第07講復(fù)數(shù)的概念-【寒假提升課】2025年高一數(shù)學(xué)寒假提升試題（人教A版2019）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

知識(shí)點(diǎn)1 實(shí)數(shù)系
（1）實(shí)數(shù)系的分類
(2)實(shí)數(shù)的性質(zhì)
①實(shí)數(shù)對(duì)四則運(yùn)算是封閉的,即兩個(gè)實(shí)數(shù)進(jìn)行四則運(yùn)算的結(jié)果仍是實(shí)數(shù)；
②加法與乘法滿足交換律、結(jié)合律,乘法對(duì)加法滿足分配律；
③實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)可以建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.
知識(shí)點(diǎn)2 復(fù)數(shù)的概念
（1）復(fù)數(shù)的引入
為了解決這樣的方程在實(shí)數(shù)系中無(wú)解的問(wèn)題,設(shè)想引入一個(gè)新數(shù),使得是方程的解,即使得,并且可與實(shí)數(shù)進(jìn)行四則運(yùn)算,且原有的加法與乘法的運(yùn)算律仍成立.
所以實(shí)數(shù)系經(jīng)過(guò)擴(kuò)充后得到的新數(shù)集是.
（2）復(fù)數(shù)的概念
我們把形如的數(shù)叫做復(fù)數(shù),其中叫做虛數(shù)單位,滿足.全體復(fù)數(shù)所構(gòu)成的集合叫做復(fù)數(shù)集.
復(fù)數(shù)的表示:復(fù)數(shù)通常用字母表示,即,其中的與分別叫做復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部.
（3）復(fù)數(shù)相等
在復(fù)數(shù)集中任取兩個(gè)數(shù)，，（），我們規(guī)定.
知識(shí)點(diǎn)3 復(fù)數(shù)的分類
對(duì)于復(fù)數(shù)(),當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),它是實(shí)數(shù)；當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),它是實(shí)數(shù)0；當(dāng)時(shí),它叫做虛數(shù)；當(dāng)且時(shí),它叫做純虛數(shù).這樣,復(fù)數(shù)()可以分類如下:
知識(shí)點(diǎn)4 復(fù)數(shù)的幾何意義
（1）復(fù)數(shù)的幾何意義——與點(diǎn)對(duì)應(yīng)
復(fù)數(shù)的幾何意義1：復(fù)數(shù)??復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)
（2）復(fù)數(shù)的幾何意義——與向量對(duì)應(yīng)
復(fù)數(shù)的幾何意義2：復(fù)數(shù)?? 平面向量
知識(shí)點(diǎn)5 復(fù)數(shù)的模
向量的模叫做復(fù)數(shù))的模，記為或
公式：，其中
復(fù)數(shù)模的幾何意義：復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離；
特別的，時(shí)，復(fù)數(shù)是一個(gè)實(shí)數(shù)，它的模就等于(的絕對(duì)值).
知識(shí)點(diǎn)6 共軛復(fù)數(shù)
（1）定義
一般地，當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)時(shí)，這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù)；虛部不等于0的兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)也叫共軛虛數(shù).
（2）表示方法
表示方法：復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)用表示，即如果，則.
考點(diǎn)一：虛單位及其性質(zhì)
例1．（23-24高一下·全國(guó)·課堂例題）計(jì)算：① ；②若，則 .
【答案】 -1
【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)相等條件求參數(shù)、虛數(shù)單位i及其性質(zhì)
【分析】①根據(jù)規(guī)定可得，②設(shè)，根據(jù)復(fù)數(shù)相等解方程即可
【詳解】根據(jù)規(guī)定知；
設(shè)，
得，或，
所以
故答案為：-1；
【變式1-1】（23-24高一下·山東棗莊·期中）．
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】虛數(shù)單位i及其性質(zhì)
【分析】根據(jù)虛數(shù)單位的周期性求解.
【詳解】,
故答案為：
【變式1-2】（23-24高一下·河北張家口·階段練習(xí)） .
【答案】0
【知識(shí)點(diǎn)】虛數(shù)單位i及其性質(zhì)
【分析】利用虛數(shù)單位的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可.
【詳解】，
故答案為：0.
【變式1-3】（24-25高一上·上海·課堂例題）的平方根為 .
