第08講導數(shù)中構造函數(shù)的應用-【寒假提升課】2025年高二數(shù)學寒假提升試題（人教A版2019）-試卷下載-教習網(wǎng)

一、同構構造函數(shù)或者利用作差或作商法構造函數(shù)
1、同構是構造函數(shù)的一種常用方法.常利用x=ln?ex(x?R),x=eln?x(x>0)將要比較的三個數(shù)化為結構相同的式子,再將其看作同一個函數(shù)的三個值,用常值換元構造函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小.
2、對于同時含有指數(shù)、對數(shù)結構的兩個變量的等式,或者含兩個變量,且結構相似的等式,比較相關的兩個變量間的大小問題時,思考的邏輯路徑為先分離變量,再將等式通過合理變形,放縮成結構相同的不等式,然后利用同構函數(shù)思想,轉(zhuǎn)化為比較某個函數(shù)的兩個函數(shù)值f(g(x))與f(h(x))的大小,最后利用函數(shù)f(x)的單調(diào)性,轉(zhuǎn)化為比較自變量g(x)與h(x)的大小,實現(xiàn)將超越函數(shù)普通化的目的,達到事半功倍的效果。
3、常見的構造函數(shù)有
（1）與和相關的常見同構模型
①，構造函數(shù)或；
②，構造函數(shù)或；
③，構造函數(shù)或.
二、構造函數(shù)解不等式解題思路
利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性求解抽象函數(shù)不等式，要設法將隱性劃歸為顯性的不等式來求解，方法是：
（1）把不等式轉(zhuǎn)化為；
（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性把不等式的函數(shù)符號“”脫掉，得到具體的不等式（組），但要注意函數(shù)奇偶性的區(qū)別.
三、構造函數(shù)解不等式解題技巧
求解此類題目的關鍵是構造新函數(shù)，研究新函數(shù)的單調(diào)性及其導函數(shù)的結構形式，下面是常見函數(shù)的變形
模型1.對于，構造
模型2.對于不等式，構造函數(shù).
模型3.對于不等式，構造函數(shù)
拓展：對于不等式，構造函數(shù)
模型4.對于不等式，構造函數(shù)
模型5.對于不等式，構造函數(shù)
拓展：對于不等式，構造函數(shù)
模型6.對于不等式，構造函數(shù)
拓展：對于不等式，構造函數(shù)
模型7.對于，分類討論：（1）若，則構造
（2）若，則構造
模型8.對于，構造.
模型9.對于，構造.
模型10.（1）對于，即，
構造．
（3）對于，構造．
模型11.（1）（2）
【考點一：構造函數(shù)比較大小】
一、單選題
1．（23-24高二下·江西新余·階段練習）已知，則（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)三個對數(shù)值的特點，構造函數(shù)，求導得到函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)在上的單調(diào)性和對數(shù)運算性質(zhì)，化簡計算即可比較大小.
【詳解】設，函數(shù)定義域為，則，
當時，，當時，，
即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
因，且，故，即，
即，則，故.
故選：A.
2．（23-24高二下·江蘇蘇州·期末）設，，，則（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可比較，構造函數(shù)，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可比較的大小，進而可比較的大小，即可得解.
【詳解】因為，
所以，
令，則，
所以在上為增函數(shù)，
所以，即，所以，
則，即，
綜上所述，.
故選：A.
3．（23-24高二下·四川眉山·期末）已知函數(shù)的最大值為a，令，，則a，b，c的大小關系是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用導數(shù)求出，由正弦函數(shù)、對數(shù)函數(shù)性質(zhì)可得，再構造函數(shù)比較的大小.
【詳解】由，當時，，當時，，
即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則當時，，
令函數(shù)，求導得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
則，于是，即，因此，
由，得，
所以a，b，c的大小關系是.
故選：A
4．（24-25高二上·重慶·階段練習）已知，則（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】構建，利用導數(shù)判斷的單調(diào)性，進而可得，再結合對數(shù)函數(shù)單調(diào)性可得.
【詳解】記，則，
可知在上單調(diào)遞增，則，即，
可得；
又因為，則，即；
所以.
故選：B.
5．（23-24高二下·四川攀枝花·期末）已知，則（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】設分析函數(shù)的單調(diào)性，可得的大小關系；設函數(shù)，分析函數(shù)單調(diào)性，可得的大小.
【詳解】設，（），因為，
由；由.
所以函數(shù)在上遞減，在上遞增.
所以，
又，，所以.
再設，（），因為，
由；由.
所以函數(shù)在上遞減，在上遞增.
所以.
又，即.
故.
故選：A
【考點二：構造函數(shù)解不等式】
一、單選題
1．（23-24高二下·山東聊城·期末）已知定義在上的函數(shù)的導函數(shù)為，若，且，，則的解集為（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】構造函數(shù)，利用導數(shù)得出其單調(diào)性，進而由單調(diào)性解不等式即可.
