第02講導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算-【寒假提升課】2025年高二數(shù)學(xué)寒假提升試題（人教A版2019）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
二、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則
1、加減法：
2、乘法：
3、除法：
三、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
1、復(fù)合函數(shù)的概念
一般地，對于兩個函數(shù)和，如果通過中間變量，可以表示成的函數(shù)，那么稱這個函數(shù)為和的復(fù)合函數(shù)，記作.
2、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則
一般地，復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)，的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為，即y對x的導(dǎo)數(shù)等于y對u的導(dǎo)數(shù)與u對x的導(dǎo)數(shù)的乘積.
規(guī)律：從內(nèi)到外層層求導(dǎo)，乘法連接。
3、求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的步驟
第一步分層：選擇中間變量，寫出構(gòu)成它的內(nèi)、外層函數(shù)；
第二步分別求導(dǎo)：分別求各層函數(shù)對相應(yīng)變量的導(dǎo)數(shù)；
第三步相乘：把上述求導(dǎo)的結(jié)果相乘；
第四步變量回代：把中間變量代回。
4、求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)注意以下幾點(diǎn)：
（1）分解的函數(shù)通常為基本初等函數(shù)；
（2）求導(dǎo)時分清是對哪個變量求導(dǎo)；
（3）計算結(jié)果盡量簡潔。
四、導(dǎo)函數(shù)的常用結(jié)論
1、奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)．周期函數(shù)的導(dǎo)數(shù)還是周期函數(shù)．
2、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)反映了函數(shù)的瞬時變化趨勢，其正負(fù)號反映了變化的方向，其大小反映了變化的快慢，越大，曲線在這點(diǎn)處的切線越“陡”．
五、求曲線“在”與“過”某點(diǎn)的切線
1、求曲線“在”某點(diǎn)處的切線方程步驟
第一步（求斜率）：求出曲線在點(diǎn)處切線的斜率
第二步（寫方程）：用點(diǎn)斜式
第三步（變形式）：將點(diǎn)斜式變成一般式。
2、求曲線“過”某點(diǎn)處的切線方程步驟
第一步：設(shè)切點(diǎn)為；
第二步：求出函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)；
第三步：利用Q在曲線上和，解出及；
第四步：根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程，得切線方程為．
【考點(diǎn)一：求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)】
一、多選題
1．（23-24高二下·寧夏吳忠·階段練習(xí)）下列求導(dǎo)錯誤的是（）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【分析】根據(jù)求導(dǎo)公式和法則逐個分析判斷即可.
【詳解】對于A，，所以A錯誤，
對于B，，所以B錯誤，
對于C，，所以C正確，
對于D，，所以D正確，
故選：AB
2．（23-24高二下·廣東茂名·期中）下列結(jié)論中不正確的有（）
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，則
【答案】ACD
【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則計算可得.
【詳解】對于A：若，則，故A錯誤；
對于B：若，則，故B正確；
對于C：若，則，故C錯誤；
對于D：若，則，故D錯誤.
故選：ACD
3．（23-24高二下·河南南陽·期中）下列求導(dǎo)運(yùn)算不正確的是（）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求解即可．
【詳解】A．，故符合題意；
B．，故不符合題意；
C．，故符合題意；
D．，故符合題意；
故選：ACD．
4．（22-23高三上·湖南衡陽·階段練習(xí)）若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，則的解析式可能為( )
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】根據(jù)題意，依次求出選項中函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分析其導(dǎo)函數(shù)的奇偶性，據(jù)此分析可得答案．
【詳解】根據(jù)題意，依次分析選項：
對于A，，其導(dǎo)數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)，圖象不關(guān)于軸對稱，不符合題意；
對于B，，其導(dǎo)數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對稱，符合題意；
對于C，，其導(dǎo)數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對稱，符合題意；
對于D，，其導(dǎo)數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)是偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對稱，符合題意；
故選：BCD．
5．（23-24高二下·江蘇無錫·階段練習(xí)）下列命題正確的是（）
A．若，則
B．設(shè)函數(shù)，且，則
C．已知函數(shù)，則
D．
【答案】BD
【分析】由基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式求出各項的導(dǎo)數(shù)后，再逐項代入判斷即可.
【詳解】A：，故A錯誤；
B：，令，所以，故B正確；
C：，所以，故C錯誤；
D：，故D正確；
故選：BD.
【考點(diǎn)二：求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)】
一、解答題
1．（23-24高二上·江蘇·課前預(yù)習(xí)）指出下列函數(shù)的復(fù)合關(guān)系．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)，
(2)，，
(3)，
(4)，，
【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)定義直接求解；
【詳解】（1）對于，
可分解為，.