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】虛數(shù)單位i及其性質(zhì)
【分析】利用平方根的定義計(jì)算即可
【詳解】的平方根為，
故答案為：.
考點(diǎn)二：復(fù)數(shù)的基本概念
例2.（2024高一·全國(guó)·專題練習(xí)）給出下列四個(gè)命題：
①兩個(gè)復(fù)數(shù)不能比較大??；
②若實(shí)數(shù)a與ai對(duì)應(yīng)，則實(shí)數(shù)集與純虛數(shù)集一一對(duì)應(yīng)；
③純虛數(shù)集相對(duì)復(fù)數(shù)集的補(bǔ)集是虛數(shù)集；
④以2為實(shí)部的復(fù)數(shù)有無(wú)數(shù)個(gè)．
其中真命題是 .（填寫(xiě)序號(hào)）
【答案】④
【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)的基本概念
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的概念一一分析即可.
【詳解】①中當(dāng)這兩個(gè)復(fù)數(shù)都是實(shí)數(shù)時(shí)，可以比較大小，故①為假命題；
②若，則ai不是純虛數(shù)，故②為假命題；
③純虛數(shù)集相對(duì)復(fù)數(shù)集的補(bǔ)集不是虛數(shù)集，因?yàn)閺?fù)數(shù)中還包含實(shí)數(shù)，則③為假命題；
④對(duì)于復(fù)數(shù)，a有無(wú)數(shù)個(gè)取值，故④為真命題．
故答案為：④.
【變式2-1】（23-24高一下·全國(guó)·課后作業(yè)）判斷題
（1）判斷：實(shí)數(shù)集在復(fù)數(shù)集中的補(bǔ)集是虛數(shù)集.( )
（2）判斷：滿足的數(shù)x只有i.( )
（3）判斷：形如的數(shù)不一定是純虛數(shù).( )
（4）判斷：兩個(gè)復(fù)數(shù)不相等的一個(gè)充分條件是它們的虛部不相等.( )
（5）判斷：復(fù)數(shù)由實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)構(gòu)成.( )
【答案】正確錯(cuò)誤正確正確錯(cuò)誤
【知識(shí)點(diǎn)】虛數(shù)單位i及其性質(zhì)、復(fù)數(shù)的基本概念、求復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部、復(fù)數(shù)的分類及辨析
【分析】對(duì)于（1）（5）：根據(jù)復(fù)數(shù)的相關(guān)概念分析判斷；對(duì)于（2）：根據(jù)虛數(shù)單位的性質(zhì)以及復(fù)數(shù)的乘法分析判斷；對(duì)于（3）：根據(jù)純虛數(shù)的概念分析判斷；對(duì)于（4）：根據(jù)復(fù)數(shù)相等分析判斷.
【詳解】對(duì)于（1）（5）：因?yàn)閺?fù)數(shù)集由實(shí)數(shù)集、虛數(shù)集構(gòu)成，
即復(fù)數(shù)分為實(shí)數(shù)、虛數(shù)兩個(gè)部分，故（5）錯(cuò)誤，
即實(shí)數(shù)集在復(fù)數(shù)集中的補(bǔ)集是虛數(shù)集，故（1）正確；
對(duì)于（2）：因?yàn)椋詽M足的數(shù)x有，故（2）錯(cuò)誤；
對(duì)于（3）：例如，可知為實(shí)數(shù)，故（3）正確；
對(duì)于（4）：因?yàn)閺?fù)數(shù)相等的充要條件為：實(shí)部相等且虛部相等，
若兩個(gè)復(fù)數(shù)的虛部不相等，則這兩個(gè)復(fù)數(shù)不相等，
所以個(gè)復(fù)數(shù)不相等的一個(gè)充分條件是它們的虛部不相等，故（4）正確；
故答案為：正確；錯(cuò)誤；正確；正確；錯(cuò)誤.
【變式2-2】（24-25高一上·上海·課前預(yù)習(xí)）.( )
【答案】錯(cuò)誤
【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)的基本概念
【分析】由復(fù)數(shù)不能比較大小即可判斷.
【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)不能比較大小，所以是錯(cuò)誤的.
故答案為：錯(cuò)誤.
【變式2-3】（24-25高一上·上?！ふn堂例題）若復(fù)數(shù)，則、一定都是實(shí)數(shù).( )
【答案】正確
【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)的基本概念
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的概念即可判斷.
