一、物體的平均速度與瞬時(shí)速度
1、平均速度
設(shè)物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是，則物體在到這段時(shí)間內(nèi)的平均速度為
2、瞬時(shí)速度
（1）物體在某一時(shí)刻的速度稱為瞬時(shí)速度；
（2）一般地，當(dāng)無限趨近于0時(shí)，無限趨近于某一個(gè)常數(shù)，我們就說當(dāng)趨近于0時(shí)，的極限就是，這時(shí)就是物體在時(shí)的瞬時(shí)速度，
即瞬時(shí)速度
二、拋物線切線的斜率
1、拋物線割線的斜率
設(shè)二次函數(shù)y=f(x)，則拋物線上過點(diǎn)、的割線的斜率為=.
2、拋物線切線的斜率
一般地，在二次函數(shù)y=f(x)中，當(dāng)x無限趨近于0時(shí)，無限趨近于某個(gè)常數(shù)k，我們就說當(dāng)x趨
近于0時(shí)，的極限是k，這時(shí)k就是拋物線在點(diǎn)處切線的斜率，即切線的斜率k==.
三、平均變化率
函數(shù)從到的平均變化率
1、定義式：
2、實(shí)質(zhì)：函數(shù)值的改變量與自變量的改變量之比．
3、意義：刻畫函數(shù)值在區(qū)間上變化的快慢．
4、平均變化率的幾何意義：
設(shè)，是曲線上任意不同的兩點(diǎn)，
函數(shù)的平均變化率為割線AB的斜率，如圖．
5、求平均變化率的步驟：
第一步：先計(jì)算函數(shù)值的改變量；
第二步：再計(jì)算自變量的改變量；
第三步：求平均變化率；
四、函數(shù)在x＝x0處的瞬時(shí)變化率
1、定義：函數(shù)在處瞬時(shí)變化率是，我們稱它為函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù),記作.
2、定義法求導(dǎo)數(shù)步驟：
① 求函數(shù)的增量：；
② 求平均變化率：；
③ 求極限，得導(dǎo)數(shù)：.
3、導(dǎo)數(shù)的幾何意義
如圖,在曲線上任取一點(diǎn),如果當(dāng)點(diǎn)沿著曲線無限趨近于點(diǎn)時(shí),割線無限趨近于一個(gè)確定的位置,這個(gè)確定位置的直線稱為曲線在點(diǎn)處的切線.則割線的斜率
【注意】
函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，是曲線在點(diǎn)(x0，f(x0))處的切線的斜率．
曲線的切線并不一定與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，可以有多個(gè)，甚至可以無窮多．
與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線也不一定是曲線的切線．
五、求曲線“在”與“過”某點(diǎn)的切線
1、求曲線“在”某點(diǎn)處的切線方程步驟
第一步（求斜率）：求出曲線在點(diǎn)處切線的斜率
第二步（寫方程）：用點(diǎn)斜式
第三步（變形式）：將點(diǎn)斜式變成一般式。
2、求曲線“過”某點(diǎn)處的切線方程步驟
第一步：設(shè)切點(diǎn)為；
第二步：求出函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)；
第三步：利用Q在曲線上和，解出及；
第四步：根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程，得切線方程為．
【考點(diǎn)一：平均、瞬時(shí)變化率】
一、單選題
1．（23-24高二下·陜西渭南·期中）某質(zhì)點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)，其位移（單位：）與時(shí)間（單位：）之間的關(guān)系為，則該質(zhì)點(diǎn)在這段時(shí)間內(nèi)的平均速度為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)平均速度的計(jì)算方法，列式計(jì)算，即可得答案.
【詳解】由題意知位移（單位：）與時(shí)間（單位：）之間的關(guān)系為，
則該質(zhì)點(diǎn)在這段時(shí)間內(nèi)的平均速度為（）.
故選：A
2．（24-25高二下·全國·課后作業(yè)）汽車行駛的路程s和時(shí)間t之間的函數(shù)圖象如圖所示，在時(shí)間段，，上的平均速度分別為，，，則三者的大小關(guān)系為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)題意，由平均速度的定義可得汽車在時(shí)間段上的平均速度即為該段直線的斜率，結(jié)合圖像即可得出答案.
【詳解】設(shè)直線，AB，BC的斜率分別為，，，
則，，，
由題中圖象知，即．
故選：B.
3．（22-23高二下·全國·課后作業(yè)）質(zhì)點(diǎn)M按規(guī)律s＝2t2＋3t做直線運(yùn)動(dòng)（位移單位：m，時(shí)間單位：s），則質(zhì)點(diǎn)M在t＝2 s時(shí)的瞬時(shí)速度是（ ）
A．2 m/sB．6 m/s
C．4 m/sD．11 m/s
【答案】D
【分析】本題首先分析題意，運(yùn)用物理知識(shí)，進(jìn)行數(shù)學(xué)結(jié)合.
【詳解】質(zhì)點(diǎn)M在t＝2 s時(shí)位移的平均變化率為＝＝11＋2Δt，
當(dāng)Δt無限趨近于0時(shí)，無限趨近于11 m/s.
故選：D.
