第01講平面向量的概念-【寒假提升課】2025年高一數(shù)學寒假提升試題（人教A版2019）-試卷下載-教習網

知識點 1 向量的概念
（1）向量
在數(shù)學中,我們把既有大小又有方向的量叫做向量.
①我們所學的向量是自由向量,即只有大小和方向,而無特定的位置,這樣的向量可以作任意平移.
②向量與向量之間不能比較大小.
（2）數(shù)量
只有大小沒有方向的量稱為數(shù)量,如年齡、身高、長度、面積體積、質量等
（3）向量與數(shù)量的區(qū)別
①向量與數(shù)量的區(qū)別:向量有方向,而數(shù)量沒有方向；數(shù)量與數(shù)量之間可以比較大小,而向量與向量之間不能比較大小
②向量與矢量:數(shù)學中的向量是從物理中的矢量(如位移、力、加速度、速度等)中抽象出來的,但在這里我們僅考慮它的大小及方向；而物理中的這些量,既同時具備大小和方向這兩個屬性,還具有其他屬性(如“力”就是由大小方向、作用點所決定的).
知識點2 (1)有向線段
具有方向的線段叫做有向線段
①有向線段:具有方向的線段叫做有向線段,其方向是由起點指向終點.以為起點、為終點的有向線段記作(如圖所示),線段的長度也叫做有向線段的長度,記作. 表示有向線段時,起點一定要寫在終點的前面,上面標上箭頭.
②有向線段的三個要素:起點、方向、長度.知道了有向線段的起點、方向、長度,它的終點就唯一確定了.
（2）向量的表示
①幾何表示:向量可以用有向線段表示,有向線段的長度表示向量的大小,有向線段的方向表示向量的方向.
②字母表示:向量可以用字母,,,…表示
（3）向量的模
向量的大小稱為向量的長度(或稱模),記作.
（4）兩種特殊的向量
零向量:長度為0的向量叫做零向量,記作.
單位向量:長度等于1個單位長度的向量,叫做單位向量
①若用有向線段表示零向量,則其終點與起點重合.
②要注意0與的區(qū)別與聯(lián)系:0是一個實數(shù),是一個向量,且有；書寫時表示零向量,一定不能漏掉0上的箭頭.
③單位向量有無數(shù)個,它們大小相等,但方向不一定相同.
④在平面內,將表示所有單位向量的有向線段的起點平移到同一點,則它們的終點構成一個半徑為1的圓.
知識點3 相等向量與共線向量
(1)平行向量
方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.向量與平行,記作.規(guī)定:零向量與任意向量平行,即對于任意向量,都有.
(2)相等向量
長度相等且方向相同的向量叫做相等向量.
向量與相等,記作.兩個向量相等必須具備的條件是長度相等,方向相同因為向量完全由它的方向和模確定,故任意兩個相等的非零向量,都可用同一條有向線段來表示,并且與有向線段的起點無關.
（3）共線向量
任一組平行向量都可以平移到同一條直線上,因此,平行向量也叫做共線.
共線向量所在直線平行或重合,如果兩個向量所在的直線平行或重合,則這兩個向量是共線向量.
考點一：向量的有關概念
例1．（23-24高一下·新疆烏魯木齊·階段練習）給出下列物理量：
①質量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功；⑨時間.其中不是向量的有（）
A．①⑥B．⑦⑧⑨C．①⑧⑨D．①⑥⑦⑧⑨
【答案】D
【知識點】平面向量的概念與表示
【分析】根據向量的定義可得正確的選項.
【詳解】速度、位移、力、加速度既有大小，又有方向，故它們?yōu)橄蛄浚?br>余下皆不為向量，
故選：D.
【變式1-1】（23-24高一下·黑龍江綏化·階段練習）關于平面向量，下列說法正確的是（）
A．向量可以比較大小B．向量的?？梢员容^大小
C．速度是向量，位移是數(shù)量D．零向量是沒有方向的
【答案】B
【知識點】平面向量的概念與表示、零向量與單位向量、向量的模
【分析】根據向量的相關概念直接判斷即可.
【詳解】向量不可以比較大小，但向量的模是數(shù)量，可以比較大小，A錯誤，B正確；
速度和位移都有方向和大小，是向量，C錯誤；
零向量方向任意，D錯誤.
故選：B
【變式1-2】（多選）（24-25高一下·全國·課后作業(yè)）（多選）下列說法正確的是（）
A．加速度是向量B．兩個有共同起點，且長度相等的向量，它們的終點相同
C．零向量的方向是任意的D．向量就是有向線段
【答案】AC
【知識點】平面向量的概念與表示、零向量與單位向量、相等向量
【分析】根據向量的有關定義即可判斷選項正誤.
【詳解】A．由向量的定義知，加速度是向量，故正確；
B．兩個有共同起點，且長度相等的向量，方向不一定相同，所以它們的終點不一定相同，故錯誤；
C．由零向量的定義知，零向量的方向是任意的，故正確；
D．向量可以用有向線段表示，但兩者不同，故錯誤．
故選：AC．
【變式1-3】（23-24高一·全國·課堂例題）已知O為正六邊形ABCDEF的中心，在下圖所標出的向量中：