【詳解】?jī)蓚€(gè)實(shí)數(shù)可以比較大小，但是兩個(gè)復(fù)數(shù)，如果不全是實(shí)數(shù)，它們之間就不能比較大小，只能說(shuō)相等或不相等.
故判斷為：正確.
考點(diǎn)三：復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部
例3.（23-24高一下·全國(guó)·課堂例題）分別寫(xiě)出下列各復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)；
(7)；
(8)；
(9)；
(10)；
(11)；
(12)．
【答案】(1)實(shí)部為，虛部為
(2)實(shí)部為，虛部為
(3)實(shí)部為，虛部為
(4)實(shí)部為，虛部為
(5)實(shí)部為，虛部為
(6)實(shí)部為，虛部為
(7)實(shí)部為，虛部為
(8)實(shí)部為，虛部為
(9)實(shí)部為，虛部為
(10)實(shí)部為，虛部為
(11)實(shí)部為，虛部為
(12)實(shí)部為，虛部為
【知識(shí)點(diǎn)】求復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部的概念進(jìn)行求解.
【詳解】（1）的實(shí)部為，虛部為
（2）的實(shí)部為，虛部為
（3）的實(shí)部為，虛部為
（4）實(shí)部為，虛部為
（5）的實(shí)部為，虛部為
（6）的實(shí)部為，虛部為
（7）的實(shí)部為，虛部為
（8）的實(shí)部為，虛部為
（9）的實(shí)部為，虛部為
（10）的實(shí)部為，虛部為
（11）的實(shí)部為，虛部為
（12）的實(shí)部為，虛部為
【變式3-1】（2024高一下·全國(guó)·專題練習(xí)）復(fù)數(shù)，則（）
A．的實(shí)部為B．的虛部為
C．的虛部為D．的虛部為1
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】求復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部
【分析】利用復(fù)數(shù)的虛部與實(shí)部的定義求解.
【詳解】復(fù)數(shù)的實(shí)部為，虛部為，
故選：B.
【變式3-2】（23-24高三上·北京·階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的實(shí)部為 .
【答案】/
【知識(shí)點(diǎn)】特殊角的三角函數(shù)值、求復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部
【分析】利用誘導(dǎo)公式及特殊角的三角函數(shù)值將復(fù)數(shù)化簡(jiǎn)，再判斷其實(shí)部即可.
【詳解】解：
所以復(fù)數(shù)的實(shí)部為；
故答案為：
【變式3-3】（23-24高一·全國(guó)·課后作業(yè)）的實(shí)部等于3，虛部等于4i( )
【答案】錯(cuò)誤
【知識(shí)點(diǎn)】求復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部
【分析】利用復(fù)數(shù)的概念即可求解.
【詳解】的虛部是4.
故答案為;錯(cuò)誤.
考點(diǎn)四：復(fù)數(shù)相等
例4.（23-24高一下·新疆克孜勒蘇·期中）已知為虛數(shù)單位，，為實(shí)數(shù)，若，則（）
A．1B．C．5D．
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)的相等
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件可得，即可求解.
【詳解】由可得，所以5，
故選：C
【變式4-1】（23-24高一下·湖南·期末）已知x，，則“”是“”的（）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)的相等、判斷命題的充分不必要條件
【分析】利用復(fù)數(shù)相等的概念，以及條件的變化，再用是否推出思想來(lái)判斷充分不必要條件.
【詳解】當(dāng)時(shí)，顯然成立，所以是的充分條件；
當(dāng)時(shí)，，
則是的不必要條件；
故選：A.
【變式4-2】（23-24高一下·廣西南寧·期中）若實(shí)數(shù)，滿足，則（）
A．B．3C．D．1
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)的相等
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件求出，的值，即可得解.
【詳解】因?yàn)閷?shí)數(shù)，滿足，
所以，則.
故選：B
【變式4-3】（24-25高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）設(shè)，，求x，y的值．
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)的相等
【分析】根據(jù)相等復(fù)數(shù)的條件建立方程組，解之即可求解.
【詳解】由題意知，，
由復(fù)數(shù)相等的定義，得，解得，
所以.