4．（23-24高二下·江西萍鄉(xiāng)·期中）已知甲?乙兩個(gè)小區(qū)在這段時(shí)間內(nèi)的家庭廚余垃圾的分出量與時(shí)間的關(guān)系如圖所示．給出下列四個(gè)結(jié)論，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（ ）
①在這段時(shí)間內(nèi)，甲小區(qū)比乙小區(qū)的分出量增長得慢；
②在這段時(shí)間內(nèi)，乙小區(qū)比甲小區(qū)的分出量增長得快；
③在時(shí)刻，甲小區(qū)的分出量比乙小區(qū)的分出量增長得慢；
④乙小區(qū)在時(shí)刻的分出量比時(shí)刻的分出量增長得快．
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】根據(jù)圖象的性質(zhì)，結(jié)合圖象的變化快慢，即可判斷選項(xiàng).
【詳解】①在這段時(shí)間內(nèi)，甲小區(qū)比乙小區(qū)的分出量增長得慢，故①正確；
②在這段時(shí)間內(nèi)，乙小區(qū)比甲小區(qū)的分出量增長得快,故②正確；
③在時(shí)刻，乙的圖象比甲的圖象陡，所以乙的瞬時(shí)增長快，故③正確；
④乙小區(qū)在時(shí)刻比在時(shí)刻陡，所以在時(shí)刻的分出量比時(shí)刻的分出量增長得快，故④正確.
故選：D
5．（23-24高二下·安徽合肥·期末）若質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的位移（單位：）與時(shí)間（單位：）之間的函數(shù)關(guān)系是），那么該質(zhì)點(diǎn)在時(shí)的瞬時(shí)速度和從到這兩秒內(nèi)的平均速度分別為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用瞬時(shí)速度公式即可求得時(shí)的瞬時(shí)速度，利用物體在到這段時(shí)間內(nèi)的平均速度為公式即可求得從到這兩秒內(nèi)的平均速度.
【詳解】，
所以.即該質(zhì)點(diǎn)在時(shí)的瞬時(shí)速度為；
從到這兩秒內(nèi)的平均速度為；
故選：D.
【考點(diǎn)二：導(dǎo)數(shù)的概念】
一、單選題
1．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知函數(shù)，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義可求.
【詳解】由導(dǎo)數(shù)的定義得:
．
故選：D.
2．（23-24高二下·江西萍鄉(xiāng)·期中）設(shè)在R上的導(dǎo)函數(shù)為f'x，若，則（ ）
A．-2B．2C．D．6
【答案】C
【分析】由已知結(jié)合導(dǎo)數(shù)定義即可求解.
【詳解】由于，則.
故選：C.
3．（2024高二下·全國·專題練習(xí)）已知，則的值為（ ）
A．－2aB．2a
C．a(chǎn)D．
【答案】B
【分析】由導(dǎo)數(shù)的定義變形即可求解.
【詳解】.
故選：B．
二、填空題
4．（22-23高二下·湖北·期末）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，，則實(shí)數(shù)t的值為 .
【答案】32/
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的知識(shí)列方程，化簡求得的值.
【詳解】依題意，
即，解得.
故答案為：
5．（2024高二下·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，其中a，b，c為常數(shù)，則函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為 .
【答案】
【分析】利用導(dǎo)數(shù)的定義求出導(dǎo)函數(shù)，從而可求的答案.
【詳解】，
，
當(dāng)時(shí)，瞬時(shí)變化率為，即函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為.
故答案為：.
【考點(diǎn)三：求曲線切線的斜率（傾斜角）】
一、單選題
1．（23-24高二下·貴州·期中）若曲線在處的切線方程為，則（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】D
【分析】運(yùn)用導(dǎo)數(shù)幾何意義得答案.
【詳解】曲線y=fx在處的切線方程為，
則運(yùn)用導(dǎo)數(shù)幾何意義，知道.
故選：D.
2．（23-24高二下·河北承德·階段練習(xí)）曲線在點(diǎn)處的切線的傾斜角為（ ）
A．30°B．45°C．120°D．135°
【答案】D
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求斜率，再求傾斜角.
【詳解】因?yàn)椋瑒t，所以，
所以曲線在點(diǎn)處的切線的傾斜角為.
故選：D．
3．（23-24高二下·浙江·期中）已知函數(shù)在上可導(dǎo)，且滿足，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義和幾何意義就可以求出切線斜率，然后即可得切線方程.
【詳解】由可得：，即，
根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義可知：，
又根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知：在點(diǎn)處的切線斜率，
所以過點(diǎn)處的切線方程為：，即，
故選：A.
4．（23-24高二下·新疆烏魯木齊·期中）函數(shù)的圖象如圖所示，下列數(shù)值排序正確的是（ ）

