知識(shí)點(diǎn) 1 正弦定理
（1）正弦定理的描述
①文字語(yǔ)言：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等.
②符號(hào)語(yǔ)言：在中， 若角、及所對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別為，及，則有
（2）正弦定理的推廣及常用變形公式
在中， 若角、及所對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別為，及，其外接圓半徑為，則
①
②；；；
③
④
⑤ ④，，（可實(shí)現(xiàn)邊到角的轉(zhuǎn)化）
⑥ ⑤，，（可實(shí)現(xiàn)角到邊的轉(zhuǎn)化）
知識(shí)點(diǎn)2 解決幾何問(wèn)題的常見(jiàn)公式
三角形面積的計(jì)算公式：
①；
②；
③（其中，是三角形的各邊長(zhǎng)，是三角形的內(nèi)切圓半徑）；
④(其中，是三角形的各邊長(zhǎng)，是三角形的外接圓半徑).
考點(diǎn)一：已知兩角及任意一邊解三角形
例1．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為，，，若，，，則（ ）
A．B．1C．D．
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】正弦定理解三角形
【分析】利用正弦定理計(jì)算即可.
【詳解】根據(jù)正弦定理，得，解得．
故選：A.
【變式1-1】（24-25高三上·山西呂梁·階段練習(xí)）在中，已知，，，則角的值為（ ）
A．或B．C．D．或
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】正弦定理解三角形
【分析】利用正弦定理得到值，再根據(jù)得到，即可求解．
【詳解】，，，
又，且，
，則角的值為．
故選：B.
【變式1-2】（23-24高一下·山東臨沂·期末）記內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別是，，，已知，，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】正弦定理解三角形
【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦定理列式計(jì)算即得.
【詳解】在中，由正弦定理，得.
故選：C.
【變式1-3】（24-25高三上·重慶·階段練習(xí)）在中內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且，，，則 ．
【答案】或
【知識(shí)點(diǎn)】正弦定理解三角形
【分析】根據(jù)已知條件和正弦定理可得角，從而得到的值．
【詳解】在中由正弦定理可知，所以，
解得，因?yàn)闉榈膬?nèi)角，
所以或，
所以或，
故答案為：或．
考點(diǎn)二：三角形解的個(gè)數(shù)
例2.（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）在中，已知，則此三角形的解的情況是（ ）
A．有一解B．有兩解
C．無(wú)解D．有解但解的個(gè)數(shù)不確定
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】正弦定理判定三角形解的個(gè)數(shù)
【分析】根據(jù)正弦定理計(jì)算出，結(jié)合正弦值的范圍判斷.
【詳解】由正弦定理得，
則,
故不存在，即滿足條件的三角形不存在．
故選：C
【變式2-1】（23-24高一下·福建南平·期中）在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，已知，則此三角形（ ）
A．無(wú)解B．一解C．兩解D．解的個(gè)數(shù)不確定
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】正弦定理判定三角形解的個(gè)數(shù)
【分析】由正弦定理可得，進(jìn)而可求，可得結(jié)論.
【詳解】由正弦定理，得，解得 ，
因?yàn)?，所?，
又因?yàn)锽?0,?，所以或，
故此三角形有兩解.
故選：C.
【變式2-2】（多選）（23-24高一下·江蘇揚(yáng)州·期末）在中，角所對(duì)的邊為，根據(jù)下列條件解三角形，其中僅有一解的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【知識(shí)點(diǎn)】正弦定理判定三角形解的個(gè)數(shù)
【分析】對(duì)于A,B,D,根據(jù)三角形全等，易得三角形的形狀唯一確定，故解唯一；對(duì)于C，可用正弦定理，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象，說(shuō)明符合條件的三角形有兩解.
【詳解】對(duì)于A，三角形中，已知三邊，由三角形全等知，三角形的形狀唯一確定，故僅有一解，即A正確；
對(duì)于B，三角形中，已知兩個(gè)角和夾邊，由三角形全等知，三角形的形狀唯一確定，故僅有一解，即B正確；
對(duì)于C，由正弦定理，可得，，因，則,
因，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象可知角有兩解，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，三角形中，已知兩邊和夾角，由三角形全等知，三角形的形狀唯一確定，故僅有一解，即D正確.
故選：ABD.
【變式2-3】（23-24高一下·廣西·階段練習(xí)）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，若，，且有兩解，則的取值范圍為 ．
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】正弦定理判定三角形解的個(gè)數(shù)
【分析】根據(jù)三角形有兩解，結(jié)合圖形列出限制條件可得答案.
【詳解】依題意得，因?yàn)椋?，所以?br>故答案為：
考點(diǎn)三：已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形
例3.（24-25高二上·甘肅武威·開(kāi)學(xué)考試）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，，，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】正弦定理解三角形
【分析】由正弦定理可求得，進(jìn)而由同角的平方關(guān)系可求.
【詳解】在中，由正弦定理可得，即，
解得，且不等于0，
當(dāng)為銳角時(shí)，，
當(dāng)為鈍角時(shí)，.
綜上所述：.
故選：B.
