●置疑導(dǎo)入 如圖，有一個(gè)圓柱，它的高是12 cm，底面圓的周長(zhǎng)是10 cm.在圓柱下底面的點(diǎn)A處有一只螞蟻，它想吃到上底面上與點(diǎn)A相對(duì)的點(diǎn)B處的食物，則它沿圓柱側(cè)面爬行的最短路程是多少？
(1)嘗試在圓柱側(cè)面上畫(huà)出幾條從點(diǎn)A到點(diǎn)B的路線，你覺(jué)得哪條路線最短呢？
(2)將圓柱側(cè)面剪開(kāi)并展開(kāi)成一個(gè)長(zhǎng)方形，從點(diǎn)A到點(diǎn)B的最短路線是什么？你畫(huà)對(duì)了嗎？
(3)螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)，想去點(diǎn)B處吃食物，它沿圓柱側(cè)面爬行的最短路程是多少？
【教學(xué)與建議】教學(xué)：設(shè)置層層遞進(jìn)問(wèn)題，利用勾股定理求解實(shí)際問(wèn)題引入新課，使學(xué)生在活動(dòng)中體驗(yàn)數(shù)學(xué)建模思想．建議：學(xué)生分小組合作探究螞蟻爬行的最短路線，充分討論后匯總各小組的方案．
●復(fù)習(xí)導(dǎo)入
操作與探究：我們知道數(shù)軸上的點(diǎn)有的表示有理數(shù)，有的表示無(wú)理數(shù)，你能在數(shù)軸上畫(huà)出表示 eq \r(2)， eq \r(3)， eq \r(4)， eq \r(5)， eq \r(13)的點(diǎn)嗎？
1．看圖填空：
x＝__ eq \r(2)__；y＝__ eq \r(3)__；z＝__2__；m＝__ eq \r(5)__．
2．按照?qǐng)D中的規(guī)律一直作下去，你能說(shuō)出第n個(gè)小直角三角形的各邊長(zhǎng)嗎？
【教學(xué)與建議】教學(xué)：利用一個(gè)目的明確的操作探究問(wèn)題引入新課，培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手操作能力和抽象概括能力．建議：教學(xué)中要充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性，要讓學(xué)生自己動(dòng)手去畫(huà)圖操作．
◎命題角度1 在數(shù)軸上表示無(wú)理數(shù)
在數(shù)軸上畫(huà)表示無(wú)理數(shù) eq \r(c)的點(diǎn)的步驟(如圖所示)：(1)把c轉(zhuǎn)化為兩個(gè)正整數(shù)a，b的平方和，即 eq \r(c)＝ eq \r(a2＋b2)；(2)以原點(diǎn)O為圓心，在數(shù)軸上截取OA＝a；(3)過(guò)點(diǎn)A作數(shù)軸的垂線AM，在AM上截取AB＝b；(4)連接OB，根據(jù)勾股定理，得OB＝ eq \r(c)；(5)以原點(diǎn)O為圓心，OB的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交數(shù)軸正半軸于點(diǎn)C，則點(diǎn)C表示的數(shù)就是無(wú)理數(shù) eq \r(c).