A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】結(jié)合圖形，利用曲線上兩點(diǎn)所在直線的斜率和過兩點(diǎn)的切線斜率的比較即可得到.
【詳解】

如圖，設(shè)函數(shù)的圖象上有兩點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)的切線分別為,
則直線的斜率依次為，
由圖知直線的傾斜角滿足，，
因函數(shù)在上遞增，故，
即.
故選：B.
5．（23-24高二下·北京·期中）某物流公司為了完成一項(xiàng)運(yùn)輸任務(wù)，提出了四種運(yùn)輸方案，這四種方案均能在規(guī)定時(shí)間T內(nèi)完成預(yù)期的運(yùn)輸任務(wù)，各種方案的運(yùn)輸總量Q與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系如圖所示．在這四種方案中，運(yùn)輸效率（單位時(shí)間內(nèi)的運(yùn)輸量）逐步提高的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合題意可判斷.
【詳解】由運(yùn)輸效率（單位時(shí)間內(nèi)的運(yùn)輸量）逐步提高，即為逐漸變大，
結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得曲線上的點(diǎn)的切線斜率應(yīng)該逐漸增大，
結(jié)合圖象可知，故B正確，
故選：B.
【考點(diǎn)四：導(dǎo)數(shù)的幾何意義】
一、單選題
1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）函數(shù)的圖像如圖所示，下列數(shù)值排序正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義分析可得f'1，和的幾何意義，結(jié)合圖像可得解.
【詳解】由函數(shù)的圖像可知，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
，，.
隨著的增大，曲線在每個(gè)點(diǎn)處的斜率在逐漸減小，即導(dǎo)函數(shù)是單調(diào)遞減的，
.
故選：A.
2．（23-24高二下·安徽合肥·期中）已知函數(shù)的圖象如圖所示，且f'x為的導(dǎo)函數(shù)，則（ ）

A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】分別作出函數(shù)在的切線，進(jìn)而得到的大小關(guān)系.
【詳解】分別作出函數(shù)在的切線，
則
則有.

