知識點(diǎn) 1 余弦定理
（1）余弦定理的描述
①文字語言：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍.
②符號語言：在中，內(nèi)角，所對的邊分別是,則：
；
（2）余弦定理的推論
；
；
知識點(diǎn)2 解三角形
（1）解三角形
一般地,三角形的三個角和它們的對邊叫做三角形的元素.已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形.
（2）余弦定理在解三角形中的應(yīng)用
①已知三角形的三邊解三角形
連續(xù)用余弦定理求出兩角；由三角形內(nèi)角和定理求出第三個角.
②已知兩邊和它們的夾角解三角形
用余弦定理求出第三邊；用余弦定理求出第二個角；由三角形內(nèi)角和定理求出第三個角.
③已知兩邊及其中一邊的對角解三角形
例如已知及角,可以根據(jù)余弦定理列出以邊為未知數(shù)的一元二次方程,根據(jù)解一元二次方程的方法,求邊,然后應(yīng)用余弦定理和三角形內(nèi)角和定理,求出其他兩個角.
考點(diǎn)一：已知三邊解三角形
例1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）在中，已知，，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知識點(diǎn)】余弦定理解三角形
【分析】根據(jù)余弦定理，即可求解.
【詳解】在中，已知，，，由余弦定理，得.
故選：A．
【變式1-1】（24-25高一下·全國·課后作業(yè)）在，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，則（ ）
A．B．C．D．1
【答案】C
【知識點(diǎn)】余弦定理解三角形
【分析】根據(jù)余弦定理直接求解即可.
【詳解】由余弦定理得．
故選：C．
【變式1-2】（23-24高一下·天津·期中）在中，角，，所對的邊分別為，，．若，，，則角（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知識點(diǎn)】余弦定理解三角形
【分析】根據(jù)余弦定理即可求解.
【詳解】由余弦定理可得,
，即，
故選：D
【變式1-3】（23-24高一下·天津河北·期中）在中，角所對的邊分別為，已知，，，則等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知識點(diǎn)】余弦定理解三角形
【分析】利用余弦定理可得，可求.
【詳解】在中，，，，
由余弦定理可得，
因?yàn)?，所?
故選：D.
考點(diǎn)二：已知兩邊及一角解三角形
例2.（2024·河南·二模）分別是的內(nèi)角的對邊，若，則（ ）
A．B．C．3D．6
【答案】B
【知識點(diǎn)】余弦定理解三角形
【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合余弦定理，即可求解．
【詳解】由以及余弦定理，得，解得（負(fù)值舍去）．
故選：B．
【變式2-1】（23-24高二下·云南·期末）的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c．若，，，則（ ）
A．B．C．4D．3
【答案】D
【知識點(diǎn)】余弦定理解三角形
【分析】利用余弦定理求解即可.
【詳解】由，得，
解得.
故選：D.
【變式2-2】（24-25高二上·云南昭通·期中）在中，已知，，三邊分別對應(yīng)，，三角，，，，則（ ）
A．3B．C．D．
【答案】B
【知識點(diǎn)】余弦定理解三角形
【分析】已知邊角邊，可由余弦定理求第三邊即可.
【詳解】由余弦定理可得，
，
故選:B.
【變式2-3】（23-24高一下·江蘇南京·期中）在中，角、、所對的邊分別為、、，若，，，則 .
【答案】
【知識點(diǎn)】余弦定理解三角形
【分析】由余弦定理可得答案.
【詳解】，
，
故答案為：
考點(diǎn)三：判斷三角形形狀
例3.（24-25高二上·吉林·開學(xué)考試）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則的形狀是（ ）
A．鈍角三角形B．直角三角形
C．銳角三角形D．等邊三角形
【答案】A
【知識點(diǎn)】余弦定理解三角形、正、余弦定理判定三角形形狀
【分析】利用余弦定理可以判斷出B為鈍角，則的形狀為鈍角三角形.
【詳解】由，可得，即
則，又B?0,?，則
則的形狀為鈍角三角形
故選：A
【變式3-1】（23-24高一下·湖北·期中）已知的三邊長分別為4，6，8，則這個三角形為（ ）
A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．等腰三角形
【答案】C
【知識點(diǎn)】正、余弦定理判定三角形形狀
【分析】設(shè)邊長為8的邊對應(yīng)的角為，利用余弦定理可判斷.