【變式3-1】（23-24高一下·江蘇宿遷·期中）已知中，，，，則角的值是（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】正弦定理解三角形
【分析】利用正弦定理計(jì)算可得.
【詳解】因?yàn)椋?，?br>由正弦定理，即，解得，
又，則，所以，所以或.
故選：D
【變式3-2】（24-25高二上·江蘇常州·階段練習(xí)）中，角所對(duì)的邊分別為，已知，，，則角大小為 ．
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】正弦定理解三角形
【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦定理求解即得.
【詳解】在中，利用正弦定理，得，
由，得，所以.
故答案為：
【變式3-3】（23-24高一下·天津河北·期中）已知中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，則，，，則 .
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】正弦定理解三角形
【分析】由求，再利用正弦定理可求解.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>在中，由正弦定理可得，又，，，
所以，解得.
故答案為：.
考點(diǎn)四：判斷三角形的形狀
例4.（23-24高一下·湖南張家界·期中）在中，分別為角的對(duì)邊），則的形狀可能是（ ）
A．正三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等腰三角形
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】sin2x的降冪公式及應(yīng)用、用和、差角的正弦公式化簡(jiǎn)、求值、正、余弦定理判定三角形形狀
【分析】利用正弦定理化邊為角，再結(jié)合降冪公式及兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)即可得解.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，即，即，
由正弦定理可得，
所以，得，
在中，所以，
又，所以，即三角形為直角三角形.
故選：B.
【變式4-1】（23-24高一下·重慶·期中）已知分別是三內(nèi)角的對(duì)邊，且滿足，則的形狀是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰或直角三角形D．等腰直角三角形
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】正、余弦定理判定三角形形狀、輔助角公式
【分析】利用正弦定理及輔助角公式結(jié)合三角形中角的范圍計(jì)算即可.
【詳解】根據(jù)正弦定理知
，
所以，
在三角形中，
所以，
則，即A為直角.
故選：B
【變式4-2】（23-24高一下·江蘇無(wú)錫·階段練習(xí)）在中，若，且，那么一定是（ ）
A．等腰直角三角形B．直角三角形
C．等腰三角形D．等邊三角形
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】余弦定理解三角形、正弦定理邊角互化的應(yīng)用、正、余弦定理判定三角形形狀
【分析】利用正弦定理將邊化角，即可求出，再由余弦定理求出，從而得解.
【詳解】因?yàn)?，由正弦定理可得?br>又，所以，所以，則，
又，所以，
又，由余弦定理，
又，所以，
所以，則為等邊三角形.
故選：D
【變式4-3】（24-25高一下·全國(guó)·隨堂練習(xí)）在中，若，則此三角形是 三角形（填“銳角”“直角”或“鈍角”）．
【答案】直角
【知識(shí)點(diǎn)】對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用、正、余弦定理判定三角形形狀
【分析】利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)得到，進(jìn)而得到，再對(duì)其進(jìn)行變形，然后利用正弦定理即可.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
因?yàn)樵诙x域內(nèi)單調(diào)遞增，
所以
即,
所以，
即，
所以為直角三角形.
故答案為：直角.
考點(diǎn)五：利用正（余）弦定理求范圍或最值
例5.（2024高三上·河南·專題練習(xí)）在中，，，，若為的中點(diǎn)，且，則的最大值為 ．
【答案】12
【知識(shí)點(diǎn)】求三角形中的邊長(zhǎng)或周長(zhǎng)的最值或范圍、數(shù)量積的運(yùn)算律
【分析】依題意可得，再根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律得到，最后由基本不等式計(jì)算可得.
【詳解】由題意得，
則，故，
故，
即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故的最大值為．
故答案為：．
【變式5-1】（23-24高一下·重慶·期末）在銳角中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．
(1)求的值；
(2)求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【知識(shí)點(diǎn)】三角恒等變換的化簡(jiǎn)問(wèn)題、正弦定理邊角互化的應(yīng)用、求三角形中的邊長(zhǎng)或周長(zhǎng)的最值或范圍
【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊角互化，結(jié)合三角恒等變換即可求解，
（2）根據(jù)正弦定理，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
【詳解】（1）由及正弦定理得：．
，可得：,
，且是銳角三角形，
，可得：．
（2）,，．
，,．
．
.
【變式5-2】（23-24高一下·吉林長(zhǎng)春·階段練習(xí)）已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且滿足．
(1)求B的大小；
(2)若是的中線，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【知識(shí)點(diǎn)】用和、差角的正弦公式化簡(jiǎn)、求值、正弦定理解三角形、求三角形中的邊長(zhǎng)或周長(zhǎng)的最值或范圍
【分析】（1）由正弦定理和得到，結(jié)合求出；
（2）先求出，在中，由正弦定理得，故當(dāng)時(shí)，求出最小值.
【詳解】（1）由正弦定理得，
又，
故，
即，
又，故，
故，，
又，故；
（2）因?yàn)椋瑸榈闹芯€，
所以，
又，
在中，由正弦定理得，即，
故，
故當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為.
