時(shí)取最大值，故最大值為0，故C項(xiàng)正確；
對(duì)于D，設(shè)的中點(diǎn)為，連接，則，
可得
，故D項(xiàng)正確．
故選：ACD．
39．（多選題）（2024·高三·遼寧鞍山·開學(xué)考試）已知直線，圓為圓上任意一點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．的最大值為5
B．的最大值為
C．直線與圓相切時(shí)，
D．圓心到直線的距離最大為4
【答案】BC
【解析】圓的方程可化為，所以圓的圓心為，半徑．
，Px0，y0是圓上的點(diǎn)，
所以的最大值為，A選項(xiàng)錯(cuò)誤．
如圖所示，當(dāng)直線的斜率大于零且與圓相切時(shí)，最大，
此時(shí)，且，B選項(xiàng)正確．
直線，即，過(guò)定點(diǎn)，
若直線與圓相切，則圓心到直線的距離為，
即，解得，所以C選項(xiàng)正確．
圓心到直線的距離，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選：BC
40．（2024·高二·上?！ふn后作業(yè)）圓上的點(diǎn)到直線的距離最小值是 ．
【答案】
【解析】因?yàn)閳A，化為標(biāo)準(zhǔn)方程為：，
其圓心為，半徑為1，
因?yàn)橹本€，所以圓心到該直線的距離，
所以圓上的點(diǎn)到直線的距離最小值是．
故答案為：．
題型十：圓系問題
41．已知圓與圓相交于A、B兩點(diǎn)．
（1）求公共弦AB所在直線方程；
（2）求過(guò)兩圓交點(diǎn)A、B，且過(guò)原點(diǎn)的圓的方程．
【解析】（1），①
，②
①-②得
即公共弦AB所在直線方程為．
（2）設(shè)圓的方程為
即
因?yàn)閳A過(guò)原點(diǎn)，所以，
所以圓的方程為
題型十一：直線與圓的實(shí)際問題
42．（2024·高二·江西南昌·階段練習(xí)）臺(tái)風(fēng)中心從M地以每小時(shí)30km的速度向西北方向移動(dòng)，離臺(tái)風(fēng)中心內(nèi)的地區(qū)為危險(xiǎn)地區(qū)，城市N在M地正西方向60km處，則城市N處于危險(xiǎn)區(qū)內(nèi)的時(shí)長(zhǎng)為（ ）
A．1hB．C．2hD．
【答案】C
【解析】
如圖所示，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，則，
以為圓心，為半徑作圓，
則圓的方程為，
當(dāng)臺(tái)風(fēng)進(jìn)入圓內(nèi)，則城市處于危險(xiǎn)區(qū)，
又臺(tái)風(fēng)的運(yùn)動(dòng)軌跡為，
設(shè)直線與圓的交點(diǎn)為，，
圓心到直線的距離，
則，
所以時(shí)間，
故選：C．
43．（2024·高二·廣東深圳·期中）如圖所示，第九屆亞洲機(jī)器人錦標(biāo)賽中國(guó)選拔賽永州賽區(qū)中，主辦方設(shè)計(jì)了一個(gè)矩形坐標(biāo)場(chǎng)地（包含邊界和內(nèi)部，為坐標(biāo)原點(diǎn)），長(zhǎng)為10米，在邊上距離點(diǎn)4米的F處放置一只電子狗，在距離點(diǎn)2米的處放置一個(gè)機(jī)器人，機(jī)器人行走速度為，電子狗行走速度為，若電子狗和機(jī)器人在場(chǎng)地內(nèi)沿直線方向同時(shí)到達(dá)場(chǎng)地內(nèi)某點(diǎn)，那么電子狗將被機(jī)器人捕獲，點(diǎn)叫成功點(diǎn)．在這個(gè)矩形場(chǎng)地內(nèi)成功點(diǎn)的軌跡方程是 ；若為矩形場(chǎng)地邊上的一點(diǎn)，電子狗在線段上總能逃脫，則的取值范圍是 ．

【答案】
【解析】分別以，為軸，軸建立平面直角坐標(biāo)系，則， ，
設(shè)成功點(diǎn)，則，即，
化簡(jiǎn)得，因?yàn)辄c(diǎn)在矩形場(chǎng)地內(nèi)，所以，