（2）對于，
可分解為，，.
（3）對于，
可分解為，.
（4）對于，
可分解為，，.
2．（25-26高二上·全國·課后作業(yè)）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6).
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【分析】結(jié)合導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算，利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則求解各個函數(shù)即可.
【詳解】（1）令，則.
.
（2）令，則，
.
（3）
,.
（4）令，則，
則.
（5），.
（6）.
3．（23-24高二上·江蘇·課前預(yù)習(xí)）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【分析】（1）利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)運(yùn)算求解即可；
（2）利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)運(yùn)算求解即可；
（3）利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)運(yùn)算求解即可；
（4）誘導(dǎo)公式和二倍角公式先化簡，再直接求導(dǎo)；
（5）利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)運(yùn)算求解即可；
（6）利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)運(yùn)算求解即可.
【詳解】（1）由，
則.
（2）由，
則.
（3）由，
則.
（4）由
，
則.
（5）由，
則.
（6）由，
則.
【考點(diǎn)三：求某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值】
一、單選題
1．（23-24高二下·江蘇南京·開學(xué)考試）已知函數(shù)，則（）
A．0B．1C．D．
【答案】A
【分析】直接求導(dǎo)代入即可得解.
【詳解】由題，，故.
故選：A.
2．（23-24高二下·河北承德·階段練習(xí)）已知，則（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求導(dǎo)，直接代入求解即可.
【詳解】由題意可得：，所以.
故選：D．
3．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）簡諧運(yùn)動是最基本也最簡單的機(jī)械振動，其在聲學(xué)、電子學(xué)、光學(xué)等領(lǐng)域有著重要的應(yīng)用．經(jīng)典力學(xué)的觀點(diǎn)認(rèn)為，當(dāng)物體進(jìn)行簡諧運(yùn)動時，其所受的合力與位移成正比．運(yùn)用經(jīng)典力學(xué)的理論進(jìn)一步推演可知，簡諧運(yùn)動的位移是關(guān)于時間的正弦函數(shù)，若某質(zhì)點(diǎn)做簡諧運(yùn)動，其位移關(guān)于時間的關(guān)系式為，則該質(zhì)點(diǎn)的初速度大小為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解.
【詳解】由可得，
易得該質(zhì)點(diǎn)的速度為，所以該質(zhì)點(diǎn)的初速度大小為．
故選：B
4．（23-24高二下·山東威?！て谀┮阎瘮?shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，則（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求導(dǎo)可得，令，求解即可.
【詳解】由，可得，
所以，解得.
故選：B.
5．（24-25高二下·全國·課后作業(yè)）已知函數(shù)，，，且，若，，，，則的值為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由導(dǎo)數(shù)的除法公式即可得，令可得答案.
【詳解】由已知得，
所以．
故選：B.
6．（23-24高二下·貴州安順·期末）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則的最大值為（）
A．B．0C．D．1
【答案】C
【分析】對給定等式求導(dǎo)，求出，進(jìn)而求出函數(shù)的解析式及最大值.
【詳解】由，求導(dǎo)得，
令x=0，則，即，
因此，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
所以的最大值為.
故選：C
【考點(diǎn)四：求切線的斜率與方程】
一、單選題
1．（23-24高二下·天津·期中）曲線在點(diǎn)處的切線的傾斜角為（）
A．30°B．45°C．60°D．135°
【答案】D
【分析】首先求出導(dǎo)函數(shù)，再求出導(dǎo)數(shù)值，即可得到切線的斜率，從而得到切線的傾斜角.
【詳解】因為，所以，
所以，所以曲線在點(diǎn)1,f1處的切線的斜率，
所以切線的傾斜角為.
故選：D.
2．（23-24高二下·陜西西安·期中）曲線在點(diǎn)處的切線方程為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】用導(dǎo)數(shù)幾何意義去求切線方程即可.
【詳解】由，得，
所以該曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，
故所求切線方程為，
即．
故選：C.
3．（23-24高二上·云南昆明·期末）過點(diǎn)且與曲線相切的直線斜率為（）
A．B．C．1D．4
【答案】C
【分析】設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，進(jìn)而求出切線斜率.
【詳解】設(shè)過點(diǎn)與曲線相切的切點(diǎn)坐標(biāo)為，
由求導(dǎo)得：，則切線方程為，
于是，整理得，解得，
所以所求切線的斜率為1.
故選：C
二、填空題
4．（23-24高二下·吉林·期中）曲線在點(diǎn)處的切線方程為．
【答案】
【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并求出的值，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程.