【詳解】設(shè)邊長為8的邊對應(yīng)的角為，
由余弦定理可得，
所以為鈍角，因此，三角形為鈍角三角形，
故選：C.
【變式3-2】（23-24高一下·北京·期末）在中， 則的形狀是（ ）
A．直角三角形B．等腰直角三角形
C．等邊三角形D．鈍角三角形
【答案】C
【知識點(diǎn)】正、余弦定理判定三角形形狀
【分析】根據(jù)給定條件，求出，再利用余弦定理推理判斷即得.
【詳解】在中，，則，
由余弦定理得，即，而，
于是，即，
所以是等邊三角形.
故選：C
【變式3-3】（23-24高一下·北京懷柔·期末）已知在中，，則判斷的形狀（ ）
A．銳角三角形B．鈍角三角形
C．直角三角形D．等腰三角形或直角三角形
【答案】C
【知識點(diǎn)】正、余弦定理判定三角形形狀
【分析】利用余弦定理可得答案.
【詳解】由余弦定理得，
所以，
可得，所以是直角三角形.
故選：C.
考點(diǎn)四：求三角形中周長（邊長）
例4.（24-25高三上·海南·階段練習(xí)）已知向量，，函數(shù)，將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度可得到的圖象.
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)設(shè)銳角的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，若，且，求周長的最大值.
【答案】(1)
(2)12
【知識點(diǎn)】輔助角公式、基本（均值）不等式的應(yīng)用、求圖象變化前（后）的解析式、余弦定理解三角形
【分析】（1）利用平面向量數(shù)量積的計(jì)算公式，結(jié)合輔助角公式，求出的解析式，再根據(jù)圖象的平移，可求的解析式.
（2）由和為銳角三角形，求出角，再利用余弦定理結(jié)合基本（均值）不等式，可求周長的最大值.
【詳解】（1）因?yàn)?
所以.
（2）由，
所以或，所以或，
又因?yàn)闉殇J角三角形，所以.
由余弦定理：.
又，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時取“”），
此時，的周長取得最大值，為.
【變式4-1】（24-25高三上·天津·期中）在中，，是邊中點(diǎn)，線段長為，，是邊上一點(diǎn)，是的角平分線，則的長為（ ）
A．B．C．2D．
【答案】B
【知識點(diǎn)】余弦定理解三角形
【分析】利用向量性質(zhì)得，平方后求得，再由余弦定理求得，由角平分線定理求得，然后由余弦定理求得后在中計(jì)算出．
【詳解】是邊中點(diǎn)，則，
所以，
即，解得，
，
是的平分線，則，，
，
在中，，
故選：B．
【變式4-2】（24-25高二上·云南昆明·期中）已知銳角的內(nèi)角所對的邊分別為，滿足.
(1)求角；
(2)若，，求的周長.
【答案】(1);
(2).
【知識點(diǎn)】余弦定理解三角形、用定義求向量的數(shù)量積
【分析】（1）由余弦定理即可求解；
（2）由平面向量的數(shù)量積運(yùn)算可得，根據(jù)余弦定理求出，從而可求，繼而可得的周長.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>所以由余弦定理可得.
因?yàn)槭卿J角三角形，所以，
所以，即，
所以.
（2）因?yàn)?，所以?br>所以.
因?yàn)?，?br>由余弦定理可得，
所以,
所以，
所以，
所以的周長為.
【變式4-3】（2024·河南·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，在中，角所對的邊分別為，且.
(1)求；
(2)若，求的值.
【答案】(1)；
(2).
【知識點(diǎn)】余弦定理解三角形、余弦定理邊角互化的應(yīng)用
【分析】（1）根據(jù)題干條件將函數(shù)解析式通過二倍角公式和輔助角公式化簡，再代入求得的值；
（2）由（1）中求得的和條件利用余弦定理建立關(guān)系式即可求得的值.
【詳解】（1）由題意得，因?yàn)椋?br>所以由，得.
又因?yàn)?，所以?br>所以，.
（2）由（1）得，.所以由余弦定理可得，，
又因?yàn)?，所以?br>所以，即，
即，故.