【詳解】構造函數(shù)，，
，即函數(shù)在R上單調(diào)遞減，
等價于，解得.
即的解集為.
故選：D
2．（23-24高二下·山東棗莊·階段練習）已知定義在上的函數(shù)的導數(shù)為，，且對任意的滿足，則不等式的解集是（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】構造，求導得到其單調(diào)性，并結合，得到時，，從而求出解集.
【詳解】設，
因為，
所以，
故在上單調(diào)遞減，
又，故，
故當時，，當時，，
，
故的解集為.
故選：A
3．（23-24高二下·內(nèi)蒙古·期末）已知是定義域為的函數(shù)的導函數(shù)，且，則不等式的解集為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先構造函數(shù)，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再求解不等式.
【詳解】設，，
所以函數(shù)單調(diào)遞增，
，
即，得，所以，
所以不等式的解集為.
故選：D
4．（23-24高二下·黑龍江哈爾濱·期中）已知定義在R上的奇函數(shù)，其導函數(shù)為，，當時，，則使得成立的x的取值范圍是（）．
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】設，根據(jù)題意可得函數(shù)為偶函數(shù)以及其單調(diào)性，再分以及討論即可得出答案．
【詳解】設，則，
由于當時，，
則當時，，在單調(diào)遞減，
又為奇函數(shù)，,則，則函數(shù)為偶函數(shù)，
可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，
又，則，
當時，由，可得，即，解得；
當時，由，可得，即，解得；
綜上，不等式的解集為,,．
故選：B．
5．（23-24高二下·天津·期末）定義在上的函數(shù)導函數(shù)為，若對任意實數(shù)x，有，且為奇函數(shù)，則不等式的解集為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】構造，根據(jù)導數(shù)研究單調(diào)性，結合已知將問題化為，再根據(jù)的單調(diào)性即可求出結果.
【詳解】設，則，
對任意實數(shù)x，有，
所以，則在上單調(diào)遞減.
因為為奇函數(shù)，且的定義域為R，
所以，所以，所以.
因為，所以求不等式的解集，
即求的解集，即求的解集，
因為在上單調(diào)遞減，所以的解集為，
所以不等式的解集為.
故選：B
【點睛】關鍵點點睛：構造函數(shù)，根據(jù)題意，可得其單調(diào)性，從而求解不等式.
6．（23-24高二下·江蘇常州·期末）已知函數(shù)及其導數(shù)的定義域均為，對任意實數(shù)，，且當時，.不等式的解集為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】構造函數(shù)，從而結合導數(shù)與所給條件得到函數(shù)的單調(diào)性與對稱性，在將所給不等式中化為即可得解.
【詳解】令，則，
由題意可得，當時，，即在上單調(diào)遞增，
由，則，
即，故為偶函數(shù)，故在上單調(diào)遞減，
則不等式可化為：，
即，則有，即，
即，即，
解得.
故選：B.
【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵點在于構造函數(shù)，從而結合導數(shù)與所給條件得到函數(shù)的單調(diào)性與對稱性.
【考點三：構造函數(shù)求參數(shù)的最值(范圍)】
一、單選題
1．（24-25高二上·云南·階段練習）若，則的最小值為（）
A．B．C．D．0
【答案】B
【分析】利用同構可得，再結合導數(shù)討論新函數(shù)的單調(diào)性后可得的最小值.
【詳解】因為，故，
而為0,+∞上的增函數(shù)，故即，故，
設，則，
當時，，故在上為減函數(shù)，
當時，，故在上為增函數(shù)，
故，
故選：B.
2．（24-25高二上·安徽六安·階段練習）對于，不等式恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由得，，同構函數(shù)由得：，再參變分離，轉(zhuǎn)化為借助導數(shù)求函數(shù)的最值即可.
【詳解】已知，由得，，
構造函數(shù)則是R上的增函數(shù)，則由得：，
即，令，，
當則單調(diào)遞減，
當，則單調(diào)遞增，
∴，則又則.
故選：C.
3．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知函數(shù)，若存在實數(shù)滿足，則的最大值為（）
A．B．C．D．1
【答案】C
【分析】根據(jù)可得，構造函數(shù)和，求導即可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求解最值.
【詳解】因為，所以，所以，所以，
設函數(shù)，則，
設，由于均為上的減函數(shù)，易知φx在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，且，
故當時，；當時，．
所以hx在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間1,+∞上單調(diào)遞減．
所以，故．
故選：C
【點睛】方法點睛：利用導數(shù)比較大小的基本步驟
(1)作差或變形；
(2)構造新的函數(shù)hx；
(3)利用導數(shù)研究hx的單調(diào)性或最值；
(4)根據(jù)單調(diào)性及最值，得到所證不等式．
4．（23-24高二下·河南安陽·期中）若對任意恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)給定的不等式，利用同構的思想，并按分類討論，構造函數(shù)，利用導數(shù)探討單調(diào)性轉(zhuǎn)化為恒成立的不等式求解.