【詳解】由，求導(dǎo)得，則，
解得，于是，，
所以所求切線方程為，即.
故答案為：
5．（23-24高二下·河南洛陽·期中）曲線在點(diǎn)處的切線方程是 .
【答案】
【分析】求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)值，再求出，利用直線方程的斜截式得答案．
【詳解】由，
得．
，
又，
曲線在點(diǎn),處的切線方程是．
故答案為：．
【考點(diǎn)五：已知切線求參數(shù)范圍】
一、單選題
1．（23-24高二下·陜西渭南·期中）已知曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則實(shí)數(shù)等于（）
A．B．C．1D．2
【答案】D
【分析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合直線垂直斜率之間關(guān)系即可得到方程，求解即可.
【詳解】因為，所以，
則曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，
又因為直線斜率為，
所以，即.
故選：D.
2．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線經(jīng)過點(diǎn)，則（）
A．1B．C．eD．
【答案】A
【分析】借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，代入點(diǎn)計算即可得.
【詳解】，故，
故函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，
由在這條直線上，則，解得．
故選：A.
3．（23-24高二下·廣東茂名·期中）設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行，則（）.
A．1B．2C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解.
【詳解】由函數(shù)，可得，則，
因為直線的斜率為2，可得.
故選：B.
4．（23-24高二下·安徽·階段練習(xí)）若函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，則（）
A．13B．7C．4D．1
【答案】A
【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意可得，即可得到方程組，求出、的值，再代入計算可得.
【詳解】∵函數(shù)的圖象在點(diǎn)1,f1處的切線方程為，
，，由題可知，，，
，，．
故選：A
二、填空題
5．（23-24高二下·江蘇常州·期中）若函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線平行于軸，則 .
【答案】
【分析】求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用處的導(dǎo)數(shù)值為0列式求解的值.
【詳解】由，可得，
由題意得：，解得：，
故答案為：
6．（2024高三下·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，若曲線在處的切線方程為，則．
【答案】
【分析】利用導(dǎo)函數(shù)和切線斜率求出的值，利用解析式和切點(diǎn)坐標(biāo)求出的值，可得.
【詳解】函數(shù)，，
若曲線在處的切線方程為，則切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率，
則有，解得，
所以．
故答案為：.
7．（23-24高二下·安徽池州·期中）若點(diǎn)P是曲線上任一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線的最小距離是．
【答案】
【分析】當(dāng)P為與直線平行且與曲線相切的切線的切點(diǎn)時，點(diǎn)P到直線的距離最短，根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義求得點(diǎn)P坐標(biāo)，最后根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式得結(jié)果.
【詳解】由可得，
設(shè)與直線平行，且與曲線相切的直線，對應(yīng)切點(diǎn)坐標(biāo)為，
則，解得，則，
則點(diǎn)到直線的距離，即為點(diǎn)P到直線的最小距離，
即為.
故答案為：.
8．（23-24高二下·天津濱海新·期末）已知，直線與曲線相切，則的最小值是．
【答案】25
【分析】根據(jù)題意設(shè)直線與曲線的切點(diǎn)為，進(jìn)而根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得，再根據(jù)基本不等式“1”的用法求解即可.
【詳解】根據(jù)題意，設(shè)直線與曲線的切點(diǎn)為，
因為，直線的斜率為，
所以，，，
所以，
因為，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.
所以的最小值是25.
故答案為：25.
【考點(diǎn)六：公切線問題】
寒假02講素材06
一、單選題
1．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）若曲線在點(diǎn)處的切線也是曲線的切線，則（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求出曲線在點(diǎn)處的切線方程,設(shè)切線與曲線的切點(diǎn)為，通過導(dǎo)數(shù)分別寫出切線方程，由兩條切線重合得出方程，再通過此方程有解得出結(jié)果.
【詳解】的導(dǎo)數(shù)，令，則，
所以曲線在處的切線方程為，
即
的導(dǎo)數(shù)，設(shè)直線與曲線切于點(diǎn)，
則曲線在點(diǎn)處的切線方程為，
即，所以解得．
故選：D
2．（23-24高二下·江西吉安·期末）函數(shù)與函數(shù)公切線的斜率為（）
A．B．C．或D．或
【答案】C
【分析】先設(shè)切點(diǎn)分別為，并通過點(diǎn)斜式方程寫出兩條切線方程，根據(jù)公切線方程得，最后計算值即可.
【詳解】設(shè)切點(diǎn)分別為，
且導(dǎo)數(shù)為，
所以切斜方程為既為，
也為，
所以，
且，
所以，
所以或，
所以公切線的斜率為或.
