?2.4.2　圓的一般方程
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
課程標(biāo)準(zhǔn)
學(xué)科素養(yǎng)
1.正確理解圓的方程的形式及特點(diǎn)，會(huì)由一般式求圓心和半徑．(重點(diǎn))
2.會(huì)在不同條件下求圓的一般方程．(重點(diǎn))
1、數(shù)學(xué)運(yùn)算
2、數(shù)形結(jié)合
【自主學(xué)習(xí)】
一．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的圖形
方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0變形為：2＋2＝，
1.當(dāng)D2＋E2－4F＞0時(shí)，方程表示圓，圓心為 ，半徑為 ．
2.當(dāng)D2＋E2－4F＝0時(shí)，方程表示點(diǎn) ．
3.當(dāng)D2＋E2－4F＜0時(shí)，方程不表示任何圖形．
思考1：方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的條件是什么？

二．圓的一般方程
1.方程：當(dāng) 時(shí)，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0稱為圓的一般方程．
2.本質(zhì)：圓的方程的另一種表示形式，更具有方程特征．
思考2：如果點(diǎn)P(x0，y0)在圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0內(nèi)，那么應(yīng)滿足什么關(guān)系式？圓外呢？


【小試牛刀】
1.思辨解析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
(1)圓的一般方程可以化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(　 　)
(2)二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定是某個(gè)圓的方程.(　 　)
(3)若方程x2＋y2－2x＋Ey＋1＝0表示圓，則E≠0.(　 　)
(4)任何一個(gè)圓的方程都能寫成一個(gè)二元二次方程.(　 　)
2.圓x2＋y2＋4x－6y－3＝0的圓心和半徑長(zhǎng)分別為(　　)
A．(4，－6)，16 B．(2，－3)，4
C．(－2，3)，4 D．(2，－3)，16
【經(jīng)典例題】
題型一 圓的一般方程的認(rèn)識(shí)
點(diǎn)撥：二元二次方程表示圓的判斷方法
任何一個(gè)圓的方程都可化為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的形式，但形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的方程不一定表示圓．判斷它是否表示圓可以有以下兩種方法：
1.計(jì)算D2＋E2－4F，若其值為正，則表示圓；若其值為0，則表示一個(gè)點(diǎn)；若其值為負(fù)，則不表示任何圖形．
2.將該方程配方為2＋2＝，根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程來(lái)判斷．
例1 若方程x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圓，則a的取值范圍是________．

【跟蹤訓(xùn)練】1 下列方程各表示什么圖形？若表示圓，求出其圓心坐標(biāo)和半徑長(zhǎng)．
①x2＋y2－4x＝0；②2x2＋2y2－3x＋4y＋6＝0；③x2＋y2＋2ax＝0.




題型二 求圓的一般方程
點(diǎn)撥：圓的方程的求法
1.求圓的方程時(shí)，如果由已知條件容易求得圓心坐標(biāo)、半徑或需利用圓心的坐標(biāo)或半徑列方程的問題，一般采用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再用待定系數(shù)法求出a，b，r；
2.如果已知條件與圓心和半徑都無(wú)直接關(guān)系，一般采用圓的一般方程，再用待定系數(shù)法求出常數(shù)D，E，F(xiàn)．
例2 已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)為A(1,4)，B(－2,3)，C(4，－5)，求△ABC的外接圓方程、外心坐標(biāo)和外接圓半徑．






【跟蹤訓(xùn)練】2 已知圓C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圓心在直線x＋y－1＝0上，且圓心在第二象限，半徑長(zhǎng)為，求圓的一般方程．