考點(diǎn)五：復(fù)數(shù)分類
例5.（23-24高二下·吉林遼源）已知復(fù)數(shù).
（1）取什么值時(shí)，為實(shí)數(shù)；
（2）取什么值時(shí)，為純虛數(shù).
【答案】（1）（2）
【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)的分類及辨析、已知復(fù)數(shù)的類型求參數(shù)
【分析】(1) 直接由虛部為0求解m值;(2) 由實(shí)部為0且虛部不為0求解m值.
【詳解】（1）復(fù)數(shù)，
若為實(shí)數(shù)，則，即
（2）若為純虛數(shù)，則，
解得
【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的相關(guān)概念，考查了運(yùn)算能力，屬于容易題.
【變式5-1】（多選）（23-24高一下·江蘇泰州·期中）對(duì)于復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）
A．若，則為純虛數(shù)B．若，則
C．若，則為實(shí)數(shù)D．若，則不是復(fù)數(shù)
【答案】ABD
【知識(shí)點(diǎn)】求復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部、復(fù)數(shù)的分類及辨析
【分析】A.由判斷；B.由復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部判斷；C.復(fù)數(shù)的分類判斷；D.由復(fù)數(shù)的分類判斷.
【詳解】A.當(dāng)時(shí)，為實(shí)數(shù)，故錯(cuò)誤；
B.若，則，故錯(cuò)誤；
C.若，則為實(shí)數(shù)，故正確；
D.若，則是實(shí)數(shù)，故錯(cuò)誤；
故選：ABD
【變式5-2】（24-25高一上·上?！るS堂練習(xí)）下列各數(shù)中，哪些是實(shí)數(shù)？哪些是虛數(shù)？哪些是純虛數(shù)？
，，，，，.
【答案】答案見(jiàn)解析
【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)的基本概念、復(fù)數(shù)的分類及辨析
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的分類及復(fù)數(shù)運(yùn)算分類即可.
【詳解】，，是實(shí)數(shù)；
，，是虛數(shù)；
是純虛數(shù).
【變式5-3】（23-24高一下·全國(guó)·課堂例題）指出下列各數(shù)中，哪些是實(shí)數(shù)，哪些是虛數(shù)，哪些是純虛數(shù)，為什么？.
【答案】實(shí)數(shù)為；虛數(shù)為；
純虛數(shù)為
【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)的分類及辨析
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)、虛數(shù)和純虛數(shù)的條件，判斷出實(shí)數(shù)、虛數(shù)和純虛數(shù).
【詳解】實(shí)數(shù)為；
虛數(shù)為；
純虛數(shù)為.
【變式5-4】（23-24高二下·四川成都·期中）實(shí)數(shù)m取什么數(shù)值時(shí)，復(fù)數(shù)分別是：
(1)實(shí)數(shù)？
(2)虛數(shù)？
(3)純虛數(shù)？
【答案】(1)或
(2)且
(3)
【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)的分類及辨析、已知復(fù)數(shù)的類型求參數(shù)
【分析】（1）復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)，則虛部為零，即可得出答案.
（2）復(fù)數(shù)為虛數(shù)，則虛部為不為零，即可得出答案.
（3）復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實(shí)部為零，虛部為不為零，即可得出答案.
【詳解】（1）當(dāng)，即或時(shí)，復(fù)數(shù)z是實(shí)數(shù)；
（2）當(dāng)，即且時(shí)，復(fù)數(shù)z是虛數(shù)；
（3）當(dāng)，即時(shí)，復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)．
【變式5-5】（23-24高一下·安徽池州·階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù).
(1)若復(fù)數(shù)是虛數(shù)，求實(shí)數(shù)的值；
(2)若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)的值.
【答案】(1)；
(2)1.
【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)的分類及辨析、已知復(fù)數(shù)的類型求參數(shù)
【分析】（1）根據(jù)虛數(shù)的概念求解即可；
（2）根據(jù)純虛數(shù)的概念由虛部不為0，實(shí)部為0建立關(guān)系式求解即可.
【詳解】（1）因?yàn)槭翘摂?shù)，
所以，解得，
（2）因?yàn)槭羌兲摂?shù)，
所以，解得.
考點(diǎn)六：復(fù)數(shù)的坐標(biāo)表示
例6.（23-24高一下·山東青島·期中）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)的坐標(biāo)表示
【分析】利用向量減法法則得到，求出對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).