【變式5-3】（23-24高三上·浙江嘉興·期末）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，其中，．
(1)若，求的面積；
(2)若為鈍角三角形，求a的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【知識(shí)點(diǎn)】正弦定理解三角形、三角形面積公式及其應(yīng)用、余弦定理解三角形、求三角形中的邊長(zhǎng)或周長(zhǎng)的最值或范圍
【分析】（1）由正弦定理和余弦定理得到和，利用三角形面積公式求出答案；
（2）由三角形三邊關(guān)系求出，利用計(jì)算出，從而得到答案.
【詳解】（1）由及正弦定理，則．
當(dāng)時(shí)，，，由余弦定理，，
從而，此時(shí)的面積．
（2）由于，，由三角形三邊關(guān)系可得，即，
解得．
由于C為的最大內(nèi)角，故，
即，解得．
由于，則．
考點(diǎn)六：綜合運(yùn)算正（余）弦定理解三角形
例6.（24-25高三上·上海·階段練習(xí)）在中，角、、的對(duì)邊分別為、、．已知．
(1)求角的大?。?br>(2)設(shè)為邊的中點(diǎn)，若，，求的大?。?br>【答案】(1)
(2)2
【知識(shí)點(diǎn)】正弦定理邊角互化的應(yīng)用、余弦定理解三角形
【分析】（1）用正弦定理將邊化角，再用兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)即可求出，進(jìn)而可得角的大小；
（2）用余弦定理結(jié)合題目所給條件可求出及，再用向量即可求解.
【詳解】（1）,
,
,
,
，
.
（2）在中, 由余弦定理得,
,
又因?yàn)椋?br>所以，
聯(lián)立解得，
因?yàn)闉檫叺闹悬c(diǎn)，所以,
所以，
即，
所以.
【變式6-1】（24-25高三上·天津·階段練習(xí)）在中內(nèi)角所對(duì)邊分別為，若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】正弦定理邊角互化的應(yīng)用、余弦定理解三角形
【分析】利用正弦定理得，再利用余弦定理有，再利用正弦定理得到的值，最后代入計(jì)算即可.
【詳解】因?yàn)?，則由正弦定理得.
由余弦定理可得：，
即：，根據(jù)正弦定理得，
所以，
因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，則，則.
故選：C.
【變式6-2】（2024高二下·安徽·學(xué)業(yè)考試）的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，的面積為，且，，則邊（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】三角形面積公式及其應(yīng)用、余弦定理解三角形
【分析】由三角形面積公式求得，再由余弦定理得到.
【詳解】由，解得，
由余弦定理得，所以.
故選：C.
【變式6-3】（24-25高三上·天津·期中）在中，角，，所對(duì)的邊分別是，，，已知.
(1)求角的大小；
(2)設(shè)，
（i）求的值；
（ii）求的值.
【答案】(1)
(2)（i）；（ii）
【知識(shí)點(diǎn)】二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、正弦定理邊角互化的應(yīng)用、余弦定理解三角形
【分析】（1）由正弦定理進(jìn)行邊角互化，再運(yùn)用正弦的和角公式求得，根據(jù)角的范圍可求得答案；
（2）（i）運(yùn)用余弦定理求得；（ii）再運(yùn)用正弦理求得，利用同角三角函數(shù)間的關(guān)系，正弦的二倍角公式，以及兩角差的正弦公式可求得答案.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>由正弦定理可得：，
則，
因?yàn)樵谥校?br>所以，
則有，
因?yàn)?，所以，?br>故；
（2）（i）由（1）知：，在中，因?yàn)?，?br>由余弦定理可得：，
則.
（ii）在中，由正弦定理可得：，
即，所以，
因?yàn)?，所以，則為銳角，所以，
則，
，
所以
【變式6-4】（24-25高三上·甘肅白銀·期中）在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且.
(1)求角的大?。?br>(2)若，求.
【答案】(1)
(2)
【知識(shí)點(diǎn)】二倍角的正弦公式、正弦定理邊角互化的應(yīng)用、余弦定理解三角形
【分析】（1）利用正弦定理化邊為角，再結(jié)合二倍角的正弦公式即可得解；
（2）根據(jù)余弦定理結(jié)合已知求出之間的關(guān)系，再利用余弦定理即可得解.
【詳解】（1）因?yàn)?，所以由正弦定理得?br>因?yàn)?，所以?br>所以，則，
因?yàn)?，所以?br>又因?yàn)?，所以?br>（2），由余弦定理可得，，
又，，，
，即，
.
考點(diǎn)七：求三角形面積
例7.（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為.已知.
(1)求角的大小；
(2)已知.求的面積.
【答案】(1)
(2)
【知識(shí)點(diǎn)】逆用和、差角的余弦公式化簡(jiǎn)、求值、二倍角的余弦公式、三角形面積公式及其應(yīng)用、余弦定理解三角形
【分析】（1）由兩角和的余弦公式化簡(jiǎn)結(jié)合二倍角的余弦公式即可求出的值，進(jìn)而可求角；
（2）由余弦定理可得，再利用三角形面積公式即可求出.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>即，解得或.
因?yàn)樵谥?，?br>所以.
（2）在中，由余弦定理，
得，
整理得，
由，解得，
所以的面積為.
【變式7-1】（24-25高二上·江蘇南京·期中）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知.