【詳解】由，得，當時，，當時，，
不等式恒成立，當時，令函數(shù)，求導得，
當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，而當時，，
不等式，即，于是，
因此，恒成立，令，求導得，
則函數(shù)在上單調(diào)遞增，，于是，則，
所以實數(shù)的取值范圍是.
故選：D
【點睛】思路點睛：某些數(shù)或式大小關系問題，看似與函數(shù)的單調(diào)性無關，細心挖掘問題的內(nèi)在聯(lián)系，抓住其本質(zhì)，構造函數(shù)，分析并運用函數(shù)的單調(diào)性解題，它能起到化難為易、化繁為簡的作用.
5．（23-24高二下·福建漳州·階段練習）已知實數(shù)，，滿足，則的最小值為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】化簡變形后可設，知其在上單調(diào)遞增，若，則，對求導可得到極值點也是最值點，故可得結果.
【詳解】由已知有，即，即，
因為，令，，易知在上單調(diào)遞增，
因，所以，故，即.
所以，令，可得，
又因在上小于零，故y在單調(diào)遞減，
在上大于零，故y在單調(diào)遞增，
故當時，y取極小值也是最小值為e.
故選：A
6．（2024·浙江·模擬預測）已知對恒成立，則的最大值為（）
A．0B． C．eD．1
【答案】D
【分析】由題意得對恒成立，令，利用導數(shù)求得，即，再令，利用導數(shù)求出的最小值，可求出的取值范圍，從而可求出的最大值.
【詳解】由，得，
所以對恒成立，
令，則在上單調(diào)遞增，
由，得，
當時，，當時，，
所以在上遞減，在上遞增，
所以，即
令，
則在上單調(diào)遞增，
由，得，
所以當時，，當時，，
所以在上遞減，在上遞增，
所以，所以，
所以的最大值為1.
故選：D
【點睛】關鍵點點睛：此題考查利用導數(shù)解決不等式恒成立問題，考查利用導數(shù)求函數(shù)的最值，解題的關鍵是通過對原不等式變形，將問題轉(zhuǎn)化為對恒成立，然后構造函數(shù)，利用導數(shù)求出最值即可，考查數(shù)學轉(zhuǎn)化思想和計算能力，屬于較難題.
【考點四：構造函數(shù)證明不等式】
一、解答題
1．（24-25高二下·全國·課堂例題）當時，求證：．
【答案】證明見解析
【分析】移項構造函數(shù)，利用導函數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性進而得證不等式.
【詳解】令，
則
，
，，又因為，則恒成立，
當時，f?x>0，即在1,+∞上單調(diào)遞增，
，
即．
2．（23-24高二上·北京·階段練習）已知函數(shù) 在處的切線方程為．
(1)求的值;
(2)求證：恒成立．(參考數(shù)據(jù)：
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）由導數(shù)幾何意義可以求解；
（2）利用導數(shù)求出函數(shù)在上的最小值，構造函數(shù)結合單調(diào)性求解即可得證.
【詳解】（1）已知函數(shù) 在x=0處的切線方程為．
由；
（2）
令則恒成立，
所以在上單調(diào)遞增．
又
所以存在唯一的零點，
且滿足 ①
當x變化時， f(x)和f'(x)的變化情況如下：
所以
將①帶入上式，得
令，并構造函數(shù)
則有
所以在上單調(diào)遞增．
所以
即所以f(x)>0恒成立．
3．（2024·河北·模擬預測）已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性；
(2)證明：當時，.
【答案】(1)答案見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）先明確函數(shù)定義域和求導，根據(jù)導數(shù)結構特征對進行和的分類討論導數(shù)正負即可得單調(diào)性.
（2）證，故問題轉(zhuǎn)化成證，接著構造函數(shù)研究其單調(diào)性和最值即可得證.
【詳解】（1）由題函數(shù)定義域為，，
故當時，恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減；
當時，在上單調(diào)遞減，令，
則時，；時，，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
綜上，當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
（2）由（1）當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
故在上恒成立，
故證證，
即，
令，則，
故當時，；時，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以在上恒成立，故，
所以當時，.
【點睛】思路點睛：證明含參函數(shù)不等式問題通常轉(zhuǎn)化成研究函數(shù)最值問題，第（2）問證當時，可將問題轉(zhuǎn)化成證，接著根據(jù)其結構特征進行變形轉(zhuǎn)化和構造函數(shù)，利用導數(shù)確定所構造的函數(shù)單調(diào)性和最值即可得證.
4．（23-24高二下·河南南陽·階段練習）已知函數(shù)，．
(1)證明：．
(2)證明：．
(3)若，求的最大值．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
(3).
【分析】（1）設，求導，分析函數(shù)單調(diào)性，求函數(shù)hx的最小值，得到最小值大于或等于0即可.
（2）利用（1）的結論進行放縮，再利用導數(shù)求函數(shù)最小值即可.
（3）首先由條件同構方程，得到，再利用變量轉(zhuǎn)化，變形，并構造函數(shù)，利用導數(shù)求函數(shù)的最大值.
【詳解】（1）設，
則，
由??x>0，得；由??x0；由??x0；當時，f?x

相關試卷

相關試卷更多

相關試卷

相關試卷 更多

相關試卷更多