知識點(diǎn) 1 向量的加法
（1）向量加法的定義
求兩個向量和的運(yùn)算,叫做向量的加法.兩個向量的和仍然是一個向量.對于零向量與任意向量，我們規(guī)定.
（2）向量加法的三角形法則(首尾相接，首尾連）
已知非零向量,,在平面內(nèi)任取一點(diǎn),作,,則向量叫做與的和,記作,即.這種求向量和的方法,稱為向量加法的三角形法則.
（3）向量加法的平行四邊形法則（作平移,共起點(diǎn),四邊形,對角線）
已知兩個不共線向量,,作,,以,為鄰邊作,則以為起點(diǎn)的向量(是的對角線)就是向量與的和.這種作兩個向量和的方法叫做向量加法的平行四邊形法則.
知識點(diǎn)2 向量的減法
（1）相反向量
與向量長度相等,方向相反的向量,叫做的相反向量，記作.
①零向量的相反向量仍是零向量
②任意向量與其相反向量的和是零向量，即:
③若,互為相反向量,則，，.
（2）向量減法定義
向量加上的相反向量，叫做與的差，即.
求兩個向量差的運(yùn)算叫做向量的減法.
向量減法的實(shí)質(zhì)是向量加法的逆運(yùn)算.利用相反向量的定義,可以把向量的減法轉(zhuǎn)化為向量的加法進(jìn)行運(yùn)算.
（3）向量減法的幾何意義
已知向量,,在平面內(nèi)任取一點(diǎn),作,,則向量.如圖所示
如果把兩個向量,的起點(diǎn)放在一起,則可以表示為從向量的終點(diǎn)指向向量的終點(diǎn)的向量.
知識點(diǎn)3 向量三角不等式
①已知非零向量，，則（當(dāng)與反向共線時左邊等號成立；當(dāng)與同向共線時右邊等號成立）；
②已知非零向量，，則（當(dāng)與同向共線時左邊等號成立；當(dāng)與反向共線時右邊等號成立）；
記憶方式：（“符異”反向共線等號成立；“符同”同向共線等號成立）如中，中間連接號一負(fù)一正“符異”，故反向共線時等號成立；右如：中中間鏈接號都是正號“符同”，故同向共線時等號成立；
知識點(diǎn)4 向量的數(shù)乘
（1）向量數(shù)乘的定義
一般地,我們規(guī)定實(shí)數(shù)與向量的積是一個向量,這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘,記作.它的長度與方向規(guī)定如下：
①
②當(dāng)時，的方向與的方向相同；當(dāng)時，的方向與的方向相反；當(dāng)時，.
（2）向量數(shù)乘的幾何意義
對于：①從代數(shù)角度看，是實(shí)數(shù)，是向量，它們的積仍然是向量．的條件是或．②從幾何的角度看，對于長度來說，當(dāng)時，意味著表示向量的有向線段在原方向或相反方向上伸長了倍；當(dāng)時，意味著表示向量的有向線段在原方向或反方向上縮短了倍．
實(shí)數(shù)與向量可以求積，但不能進(jìn)行加減運(yùn)算，如，都無意義．
（3）向量數(shù)乘的運(yùn)算律
實(shí)數(shù)與向量的積滿足下面的運(yùn)算律：設(shè)、是實(shí)數(shù)，、是向量，則：
①結(jié)合律：
②第一分配律：
③第二分配律：
知識點(diǎn)5 向量的線性運(yùn)算
向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算.向量線性運(yùn)算的結(jié)果仍是向量.
對于任意向量,,以及任意實(shí)數(shù),,,恒有.
知識點(diǎn)6向量共線定理
（1）內(nèi)容：向量與非零向量共線，則存在唯一一個實(shí)數(shù)，.
（2）向量共線定理的注意問題：
①定理的運(yùn)用過程中要特別注意．
特別地，若，實(shí)數(shù)仍存在，但不唯一．
②定理的實(shí)質(zhì)是向量相等，應(yīng)從大小和方向兩個方面理解，借助于實(shí)數(shù)溝通了兩個向量與的關(guān)系．
③定理為解決三點(diǎn)共線和兩直線平行問題提供了一種方法．要證三點(diǎn)共線或兩直線平行，任取兩點(diǎn)確定兩個向量，看能否找到唯一的實(shí)數(shù)使向量相等即可．
知識點(diǎn)7向量的夾角
(1)定義：已知兩個非零向量,,是平面上的任意一點(diǎn),作,,則叫做向量與的夾角.
(2)向量的夾角范圍.
(3)特殊情況：
①，與同向；
②，與垂直，記作；
③，與反向.
知識點(diǎn)8平面向量數(shù)量積的概念
（1）平面向量數(shù)量積的定義
已知兩個非零向量與,它們的夾角為,我們把數(shù)量叫做向量與的數(shù)量積(或內(nèi)積).
記作：，即.
規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0
特別提醒:
（1）“·”是數(shù)量積的運(yùn)算符號,既不能省略不寫,也不能寫成“×”；
(2)數(shù)量積的結(jié)果為數(shù)量,不再是向量；
(3)向量數(shù)量積的正負(fù)由兩個向量的夾角決定:當(dāng)是銳角時,數(shù)量積為正；當(dāng)是鈍角時,數(shù)量積為負(fù)；當(dāng)是直角時,數(shù)量積等于零.
（2）投影
如圖,設(shè),是兩個非零向量,,,作如下變換:過的起點(diǎn)和終點(diǎn),分別作所在直線的垂線,垂足分別為,,得到,我們稱上述變換為向量向向量投影,叫做向量在向量上的投影向量.
特別提醒:
①為向量在上的投影的數(shù)量；
②為向量在上的投影的數(shù)量；
③投影的數(shù)量（）是一個值，不是向量.
考點(diǎn)一：在圖形中求向量加、減法
例1．（23-24高一下·遼寧撫順·開學(xué)考試）如圖，在中，若D是邊的中點(diǎn)，E 是所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則= .