把代入，可得，
所以.
一、單選題
1．（24-25高三上·浙江·階段練習(xí)）在中，角的對邊分別為.已知，則（ ）
A．1B．2C．1或2D．或
【答案】C
【知識點(diǎn)】余弦定理解三角形
【分析】根據(jù)余弦定理即可求解.
【詳解】由余弦定理可得,即，
解得或，
故選：C
2．（23-24高一下·四川涼山·期末）在中，，，，則邊（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知識點(diǎn)】余弦定理解三角形
【分析】根據(jù)余弦定理可求的值.
【詳解】由余弦定理可得，故
故選：C.
3．（23-24高一下·山東聊城·期中）長度分別為2，3，4的線段構(gòu)成圖形的形狀為（ ）
A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．不構(gòu)成三角形
【答案】C
【知識點(diǎn)】余弦定理解三角形
【分析】求出該三角形最大角的余弦值，根據(jù)余弦值的正負(fù)得到答案
【詳解】設(shè)，設(shè)其所對應(yīng)的三個角分別為，
根據(jù)大邊對大角的結(jié)論知該三角形的最大角為，
由余弦定理得，
故為鈍角，三角形形狀為鈍角三角形.
故選：C
4．（23-24高一下·黑龍江綏化·期中）已知的內(nèi)角所對的邊分別為，，，若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知識點(diǎn)】余弦定理解三角形
【分析】根據(jù)余弦定理和特殊角的三角函數(shù)值解出答案；
【詳解】因?yàn)?，余弦定理可?br>，
解得.
故選：C.
5．（23-24高一下·北京·期中）在中，角的對邊分別為，若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知識點(diǎn)】余弦定理解三角形
【分析】直接由余弦定理即可求解.
【詳解】由題意，而，所以.
故選：C.
6．（23-24高一下·吉林·期末）已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，，則（ ）
A．2B．3C．4D．2或4
【答案】A
【知識點(diǎn)】余弦定理解三角形
【分析】根據(jù)余弦定理即可求出.
【詳解】根據(jù)余弦定理得，
即，解得（舍去）或2，
故選：A.
7．（24-25高三上·廣東深圳·階段練習(xí)）克羅狄斯托勒密（約90-168年）是希臘著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家和地理學(xué)家．托勒密定理是歐幾里得幾何中的重要定理，定理內(nèi)容如下：任意一凸四邊形，兩組對邊乘積的和不小于兩對角線的乘積，當(dāng)且僅當(dāng)四點(diǎn)共圓時，等號成立．已知在凸四邊形中，，，，，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知識點(diǎn)】余弦定理解三角形
【分析】記，利用余弦定理表示出，然后根據(jù)題中結(jié)論可得.
【詳解】設(shè)，則，
在中，由余弦定理得，
由題知，，即，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)四點(diǎn)共圓時取等號，
所以的最大值為.
故選：D

8．（24-25高三上·貴州畢節(jié)·期中）在中，，，且，則的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知識點(diǎn)】數(shù)量積的運(yùn)算律、余弦定理解三角形
【分析】根據(jù)已知條件判斷出，根據(jù)向量數(shù)量積運(yùn)算求得正確答案.
【詳解】依題意，，
，所以,
,
所以
.
故選：C
二、多選題
9．（24-25高三上·云南昆明·階段練習(xí)）已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，.若三角形有兩解，則邊c的取值可以是（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】BC
【知識點(diǎn)】余弦定理邊角互化的應(yīng)用、余弦定理解三角形
【分析】由余弦定理以及方程有兩個正根，，從而列出關(guān)于的不等式即可求解.
【詳解】由余弦定理得，即.
因?yàn)槿切斡袃山猓?所以方程有兩個正根，，
由，，得，
故選：BC.
10．（23-24高一下·廣西河池·期中）為三角形三邊，滿足，則三角形的形狀可為（ ）
A．直角三角形B．銳角三角形
C．鈍角三角形D．等腰三角形
【答案】AD
【知識點(diǎn)】余弦定理解三角形
【分析】依題意可得，即可判斷.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
則或，
所以三角形為等腰三角形或直角三角形.