(1)求；
(2)若，求的面積.
【答案】(1)
(2)
【知識(shí)點(diǎn)】正弦定理邊角互化的應(yīng)用、三角形面積公式及其應(yīng)用、余弦定理解三角形
【分析】（1）利用正弦定理邊化角即可求解；
（2）利用余弦定理和面積公式求解.
【詳解】（1）因?yàn)?，邊化角可得?br>，
即，
又因?yàn)椋?br>且，
所以，因?yàn)?，所?
（2）由余弦定理，，
所以，即，所以，
所以的面積為.
【變式7-2】（24-25高三上·貴州·期中）在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是，，.已知，，.
(1)求；
(2)求的值；
(3)求的面積.
【答案】(1)7；
(2)；
(3).
【知識(shí)點(diǎn)】已知弦（切）求切（弦）、正弦定理邊角互化的應(yīng)用、三角形面積公式及其應(yīng)用、余弦定理解三角形
【分析】（1）由題設(shè)可得，應(yīng)用余弦定理求邊長(zhǎng)；
（2）由正弦定理有，，即可求結(jié)果；
（3）應(yīng)用三角形面積公式求面積即可.
【詳解】（1）由，得，因?yàn)椋裕?br>根據(jù)余弦定理得.
（2）根據(jù)正弦定理，得，則，，
故.
（3）的面積.
【變式7-3】（2024·陜西寶雞·二模）已知的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且．
(1)求角；
(2)若，為邊邊上一點(diǎn)，為的平分線，且，求的面積．
【答案】(1)
(2)
【知識(shí)點(diǎn)】用和、差角的正弦公式化簡(jiǎn)、求值、三角形面積公式及其應(yīng)用、余弦定理解三角形
【分析】（1）利用三角恒等變換的知識(shí)求得.
（2）利用三角形的面積公式、余弦定理列方程，求得，進(jìn)而求得三角形的面積.
【詳解】（1）由，即，
因?yàn)?，所以?br>所以，得．
（2）由為的平分線，得，
因?yàn)椋?br>所以，
即，①
由余弦定理得，
即，②
由①②，得，
所以．
考點(diǎn)八：根據(jù)三角形面積求參數(shù)
例8.（24-25高三上·湖北·階段練習(xí)）在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊長(zhǎng)分別為a，b，c，.
(1)若，求面積的最大值；
(2)若，在邊AC的外側(cè)取一點(diǎn)D（點(diǎn)D在外部），使得，，且四邊形的面積為，求的大小.
【答案】(1)
(2).
【知識(shí)點(diǎn)】求含sinx(型)函數(shù)的值域和最值、正弦定理邊角互化的應(yīng)用、三角形面積公式及其應(yīng)用、余弦定理解三角形
【分析】（1）根據(jù)題意，利用正弦定理化簡(jiǎn)得，由余弦定理求得，得到，再由余弦定理和基本不等式求得ac的最大值，進(jìn)而求得面積的最大值；
（2）設(shè)，利用余弦定理和為正三角形，求得，列出方程，即可求解.
【詳解】（1）由
因?yàn)椋傻茫?br>又由正弦定理得，即，
由余弦定理得，
因?yàn)椋傻?，所以?br>在中，由余弦定理得，
即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
所以，
所以面積的最大值為.
（2）設(shè)，則，
在中，由余弦定理得，
由（1）知，且，所以為正三角形，
所以，
可得，
故，因?yàn)?，所以，可?
【變式8-1】（24-25高二上·北京平谷·期中）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足，的面積為4.
(1)求角C的大??；
(2)若，求邊長(zhǎng)c.
【答案】(1)
(2)
【知識(shí)點(diǎn)】逆用和、差角的正弦公式化簡(jiǎn)、求值、正弦定理邊角互化的應(yīng)用、三角形面積公式及其應(yīng)用、余弦定理解三角形
【分析】（1）根據(jù)已知由正弦定理得到，根據(jù)的范圍可得答案；
（2）利用和已知得到的值，然后結(jié)合余弦定理得到c的長(zhǎng)度．
【詳解】（1）根據(jù)已知由正弦定理得，
得到，
因?yàn)?，所以，所以，即?br>（2）由于，得，
由余弦定理，得，
所以.
【變式8-2】（24-25高三上·四川成都·期中）已知在中，，
(1)求；
(2)若，則三角形的面積為，求
【答案】(1)
(2)
【知識(shí)點(diǎn)】三角形面積公式及其應(yīng)用、余弦定理解三角形、余弦定理邊角互化的應(yīng)用
【分析】（1）根據(jù)余弦定理邊角互化，即可求解，
（2）根據(jù)三角形面積公式可得，進(jìn)而根據(jù)余弦定理即可求解.
【詳解】（1）根據(jù)可得，
即，故,
由于，故
（2）由得，
又因?yàn)橛捎嘞叶ɡ碇?br>故，結(jié)合
解得
【變式8-3】（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．
(1)求．
(2)若的面積為，，求邊上的高．
【答案】(1)
(2)
【知識(shí)點(diǎn)】輔助角公式、正弦定理邊角互化的應(yīng)用、三角形面積公式及其應(yīng)用、余弦定理解三角形
【分析】（1）由已知條件及正弦定理，二倍角公式，輔助角公式再結(jié)合特殊角的正弦值化簡(jiǎn)即可；
（2）由三角形的面積公式和余弦定理求解即可.