故選：C.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查求公切線問題，解題關(guān)鍵是分別在函數(shù)上設(shè)不同切點(diǎn)并求切線方程，根據(jù)兩切線方程一樣來求解公切線斜率.
3．（24-25高二下·全國·課后作業(yè)）若曲線與曲線存在公共切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】設(shè)切點(diǎn)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求解斜率，可得和，進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為與函數(shù)的圖象有交點(diǎn)，即可根據(jù)導(dǎo)數(shù)求解.
【詳解】由得，曲線在點(diǎn)處的切線斜率為
由得在點(diǎn)處的切線斜率為，
如果兩條曲線存在公共切線，那么．
又由斜率公式可得，由此得到，則有解，
所以直線與函數(shù)的圖象有交點(diǎn)即可．
當(dāng)直線與函數(shù)的圖象相切時，
設(shè)切點(diǎn)為，則，且，得，即有切點(diǎn)，此時，
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是．

故選：D．
二、多選題
4．（23-24高二下·河南南陽·期中）已知直線與曲線和都相切，切點(diǎn)分別為，則（）
A．B．
C．滿足條件的直線有2條D．滿足條件的直線只有1條
【答案】AC
【分析】分別求出切點(diǎn)Ax1,y1和切點(diǎn)切線方程，再由直線與兩條曲線都相切，由兩切線的斜率相等，且在y軸上的截距相等求解.
【詳解】解：由題可知直線與曲線相切于點(diǎn)Ax1,y1，又，
所以直線的斜率，則在點(diǎn)處的切線方程為，
即，
直線與曲線相切于點(diǎn)
，則在點(diǎn)處的切線方程為，
即．
因為直線與兩條曲線都相切，所以兩條切線相同，
則且，
則，即，
可得，解得，故A正確，B錯誤；
把代入，得，
在同一坐標(biāo)系中，作出函數(shù)的圖象，如圖所示：
由圖象知：的值有兩個，故C正確，D錯誤．
故選：AC
三、填空題
5．（2024·河北滄州·模擬預(yù)測）已知直線是曲線和的公切線，則實(shí)數(shù)a= ．
【答案】3
【分析】先設(shè)在上的切點(diǎn)，然后求出切點(diǎn)和切線，然后再設(shè)在上的切點(diǎn)，即可求出a的值.
【詳解】設(shè)直線l與曲線相切于點(diǎn)，
由，得，因為l與曲線相切，
所以消去，得，解得．
設(shè)l與曲線相切于點(diǎn)，由，得，即，
因為是l與曲線的公共點(diǎn)，
所以消去，得，即，解得．
故答案為：3.
一、單選題
1．（23-24高二下·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·期末）下列求導(dǎo)正確的是（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】運(yùn)用函數(shù)導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)即可.
【詳解】對于A，，故A錯誤；
對于B，，故B錯誤；
對于C，，故C正確；
對于D，，故D錯誤．
故選：C.
2．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）設(shè)函數(shù)，則（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】運(yùn)用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)規(guī)則計算即可.
【詳解】．
故選：D.
3．（23-24高二下·福建龍巖·期中）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若，則（）
A．B．1C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)題意求導(dǎo)計算即可.
【詳解】由函數(shù)，可得，
令，可得，解得，
所以，，.
故選：C.
4．（2024·河南新鄉(xiāng)·一模）函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程.
【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得，則，而，
所以所求切線方程為，即.
故選：D
5．（23-24高二下·安徽合肥·期中）若曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則實(shí)數(shù)a的值為（）
A．1B．C．2D．3
【答案】D
【分析】求導(dǎo)，與直線垂直，求出的值.
【詳解】由，求導(dǎo)，
則在點(diǎn)處的切線的斜率為，
而在點(diǎn)處的切線與直線垂直,
則，故.
故選：D
6．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，若曲線y=fx在點(diǎn)處的切線方程為，則（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】代點(diǎn)求解出，然后對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，對應(yīng)求解出，最后求解.
【詳解】由已知，，
故，
，
則切線斜率為，故，
所以．
故選：B.
7．（2024高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，若直線是曲線的切線，則（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由曲線在切點(diǎn)處的斜率與直線的斜率相等，且切點(diǎn)同時位于曲線以及直線上建立方程組求解即可.
【詳解】由題意，，
設(shè)直線與曲線的切點(diǎn)為，
則，解得．
將代入，解得．
故選：A
8．（24-25高三上·山西·階段練習(xí)）曲線與的公切線的斜率為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義分別求fx,gx的切線，結(jié)合題意列式求解即可.