所以點(diǎn)的軌跡方程是．
當(dāng)與圓相切時(shí)，則有，
所以，所以，又，
若電子狗在線段上總能逃脫，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)取值范圍為，
所以的取值范圍是．
故答案為：；．
44．（2024·高二·浙江寧波·期末）如圖1，某圓拱形橋一孔圓拱的平面示意圖，已知圓拱跨度，拱高，建造時(shí)每間隔需要用一根支柱支撐，則支柱的高度等于 m（精確到）．若建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系，則圓拱所在圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是 ．
（可用參考數(shù)據(jù)：．）
【答案】 3．32
【解析】設(shè)拱形所在圓的圓心為H，半徑為r，由題意圓心H在y軸上，如圖，
則，
則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：．
由題意設(shè)，代入圓的方程得，
解得，即，則．
故答案為：3．32；．
【重難點(diǎn)集訓(xùn)】
1．（2024·高二·全國(guó)·課后作業(yè)）已知直線繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)與圓相交于兩點(diǎn)，則（ ）
A．B．C．2D．
【答案】D
【解析】直線繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，兩條直線垂直，
所以旋轉(zhuǎn)后直線的斜率為，直線方程為，
由題意得圓的圓心，半徑，所以圓心到直線的距離，則．
故選：D.
2．（2024·高二·河北衡水·階段練習(xí)）已知圓，若圓剛好被直線平分，則的最小值為（ ）
A．8B．10C．16D．
【答案】C
【解析】因?yàn)閳A，所以圓心為，
因?yàn)閳A剛好被直線平分，
所以直線必過(guò)點(diǎn)，代入直線中得到，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，此時(shí)解得，故C正確.
故選：C
3．（2024·高二·浙江嘉興·階段練習(xí)）圓和直線為圓C上一點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．若圓C關(guān)于直線l對(duì)稱，則的最大值為20
B．若圓C關(guān)于直線l對(duì)稱，則
C．存在實(shí)數(shù)a使得圓C與直線l相離
D．無(wú)論取a任何實(shí)數(shù)，圓C都和直線l相交
【答案】ABD
【解析】對(duì)于B，方程可化為，
所以的圓心為，半徑為，
若圓C關(guān)于直線l對(duì)稱，則，解得，故B正確；
對(duì)于A，設(shè)，則點(diǎn)到直線的距離滿足：，
所以，解得，所以的最大值為20，故A正確；
對(duì)于C，點(diǎn)到直線的距離為，
若圓C與直線l相離，
則，但這不可能，（因?yàn)椋蔆錯(cuò)誤；
對(duì)于D，由C選項(xiàng)分析可知，若，但這不可能，（因?yàn)椋?br>所以恒成立，
所以無(wú)論取a任何實(shí)數(shù)，圓C都和直線l相交，故D正確.
故選：ABD.
4．（2024·高二·全國(guó)·課后作業(yè)）已知圓是與直線，圓都相切的半徑最小的圓，則圓的半徑和圓心坐標(biāo)分別是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由題意得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以半徑為，
如圖，過(guò)圓心作直線的垂線，由題意得垂線斜率為，
故設(shè)其方程為，將帶入其中，
可得，解得，所以垂線方程為，
因?yàn)榍蟀霃阶钚〉膱A，所以圓的圓心在直線上，
而圓心到直線的距離為，
故圓的半徑為，
設(shè)圓心，已知，解得，
即圓心，故D正確.