故選：B
3．（22-23高二下·上海浦東新·階段練習(xí)）定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，如圖是的圖像，下列說法中正確的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根據(jù)斜率關(guān)系得到，可看作過和的割線的斜率，根據(jù)圖像得到答案.
【詳解】圖象可知，在處的切線斜率大于在處的切線斜率，且斜率為正，
故，
，
可看作過和的割線的斜率，
由圖象可知，故，
故選：B．
【考點(diǎn)五：求在曲線上一點(diǎn)和過一點(diǎn)的切線方程】
一、單選題
1．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）曲線在點(diǎn)處的切線斜率為（ ）
A．9B．6C．3D．1
【答案】A
【分析】求出，從而求出，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義計(jì)算可得.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，．
由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，曲線在點(diǎn)處的切線斜率是．
故選：A
2．（24-25高二下·全國·課后作業(yè)）已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線斜率為2，則的值為（ ）
A．1B．2C．3D．
【答案】B
【分析】由題意得，可求出，再將代入函數(shù)解析式中可求出，從而可求得的值.
【詳解】由題意得，
所以，
解得，
又，則，
所以．
故選：B
3．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）設(shè)曲線與軸的交點(diǎn)為，曲線在點(diǎn)處的切線與軸交于點(diǎn)，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】D
【分析】利用導(dǎo)數(shù)的定義求得函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，求得切線方程，可求結(jié)論.
【詳解】易知處切線的斜率為，
則，令，則，故點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．
故選：D.
二、填空題
4．（22-23高二下·全國·課后作業(yè)）若曲線在點(diǎn)處的切線垂直于直線，則點(diǎn)的坐標(biāo)是 ．
【答案】
【分析】利用導(dǎo)數(shù)定義求出，設(shè)，根據(jù)垂直得出切線斜率為，則可得，進(jìn)而求出點(diǎn)坐標(biāo).
【詳解】設(shè)，則
，
因?yàn)辄c(diǎn)處的切線垂直于直線，
所以點(diǎn)處的切線的斜率為，
所以，解得，則，
即點(diǎn)的坐標(biāo)是．
故答案為：
三、解答題
5．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知函數(shù)．
(1)求曲線上任意一點(diǎn)處的切線斜率；
(2)求曲線在點(diǎn)處的切線方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義得出導(dǎo)數(shù)的幾何意義得出切點(diǎn)的斜率；
（2）先求導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值得出斜率再點(diǎn)斜式求出切線方程.
【詳解】（1）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知曲線y=fx上任意一點(diǎn)x0,fx0處的切線斜率為，
則由導(dǎo)數(shù)的定義，可得
．
即曲線y=fx上任意一點(diǎn)x0,fx0處的切線斜率為．
（2）f3=0，由（1）知，曲線y=fx在點(diǎn)處的切線斜率為，
所以切線方程為，即．
6．（23-24高二下·重慶·階段練習(xí)）若函數(shù)，
(1)用定義求；
(2)求其圖象在與軸交點(diǎn)處的切線方程．
【答案】(1)
(2)和
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的定義求出；
（2）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求出切線的斜率，從而可得切線方程.
【詳解】（1）由導(dǎo)數(shù)定義可得，
（2）函數(shù)的圖象與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，
交點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，
∴，
∴在處的切線方程為；
同理，在處的切線方程為．
一、單選題
1．（24-25高二下·全國·課后作業(yè)）設(shè)地鐵在某段時(shí)間內(nèi)進(jìn)行調(diào)試，由始點(diǎn)起經(jīng)過t秒后的距離為（單位：米），則列車運(yùn)行10秒的平均速度為（ ）
A．10米/秒B．8米/秒C．4米/秒D．0米/秒
【答案】A
【分析】根據(jù)平均變化率的定義求解.
【詳解】，則，
即列車運(yùn)行10秒的平均速度為米/秒.
故選：A
2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，若（a為常數(shù)），則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義計(jì)算即可求解.
【詳解】．
故選：A
3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)y=fx的部分圖象如圖所示，其中，，為圖上三個(gè)不同的點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）