題型三 與圓有關(guān)的軌跡問題
點(diǎn)撥：求涉及到曲線的軌跡問題時(shí)，一般有兩種方法：
一是直接法，即把動(dòng)點(diǎn)滿足的條件直接用坐標(biāo)“翻譯”過(guò)來(lái)的方法；
二是代入法，代入法也叫相關(guān)點(diǎn)法，就是把動(dòng)點(diǎn)(x，y)與相關(guān)點(diǎn)(x0，y0)建立等式，再把x0，y0用x，y表示后代入到它所滿足的曲線的方法．解題時(shí)要注意條件的限制．
例3 已知等腰三角形的頂點(diǎn)是A(4,2)，底邊一個(gè)端點(diǎn)是B(3,5)，求另一個(gè)端點(diǎn)C的軌跡方程，并說(shuō)明它的軌跡是什么圖形．









【跟蹤訓(xùn)練】3 點(diǎn)A(2,0)是圓x2＋y2＝4上的定點(diǎn)，點(diǎn)B(1,1)是圓內(nèi)一點(diǎn)，P，Q為圓上的動(dòng)點(diǎn)．
(1)求線段AP的中點(diǎn)M的軌跡方程；
(2)求BP的中點(diǎn)E的軌跡方程．







【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】
1.若方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示一個(gè)圓，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(　　)
A．m＜ B．m≤ C．m＜2 D．m≤2
2.圓x2＋y2－2x＋6y＋8＝0的面積為(　　)
A.8π B.4π C.2π D.π
4.若點(diǎn)M(3,0)是圓x2＋y2－8x－4y＋10＝0內(nèi)一點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)M(3,0)的最長(zhǎng)的弦所在的直線方程是(　　)
A.x＋y－3＝0 B.x－y－3＝0 C.2x－y－6＝0 D.2x＋y－6＝0
5.（多選）若圓的圓心到直線的距離為，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A．2 B． C． D．0
5.已知點(diǎn)O(0,0)在圓x2＋y2＋kx＋2ky＋2k2＋k－1＝0外，求k的取值范圍．
6.如圖，已知線段AB的中點(diǎn)C的坐標(biāo)是(4,3)，端點(diǎn)A在圓(x＋1)2＋y2＝4上運(yùn)動(dòng)，求線段AB的端點(diǎn)B的軌跡方程.
















【參考答案】
【自主學(xué)習(xí)】
一．
二．D2＋E2－4F＞0
思考1：A＝C≠0，B＝0且D2＋E2－4F＞0.
思考2：若點(diǎn)P在圓內(nèi)，則x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＜0；若點(diǎn)P在圓外，則x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＞0．
【小試牛刀】
1.(1)√　(2)×　(3)√　(4)√
2. C 解析　由x2＋y2＋4x－6y－3＝0，得(x＋2)2＋(y－3)2＝16，故圓心為(－2，3)，半徑長(zhǎng)為4.

【經(jīng)典例題】
例1 (－∞，1)　解析：把方程配方得(x＋a)2＋(y＋a)2＝1－a，由條件可知1－a＞0，即a＜1.
【跟蹤訓(xùn)練】1解析：①方程可變形為(x－2)2＋y2＝4，故方程表示圓，圓心為C(2,0)，半徑r＝2.
②方程可變形為2＋2(y＋1)2＝－，此方程無(wú)實(shí)數(shù)解．故方程不表示任何圖形．
③原方程可化為(x＋a)2＋y2＝a2.
當(dāng)a＝0時(shí)，方程表示點(diǎn)(0,0)，不表示圓；
當(dāng)a≠0時(shí)，方程表示以(－a,0)為圓心，|a|為半徑的圓．
例2 解析：法一：設(shè)△ABC的外接圓方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
∵A，B，C在圓上，
∴∴
∴△ABC的外接圓方程為x2＋y2－2x＋2y－23＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝25.
∴外心坐標(biāo)為(1，－1)，外接圓半徑為5.
法二：∵kAB＝＝，kAC＝＝－3，∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC.
∴△ABC是以角A為直角的直角三角形，∴外心是線段BC的中點(diǎn)，
坐標(biāo)為(1，－1)，r＝|BC|＝5.∴外接圓方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝25.
【跟蹤訓(xùn)練】2 解析：圓心C，
∵圓心在直線x＋y－1＝0上，∴－－－1＝0，即D＋E＝－2. ①
又∵半徑長(zhǎng)r＝＝，
∴D2＋E2＝20.②
由①②可得或
又∵圓心在第二象限，∴－＜0，即D＞0.則
故圓的一般方程為x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.
例3 解：設(shè)另一端點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x，y)．
依題意，得|AC|＝|AB|．由兩點(diǎn)間距離公式，得＝＝，
整理，得(x－4)2＋(y－2)2＝10．