故選：D
5．（2024·高二·河南漯河·階段練習(xí)）臺(tái)風(fēng)中心從地以的速度向東北方向移動(dòng)，離臺(tái)風(fēng)中心內(nèi)的地區(qū)為危險(xiǎn)地區(qū)，城市在地正東方向的處，則城市處于危險(xiǎn)地區(qū)內(nèi)的時(shí)長(zhǎng)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由題得示意圖
以城市為圓心作一個(gè)半徑為的圓，只要臺(tái)風(fēng)經(jīng)過(guò)圓內(nèi)，即段，城市處于危險(xiǎn)地區(qū)；
臺(tái)風(fēng)從地向移動(dòng),其中為中點(diǎn)，所以
所以
所以
又因?yàn)榕_(tái)風(fēng)速度為
所以城市處于危險(xiǎn)地區(qū)內(nèi)的時(shí)長(zhǎng)為
故選：
6．（2024·高二·天津·階段練習(xí)）已知直線與圓相交于兩點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．4B．C．D．
【答案】B
【解析】由題設(shè)可得圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，
動(dòng)直線可化為：，
故該直線恒過(guò)定點(diǎn)，因?yàn)椋?br>故定點(diǎn)在圓的內(nèi)部，故圓心到動(dòng)直線的距離的最大值為，
故的最小值為，
故選：B.
7．（多選題）（2024·高二·浙江杭州·階段練習(xí)）已知圓，直線，則（ ）
A．直線恒過(guò)定點(diǎn)
B．直線l與圓C有兩個(gè)交點(diǎn)
C．當(dāng)時(shí)，圓C上恰有四個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于1
D．圓C與圓恰有三條公切線
【答案】ABD
【解析】對(duì)于A，直線的方程為，由，得，直線過(guò)定點(diǎn)，A正確；
對(duì)于B，，即定點(diǎn)在圓內(nèi)，則直線與圓相交且有兩個(gè)交點(diǎn)，B正確；
對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，直線，圓心到直線的距離為，
而圓半徑為2，因此只有2個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于1，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，圓的方程化為，
其圓心為，半徑為3，兩圓圓心距為，
兩圓外切，因此它們有三條公切線，D正確.
故選：ABD.
8．（多選題）（2024·高二·廣東中山·階段練習(xí)）下列結(jié)論正確的是（ ）
A．已知點(diǎn)在圓上，則的最大值是4
B．已知直線和以為端點(diǎn)的線段相交，則實(shí)數(shù)的取值范圍為
C．已知是圓外一點(diǎn)，直線的方程是，則直線與圓相離
D．若圓上恰有兩點(diǎn)到點(diǎn)的距離為1，則的取值范圍是
【答案】AD
【解析】A選項(xiàng)，因?yàn)辄c(diǎn)Px,y在圓上，
所以，
當(dāng)時(shí)，取得最大值4，故A正確；
B選項(xiàng)，由，所以，即直線過(guò)點(diǎn)，
因?yàn)橹本€和線段相交，故只需或，故B錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)，圓的圓心到直線的距離，
而點(diǎn)是圓外一點(diǎn)，所以，
所以，所以直線與圓相交，故C錯(cuò)誤；
D選項(xiàng)，與點(diǎn)的距離為1的點(diǎn)在圓上，
由題意知圓與圓相交，
所以圓心距，滿足，解得，故D正確.
故選：AD
9．（多選題）（2024·高二·湖北黃岡·階段練習(xí)）以下四個(gè)命題表述正確的是（ ）
A．直線恒過(guò)定點(diǎn)
B．圓上有且僅有3個(gè)點(diǎn)到直線l：的距離都等于1
C．圓：與圓：恰有三條公切線，則
D．已知圓C：，點(diǎn)P為直線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)向圓C引兩條切線、，、為切點(diǎn)，則直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)
【答案】BCD
【解析】直線，
所以，所以，解得，
所以直線恒過(guò)定點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；
圓，圓心為到直線的距離為，
所以直線與圓相交，平行于直線l且距離為的直線分別過(guò)圓心以及和圓相切，
所以圓上有且僅有個(gè)點(diǎn)到直線的距離為，故B正確；
由：可得，圓心，，
由：可得，
圓心，，由題意可得兩圓相外切，所以，
即，解得：，故C正確；
設(shè)，所以，
因?yàn)椤?，分別為過(guò)點(diǎn)所作的圓的兩條切線，所以，，
所以點(diǎn)，在以為直徑的圓上，以為直徑的圓的方程為
.