【詳解】由題意得，故對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為.
故選：B
【變式6-1】（23-24高一下·山西太原·期中）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)的坐標(biāo)表示
【分析】求出復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部可得答案.
【詳解】在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是.
故選：B.
【變式6-2】（23-24高一下·湖南株洲·期中）復(fù)數(shù)在復(fù)平面直角坐標(biāo)系中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)的坐標(biāo)表示
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義直接得出結(jié)果.
【詳解】由可得其在復(fù)平面直角坐標(biāo)系中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為.
故選：B
【變式6-3】（24-25高一上·上?！ふn堂例題）已知，，，，O為復(fù)平面的原點(diǎn)，試寫(xiě)出、、，所表示的復(fù)數(shù)；
【答案】表示的復(fù)數(shù)為；表示的復(fù)數(shù)為；表示的復(fù)數(shù)為；表示的復(fù)數(shù)為.
【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)的坐標(biāo)表示
【分析】由復(fù)數(shù)集與復(fù)平面內(nèi)的向量所成的集合一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系直接求解.
【詳解】,所以表示的復(fù)數(shù)為；
同理可得：表示的復(fù)數(shù)為；表示的復(fù)數(shù)為；表示的復(fù)數(shù)為.
考點(diǎn)七：復(fù)數(shù)的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的象限，坐標(biāo)軸
例7.（23-24高一下·全國(guó)·單元測(cè)試）若復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則的取值范圍為 .
【答案】，或.
【知識(shí)點(diǎn)】在各象限內(nèi)點(diǎn)對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)的特征
【分析】
根據(jù)復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則得到實(shí)部小于零，虛部大于零，解不等式得出結(jié)果.
【詳解】
因?yàn)閺?fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，
，且，
解得：或.
故答案為：或.
【變式7-1】（23-24高一下·浙江·階段練習(xí)）若復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，則m的值為（）
A．B．0C．1D．
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】在各象限內(nèi)點(diǎn)對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)的特征、根據(jù)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的特點(diǎn)求參數(shù)
【分析】由復(fù)數(shù)表示的點(diǎn)在第四象限，可得實(shí)部為正且虛部為負(fù)即得.
【詳解】由可得，又m為整數(shù)，所以.
故選：B.
【變式7-2】（23-24高二下·青海·期末）復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限內(nèi)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）
A．B．C．D．無(wú)解
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】在各象限內(nèi)點(diǎn)對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)的特征
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，讓實(shí)部虛部均小于0，計(jì)算得解.
【詳解】解：化簡(jiǎn)可得：復(fù)數(shù)，
因?yàn)槠鋵?duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限內(nèi)，所以，解得．
故選：C.
【變式7-3】（多選）（23-24高一下·浙江湖州·階段練習(xí)）若，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)可能在（）．
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【答案】CD
【知識(shí)點(diǎn)】已知角或角的范圍確定三角函數(shù)式的符號(hào)、判斷復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限、在各象限內(nèi)點(diǎn)對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)的特征
【分析】分與兩種情況下得到余弦和正弦值的正負(fù)，得到答案.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，故復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，
當(dāng)時(shí)，，故復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限.
故選：CD
考點(diǎn)八：復(fù)數(shù)的模
例8.（24-25高三上·四川成都·期中）（）
A．2B．C．5D．
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】求復(fù)數(shù)的模
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)模長(zhǎng)公式求出答案.
【詳解】.
故選：D
【變式8-1】（23-24高二下·云南·期末）已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則（）
A．1B．3C．5D．7
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】求復(fù)數(shù)的模
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的模公式計(jì)算即可.
【詳解】由，則.
故選：C.
【變式8-2】（24-25高三上·上?！て谥校┯浭翘摂?shù)單位，設(shè)復(fù)數(shù)且，則復(fù)數(shù)的虛部為 .
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】求復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部、由復(fù)數(shù)模求參數(shù)
【分析】根據(jù)條件，利用復(fù)數(shù)模長(zhǎng)的計(jì)算公式，即可求解.
【詳解】因?yàn)?，，則，得到，
又，所以，則復(fù)數(shù)的虛部為，
故答案為：.