【詳解】（1）由已知條件及正弦定理，得．
又，，
則，
，則．
又，，
則，解得．
（2）由的面積為，得，
，則．
由余弦定理，得，
．
又，，解得．，．
設(shè)邊上的高為，則，
．
【變式8-4】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且
(1)求
(2)若，的面積為，求a的值.
【答案】(1)
(2)
【知識(shí)點(diǎn)】用和、差角的正弦公式化簡(jiǎn)、求值、正弦定理解三角形、三角形面積公式及其應(yīng)用、余弦定理邊角互化的應(yīng)用
【分析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合余弦定理即可得答案;
（2）結(jié)合（1）及得，進(jìn)而得，，再根據(jù)恒等變換得，進(jìn)而根據(jù)三角形面積得，最后由正弦定理即可得答案.
【詳解】（1）由條件及余弦定理得，，
可得， 所以．
（2）由得，，
又，所以，
則，．
可得，
由的面積為得，
所以．
由正弦定理得，，
所以，故.
考點(diǎn)九：求三角形周長(zhǎng)
例9.（24-25高二上·廣西南寧·期中）在中，
(1)求；
(2)若，且的面積為，求的周長(zhǎng)．
【答案】(1)
(2)
【知識(shí)點(diǎn)】正弦定理邊角互化的應(yīng)用、余弦定理解三角形、三角形面積公式及其應(yīng)用
【分析】（1）由正弦定理轉(zhuǎn)化條件可得結(jié)果.
（2）由面積公式可求，由余弦定理可求，即可得到三角形的周長(zhǎng).
【詳解】（1）由題意結(jié)合正弦定理可得
，
即，
∵，∴，
∴，故．
（2）由，解得．
由余弦定理可得，
∴，
∴的周長(zhǎng)為．
【變式9-1】（24-25高二上·貴州銅仁·階段練習(xí)）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，.
(1)求角的大??；
(2)若，且的面積為，求的周長(zhǎng).
【答案】(1)；
(2).
【知識(shí)點(diǎn)】三角形面積公式及其應(yīng)用、余弦定理解三角形、二倍角的正弦公式
【分析】（1）應(yīng)用二倍角正弦公式及三角形內(nèi)角性質(zhì)求角的大??；
（2）應(yīng)用面積公式可得，進(jìn)而有，余弦定理求得，即可得三角形周長(zhǎng).
【詳解】（1）由題設(shè)，又，則，
所以，則.
（2）由題意，可得，又，則，
由余弦定理，有，則，
綜上，的周長(zhǎng)為.
【變式9-2】（24-25高三上·浙江·期中）如圖，的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，直線與的邊，分別相交于點(diǎn)，，設(shè)，滿足.
(1)求角的大??；
(2)若，的面積為，求的周長(zhǎng).
【答案】(1)
(2)
【知識(shí)點(diǎn)】正弦定理邊角互化的應(yīng)用、余弦定理解三角形、用和、差角的正弦公式化簡(jiǎn)、求值、三角形面積公式及其應(yīng)用
【分析】（1）運(yùn)用正弦定理，結(jié)合三角恒等變換計(jì)算.
（2）運(yùn)用余弦定理和面積公式計(jì)算.
【詳解】（1）由正弦定理得
，
又∵∴，
得.
（2）∵即,
根據(jù)余弦定理可得即,
則，所以，得的周長(zhǎng)為.
【變式9-3】（24-25高三上·安徽六安·階段練習(xí)）設(shè)三角形的內(nèi)角的對(duì)邊分別為且.
(1)求角的大??；
(2)若邊上的高為，求三角形的周長(zhǎng).
【答案】(1)
(2)
【知識(shí)點(diǎn)】二倍角的余弦公式、三角形面積公式及其應(yīng)用、輔助角公式、三角恒等變換的化簡(jiǎn)問(wèn)題
【分析】（1）利用三角形內(nèi)角和的關(guān)系以及二倍角的余弦公式，并由輔助角計(jì)算可得結(jié)果；還可以根據(jù)二倍角的正弦公式求出正切值計(jì)算；
（2）由三角形面積公式代入計(jì)算可得，求出周長(zhǎng).
【詳解】（1）因?yàn)闉槿切蔚膬?nèi)角，所以，
因?yàn)?，所以可化為?br>即，即，又易知，
解得，即.