【變式1-1】（2024高二上·黑龍江佳木斯·學(xué)業(yè)考試）如圖，四邊形是正方形，則（ ）
A．B．C．D．
【變式1-2】（24-25高一下·全國·課前預(yù)習(xí)）如圖，在四邊形中，記，試用向量，，表示向量與.

【變式1-3】（24-25高一上·上?！ふn堂例題）在矩形中，，為等腰直角三角形，F(xiàn)為的中點(diǎn)，，，以、為基，試表示向量、、及．

考點(diǎn)二：利用向量加減法化簡表達(dá)式
例2.（湖南省長郡十八校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期12月檢測數(shù)學(xué)試卷（A卷））下列表達(dá)式化簡結(jié)果與相等的是（ ）
A．B．
C．D．
【變式2-1】（2024高三·全國·專題練習(xí)）化簡：（ ）
A．B．C．D．
【變式2-2】（23-24高二下·云南·期末）（ ）
A．B．C．D．
【變式2-3】（24-25高二上·廣東湛江·階段練習(xí)）化簡所得的向量是（ ）
A．B．C．D．
考點(diǎn)三：在幾何圖形中用已知向量表示未知向量
例3.（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在中，已知，，，，則用向量，表示 ．

【變式3-1】（23-24高一下·北京東城·期中）如圖，在正方形中，是邊的中點(diǎn)，設(shè)，則（ ）
A．B．C．D．
【變式3-2】（24-25高三上·天津·階段練習(xí)）在中，點(diǎn)滿足，若，，用表示向量，= ．