【變式8-3】（23-24高一·上?！ふn堂例題）已知，其中．求的值．
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】由復(fù)數(shù)模求參數(shù)
【分析】由已知利用復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式列方程求解.
【詳解】由，
得，
即，解得.
考點(diǎn)九：根據(jù)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)特點(diǎn)求參數(shù)
例9.（23-24高一·上海·課堂例題）求實(shí)數(shù)m的值或取值范圍，使得復(fù)數(shù)在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別位于
(1)實(shí)軸上；
(2)虛軸上；
(3)第四象限．
【答案】(1)或
(2)或
(3)
【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的特點(diǎn)求參數(shù)
【分析】（1）根據(jù)題意可得，運(yùn)算求解即可；
（2）由求m，代入驗(yàn)證，即可得結(jié)果；
（3）由求出m的范圍即可.
【詳解】（1）由題意可得：，解得或.
（2）由題設(shè)，，可得或，
當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)在虛軸上；
當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)在虛軸上；
綜上，或.
（3）由題設(shè)，可得.
【變式9-1】（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）．
A．B．C．D．
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的特點(diǎn)求參數(shù)
【分析】利用復(fù)數(shù)的幾何意義得出對(duì)應(yīng)不等式即可得結(jié)果.
【詳解】復(fù)數(shù)，其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，
則，解得．
故選：A
【變式9-2】（23-24高一下·江蘇蘇州·期中）復(fù)數(shù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)的點(diǎn)分別滿足下列條件：
(1)位于第四象限；
(2)位于第一象限或第三象限；
(3)位于直線上．求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)或
(2)或或
(3)
【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的特點(diǎn)求參數(shù)、在各象限內(nèi)點(diǎn)對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)的特征
【分析】（1）結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義與第四象限的點(diǎn)的特點(diǎn)計(jì)算即可得；
（2）結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義與第一象限或第三象限的點(diǎn)的特點(diǎn)計(jì)算即可得；
（3）由題意可得，計(jì)算即可得.
【詳解】（1）由題意，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為．
當(dāng)點(diǎn)位于第四象限時(shí)，則，即，
故或；
（2）當(dāng)點(diǎn)位于第一象限或第三象限時(shí)，
則，
即，
故或或．
（3）當(dāng)點(diǎn)位于直線上，則，解得．
【變式9-3】（23-24高一下·上?！て谀┊?dāng)實(shí)數(shù)為何值時(shí)，復(fù)數(shù)為：
(1)實(shí)數(shù)；
(2)純虛數(shù)；
(3)對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第二象限？
【答案】(1)或；
(2)；
(3)．
【知識(shí)點(diǎn)】已知復(fù)數(shù)的類型求參數(shù)、根據(jù)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的特點(diǎn)求參數(shù)
【分析】（1）結(jié)合實(shí)數(shù)的概念，即可求解；
（2）結(jié)合純虛數(shù)的概念，即可求解；
（3）結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解．
【詳解】（1）復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)，則，
所以或.
（2）復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則，
所以.
（3）復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第二象限，則，解得，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
一、單選題
1．（23-24高二下·云南·期末）已知i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】判斷復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義求解即可.
【詳解】復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第一象限.
故選：A.
2．（23-24高一下·四川遂寧·階段練習(xí)）復(fù)數(shù)，下列說(shuō)法不正確的是（）
A．的實(shí)部為2B．的虛部為
C．D．
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】求復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部、求復(fù)數(shù)的模、共軛復(fù)數(shù)的概念及計(jì)算
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部、共軛復(fù)數(shù)、模等知識(shí)確定正確答案
【詳解】因?yàn)椋詫?shí)部為2，虛部為3，，.
故選：B
3．（23-24高二下·四川達(dá)州·期中）已知復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z位于第（）象限
A．一B．二C．三D．四
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)的坐標(biāo)表示、判斷復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限
【分析】由復(fù)數(shù)的幾何意義得復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，可求所在象限.
【詳解】復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，位于第四象限.
故選：D.
4．（23-24高一下·北京豐臺(tái)·期末）設(shè)復(fù)數(shù)，則（）
A．1B．C．2D．4
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】求復(fù)數(shù)的模
【分析】利用復(fù)數(shù)模的定義計(jì)算即得.
【詳解】復(fù)數(shù)，則.