【例1】如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A所表示的數(shù)為a，則a的值是(B)
A． eq \r(5)＋1 B． eq \r(5)－1 C．－ eq \r(5)＋1 D．－ eq \r(5)－1
【例2】如圖，在數(shù)軸上畫(huà)出表示 eq \r(17)的點(diǎn)(不寫(xiě)作法，但要保留畫(huà)圖痕跡)．
解：所畫(huà)圖形如圖所示，其中點(diǎn)A即為所求．
◎命題角度2 網(wǎng)格圖中的無(wú)理數(shù)
在由小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格圖中，利用格點(diǎn)構(gòu)造幾何圖形．
【例3】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(2，1)，點(diǎn)B(3，－1)，則線段AB的長(zhǎng)度為(C)
A． eq \r(2) B． eq \r(3) C． eq \r(5) D．3
eq \(\s\up7(),\s\d5(（例3題圖）)) eq \(\s\up7(),\s\d5(（例4題圖）))
【例4】如圖，在2×2的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)A，B，C均為格點(diǎn)，以點(diǎn)A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑作弧，交格線于點(diǎn)D，則CD的長(zhǎng)為(D)
A． eq \f(1,2) B． eq \f(1,3) C． eq \r(3) D．2－ eq \r(3)
◎命題角度3 利用勾股定理求立體圖形表面上兩點(diǎn)之間的最短路程
確定立體圖形表面上的最短路程問(wèn)題，其解題思路是將立體圖形的表面展開(kāi)，轉(zhuǎn)化為平面圖形，并借助勾股定理解決．
【例5】如圖，圓柱的底面周長(zhǎng)為6 cm，AC是底面圓的直徑，高BC＝6 cm，點(diǎn)P是BC上一點(diǎn)，且PC＝ eq \f(2,3)BC，一只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點(diǎn)P的最短距離是(B)
A．(4＋ eq \f(6,π))cm B．5 cm C．3 eq \r(5) cm D．7 cm
【例6】如圖，有一個(gè)棱長(zhǎng)為2的正方體，現(xiàn)有一繩子從A出發(fā)，沿正方體表面到達(dá)C處，問(wèn)最短繩長(zhǎng)的平方為多少？
解：如圖，將該正方體的右表面翻折至與前表面同平面，使得A，C兩點(diǎn)共面，連接AC，此時(shí)線段AC的長(zhǎng)度即為最短繩長(zhǎng)．所以AC2＝22＋(2＋2)2＝20，即最短繩長(zhǎng)的平方為20.
◎命題角度4 利用勾股定理解決幾何變換問(wèn)題
在折疊、旋轉(zhuǎn)等問(wèn)題中常常將條件集中于一個(gè)直角三角形，然后利用勾股定理構(gòu)造方程，求線段的長(zhǎng)．
【例7】如圖，在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝4，∠B＝90°，將△ABC折疊，使A點(diǎn)與BC的中點(diǎn)D重合，折痕為MN，則線段BN的長(zhǎng)為(C)
A． eq \f(5,3) B． eq \f(5,2) C． eq \f(8,3) D．5
eq \(\s\up7(),\s\d5(（例7題圖）)) eq \(\s\up7(),\s\d5(（例8題圖）))
【例8】如圖，把長(zhǎng)方形紙片ABCD折疊，使其對(duì)角頂點(diǎn)A與C重合．若長(zhǎng)方形的長(zhǎng)BC為8，寬AB為4，則折痕EF的長(zhǎng)度為_(kāi)_2 eq \r(5)__．
高效課堂 教學(xué)設(shè)計(jì)
1．利用勾股定理作長(zhǎng)度為無(wú)理數(shù)的線段．
2．在運(yùn)用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，感受數(shù)學(xué)的“轉(zhuǎn)化”思想，體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值．
▲重點(diǎn)
利用勾股定理作長(zhǎng)度為無(wú)理數(shù)的線段．
▲難點(diǎn)
勾股定理的靈活應(yīng)用．
◆活動(dòng)1 新課導(dǎo)入
1．在等腰直角三角形中，直角邊為1，斜邊為多少？
2．若直角三角形的兩直角邊分別為 eq \r(2)，1，斜邊為多少？
3．同學(xué)們，你們會(huì)在數(shù)軸上作出 eq \r(2)嗎？
◆活動(dòng)2 探究新知
教材P26～27 內(nèi)容．
提出問(wèn)題：
(1)你能利用勾股定理證明斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等嗎？
(2)我們知道實(shí)數(shù)都可以在數(shù)軸上表示出來(lái)，你能在數(shù)軸上畫(huà)出表示 eq \r(13)的點(diǎn)嗎？
(3)你還能在數(shù)軸上表示其他無(wú)理數(shù)嗎？表示的依據(jù)是什么？
學(xué)生完成并交流展示．
◆活動(dòng)3 知識(shí)歸納
1．用數(shù)軸上的點(diǎn)表示無(wú)理數(shù)：如圖，過(guò)數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)A作直線l與數(shù)軸垂直，在直線l上截取AB＝b，連接OB(點(diǎn)O為原點(diǎn))，以點(diǎn)O為圓心，OB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交數(shù)軸于點(diǎn)P.當(dāng)點(diǎn)P在正半軸上時(shí)，它表示數(shù)__ eq \r(a2＋b2)__；當(dāng)點(diǎn)P在負(fù)半軸上時(shí)，它表示數(shù)__－ eq \r(a2＋b2)__．
2．實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的，要在數(shù)軸上直接標(biāo)出無(wú)理數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)比較難，我們可以借助__勾股定理__作出長(zhǎng)為 eq \r(n)(n為大于1的正整數(shù))的線段，進(jìn)而在數(shù)軸上找到表示無(wú)理數(shù) eq \r(n)的點(diǎn)．
◆活動(dòng)4 例題與練習(xí)
例1 在數(shù)軸上作出表示－ eq \r(17)的點(diǎn)．
解：∵ eq \r(17)＝ eq \r(16＋1)＝ eq \r(42＋12)，∴ eq \r(17)是以4，1為直角邊的直角三角形斜邊的長(zhǎng)，如圖，即點(diǎn)C表示－ eq \r(17).