【變式3-3】（24-25高一下·全國·課后作業(yè)）如圖，的對角線和交于點(diǎn)，，，試用基表示，，．
考點(diǎn)四：平面向量混合運(yùn)算化簡
例4．（23-24高一下·遼寧撫順·階段練習(xí)）化簡下列各式：
(1)．
(2)；
(3)．
【變式4-1】（23-24高一下·天津·階段練習(xí)）向量，化簡后等于（ ）
A．B．C．D．
【變式4-2】（24-25高一上·上?！るS堂練習(xí)）化簡下列向量：
（1） ；
（2） .
【變式4-3】（22-23高一下·廣東汕頭·階段練習(xí)）化簡下列各式：
(1)．
(2)；
考點(diǎn)五：根據(jù)平行向量求參數(shù)
例5.（24-25高三上·浙江·期中）已知，是不共線的單位向量，若，，且，則（ ）
A．B．C．D．
【變式5-1】（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知向量，是兩個不共線的向量，與共線，則（ ）
A．2B．C．D．
【變式5-2】（2025高三·全國·專題練習(xí)）已知、不共線，向量，，且，則 .
考點(diǎn)六：三點(diǎn)共線問題
例6.（23-24高一下·海南省直轄縣級單位·階段練習(xí)）是平面內(nèi)不共線兩向量，已知，，，若A，B，D三點(diǎn)共線，則k的值是（ ）．
A．3B．C．D．2
【變式6-1】（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知非零向量，不共線，若，，，且A，C，D三點(diǎn)共線，則 ．
【變式6-2】（24-25高一下·全國·課后作業(yè)）已知向量不共線，且．若三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù) ．
考點(diǎn)七：向量共線定理及其推論
例7.（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，N為線段AC上靠近A點(diǎn)的三等分點(diǎn)，若，則 ．
【變式7-1】（23-24高一下·北京·期中）在中，，是直線上的一點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A．B．C．D．
【變式7-2】（24-25高三上·山東青島·期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，E為CD的中點(diǎn)，P為線段AE上一點(diǎn)，且滿足，則 .
【變式7-3】（23-24高一下·江蘇蘇州·階段練習(xí)）點(diǎn)是所在平面上一點(diǎn)，若，則與的面積之比是 ．
考點(diǎn)八：平面向量數(shù)量積幾何意義
例8.（24-25高三上·湖南·期中）已知為邊長為4的正六邊形ABCDEF內(nèi)部及其邊界上的一點(diǎn)，則的取值范圍是 .
【變式8-1】（2024·江蘇南京·二模）分別是等邊的邊的中點(diǎn)，，點(diǎn)在線段上的移動(含端點(diǎn))，則一定不可能是（ ）
A．B．2C．D．
【變式8-2】（23-24高一下·陜西榆林·期末）已知邊長為2的正方形中，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，則（ ）
A．1B．2C．3D．4
【變式8-3】（23-24高一下·安徽安慶·階段練習(xí)）已知兩點(diǎn)在圓上運(yùn)動，且，則的值（ ）
A．B．1C．D．與點(diǎn)的具體位置有關(guān)
考點(diǎn)九：用定義法求向量數(shù)量積
例9.（24-25高三上·北京房山·期中）已知向量在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若網(wǎng)格中每個小正方形的邊長均為1，則（ ）
A．B．C．D．
【變式9-1】（24-25高二上·安徽宿州·期中）已知是圓O：的直徑，M，N是圓O上兩點(diǎn)，且，則的最小值為（ ）
A．B．-8C．D．-4
【變式9-2】（24-25高三上·湖南·階段練習(xí)）已知為單位圓的內(nèi)接正三角形，則（ ）
A．B．C．1D．
【變式9-3】（24-25高三上·上?！て谥校┮阎蛄亢偷膴A角為，且，，則 .
考點(diǎn)十：向量模
例10.（24-25高三上·甘肅白銀·期中）已知向量，的夾角為，，，則（ ）
A．2B．C．D．5
【變式10-1】（24-25高三上·上海·期中）已知向量，的夾角為，且，，則 .
【變式10-2】（2024·四川德陽·模擬預(yù)測）已知向量，的模分別為2，1，且，則 .
【變式10-3】（24-25高二上·湖南·期中）已知向量與的夾角為，，，則 ，
考點(diǎn)十一：向量夾角
例11.（24-25高三上·上海黃浦·期中）若向量，滿足，且，，則向量與夾角為 .
【變式11-1】（2024高三·全國·專題練習(xí)）若，則向量與的夾角為（ ）
A．B．C．D．
【變式11-2】（2024高三·全國·專題練習(xí)）向量，滿足，，，則向量，的夾角是（ ）
A．B．C．D．
【變式11-3】（24-25高二上·河南漯河·階段練習(xí)）已知.若，則（ ）
A．B．C．D．
考點(diǎn)十二：向量垂直關(guān)系
例12.（24-25高二上·云南昭通·期中）已知，，.
(1)求的值；
(2)當(dāng)為何值時，與垂直？
【變式12-1】（2024·廣東河源·模擬預(yù)測）已知，為單位向量，，，若，則與的夾角為（ ）
A．B．C．D．
【變式12-2】（24-25高三上·陜西·期中）已知平面向量滿足，且，則（ ）
A．5B．4C．3D．2
【變式12-3】（24-25高三上·河北保定·階段練習(xí)）已知向量，滿足，，且，則（ ）
A．B．C．1D．2
考點(diǎn)十三：向量投影
例13.（2024·貴州六盤水·模擬預(yù)測）若是兩個相互垂直的單位向量，，則在上的投影向量為（ ）
A．B．
C．D．
【變式13-1】（24-25高三上·海南·階段練習(xí)）已知向量與的夾角為，，設(shè)在上的投影向量為，則（ ）
A．B．C．D．
【變式13-2】（24-25高三上·黑龍江綏化·期中）已知，，與的夾角為，則向量在方向上的投影向量為（ ）
A．4B．C．D．
【變式13-3】（2024·福建·三模）已知，是兩個非零平面向量，，則在方向上的投影向量為（ ）
A．B．C．D．
一、單選題
1．（2024年安徽省普通高中學(xué)業(yè)水平合格性考試數(shù)學(xué)試卷）如圖，在中，，則等于（ ）