（2）由三角形面積公式得，
代入得：，所以，
故為正三角形，，周長(zhǎng)等于
考點(diǎn)10：求三角形周長(zhǎng)、面積最值范圍
例10.（24-25高二上·貴州·期中）在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，，．
(1)求角；
(2)若是線段的中點(diǎn)，且，求；
(3)若為銳角三角形，求的周長(zhǎng)的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知識(shí)點(diǎn)】余弦定理解三角形、求三角形中的邊長(zhǎng)或周長(zhǎng)的最值或范圍、用和、差角的正弦公式化簡(jiǎn)、求值、三角恒等變換的化簡(jiǎn)問(wèn)題
【分析】（1）先應(yīng)用正弦定理再應(yīng)用兩角和的正弦公式計(jì)算化簡(jiǎn)得出角；
（2）先根據(jù)向量關(guān)系，左右兩邊平方后結(jié)合余弦定理得出，進(jìn)而得出面積即可；
（3）應(yīng)用正弦定理邊角轉(zhuǎn)化應(yīng)用輔助角公式化簡(jiǎn)，再根據(jù)角的范圍應(yīng)用正弦函數(shù)的值域求解.
【詳解】（1）由題及正弦定理可知：，
，
又，，
，，
，.
（2）由（1）及余弦定理得：，即，①
又因?yàn)?，則，
所以，②
由得：，
所以．
（3）由（1）得，則，即，
由正弦定理可知，，
所以．
因?yàn)闉殇J角三角形，所以，，
即，，則，即，
則，故的周長(zhǎng)的取值范圍為．
【變式10-1】（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知在中，．
(1)求；
(2)若是銳角三角形，且，求周長(zhǎng)的取值范圍．
【答案】(1)
(2)．
【知識(shí)點(diǎn)】正弦定理邊角互化的應(yīng)用、求三角形中的邊長(zhǎng)或周長(zhǎng)的最值或范圍、用和、差角的正弦公式化簡(jiǎn)、求值
【分析】（1）由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和兩角和與差的正弦展開(kāi)式求解即可；
（2）先利用正弦定理表示，再利用內(nèi)角和及三角函數(shù)性質(zhì)求的取值范圍，最后求周長(zhǎng)的取值范圍即可；
【詳解】（1）由，得，
故，
結(jié)合已知得
故，
即，
又，所以，
所以，故．
（2）記內(nèi)角的對(duì)邊分別為，
由正弦定理得，
所以，．
結(jié)合，
得
，
因?yàn)槭卿J角三角形，
所以解得，
所以，故，
即．
又，
所以周長(zhǎng)的取值范圍是．
【變式10-2】（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）在中，角所對(duì)的邊分別為，已知．
(1)求；
(2)若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【知識(shí)點(diǎn)】正弦定理邊角互化的應(yīng)用、求三角形面積的最值或范圍、三角形面積公式及其應(yīng)用、余弦定理邊角互化的應(yīng)用
【分析】（1）利用余弦定理和正弦定理邊化角可化簡(jiǎn)已知邊角關(guān)系式得到，由此可得；
（2）利用正弦定理邊化角，將所求面積表示為，根據(jù)的范圍可求得結(jié)果.
【詳解】（1），
，即，
由正弦定理得：，
，
，，，又，.
（2）由正弦定理得：，，
，
，為銳角三角形，，，
，，
即面積的取值范圍為.
【變式10-3】（23-24高一下·遼寧·期中）已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的最小正周期及其單調(diào)遞增區(qū)間，
(2)若為銳角的內(nèi)角，且，求面積的取值范圍．
【答案】(1)最小正周期為；單調(diào)遞增區(qū)間為
(2)
【知識(shí)點(diǎn)】三角恒等變換的化簡(jiǎn)問(wèn)題、求三角形面積的最值或范圍、求正弦（型）函數(shù)的最小正周期、求sinx型三角函數(shù)的單調(diào)性
【分析】（1）利用降冪公式和輔助角公式對(duì)函數(shù)解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)即可得到最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間.
（2）由題意求得的值，再由正弦定理表示出三角形面積，根據(jù)三角函數(shù)化簡(jiǎn)即可求得取值范圍.
【詳解】（1）函數(shù)，
所以函數(shù)的最小正周期為，
由，可得，
即有函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.
（2）若為銳角的內(nèi)角，且，
可得，由，可得，
則，即.
由正弦定理得，，
所以，
所以面積
又因?yàn)闉殇J角三角形，則，即，解得，
所以，所以，所以.
故面積的取值范圍是.
一、單選題
1．（24-25高二上·貴州六盤(pán)水·期中）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知，，則外接圓的半徑為（ ）
A．B．C．8D．
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】正弦定理求外接圓半徑
【分析】由正弦定理可得外接圓直徑，進(jìn)而求得半徑.
【詳解】解：由正弦定理可知：，
為外接圓的半徑，所以.
故選：A
2．（24-25高三上·海南·階段練習(xí)）在中，，，分別為內(nèi)角，，的對(duì)邊，且，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】正弦定理解三角形、正弦定理邊角互化的應(yīng)用
【分析】利用正弦定理將邊化角，整理即可求得.
【詳解】，
由正弦定理可得，
又在中，
，
，
，
在中，，
，且為的內(nèi)角，
，
故選：C．
3．（23-24高三上·四川南充·階段練習(xí)）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，若，則的外接圓的面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】正弦定理求外接圓半徑、逆用和、差角的正弦公式化簡(jiǎn)、求值
【分析】只需由正弦定理以及三角恒等變換得的外接圓的半徑即可.
【詳解】設(shè)的外接圓的半徑為,
則，
解得，所以的外接圓的面積為.