故選：AD
三、填空題
11．（24-25高三上·廣東深圳·階段練習(xí)）的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知，，，則 ．
【答案】
【知識點(diǎn)】余弦定理解三角形
【分析】由余弦定理求解即可；
【詳解】由余弦定理可得，
解得，
所以，
故答案為：.
12．（24-25高三上·北京·期中）在中，．則的值是 ；的最大值是 ．
【答案】 /
【知識點(diǎn)】輔助角公式、余弦定理解三角形、求含sinx(型)函數(shù)的值域和最值
【分析】利用余弦定理求得，從而求得；利用三角恒等變換的知識求得的最大值.
【詳解】由，得，
所以為銳角，且.
，
，，所以當(dāng)，即時，
取得最大值為.
故答案為：；
四、解答題
13．（24-25高三上·陜西渭南·期中）記的三個內(nèi)角的對邊分別為，且.
(1)求角的大??；
(2)若，求證：為直角三角形.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【知識點(diǎn)】二倍角的余弦公式、余弦定理解三角形
【分析】（1）利用二倍角的余弦公式可求得，進(jìn)而可求；
（2）結(jié)合（1）與余弦定理可求得，進(jìn)而計(jì)算可得，可得結(jié)論.
【詳解】（1）由，可得，解得，
因?yàn)?，所?
（2）由（1）可知，，
又，
在中，由余弦定理可得，
解得，所以，由勾股定理的逆定理可得，
所以為直角三角形.
14．（2024高三·全國·專題練習(xí)）記的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，已知，求.
【答案】
【知識點(diǎn)】余弦定理解三角形、余弦定理邊角互化的應(yīng)用
【分析】根據(jù)給定條件，利用余弦定理角化邊，再利用余弦定理求出.
【詳解】在中，由及余弦定理
得，化簡得，
由余弦定理得，而，
所以.
15．（24-25高一下·全國·課堂例題）（1）一個三角形的兩邊長分別為5和3，它們夾角的余弦值是，求三角形的另一邊的長；
（2）在中，已知，，，解這個三角形．
【答案】（1）；（2）答案見解析
【知識點(diǎn)】余弦定理解三角形
【分析】（1）由余弦定理即可求解，
（2）根據(jù)余弦定理可得或，即可根據(jù)等腰或者直角三角形的性質(zhì)求解.
【詳解】（1）設(shè)，，，
由余弦定理得，，
解得，
所以三角形的另一邊長是．
（2）由余弦定理，
得，
即，
解得或．
當(dāng)時，，；
當(dāng)時，，所以該三角形為直角三角形，
且，．
16．（23-24高一下·江蘇南通·期末）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，．
(1)求B；
(2)若，求．
【答案】(1)
(2)
【知識點(diǎn)】已知三角函數(shù)值求角、已知正（余）弦求余（正）弦、已知弦（切）求切（弦）、余弦定理解三角形
【分析】（1）根據(jù)余弦定理得到，得到；
（2）設(shè)，代入，求出，再由余弦定理得到，進(jìn)而得到正弦和正切.
【詳解】（1），
故，
因?yàn)锽?0,?，所以；
（2）設(shè)，代入中，
，故，解得，
由余弦定理得，
則，
故.
17．（23-24高二下·云南大理·階段練習(xí)） 已知的三個內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，若.
(1)求角的大??；
(2)若，求，，.
【答案】(1)
(2)
【知識點(diǎn)】余弦定理解三角形
【分析】（1）利用余弦定理計(jì)算可得；
（2）利用余弦定理求出，再結(jié)合求出，，即可得解.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>所以，
即，
所以，
又，所以.
（2）在中，由余弦定理有，
又，
即，
所以，聯(lián)立，即，
所以，則，
所以.
模塊一 思維導(dǎo)圖串知識
模塊二 基礎(chǔ)知識全梳理（吃透教材）
模塊三 核心考點(diǎn)舉一反三
模塊四 小試牛刀過關(guān)測
1．弄懂余弦定理的形式與證明方法，提升公式變形技巧，靈活掌握余弦定理
2．在熟練學(xué)習(xí)基礎(chǔ)知識的基礎(chǔ)上，會運(yùn)用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題，并能夠靈活應(yīng)用

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