故選：B
5．（24-25高二上·廣西南寧·階段練習(xí)）設(shè)，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】共軛復(fù)數(shù)的概念及計(jì)算、判斷復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限
【分析】由共軛復(fù)數(shù)，及復(fù)數(shù)幾何意義可得答案.
【詳解】因，則，其在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在第一象限.
故選：A
6．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）在復(fù)平面內(nèi)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，復(fù)數(shù)4i對(duì)應(yīng)的向量為，將繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后，再將模變?yōu)樵瓉?lái)的倍，得到向量，則對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)的實(shí)部是（）
A．6B．C．D．
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】求復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部、復(fù)數(shù)的向量表示
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的向量表示形式，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義、復(fù)數(shù)實(shí)部定義進(jìn)行求解即可.
【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)4i對(duì)應(yīng)的向量為，
所以，
繞點(diǎn)O逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后變?yōu)椋?br>再將模變?yōu)樵瓉?lái)的倍，得，對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)的實(shí)部是，
故選：B
7．（24-25高三上·廣東·階段練習(xí)）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)Z繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，則復(fù)數(shù)Z的虛部為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】求復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部
【分析】利用復(fù)數(shù)的幾何意義求解即可
【詳解】對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后坐標(biāo)為對(duì)應(yīng)的虛數(shù)為虛部為
故選：C.
8．（2024高二下·云南·學(xué)業(yè)考試）已知為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】判斷復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限
【分析】由復(fù)數(shù)的幾何意義求解．
【詳解】復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，它在第三象限，
故選：C
二、多選題
9．（24-25高三上·廣東肇慶·階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)，，則下列結(jié)論正確的是（）
A．若為純虛數(shù)，則
B．若在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，則
C．若，則
D．若，則
【答案】BC
【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的特點(diǎn)求參數(shù)、共軛復(fù)數(shù)的概念及計(jì)算、求復(fù)數(shù)的模、已知復(fù)數(shù)的類型求參數(shù)
【分析】對(duì)于A，若為純虛數(shù)，則的實(shí)部為0，虛部不為0，列出方程求解即可；對(duì)于B，若在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，則實(shí)部小于0且虛部大于0，列出不等式求解即可；對(duì)于C，若，求出，進(jìn)而求其共軛復(fù)數(shù)；對(duì)于D，若，求出，咋求模即可.
【詳解】對(duì)于A，若為純虛數(shù)，即且，則，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，若在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，則解得，即，故B正確；
對(duì)于C，若，則，則，故C正確；
對(duì)于D，若，則，故D 錯(cuò)誤.
故選：BC.
10．（23-24高一下·河南商丘·期中）已知復(fù)數(shù)，則下列命題正確的是（）
A．若為純虛數(shù)，則
B．若為實(shí)數(shù)，則
C．若在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線上，則
D．在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)可能在第三象限
【答案】AB
【知識(shí)點(diǎn)】判斷復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限、已知復(fù)數(shù)的類型求參數(shù)
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的分類，即可列出方程或不等式，進(jìn)而判斷A,B;根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，即可列出方程或不等式，進(jìn)而可以判斷C,D.
【詳解】對(duì)于A，若為純虛數(shù)，則，解得，A正確；
對(duì)于B，若為實(shí)數(shù)，則，所以，此時(shí)，B正確；
對(duì)于C，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，
所以，即，解得或，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，若在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，則無(wú)解，
所以在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)不可能在第三象限，D錯(cuò)誤.
故選：AB.
三、填空題
11．（2024·甘肅白銀·一模）復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部之和為 .
【答案】5
【知識(shí)點(diǎn)】求復(fù)數(shù)的模、求復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)模長(zhǎng)可得，即可根據(jù)虛部和實(shí)部定義求解.
【詳解】由題意得，所以復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部之和為5.
故答案為：5
12．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）已知冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則復(fù)數(shù)（其中i為虛數(shù)單位）的模的大小= ．
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】求復(fù)數(shù)的模、求冪函數(shù)的解析式、求冪函數(shù)的值
【分析】設(shè)出，代入，求出解析式，計(jì)算出，求出，計(jì)算出模長(zhǎng).
【詳解】設(shè)冪函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)圖象過(guò)點(diǎn)，
所以，解得，所以，
所以，
，
.