【詳解】因為，則，
設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率為，
可得切線方程為，即；
因為，則，
設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率為，
可得切線方程為，即；
由題意可得：，解得，
所以公切線的斜率為.
故選：A.
9．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知P是曲線（）上的動點(diǎn)，點(diǎn)Q在直線上運(yùn)動，則當(dāng)取最小值時，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】畫出曲線（）和直線的圖象，將所求距離問題轉(zhuǎn)化為兩平行線距離最小，從而結(jié)合兩直線平行，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義列方程即可求得切點(diǎn)的橫坐標(biāo).
【詳解】畫出曲線（）和直線的圖象，如下圖所示

若使得取最小值，
則曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行，
對函數(shù)求導(dǎo)得，令，可得，
又，解得．
故選：C
二、多選題
10．（2024高三·全國·專題練習(xí)）下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】根據(jù)基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)求法判斷各項正誤.
【詳解】由為常數(shù)，則，A錯誤；
由，則，B正確；
由，C正確；
由，D錯誤．
故選：BC
11．（25-26高二上·全國·課后作業(yè)）（多選）以下求導(dǎo)運(yùn)算正確的有（）
A．若，則
B．若，則
C．若，則
D．若，則
【答案】ACD
【分析】利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，即可判斷選項.
【詳解】A項，，則，A正確；
B項，，，B錯誤；
C項，，，C正確；
D項，，，D正確．
故選：ACD
三、填空題
12．（2024高三·全國·專題練習(xí)）曲線的一條切線經(jīng)過點(diǎn)，則該切線的斜率為 .
【答案】
【分析】設(shè)切點(diǎn)為，利用導(dǎo)數(shù)幾何意義及斜率兩點(diǎn)式列方程求，即可得切線斜率.
【詳解】因為，所以，設(shè)切點(diǎn)為，則，
所以，解得，所以，即切線的斜率為.
故答案為：
13．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，若曲線在點(diǎn)處的切線過坐標(biāo)原點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值為．
【答案】
【分析】首先對函數(shù)求導(dǎo)，然后表示出在點(diǎn)的切線方程，最后根據(jù)切線過原點(diǎn)求出實(shí)數(shù).
【詳解】因為，所以．
又，
所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為,
又該切線過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，即，
解得:．
故答案為：.
14．（23-24高三上·山東臨沂·開學(xué)考試）已知，，若與的圖象在交點(diǎn)處的切線重合，則．
【答案】/
【分析】設(shè)與的圖象交點(diǎn)為，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義列方程化簡求解即可.
【詳解】設(shè)與的圖象交點(diǎn)為，則，即，故.
又則，解得，則.
故答案為：
15．（2024高三·全國·專題練習(xí)）寫出曲線過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線方程：， .
【答案】
【分析】分和兩種情況，當(dāng)時設(shè)切點(diǎn)為，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可求出切線的斜率，從而表示出切線方程，再根據(jù)切線過坐標(biāo)原點(diǎn)求出，即可求出切線方程，當(dāng)時同理可得；
【詳解】因為，
當(dāng)時，，設(shè)切點(diǎn)為，由，得，
所以切線方程為.
又切線過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，解得，
所以切線方程為，即；
當(dāng)時，，設(shè)切點(diǎn)為，由，得，
所以切線方程為.
又切線過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，解得，
所以切線方程為，即.
故答案為：；.
模塊一思維導(dǎo)圖串知識
模塊二基礎(chǔ)知識全梳理（吃透教材）
模塊三核心考點(diǎn)舉一反三
【考點(diǎn)一：求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)】
【考點(diǎn)二：求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)】
【考點(diǎn)三：求某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值】
【考點(diǎn)四：求切線的斜率與方程】
【考點(diǎn)五：已知切線求參數(shù)范圍】
【考點(diǎn)六：公切線問題】
模塊四小試牛刀過關(guān)測
1.能根據(jù)定義求函數(shù)y=c,y=x,y=x2,y=1x的導(dǎo)數(shù),提升數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).
2.能利用給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù),提升數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).
3.了解求導(dǎo)法則的證明過程,提升邏輯推理的核心素養(yǎng).
4.掌握函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則,能夠綜合運(yùn)用導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).
5.了解復(fù)合函數(shù)的概念,提升數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).
6.理解復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則,并能求簡單的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù),提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).
函數(shù)
導(dǎo)函數(shù)
函數(shù)
導(dǎo)函數(shù)
(c是常數(shù))
(為實(shí)數(shù))
特別地
特別地

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