例2 利用如圖4×4的方格，作出面積為8平方單位的正方形，然后在數(shù)軸上表示實(shí)數(shù) eq \r(8)和－ eq \r(8).
解：如圖．
例3 如圖，正方形網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，每個(gè)小格的頂點(diǎn)叫格點(diǎn)．
(1)在圖①中以格點(diǎn)為頂點(diǎn)畫(huà)一個(gè)面積為5的正方形；
(2)如圖②，A，B，C是小正方形的頂點(diǎn)，求∠ABC的度數(shù)．

解：(1)如圖①所示；(2)如圖②，連接AC，并設(shè)點(diǎn)D，E，則BC＝AC＝ eq \r(5)，且易證△ACD≌△BCE，
∴∠ACD＝∠BCE，
∴∠ACD＋∠DCB＝∠BCE＋∠DCB，
即∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ABC＝45°.
練習(xí)
1．教材P27 練習(xí)第1，2題．
2．小明學(xué)了利用勾股定理在數(shù)軸上找一個(gè)無(wú)理數(shù)的準(zhǔn)確位置后，又進(jìn)一步進(jìn)行練習(xí)：首先畫(huà)出數(shù)軸，設(shè)原點(diǎn)為點(diǎn)O，數(shù)軸上的2處表示點(diǎn)A，然后過(guò)點(diǎn)A作AB⊥OA，且AB＝3.以點(diǎn)O為圓心，OB為半徑作弧，設(shè)與數(shù)軸右側(cè)交點(diǎn)為P，則點(diǎn)P的位置在數(shù)軸上( C )
A．1和2之間 B．2和3之間
C．3和4之間 D．4和5之間
eq \(\s\up7(),\s\d5(（第2題圖）)) eq \(\s\up7(),\s\d5(（第3題圖）))
3．如圖，在矩形ABCD中，BC＝8，CD＝6，將△ABE沿BE折疊，使點(diǎn)A恰好落在對(duì)角線BD上的點(diǎn)F處，則DE的長(zhǎng)是__5__．
4．在平靜的湖面上，有一棵水草，它高出水面3 dm，一陣風(fēng)吹來(lái)，水草被吹到一邊，草尖齊至水面，已知水草移動(dòng)的水平距離為6 dm，問(wèn)這里的水深是多少？
解：根據(jù)題意，作圖(如圖).其中D是無(wú)風(fēng)時(shí)水草的最高點(diǎn)，BC為湖面，AB是一陣風(fēng)吹過(guò)水草的位置，則CD＝3 dm，CB＝6 dm，AD＝AB，BC⊥AD.
在Rt△ACB中，AB2＝AC2＋BC2，即(AC＋3)2＝AC2＋62，解得AC＝4.5.
答：這里的水深是4.5 dm.
◆活動(dòng)5 課堂小結(jié)
1．在數(shù)軸上表示無(wú)理數(shù)．
2．應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題．
1．作業(yè)布置
(1)教材P28～29 習(xí)題17.1第6，8，11，12題；
(2)學(xué)生用書(shū)對(duì)應(yīng)課時(shí)練習(xí)．
2．教學(xué)反思

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17.1 勾股定理

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