A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義判斷斜率大小即可.
【詳解】由圖可知函數(shù)在點(diǎn)處的切線斜率小于0，即；
在點(diǎn)處的切線斜率等于0，即，
在點(diǎn)處的切線斜率大于0，即，
所以.
故選：B.
4．（24-25高三上·北京海淀·期中）大面積綠化可以增加地表的綠植覆蓋，可以調(diào)節(jié)小環(huán)境的氣溫，好的綠化有助于降低氣溫日較差（一天氣溫的最高值與最低值之差）.下圖是甲、乙兩地某一天的氣溫曲線圖.假設(shè)除綠化外，其它可能影響甲、乙兩地溫度的因素均一致，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（ ）
A．由上圖推測(cè)，甲地的綠化好于乙地
B．當(dāng)日時(shí)到時(shí)，甲地氣溫的平均變化率小于乙地氣溫的平均變化率
C．當(dāng)日時(shí)到時(shí)，甲地氣溫的平均變化率小于乙地氣溫的平均變化率
D．當(dāng)日必存在一個(gè)時(shí)刻，甲、乙兩地氣溫的瞬時(shí)變化率相同
【答案】C
【分析】結(jié)合圖中數(shù)據(jù)分析一一判斷各選項(xiàng)即可.
【詳解】對(duì)于A，由圖可知，甲地的氣溫日較差明顯小于乙地氣溫日較差，
所以甲地的綠化好于乙地，故A正確；
對(duì)于B，由圖可知，甲乙兩地的平均變化率為正數(shù)，且乙地的變化趨勢(shì)更大，
所以甲地氣溫的平均變化率小于乙地氣溫的平均變化率，故B正確；
對(duì)于C，由圖可知，甲乙兩地的平均變化率為負(fù)數(shù)，且乙地的變化趨勢(shì)更大，
所以甲地氣溫的平均變化率大于乙地氣溫的平均變化率，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，由圖可知，存在一個(gè)時(shí)刻，使得甲、乙兩地氣溫的瞬時(shí)變化率相同，故D正確.
故選：C.
5．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知，一質(zhì)點(diǎn)做簡諧運(yùn)動(dòng)，其位移，則時(shí)該質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)速度為（ ）
A．0B．1C．D．
【答案】A
【分析】利用導(dǎo)數(shù)的定義求解即可.
【詳解】由題可知時(shí)該質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)速度為
．
故選：A.
二、多選題
6．（23-24高二下·四川廣元·期中）一球沿某一斜面自由滾下，測(cè)得滾下的垂直距離（單位：）與時(shí)間（單位：）之間的函數(shù)關(guān)系為，則下列說法正確的是（ ）
A．前內(nèi)球滾下的垂直距離的增量B．在時(shí)間內(nèi)球滾下的垂直距離的增量
C．前內(nèi)球在垂直方向上的平均速度為D．第時(shí)刻在垂直方向上的瞬時(shí)速度為
【答案】BCD
【分析】利用函數(shù)關(guān)系式計(jì)算可判定A、B，由平均速度、瞬時(shí)速度的求法可判定C、D選項(xiàng).
【詳解】前內(nèi)，，，
此時(shí)球在垂直方向上的平均速度為，A錯(cuò)誤；C正確；
在時(shí)間內(nèi)，，，B正確；
，，則第2s時(shí)刻在垂直方向上的瞬時(shí)速度為，
D正確．
故選：BCD．
7．（23-24高二下·遼寧·階段練習(xí)）午飯時(shí)間；B同學(xué)從教室到食堂的路程與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系如圖，記時(shí)刻的瞬時(shí)速度為，區(qū)間上的平均速度分別為，則下列判斷正確的有（ ）
A．
B．
C．對(duì)于，存在，使得
D．整個(gè)過程小明行走的速度一直在加快
【答案】AC
【分析】可通過題意，分別表示出，，，再根據(jù)選項(xiàng)A，B進(jìn)行比大小，即可確定；選項(xiàng)C可根據(jù)圖像，由線與直線的交點(diǎn)，即可判斷，選項(xiàng)D，可以觀察曲線在各點(diǎn)處的切線方程的斜率，即可判斷．
【詳解】由題意可知；，，，
由圖像可知，，即，因此，，
所以，因此，此時(shí)，故A正確；
由，可化為，故，故B不正確；
由圖像可知，直線與曲線的交點(diǎn)為，，故存在，使得，即當(dāng)時(shí)，，故C正確；
時(shí)刻的瞬時(shí)速度為判斷平均速度的快慢，可以看整個(gè)曲線在各點(diǎn)處的切線方程的斜率，
由圖象可知，當(dāng)時(shí)，切線方程的斜率最大，
故而在此時(shí)，速度最快，故D不正確.
故選：AC.
三、填空題
8．（24-25高三上·上海·期中）函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為 .
【答案】3
【分析】根據(jù)平均變化率的定義，函數(shù)的平均變化率為，分別計(jì)算出的值代入計(jì)算即可.
【詳解】由題意得，函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為，
故答案為：3.