(1)找出與相等的向量；
(2)找出幾組相反向量．
【答案】(1)
(2)與，與，與
【知識點】相等向量、相反向量
【分析】（1）根據相等向量定義判斷選擇即可；
（2）根據相反向量定義判斷選擇即可.
【詳解】（1）與方向相同且長度相等，故．
（2）與，與，與方向相反且長度相等分別互為相反向量．
考點二：向量的表示
例2.（23-24高一·全國·隨堂練習）畫圖表示小船的下列位移（用的比例尺）：
(1)由A地向東北方向航行15km到達B地；
(2)由A地向北偏西30°方向航行20km到達C地；
(3)由C地向正南方向航行20km到達D地．
【答案】(1)答案見詳解
(2)答案見詳解
(3)答案見詳解
【知識點】平面向量的概念與表示
【分析】先畫出以點A為頂點，北偏東45°的角，并取出相應的長度確定B點；接下來再以點A為頂點畫出北偏西30°的角，并取出相應的長度確定C點，再以點C為頂點正南方向，并取出相應的長度確定D點即可.
【詳解】（1）根據的比例尺，即圖上，作圖如下，

（2）根據的比例尺，即圖上，作圖如下，

（3）根據的比例尺，即圖上，作圖如下，

【變式2-1】（23-24高一·上?！ふn堂例題）在平面直角坐標系中，作出表示下列向量的有向線段：
(1)向量的起點在坐標原點，與x軸正方向的夾角為120°且；
(2)向量的模為4，方向與y軸的正方向反向；
(3)向量的方向與y軸的正方向同向，模為2．
【答案】(1)答案見解析
(2)答案見解析
(3)答案見解析
【知識點】平面向量的概念與表示
【分析】（1）由向量的相關定義作圖即可；
（2）由向量的相關定義作圖即可；
（3）由向量的相關定義作圖即可.
【詳解】（1）
由題意，故即為所求，其中；
（2）
由題意，故即為所求，其中；
（3）
由題意，故即為所求，其中.
【變式2-2】（24-25高一下·全國·課后作業(yè)）在方格紙（每個小方格的邊長為1）中，畫出下列向量．
(1)，點在點的正東方向；
(2)，點在點的北偏東方向；
(3)求出的值．
【答案】(1)答案見解析
(2)答案見解析
(3)．
【知識點】平面向量的概念與表示、向量的模
【分析】（1）根據要求畫出點的位置即可；
（2）根據要求畫出點的位置即可；
（3）向量由點指向點，畫出圖形即可求出．
【詳解】（1）所求向量如圖所示：
（2）所求向量如圖所示：
（3）由圖知，是等腰直角三角形，所以．
【變式2-3】（23-24高一下·安徽淮北·階段練習）在如圖的方格紙中，畫出下列向量．

