考點(diǎn)要求
（1）熟練掌握等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式．
（2）掌握非等差數(shù)列、非等比數(shù)列求和的幾種常見方法．
知識(shí)點(diǎn)01：公式法
（1）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和
（2）等比數(shù)列的前n項(xiàng)和
（3）一些常見的數(shù)列的前n項(xiàng)和：
①；
②；
③；
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④
知識(shí)點(diǎn)02：幾種數(shù)列求和的常用方法
（1）分組求和法：一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差或等比或可求和的數(shù)列組成的，則求和時(shí)可用分組求和法，分別求和后相加減．
（2）并項(xiàng)求和法：一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項(xiàng)求和．
策略方法 分組轉(zhuǎn)化法求和的常見類型
（3）裂項(xiàng)相消法：把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得前n項(xiàng)和．
（1）基本步驟
（2）裂項(xiàng)原則
一般是前邊裂幾項(xiàng)，后邊就裂幾項(xiàng)，直到發(fā)現(xiàn)被消去項(xiàng)的規(guī)律為止．
（3）消項(xiàng)規(guī)律
消項(xiàng)后前邊剩幾項(xiàng)，后邊就剩幾項(xiàng)，前邊剩第幾項(xiàng)，后邊就剩倒數(shù)第幾項(xiàng)．
（4）錯(cuò)位相減法：如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么求這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和即可用錯(cuò)位相減法求解．
策略方法 錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和
（1）適用條件
若是公差為的等差數(shù)列，是公比為的等比數(shù)列，求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和．
（2）基本步驟
（3）注意事項(xiàng)
①在寫出與的表達(dá)式時(shí)，應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)位對(duì)齊”，以便下一步準(zhǔn)確寫出；
（5）倒序相加法：如果一個(gè)數(shù)列與首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和即可用倒序相加法求解．
策略方法
將一個(gè)數(shù)列倒過(guò)來(lái)排列，當(dāng)它與原數(shù)列相加時(shí)，若有規(guī)律可循，并且容易求和，則這樣的數(shù)列求和時(shí)可用倒序相加法（等差數(shù)列前項(xiàng)和公式的推導(dǎo)即用此方法）．
知識(shí)點(diǎn)03：裂項(xiàng)技巧
①等差型
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
②根式型
（1）
（2）
（3）
③指數(shù)型
（1）
（2）
（3）
④三角型
（1）
（2）
（3）
考點(diǎn)剖析
【題型一：分組求和】
一、解答題
1．（24-25高二上·陜西榆林·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足．
(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列：
(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
2．（24-25高二上·北京·階段練習(xí)）已知數(shù)列為等差數(shù)列，首項(xiàng)，公差，.
(1)證明是等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
3．（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知等差數(shù)列的公差為正數(shù)，，其前項(xiàng)和為，數(shù)列為等比數(shù)列，，且，.
(1)求數(shù)列與的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
4．（24-25高二上·江蘇南通·期中）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．
(1)求；
(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
5．（24-25高二上·重慶·期中）已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足：,．
(1)求；
(2)若，求的前項(xiàng)和．
【題型二：并項(xiàng)求和】
一、解答題
1．（24-25高二上·廣東東莞·期中）已知公差的等差數(shù)列滿足，成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求
2．（24-25高三上·內(nèi)蒙古包頭·開學(xué)考試）已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前2n項(xiàng)和．
3．（23-24高二上·江蘇南通·階段練習(xí)）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，已知
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和…
【題型三：裂項(xiàng)相消】
一、解答題
1．（23-24高二上·河南漯河·期末）已知數(shù)列滿足：，.
(1)若，求證：為等差數(shù)列.
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.
2．（24-25高二上·湖南邵陽(yáng)·階段練習(xí)）已知在數(shù)列中，且，記.
(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；
(2)記求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
3．（24-25高三上·江蘇泰州·階段練習(xí)）已知數(shù)列前項(xiàng)和為，滿足.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前100項(xiàng)和.
4．（24-25高三上·江蘇南京·階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)；
(2)若，記數(shù)列的前項(xiàng)的和為，求滿足的最小整數(shù).
5．（24-25高二上·重慶·期中）已知為等差數(shù)列，其公差為，前項(xiàng)和為，為等比數(shù)列，其公比為，前項(xiàng)和為，若，，，．
(1)求公差和；
(2)記，證明：．
【題型四：錯(cuò)位相減】
一、解答題
1．（23-24高三下·四川攀枝花·階段練習(xí)）已知公差為的等差數(shù)列中，，.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
2．（2022·山東臨沂·二模）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)記，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
3．（24-25高三上·江蘇連云港·期中）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.