整理可得：，與已知圓C：，相減可得.
消去可得：，即，
由解得，所以直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，故D正確.
故選：BCD.
10．（多選題）（2024·高二·重慶·開學(xué)考試）已知圓，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．當(dāng)時(shí)，圓與圓有2條公切線
B．當(dāng)時(shí)，是圓與圓的一條公切線
C．當(dāng)時(shí)，圓與圓相交
D．當(dāng)時(shí)，圓與圓的公共弦所在直線的方程為
【答案】BD
【解析】由可知圓心為，半徑為1；
由可知圓心為，半徑為，兩圓圓心距為；
對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，圓與圓相離，有4條公切線，所以A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，與圓相切，圓心到的距離為2，即與圓也相切，
所以是圓與圓的一條公切線，即B正確；
對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，圓與圓相離，即C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)兩圓相交，
圓的一般方程為，與圓的方程相減可得，
化簡(jiǎn)可得圓與圓的公共弦所在直線的方程為，即D正確.
故選：BD
11．（2024·高二·四川綿陽(yáng)·階段練習(xí)）在直角坐標(biāo)系中，已知，動(dòng)點(diǎn)滿足，則面積的范圍為
【答案】
【解析】設(shè)點(diǎn)，則
由已知得，
所以，即
故點(diǎn)的軌跡方程為，即，其圓心，半徑為．
直線AC的方程為，即
圓心到直線AC的距離
則點(diǎn)到邊AC的距離的最小值為，最大值為
又
則面積的最小值為，最大值為，
所以面積的范圍為．
故答案為：．
12．（2024·高二·天津南開·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線與x軸，y軸分別交于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)，若恒為銳角，則正實(shí)數(shù)m的取值范圍是 .
【答案】
【解析】設(shè)以為直徑的圓的圓心為A，
由題意可知，
所以的中點(diǎn)，半徑為，
又圓得圓心為，半徑，
由恒為銳角可知兩圓外離，如圖，
所以，即，
解得.
故答案為：
13．（2024·高二·湖北黃岡·階段練習(xí)）曲線與直線僅有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)k的取值范圍是 ．
【答案】
【解析】曲線，即
直線過(guò)定點(diǎn)，
如圖：B-2,1，，
當(dāng)直線與曲線有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，
則直線夾在了直線與直線之間，而，
所以此時(shí)k的取值范圍是1,+∞，
當(dāng)直線與曲線相切時(shí)也只有一個(gè)交點(diǎn)，
則圓心0,1到直線的距離為：
，解得，
所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是：.
14．（2024·高二·全國(guó)·課后作業(yè)）若圓與圓相交，我們把經(jīng)過(guò)圓和圓交點(diǎn)的圓稱為圓、圓的圓系方程，其方程可設(shè)為．根據(jù)以上信息，解決如下問題：已知圓與交于兩點(diǎn)，則以為直徑的圓的一般方程為 ．
【答案】
【解析】由題意可設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)的圓的方程為，
整理得，則圓心為．
圓①，圓②，
由①-②得，，即直線的方程為．
因?yàn)闉橹睆?，圓心在直線上，所以，解得，
故以為直徑的圓的方程為．
故答案為：．
15．（2024·高二·河北滄州·階段練習(xí)）已知圓，點(diǎn)的坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)作直線交圓于兩點(diǎn)，則的取值范圍為
【答案】.
【解析】取中點(diǎn)為，連接，如圖所示：
則，又，，
故點(diǎn)的軌跡為以為直徑的圓，圓心為，半徑為，
因?yàn)?，?br>所以，即，則.
故答案為：.