(1)，點在點的正西方向；
(2)，點在點的北偏西方向；
(3)求出的值．
【答案】(1)答案見解析；
(2)答案見解析；
(3)3
【知識點】平面向量的概念與表示、向量的模
【分析】（1）根據向量的大小和方向，作向量，
（2）根據向量的大小和方向，作向量，
（3）根據向量的模的定義求.
【詳解】（1）因為，點在點的正西方向，故向量的圖示如下：

（2）因為，點在點的北偏西方向，故向量的圖示如下：

（3）
.
考點三：向量的模
例3.（23-24高二下·全國·課后作業(yè)）如圖所示，以長方體的八個頂點的兩點為起點和終點的向量中，
(1)試寫出與模長相等的所有向量；
(2)若，求向量的模．
【答案】(1)
(2)3
【知識點】相等向量、向量的模
【分析】（1）根據向量模長相等判斷求解；
（2）應用立體圖形結合定義求出模長.
【詳解】（1）在長方體中，與相等的所有向量（除本身外）有，共3個.
（2）在長方體中，連接，如圖，
，
所以向量的模.
【變式3-1】（23-24高一下·北京·期中）已知向量共線，且，則．
【答案】或
【知識點】向量數(shù)乘的有關計算、平行向量（共線向量）、向量的模
【分析】借助向量共線，分向量同向與反向計算即可得.
【詳解】由向量共線，故向量可能同向、可能反向，
當向量同向時，由，則，
當向量反向時，由，則.
即可能為或.
故答案為：或.
【變式3-2】（24-25高一上·上?！ふn后作業(yè)）（1）如圖，在的矩形中，起點和終點都在小方格頂點且模與相等的向量共有多少個？（除外）
（2）如果擴展到的矩形呢？（除外）
【答案】（1）39個；（2）39個
【知識點】向量的模
【分析】數(shù)出與所占同樣大小的矩形個數(shù)，再根據向量和向量模的定義求解即可.
【詳解】（1）每個的矩形中有個符合要求的向量，這樣的矩形共有個，則共有個向量的模與相等，但本身除外，故共有39個；
（2）每個的矩形中有個符合要求的向量，這樣的矩形共有個，則共有個向量的模與相等，但本身除外，故共有39個.
【變式3-3】（23-24高一下·福建泉州·期中）已知邊長為3的等邊三角形，求邊上的中線向量的模.
【答案】/
【知識點】向量的模
【詳解】根據正三角形的性質，求得邊上的中線長，即可求解.
【解答】如圖所示，因為是正三角形，所以邊上的中線向量的模就是三角形的高，
即：，所以邊上的中線向量的模為.
考點四：零向量與單位向量
例4.（多選）（23-24高一下·吉林四平·階段練習）下列說法中正確的是（）
A．零向量與任一向量平行B．方向相反的兩個非零向量不一定共線
C．單位向量是模為的向量D．方向相反的兩個非零向量必不相等
【答案】ACD
【知識點】相等向量、平行向量（共線向量）、零向量與單位向量
【分析】根據零向量的定義與性質，判斷出A項的正誤；根據共線向量與相等向量的定義，判斷出B、D兩項的正誤；根據單位向量的定義，判斷出C項的正誤．
【詳解】解：對于A，零向量的方向是任意的，零向量與任一向量平行，故A項正確；
對于B，根據共線向量的定義，可知方向相反的兩個非零向量一定共線，故B項錯誤；
對于C，根據單位向量的定義，可知C項正確；
對于D，方向相同且模相等的兩個向量相等，因此方向相反的兩個非零向量一定不相等，D項正確．
故選：ACD．
【變式4-1】（2024高三·北京·專題練習）給出下列命題：①任一非零向量都可以平行移動，零向量的長度為零，方向是任意的；②若，都是單位向量，則；③向量與相等.其中正確命題的序號為（）
A．①B．③C．①③D．①②
【答案】A
【知識點】零向量與單位向量、平行向量（共線向量）、相等向量
【分析】由向量的有關概念逐項判斷即可.
【詳解】因為同方向且模相等的向量相等，與位置無關，故任一非零向量都可以平行移動，
且零向量的長度為零，方向是任意的，故①正確；
根據單位向量的定義可知，單位向量的模相等，但方向不一定相同，
故兩個單位向量不一定相等，故②錯誤；
向量與互為相反向量，故③錯誤.
故選：A.
【變式4-2】（23-24高一下·湖北·期中）下列結論錯誤的是（）
A．零向量與任一向量共線
B．零向量與任一向量的數(shù)量積為0
C．方向相反的兩個向量是相反向量
D．模長等于1個單位長度的向量稱為單位向量
【答案】C
【知識點】向量的模、數(shù)量積的運算律、零向量與單位向量、相反向量
【分析】根據零向量的概念、向量的數(shù)量積、相反向量的概念和單位向量的概念依次判斷選項即可.
【詳解】A：零向量與任意向量共線，故A正確；
B：零向量與任意向量的數(shù)量積都等于0，故B正確；
C：相反向量的概念是方向相反且長度相等的兩個向量，故C錯誤；
D：單位向量的概念是模為1個單位長度的向量，故D正確.
故選：C
【變式4-3】（多選）（23-24高一下·遼寧撫順·開學考試）設，則與其平行的單位向量有（）.
A．B．C．D．
【答案】AB
【知識點】平行向量（共線向量）、零向量與單位向量
【分析】
由向量平行的定義以及單位向量的定義直接判斷即可．
【詳解】解：顯然ABCD四個選項都與向量平行，
為單位向量，且與向量平行，故A正確；
模長也為1，且與向量平行，故B正確；
CD選項與向量平行，但模長不一定為1，故CD不正確.
故選：AB
考點五：相等向量
例5.（2024高三·全國·專題練習）如圖，在正中，，，均為所在邊的中點，則以下向量和相等的是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【知識點】相等向量
【分析】由相等向量的定義求解即可.
【詳解】∵，，與方向不同，
∴，，與均不相等；
∵與方向相同，長度相等，∴＝.
故選：D.
【變式5-1】（23-24高一下·江蘇連云港·階段練習）下列說法錯誤的是（）
A．B．、是單位向量，則
C．兩個相同的向量的模相等D．單位向量均相等
【答案】D
【知識點】零向量與單位向量、相等向量、向量的模
【分析】根據相等向量、單位向量的定義判斷即可.
【詳解】對于A：因為，又互為相反向量的兩個向量的模相等，所以，故A正確；
對于B：因為、是單位向量，所以，故B正確；
對于C：兩個相同的向量的模相等，故C正確；
對于D：單位向量的模相等均為，由于無法確定方向是否相同，故單位向量不一定相等，故D錯誤.
故選：D
【變式5-2】（多選）（24-25高一下·全國·課后作業(yè)）如圖，在菱形中，，則以下說法正確的是（）