故選：D.
4．（23-24高一下·福建龍巖·期中）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，若，，，則（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】正弦定理解三角形
【分析】由題意利用三角形內(nèi)角和定理可求的值，進(jìn)而利用正弦定理即可求解的值．
【詳解】因?yàn)?，，，所以?br>由正弦定理，可得，解得．
故選：B．
5．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）在中，角，，所對(duì)的邊分別為a，b，c，且，若，則等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】正弦定理邊角互化的應(yīng)用、余弦定理解三角形
【分析】法一：由題意，根據(jù)正弦定理可得，結(jié)合余弦定理計(jì)算即可求解；
法二：由題意，根據(jù)射影定理可得，結(jié)合余弦定理計(jì)算即可求解；
【詳解】方法一：
，由正弦定理可得，
，，．
又，．
．
，則．
方法二：
因?yàn)?，由射影定理可得?br>又，．
．
，則．
故選：A
6．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）在中，已知，，，則（ ）
A．或B．C．D．或
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】正弦定理解三角形
【分析】運(yùn)用正弦定理計(jì)算即可.
【詳解】因?yàn)樵谥校?，，?br>由正弦定理，得，
解得或，
又因?yàn)榭傻?，所以不符合題意，舍去．
可得，故A，B，D錯(cuò)誤．
故選：C.
7．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，若，，，則（ ）
A．或B．C．D．3
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】正弦定理解三角形
【點(diǎn)睛】用正弦定理先求出，根據(jù)三角形內(nèi)角關(guān)系得到，再用正弦定理求.
【詳解】由題意及正弦定理，得，解得.
又，故，于是或，均符合題意.
當(dāng)時(shí)，，由正弦定理，得，解得；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)是等腰三角形，.
故選：A
8．（24-25高三上·江西撫州·期中）在中，若，則角（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】二倍角的正弦公式、正弦定理解三角形
【分析】根據(jù)正弦定理，正弦的二倍角公式以及三角形的內(nèi)角和即可求得.
【詳解】由正弦定理可知，可化為，
又，則，即，
再根據(jù)正弦定理可知，，
又，即，則，
又，所以.
故選：D.
二、多選題
9．（23-24高一下·河南漯河·階段練習(xí)）在中，根據(jù)下列條件解三角形，其中恰有一解的是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【答案】BC
【知識(shí)點(diǎn)】正弦定理判定三角形解的個(gè)數(shù)
【分析】根據(jù)三角形解的個(gè)數(shù)的判定條件直接計(jì)算可得.
【詳解】A中，因?yàn)?，有，所以該三角形無(wú)解，故A錯(cuò)誤；
B中，因?yàn)?，為銳角，有，
所以該三角形有一解，故B正確；
C中，因?yàn)?，為銳角，有，
所以該三角形有一解，故C正確；
D中，因?yàn)?，為銳角，有，
所以該三角形有兩解，故D錯(cuò)誤.
故選：BC.
10．（24-25高三上·黑龍江綏化·階段練習(xí)）對(duì)于，有如下判斷，其中正確的判斷是（ ）
A．若，則為等腰三角形
B．若，則
C．若，，，則符合條件的有兩個(gè)
D．若，則是鈍角三角形
【答案】ABD
【知識(shí)點(diǎn)】正弦定理邊角互化的應(yīng)用、余弦定理解三角形、正弦定理解三角形、正弦定理判定三角形解的個(gè)數(shù)
【分析】對(duì)于A，利用函數(shù)單調(diào)性判斷；對(duì)于B，由正弦定理判斷；對(duì)于C，求出判斷即可；對(duì)于D，由正弦定理得，再利用余弦定理判斷.
【詳解】對(duì)于A，若，因?yàn)楹瘮?shù)在0,?上為單調(diào)函數(shù)，所以，
所以為等腰三角形，所以A正確；
對(duì)于B，若，可得，由正弦定理，
可得，可得，所以B正確；
對(duì)于C，因?yàn)?，所以符合條件的有0個(gè)，所以C不正確；
對(duì)于D，若，由正弦定理得，
則，因?yàn)?，所以?br>所以是鈍角三角形，所以D正確.
故選：ABD.
三、填空題
11．（24-25高一上·全國(guó)·期中）在中，，延長(zhǎng)到D，使得，則的長(zhǎng)度為 ．
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】余弦定理解三角形、正弦定理解三角形
【分析】在中，由正弦定理求出；再在中，利用余弦定理，即可求出結(jié)果.
【詳解】在中，，
由正弦定理可得，，即，所以，
在中，，，，
由余弦定理可得，，
所以.
故答案為：
12．（24-25高三上·上?！るA段練習(xí)）中，，則 .
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】正弦定理邊角互化的應(yīng)用
【分析】利用正弦定理角化邊，再結(jié)合勾股定理即可求得答案.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>設(shè),則,
又，所以該三角形為直角三角形，
所以，
所以，
故答案為：.
四、解答題
13．（24-25高三上·海南海口·階段練習(xí)）已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，．
(1)求角C的大小；
(2)若，的面積為，求的周長(zhǎng)．
【答案】(1)；
(2)6.