16．（2024·高二·山西晉中·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，動(dòng)點(diǎn)滿足，直線：與動(dòng)點(diǎn)的軌跡交于兩點(diǎn)，記動(dòng)點(diǎn)軌跡的對(duì)稱中心為點(diǎn)，則當(dāng)面積最大時(shí)，求直線的方程．
【解析】設(shè)，
由題意可得，整理可得，
可知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡是以圓心為，半徑為的圓，
由，可得．
則由，解得，所以直線過(guò)定點(diǎn)，
因?yàn)椋渣c(diǎn)在圓的內(nèi)部．
作直線，垂足為，
設(shè)，因?yàn)椋?br>所以，
所以，
所以．
所以當(dāng)，即時(shí)，．
此，且，可知直線的斜率為，
所以直線的方程為.
17．（2024·高二·山西晉中·階段練習(xí)）已知點(diǎn)，圓：．
(1)求圓過(guò)點(diǎn)的最短弦所在的直線方程；
(2)若圓與直線相交于，兩點(diǎn)，為原點(diǎn)，且，求的值．
【解析】（1）過(guò)點(diǎn)的最短弦就是圓心與連線垂直的直線，
圓的圓心，則，
所以過(guò)點(diǎn)的最短弦所在的直線方程為，即．
（2）消去得，
化簡(jiǎn)后為．
因?yàn)閳A與直線交于，兩點(diǎn)，
所以，
即，解得．
設(shè)Ax1,y1，Bx2,y2，則，．
因?yàn)?，所以，即?br>由得．
從而，解得．
18．（2024·高二·遼寧葫蘆島·階段練習(xí)）已知圓C：，直線l：是圓E與圓C的公共弦AB所在直線方程，且圓E的圓心在直線上．
(1)求公共弦AB的長(zhǎng)度；
(2)求圓E的方程；
(3)過(guò)點(diǎn)分別作直線MN，RS，交圓E于M，N，R，S四點(diǎn)，且，求四邊形MRNS面積的最大值與最小值．
【解析】（1）圓，所以圓的圓心坐標(biāo)，半徑，
圓心到直線的距離，
公共弦；
（2）圓的圓心在直線上，設(shè)圓心，
由題意得，，即，到的距離，
所以的半徑，
所以圓的方程：；
（3）
當(dāng)過(guò)點(diǎn)的互相垂直的直線，為軸，垂直于軸時(shí)，，這時(shí)直線的方程為，代入到圓中，，
所以，四邊形的面積；
當(dāng)過(guò)點(diǎn)的互相垂直的直線，不垂直于軸時(shí)，
設(shè)直線為：，
則直線為：，
所以圓心到直線的距離，圓心到直線的距離，
，，
設(shè)，
當(dāng)或1時(shí)，正好是軸及垂直軸，
面積，
當(dāng)時(shí)，最大且，或1時(shí)，最小，
四邊形面積的最大值17，最小值．
19．（2024·高二·遼寧葫蘆島·階段練習(xí)）已知點(diǎn)與直線l：，圓C：
(1)一條光線從點(diǎn)P射出，經(jīng)直線l反射后，通過(guò)點(diǎn)，求反射光線所在的直線方程；
(2)過(guò)P點(diǎn)作圓的切線，求切線方程．
【解析】（1）設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線：的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為，
則有，解得，即，
直線的方程為：，即，
因反射光線過(guò)點(diǎn)，而反射光線所在直線過(guò)點(diǎn)，
所以反射光線所在直線方程為.
（2）圓C：即圓C：的圓心為，半徑為，
過(guò)點(diǎn)且斜率不存在的直線為，顯然到直線的距離，故滿足題意；
設(shè)過(guò)點(diǎn)且斜率存在的直線的直線與圓C：相切，
則，解得，此時(shí)所求直線為，即；
綜上所述，滿足題意的切線方程為或.
20．（2024·高二·江蘇連云港·階段練習(xí)）（1）求圓心在直線上，與直線相切于點(diǎn)的圓C的方程.
（2）若過(guò)點(diǎn)作圓的切線，求切線的斜率.
【解析】（1）依題意，，則直線的斜率為，方程為，即，
由，解得，則圓的圓心，，
所以所求圓的方程為：.