(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；
(2)求和：.
4．（24-25高三上·四川遂寧·期中）設(shè)是等差數(shù)列，是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列．且，，，．
(1)求，的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
5．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列滿足，且.
(1)寫出，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)記，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【題型五：倒序相加】
一、單選題
1．（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知數(shù)列中，，則（ ）
A．96B．97C．98D．99
2．（24-25高三上·山東濟(jì)寧·開學(xué)考試），利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前項(xiàng)和的公式的方法，可求得（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知正項(xiàng)數(shù)列是公比不等于1的等比數(shù)列，且，若，則等于（ ）
A．2022B．4036C．2023D．4038
二、解答題
4．（24-25高二上·上?！るA段練習(xí)）已知函數(shù)，數(shù)列是正項(xiàng)等比數(shù)列，且，
(1)計(jì)算的值；
(2)用書本上推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的方法，求的值.
5．（23-24高二下·四川成都·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足：，數(shù)列滿足.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)求的值；
(3)求的值.
【題型六：等差數(shù)列含絕對(duì)值求和】
一、單選題
1．（24-25高二上·江蘇徐州·期中）在等差數(shù)列中，，，設(shè)，則（）
A．281B．651C．701D．791
2．（23-24高三下·北京·開學(xué)考試）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，若滿足的整數(shù)恰有2個(gè)，則可取到的值有（ ）
A．有3個(gè)B．有2個(gè)C．有1個(gè)D．不存在
二、解答題
3．（24-25高三上·重慶·階段練習(xí)）已知等差數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 .
(1)求數(shù)列 的通項(xiàng)公式 ；
(2)求數(shù)列 的前 項(xiàng)和 .
【題型七：放縮后裂項(xiàng)相消】
一、解答題
1．（21-22高二·湖南郴州·階段練習(xí)）已知數(shù)列中，，當(dāng)時(shí)，，記．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：．
2．（24-25高三上·遼寧·階段練習(xí)）已知數(shù)列的首項(xiàng)為1，其前項(xiàng)和為，等比數(shù)列是首項(xiàng)為1的遞增數(shù)列，若．
(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
(2)證明：；
(3)求使得成立的最大整數(shù)．
3．（22-23高三上·山東濱州·期中）設(shè)正項(xiàng)數(shù)列滿足，且.
(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求證：數(shù)列的前項(xiàng)和.
4．（23-24高二上·山東青島·期中）已知等差數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，成等比數(shù)列，.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列滿足.
（i）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（ii）設(shè)為非零常數(shù)，若數(shù)列是等差數(shù)列，證明：.
過(guò)關(guān)檢測(cè)
一、解答題
1．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
2．（24-25高三上·河南許昌·期中）已知數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，且.
(1)證明：是等差數(shù)列；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.
3．（24-25高三上·江西·期中）已知各項(xiàng)全不為零的數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，其中 .
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)令，設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證: .
4．（廣東省江門市普通高中2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期調(diào)研測(cè)試（一）數(shù)學(xué)試卷）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)在與之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
5．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差為，若為函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，且．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若求數(shù)列的前項(xiàng)和．
6．（23-24高二上·福建福州·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)令，求數(shù)列的前10項(xiàng)和.
7．（24-25高二上·江蘇·期中）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式．
(2)已知，求數(shù)列的最大項(xiàng)，以及取得最大項(xiàng)時(shí)的值．
(3)已知，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
8．（23-24高三上·遼寧丹東·階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的公差為整數(shù)，，設(shè)其前n項(xiàng)和為，且是公差為的等差數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
9．（24-25高三上·廣東·階段練習(xí)）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知.
(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；
(2)若數(shù)列滿足，，求數(shù)列的前項(xiàng)的和．
10．（23-24高二上·福建龍巖·期末）已知函數(shù)滿足，數(shù)列滿足：.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)數(shù)列滿足，其前項(xiàng)和為，若對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
11．（24-25高三上·廣東惠州·階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)若，記數(shù)列的前項(xiàng)和，求并證明：.
12．（23-24高二下·湖南益陽(yáng)·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，數(shù)列滿足．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和；
(3)求數(shù)列的前99項(xiàng)的和的值．
考點(diǎn)聚焦：核心考點(diǎn)+高考考點(diǎn)，有的放矢
重點(diǎn)專攻：知識(shí)點(diǎn)和關(guān)鍵點(diǎn)梳理，查漏補(bǔ)缺
難點(diǎn)強(qiáng)化：難點(diǎn)內(nèi)容標(biāo)注與講解，能力提升
提升專練：真題感知+精選專練，全面突破

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