A．B．C．D．
2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）在四邊形中，，，，若，不共線，則四邊形為（ ）
A．平行四邊形B．矩形C．梯形D．菱形
3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知，，，則共線的三點(diǎn)為（ ）
A．B，C，DB．A，B，CC．A，C，DD．A，B，D
4．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知，是平面內(nèi)兩個不共線向量，，，A，B，C三點(diǎn)共線，則m＝（ ）
A．B．C．D．6
5．（24-25高三上·重慶·階段練習(xí)）已知平面向量 滿足，則（ ）
A．1B．2C．32D．2
6．（24-25高三上·黑龍江·階段練習(xí)）已知向量，滿足， ，，則（ ）
A．B．C．0D．1
7．（24-25高三上·北京西城·期中）已知邊長為2的正方形中，與交于點(diǎn)，則（ ）
A．2B．C．1D．
8．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知和為非零向量，且，則與的夾角為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
9．（24-25高三上·江西·期中）已知點(diǎn)P是的中線BD上一點(diǎn)（不包含端點(diǎn)），且，則下列說法正確的是（ ）
A．B．的最大值為
C．的最小值為15D．的最小值是9
10．（24-25高二上·河南許昌·開學(xué)考試）在中，下列說法正確的是（ ）
A．與共線的單位向量為
B．
C．若，則為鈍角三角形
D．若是等邊三角形，則，的夾角為
三、填空題
11．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，，E為邊BC的中點(diǎn)，若，則 ．
12．（24-25高三上·江蘇鹽城·期中）已知點(diǎn)C在以為直徑的圓上，點(diǎn)D為的中點(diǎn)，若，，則的值為 .
四、解答題
13．（24-25高一上·河北保定·期中）如圖，在中，，．設(shè)，．
(1)用，表示，；
(2)若為內(nèi)部一點(diǎn)，且．求證：，，三點(diǎn)共線．
14．（23-24高一下·重慶·階段練習(xí)）已知，的夾角為，且，，設(shè)，.
(1)若，求實(shí)數(shù)的取值；
(2)時，求與的夾角；
(3)是否存在實(shí)數(shù)，使得，若存在，求出實(shí)數(shù).
15．（24-25高三上·上?！て谥校┮阎?
(1)求向量與的夾角大?。?br>(2)求.
16．（23-24高二上·河北唐山·開學(xué)考試）已知，，．
(1)求向量與的夾角；
(2)當(dāng)向量與的模相等時，求實(shí)數(shù)的值．
模塊一 思維導(dǎo)圖串知識
模塊二 基礎(chǔ)知識全梳理（吃透教材）
模塊三 核心考點(diǎn)舉一反三
模塊四 小試牛刀過關(guān)測
1．熟練運(yùn)用掌握向量加、減法的三角形法則和平行四邊形法則
2．理解并掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算律，會運(yùn)用向量數(shù)乘的運(yùn)算律進(jìn)行向量運(yùn)算；
3．理解和掌握向量數(shù)量積的定義與投影向量的概念與意義

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