（2）圓的圓心，半徑，
當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，，點(diǎn)到切線的距離為2，不等于半徑，不滿足題意；
當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)，即，
則，解得，
所以切線的斜率為.
21．（2024·高二·江西贛州·開學(xué)考試）若圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，且圓心在x軸上，則：
(1)求圓C的方程．
(2)直線與圓C交于E、F兩點(diǎn)，求線段的長(zhǎng)度．
【解析】（1）因?yàn)楹停€段的中點(diǎn)為0,2，且，
則的垂直平分線方程為，由圓的性質(zhì)可知，圓心在該直線上，
又已知圓心在軸上，令，得，
故圓心為，半徑，
則圓圓C的方程為.
（2）由圓心2,0到直線的距離，.
故線段的長(zhǎng)度為.
【高考真題】
1．（2024年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（文）真題）已知直線與圓交于兩點(diǎn)，則AB的最小值為（ ）
A．2B．3C．4D．6
【答案】C
【解析】因?yàn)橹本€，即，令，
則，所以直線過(guò)定點(diǎn)，設(shè)，
將圓化為標(biāo)準(zhǔn)式為，
所以圓心，半徑，
當(dāng)時(shí)，AB的最小，
此時(shí).
故選：C
2．（2024年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）已知b是的等差中項(xiàng)，直線與圓交于兩點(diǎn)，則AB的最小值為（ ）
A．1B．2C．4D．
【答案】C
【解析】因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，所以，，代入直線方程得
，即，令得，
故直線恒過(guò)，設(shè)，圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：，
設(shè)圓心為，畫出直線與圓的圖形，由圖可知，當(dāng)時(shí)，AB最小，
，此時(shí).
故選：C
3．（2023年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（文）真題）已知實(shí)數(shù)滿足，則的最大值是（ ）
A．B．4C．D．7
【答案】C
【解析】法一：令，則，
代入原式化簡(jiǎn)得，
因?yàn)榇嬖趯?shí)數(shù)，則，即，
化簡(jiǎn)得，解得，
故 的最大值是，
法二：，整理得，
令，，其中，
則，
，所以，則，即時(shí)，取得最大值，
法三：由可得，
設(shè)，則圓心到直線的距離，
解得
故選：C.
4．（2023年新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）過(guò)點(diǎn)與圓相切的兩條直線的夾角為，則（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【解析】方法一：因?yàn)?，即，可得圓心，半徑，
過(guò)點(diǎn)作圓C的切線，切點(diǎn)為，
因?yàn)?，則，
可得，
則，
，
即為鈍角，
所以；
法二：圓的圓心，半徑，
過(guò)點(diǎn)作圓C的切線，切點(diǎn)為，連接，
可得，則，
因?yàn)?br>且，則，
即，解得，
即為鈍角，則，
且為銳角，所以；
方法三：圓的圓心，半徑，
若切線斜率不存在，則切線方程為x=0，則圓心到切點(diǎn)的距離，不合題意；
若切線斜率存在，設(shè)切線方程為，即，
則，整理得，且
設(shè)兩切線斜率分別為，則，
可得，
所以，即，可得，
則，
且，則，解得.
故選：B.
5．（2021年北京市高考數(shù)學(xué)試題）已知直線（為常數(shù)）與圓交于點(diǎn)M，N，當(dāng)變化時(shí)，若的最小值為2，則
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由題可得圓心為，半徑為2，
則圓心到直線的距離，
則弦長(zhǎng)為，
則當(dāng)時(shí)，MN取得最小值為，解得.
故選：C.
6．（多選題）（2021年全國(guó)新高考II卷數(shù)學(xué)試題）已知直線與圓，點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．若點(diǎn)A在圓C上，則直線l與圓C相切B．若點(diǎn)A在圓C內(nèi)，則直線l與圓C相離
C．若點(diǎn)A在圓C外，則直線l與圓C相離D．若點(diǎn)A在直線l上，則直線l與圓C相切
【答案】ABD
【解析】圓心到直線l的距離，
若點(diǎn)在圓C上，則，所以，
則直線l與圓C相切，故A正確；
若點(diǎn)在圓C內(nèi)，則，所以，
則直線l與圓C相離，故B正確；
若點(diǎn)在圓C外，則，所以，
則直線l與圓C相交，故C錯(cuò)誤；
若點(diǎn)在直線l上，則即，
所以，直線l與圓C相切，故D正確.