【知識(shí)點(diǎn)】三角形面積公式及其應(yīng)用、余弦定理邊角互化的應(yīng)用
【分析】（1）應(yīng)用余弦邊角關(guān)系及已知可得，即可求，進(jìn)而確定其大小；
（2）由三角形面積公式得，再由及已知求得，即可求周長(zhǎng).
【詳解】（1）由題設(shè)，整理可得，
所以，，故.
（2）由題意，又，
所以，故的周長(zhǎng)為.
14．（24-25高三上·江蘇南通·階段練習(xí)）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知.
(1)求A；
(2)若，，求的周長(zhǎng).
【答案】(1)
(2)6
【知識(shí)點(diǎn)】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、用和、差角的正弦公式化簡(jiǎn)、求值、三角恒等變換的化簡(jiǎn)問(wèn)題
【分析】（1）由三角恒等變換得到，得到；
（2）由正弦定理和，得到，由（1）知，，由余弦定理得到方程，求出，進(jìn)而，得到三角形周長(zhǎng).
【詳解】（1）由得，
，
即，
故，
因?yàn)椋?br>所以，
即，
因?yàn)锽?0,?，所以，故，
因?yàn)?，所以?br>（2），由正弦定理得，
因?yàn)?，所以?br>由（1）知，，由余弦定理得，
解得，故，所以，
所以的周長(zhǎng)為.
15．（24-25高三上·山西長(zhǎng)治·階段練習(xí)）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．已知．
(1)求A；
(2)若D是BC邊上一點(diǎn)，且，，求的值．
【答案】(1)
(2)
【知識(shí)點(diǎn)】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、正弦定理邊角互化的應(yīng)用
【分析】（1）利用正弦定理將角化邊，再結(jié)合余弦定理計(jì)算可得；
（2）首先可得，記，設(shè)，，利用銳角三角函數(shù)及正弦定理得到，，再由余弦定理得到，即可得解.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>由正弦定理可得，即，
由余弦定理，
所以，又，所以；
（2）因?yàn)?，記，則，
因?yàn)椋O(shè)，，
在中，，即，
在中，，所以，所以，
所以，即，
在中由余弦定理有，整理得，即，
所以，即.
16．（24-25高三上·山東濟(jì)寧·期中）記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且.
(1)求角的值；
(2)若為的中點(diǎn)，且，，求的面積.
【答案】(1)
(2)
【知識(shí)點(diǎn)】正弦定理解三角形、三角形面積公式及其應(yīng)用、余弦定理解三角形、數(shù)量積的運(yùn)算律
【分析】（1）由正弦定理得到，結(jié)合三角恒等變換得到；
（2）根據(jù)中點(diǎn)得到，兩邊平方得到，由余弦定理得到，聯(lián)立求出，求出三角形面積.
【詳解】（1）由正弦定理得，，
則由，得，
，
，

，
；
（2）為的中點(diǎn)，
，
又，
，①
由余弦定理得，，②
聯(lián)立①②，解得，
，
的面積為.
17．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知，且.
(1)求；
(2)若，求的面積.
【答案】(1)
(2)或12
【知識(shí)點(diǎn)】正弦定理邊角互化的應(yīng)用、三角形面積公式及其應(yīng)用、余弦定理解三角形
【分析】（1）運(yùn)用正弦定理邊角互化，再結(jié)合三角恒等變換計(jì)算；（2）運(yùn)用余弦定理，結(jié)合面積公式計(jì)算即可.
【詳解】（1）由及正弦定理可得，
又，，，
又，，，.
（2）由余弦定理，
可得，解得或.
當(dāng)時(shí)，的面積為；
當(dāng)時(shí)，的面積為.
綜上可知，的面積為或12.
18．（24-25高三上·廣東·階段練習(xí)）已知中，角的對(duì)邊分別為，且．
(1)求；
(2)若，求面積的最大值．
【答案】(1)
(2)
【知識(shí)點(diǎn)】正弦定理邊角互化的應(yīng)用、余弦定理解三角形、三角恒等變換的化簡(jiǎn)問(wèn)題、基本不等式求和的最小值
【分析】（1）利用正弦定理以及三角恒等變換等知識(shí)求得.
（2）利用余弦定理和基本不等式求得的最大值，進(jìn)而求得三角形面積的最大值.
【詳解】（1）由正弦定理及倍角公式得
，得，
即，故.
（2）由余弦定理可得，
解得，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
的面積．
故面積的最大值為．
模塊一 思維導(dǎo)圖串知識(shí)
模塊二 基礎(chǔ)知識(shí)全梳理（吃透教材）
模塊三 核心考點(diǎn)舉一反三
模塊四 小試牛刀過(guò)關(guān)測(cè)
1．通過(guò)閱讀課本知識(shí)的學(xué)習(xí)弄懂余弦定理的形式與證明方法，提升公式變形技巧，靈活掌握余弦定理
2．在熟練學(xué)習(xí)基礎(chǔ)知識(shí)的基礎(chǔ)上，會(huì)運(yùn)用余弦定理解決兩類基本的解三角形問(wèn)題，并能夠靈活應(yīng)用

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