這是以點(diǎn)A(4,2)為圓心，以為半徑的圓，如圖所示．
又因?yàn)锳，B，C為三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，所以A，B，C三點(diǎn)不共線，即點(diǎn)B，C不能重合．
所以點(diǎn)C的橫坐標(biāo)x≠3，且點(diǎn)B，C不能為一直徑的兩端點(diǎn)，所以≠4，即點(diǎn)C的橫坐標(biāo)x≠5．
故端點(diǎn)C的軌跡方程是(x－4)2＋(y－2)2＝10(x≠3，且x≠5)，
即另一個(gè)端點(diǎn)C的軌跡是以A(4,2)為圓心，為半徑的圓，但除去(3,5)和(5，－1)兩點(diǎn)．



【跟蹤訓(xùn)練】3 解：(1)設(shè)線段AP的中點(diǎn)為M(x，y)，
由中點(diǎn)公式得點(diǎn)P坐標(biāo)為(2x－2,2y)．
∵點(diǎn)P在圓x2＋y2＝4上，∴(2x－2)2＋(2y)2＝4，
故線段AP的中點(diǎn)M的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝1.
（2）設(shè)點(diǎn)E(x，y)，P(x0，y0)．
∵B(1,1)，∴x=x0+12y=y0+12 ,整理得x0＝2x－1，y0＝2y－1，
∵點(diǎn)P在圓x2＋y2＝4上，∴(2x－1)2＋(2y－1)2＝4，
整理得點(diǎn)E的軌跡方程為x2＋y2－x－y－＝0.



【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】
1. A解析：由D2＋E2－4F＞0得(－1)2＋12－4m＞0，解得m＜，故選A.
2.C 解析：原方程可化為(x－1)2＋(y＋3)2＝2，∴半徑r＝，∴圓的面積為S＝πr2＝2π.
3.C解析：圓x2＋y2－8x－4y＋10＝0的圓心坐標(biāo)為(4,2)，則過(guò)點(diǎn)M(3,0)且過(guò)圓心(4,2)的弦最長(zhǎng).由k＝＝2，可知C正確.
4.AD 解析：因?yàn)閳A的圓心為，所以圓心到直線的距離為，所以或.故選：AD
5.解：∵方程表示圓，∴k2＋(2k)2－4(2k2＋k－1)＞0，即3k2＋4k－4＜0，解得－2＜k＜．
又∵點(diǎn)O(0,0)在圓外，∴2k2＋k－1＞0，解得k＞或k＜－1．
綜上所述，k的取值范圍是(－2，－1)∪(，)．
6.解：設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)是(x，y)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(x0，y0)，由于點(diǎn)C的坐標(biāo)是(4,3)且點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，所以4＝，3＝，
于是有x0＝8－x ，y0＝6－y.①
因?yàn)辄c(diǎn)A在圓(x＋1)2＋y2＝4上運(yùn)動(dòng)，
所以點(diǎn)A的坐標(biāo)滿足方程(x＋1)2＋y2＝4，即(x0＋1)2＋y＝4，②
把①代入②，得(8－x＋1)2＋(6－y)2＝4，整理，得(x－9)2＋(y－6)2＝4.
所以點(diǎn)B的軌跡方程為(x－9)2＋(y－6)2＝4.

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2.4 圓的方程

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