9．（22-23高二下·安徽馬鞍山·期中）設(shè)為可導(dǎo)函數(shù)，且，則曲線在點(diǎn)處的切線斜率為 ．
【答案】/
【詳解】因?yàn)椋?br>所以曲線在點(diǎn)處的切線斜率為.
故答案為：.
10．（22-23高二下·陜西寶雞·期中）設(shè)，則 .
【答案】
【分析】由導(dǎo)數(shù)的定義計(jì)算即可.
【詳解】由，
所以，即.
故答案為：
11．（24-25高三·上?！ふn堂例題）曲線在點(diǎn)處的切線方程是 .
【答案】
【分析】求出函數(shù)在點(diǎn)處的切線斜率，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求得答案.
【詳解】由題意得在處的切線斜率為，
故切線方程是，即，
故答案為：
12．（2024高二下·全國·專題練習(xí)）已知曲線，則曲線過點(diǎn)的切線方程為 .
【答案】或
【分析】由題意首先根據(jù)定義得導(dǎo)函數(shù)，進(jìn)一步求出切點(diǎn)即可得解.
【詳解】點(diǎn)不在曲線上．
設(shè)所求切線的切點(diǎn)為，
則切線的斜率，
故所求的切線方程為，
將及代入上式，得，
解得或，所以切點(diǎn)為或．
從而所求切線方程為或.
故答案為：或.
四、解答題
13．（23-24高二上·江蘇徐州·階段練習(xí)）已知函數(shù)
(1)寫出；
(2)求出；
(3)求出；
(4)寫出，，
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)，，
【分析】（1）代入直接計(jì)算即可；
（2）直接作商即可求解；
（3）直接進(jìn)行簡單極限運(yùn)算；
（4）利用導(dǎo)函數(shù)概念求解導(dǎo)函數(shù)，代入法求解，.
【詳解】（1）
；
（2）；
（3）；
（4）由（2）知，
則，.
14．（23-24高二下·北京·期中）已知直線為曲線在點(diǎn)處的切線，為該曲線的另一條切線，且．
(1)利用導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；
(2)求直線、的方程．
【答案】(1)
(2)：；：
【分析】（1）結(jié)合導(dǎo)數(shù)的定義及極限的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算可得；
（2）結(jié)合（1）求出直線的斜率，即可求出直線的方程，設(shè)的切點(diǎn)為，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義及兩直線垂直斜率之積為，求出，從而得到切點(diǎn)坐標(biāo)，再由點(diǎn)斜式求出切線方程.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>所以；
（2）點(diǎn)滿足曲線，即為直線的切點(diǎn)，
直線的斜率為，
故直線的方程為，即；
又為該曲線的另一條切線，設(shè)該切點(diǎn)為，則，
因?yàn)?，所以，解得，所以?br>即切點(diǎn)為，切線的斜率為，
故的方程為，即．
15．（24-25高三·上海·課堂例題）已知函數(shù)，其中，求：
(1)點(diǎn)處的切線的斜率；
(2)點(diǎn)處的切線方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義即可求得點(diǎn)處的切線的斜率；
（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求得答案.
【詳解】（1）點(diǎn)處的切線的斜率為
，
即點(diǎn)處的切線的斜率是；
（2）結(jié)合（1）可得切線方程為，即.
16．（24-25高三·上?！ふn堂例題）如果曲線的一條切線與直線平行，求曲線與此切線相切的切點(diǎn)坐標(biāo).
【答案】或
【分析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可列方程，即可求得答案.
【詳解】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則，
曲線在點(diǎn)P的切線與直線平行，
則切線斜率為
，
則；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
所以切點(diǎn)坐標(biāo)為或.
模塊一 思維導(dǎo)圖串知識(shí)
模塊二 基礎(chǔ)知識(shí)全梳理（吃透教材）
模塊三 核心考點(diǎn)舉一反三
模塊四 小試牛刀過關(guān)測(cè)
1.通過對(duì)實(shí)例的分析，經(jīng)歷由平均變化率過渡到瞬時(shí)變化率的過程，了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景.
2理解函數(shù)的平均變化率、瞬時(shí)變化率，會(huì)求函數(shù)在某一點(diǎn)附近的平均變化率.
3.理解導(dǎo)數(shù)的概念，會(huì)利用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù).
4.理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會(huì)求曲線上某點(diǎn)處的切線方程.