故答案為：．
四、解答題
13．（23-24高一·上海·課堂例題）當(dāng)復(fù)數(shù)z滿足下列條件時(shí)，分別指出z在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z的位置：
(1)z是正實(shí)數(shù)；
(2)z是負(fù)實(shí)數(shù)；
(3)z是實(shí)部小于零、虛部大于零的虛數(shù)；
(4)z是虛部小于零的純虛數(shù)．
【答案】(1)，此時(shí)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在實(shí)軸的正半軸上
(2)，此時(shí)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在實(shí)軸的負(fù)半軸上
(3)，此時(shí)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限
(4)，此時(shí)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在虛軸的負(fù)半軸上
【知識(shí)點(diǎn)】判斷復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限、求復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的分類、幾何意義求出實(shí)部、虛部滿足的條件可得答案.
【詳解】（1）設(shè)，
若是正實(shí)數(shù)，則，
此時(shí)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在實(shí)軸的正半軸上；
（2）設(shè)，
若是負(fù)實(shí)數(shù)，則，
此時(shí)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在實(shí)軸的負(fù)半軸上；
（3）設(shè)，
若是實(shí)部小于零、虛部大于零的虛數(shù)，
則，此時(shí)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限；
（4）設(shè)，
若是虛部小于零的純虛數(shù)，
則，此時(shí)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在虛軸的負(fù)半軸上.
14．（23-24高一下·甘肅臨夏·期末）在復(fù)平面內(nèi)，A，B，C三點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為1，4＋4i．－2＋4i．
(1)求向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)；
(2)求的面積．
【答案】(1)
(2)12
【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)的向量表示、坐標(biāo)計(jì)算向量的模
【分析】（1）由復(fù)數(shù)的幾何意義求解即可；
（2）計(jì)算向量的模長(zhǎng)，判斷出為等腰三角形，求解其面積即可.
【詳解】（1）對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為．
對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為．
對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為；
（2）因?yàn)?，，，所以AB=AC，
所以為等腰三角形．
所以．
15．（23-24高一下·海南省直轄縣級(jí)單位·階段練習(xí)）復(fù)數(shù)，其中.
(1)若為實(shí)數(shù)，求a的值；
(2)若為純虛數(shù)，求a的值；
(3)若在復(fù)平面內(nèi)表示的點(diǎn)位于第四象限，求a的取值范圍．
【答案】(1)或
(2)
(3)
【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)的分類及辨析、已知復(fù)數(shù)的類型求參數(shù)、在各象限內(nèi)點(diǎn)對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)的特征、根據(jù)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的特點(diǎn)求參數(shù)
【分析】（1）若為實(shí)數(shù)，可知虛部為0，列式求解即可；
（2）若為純虛數(shù)，可知虛部不為0，實(shí)部為0，列式求解即可；
（3）由題意可知虛部小于0，實(shí)部大于0，列式求解即可.
【詳解】（1）若為實(shí)數(shù)，則，解得或．
（2）若為純虛數(shù)，則，解得．
（3）若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，
則，解得．
即a的取值范圍為
16．（23-24高一下·內(nèi)蒙古通遼·期中）已知復(fù)數(shù)，求滿足下列條件的實(shí)數(shù)m的值或取值范圍.
(1)復(fù)數(shù)z與復(fù)數(shù)相等；
(2)復(fù)數(shù)z與復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù)；
(3)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在實(shí)軸上方.
【答案】(1)
(2)
(3)
【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)的相等、共軛復(fù)數(shù)的概念及計(jì)算、根據(jù)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的特點(diǎn)求參數(shù)
【分析】（1）（2）（3）根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件,共軛復(fù)數(shù)，幾何意義求解即可.
【詳解】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件，得，解得.
（2）根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義，得，解得.
（3）由題意，知，解得或，
故實(shí)數(shù)m的取值范圍為.
模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)
模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理（吃透教材）
模塊三核心考點(diǎn)舉一反三
模塊四小試牛刀過(guò)關(guān)測(cè)
1．.理解可以用復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)或以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量來(lái)表示復(fù)數(shù)及它們之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系
2．掌握實(shí)軸、虛軸、模、共軛復(fù)數(shù)等概念
3．掌握用向量的模來(lái)表示復(fù)數(shù)的模的方法

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷更多

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷 更多

相關(guān)試卷更多