故選：ABD.
7．（多選題）（2021年全國(guó)新高考I卷數(shù)學(xué)試題）已知點(diǎn)在圓上，點(diǎn)、，則（ ）
A．點(diǎn)到直線的距離小于
B．點(diǎn)到直線的距離大于
C．當(dāng)最小時(shí)，
D．當(dāng)最大時(shí)，
【答案】ACD
【解析】圓的圓心為，半徑為，
直線的方程為，即，
圓心到直線的距離為，
所以，點(diǎn)到直線的距離的最小值為，最大值為，A選項(xiàng)正確，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
如下圖所示：
當(dāng)最大或最小時(shí)，與圓相切，連接、，可知，
，，由勾股定理可得，CD選項(xiàng)正確.
故選：ACD.
8．（2023年新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）已知直線與交于A，B兩點(diǎn)，寫出滿足“面積為”的m的一個(gè)值 ．
【答案】（中任意一個(gè)皆可以）
【解析】設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，由弦長(zhǎng)公式得，
所以，解得：或，
由，所以或，解得：或．
故答案為：（中任意一個(gè)皆可以）．
9．（2022年新高考天津數(shù)學(xué)高考真題）若直線被圓截得的弦長(zhǎng)為，則的值為 ．
【答案】
【解析】圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，
圓心到直線的距離為，
由勾股定理可得，因?yàn)?，解?
故答案為：.
10．（2022年新高考全國(guó)II卷數(shù)學(xué)真題）設(shè)點(diǎn)，若直線關(guān)于對(duì)稱的直線與圓有公共點(diǎn)，則a的取值范圍是 ．
【答案】
【解析】關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，在直線上，
所以所在直線即為直線，所以直線為，即；
圓，圓心，半徑，
依題意圓心到直線的距離，
即，解得，即；
故答案為：
11．（2022年新高考全國(guó)I卷數(shù)學(xué)真題）寫出與圓和都相切的一條直線的方程 ．
【答案】或或
【解析】[方法一]：
顯然直線的斜率不為0，不妨設(shè)直線方程為，
于是，
故①，于是或，
再結(jié)合①解得或或，
所以直線方程有三條，分別為，，
填一條即可
[方法二]：
設(shè)圓的圓心，半徑為，
圓的圓心，半徑，
則，因此兩圓外切，
由圖像可知，共有三條直線符合條件，顯然符合題意；
又由方程和相減可得方程，
即為過(guò)兩圓公共切點(diǎn)的切線方程，
又易知兩圓圓心所在直線OC的方程為，
直線OC與直線的交點(diǎn)為，
設(shè)過(guò)該點(diǎn)的直線為，則，解得，
從而該切線的方程為填一條即可
[方法三]：
圓的圓心為，半徑為，
圓的圓心為，半徑為，
兩圓圓心距為，等于兩圓半徑之和，故兩圓外切，
如圖，
當(dāng)切線為l時(shí)，因?yàn)椋?，設(shè)方程為
O到l的距離，解得，所以l的方程為，
當(dāng)切線為m時(shí)，設(shè)直線方程為，其中，，
由題意，解得，
當(dāng)切線為n時(shí)，易知切線方程為，
故答案為：或或.
12．（2021年天津高考數(shù)學(xué)試題）若斜率為的直線與軸交于點(diǎn)，與圓相切于點(diǎn)，則 ．
【答案】
【解析】設(shè)直線的方程為，則點(diǎn)，
由于直線與圓相切，且圓心為，半徑為，
則，解得或，所以，
因?yàn)椋?
故答案為：.

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2.5 直線與圓、圓與圓的位置

版本： 人教A版 (2019)

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