相關(guān)試卷

第08講 導(dǎo)數(shù)中構(gòu)造函數(shù)的應(yīng)用-【寒假提升課】2025年高二數(shù)學(xué)寒假提升試題（人教A版2019）：

這是一份第08講 導(dǎo)數(shù)中構(gòu)造函數(shù)的應(yīng)用-【寒假提升課】2025年高二數(shù)學(xué)寒假提升試題（人教A版2019），文件包含第08講導(dǎo)數(shù)中構(gòu)造函數(shù)的應(yīng)用思維導(dǎo)圖+3知識(shí)點(diǎn)+四大考點(diǎn)+過關(guān)檢測(cè)原卷版docx、第08講導(dǎo)數(shù)中構(gòu)造函數(shù)的應(yīng)用思維導(dǎo)圖+3知識(shí)點(diǎn)+四大考點(diǎn)+過關(guān)檢測(cè)解析版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共40頁， 歡迎下載使用。

第05講 函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)-【寒假提升課】2025年高二數(shù)學(xué)寒假提升試題（人教A版2019）：

這是一份第05講 函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)-【寒假提升課】2025年高二數(shù)學(xué)寒假提升試題（人教A版2019），文件包含第05講函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)思維導(dǎo)圖+2知識(shí)點(diǎn)+五大考點(diǎn)+過關(guān)檢測(cè)原卷版docx、第05講函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)思維導(dǎo)圖+2知識(shí)點(diǎn)+五大考點(diǎn)+過關(guān)檢測(cè)解析版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共45頁， 歡迎下載使用。

第04講 函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)-【寒假提升課】2025年高二數(shù)學(xué)寒假提升試題（人教A版2019）：

這是一份第04講 函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)-【寒假提升課】2025年高二數(shù)學(xué)寒假提升試題（人教A版2019），文件包含第04講函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)思維導(dǎo)圖+2知識(shí)點(diǎn)+四大考點(diǎn)+過關(guān)檢測(cè)原卷版docx、第04講函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)思維導(dǎo)圖+2知識(shí)點(diǎn)+四大考點(diǎn)+過關(guān)檢測(cè)解析版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共37頁， 歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

第03講 導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性-【寒假提升課】2025年高二數(shù)學(xué)寒假提升試題（人教A版2019）

第03講 導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性-【寒假提升課】2025年高二數(shù)學(xué)寒假提升試題（人教A版2019）
第02講 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算-【寒假提升課】2025年高二數(shù)學(xué)寒假提升試題（人教A版2019）

第02講 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算-【寒假提升課】2025年高二數(shù)學(xué)寒假提升試題（人教A版2019）
第01講 平面向量的概念-【寒假提升課】2025年高一數(shù)學(xué)寒假提升試題（人教A版2019）

第01講 平面向量的概念-【寒假提升課】2025年高一數(shù)學(xué)寒假提升試題（人教A版2019）
【寒假作業(yè)】人教A版2019 高中數(shù)學(xué) 高二寒假提升訓(xùn)練專題01 導(dǎo)數(shù)的概念及其意義 （九大題型）-練習(xí)

【寒假作業(yè)】人教A版2019 高中數(shù)學(xué) 高二寒假提升訓(xùn)練專題01 導(dǎo)數(shù)的概念及其意義 （九大題型）-練習(xí)
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
寒假專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部