A．與相等的向量只有1個（不含）
B．與的模相等的向量有9個（不含）
C．的模恰為的模的倍
D．與不相等
【答案】ABC
【知識點】相等向量、向量的模
【分析】根據相等向量以及模長定義，結合結合圖形求解ABD，根據菱形的性質即可求解C.
【詳解】由于，因此與相等的向量只有，而與的模相等的向量有，，，，，，，，，故A，B正確；
而在中，，，故，故C正確；
由于，因此與是相等的，故D錯誤．
故選：ABC
【變式5-3】（23-24高一下·安徽六安·期末）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，四邊形ABDE是矩形.
(1)找出與相等的向量；
(2)找出與共線的向量.
【答案】(1)
(2)
【知識點】相等向量、平行向量（共線向量）
【分析】（1）根據相等向量的定義寫出即可；
（2）根據共線向量的定義直接寫出.
【詳解】（1）由四邊形ABCD是平行四邊形，四邊形ABDE是矩形知，
與的長度相等且方向相同，所以與相等的向量為.
（2）由題干圖可知，與方向相同，與方向相反，
所以與共線的向量有.
考點六：共線向量
例5.（2024高三·全國·專題練習）在中，，、分別是、的中點，則（）
A．與共線B．與共線
C．與相等D．與相等
【答案】B
【知識點】相等向量、平行向量（共線向量）
【分析】利用共線向量、相等向量的概念逐項判斷即可.
【詳解】由題意可知，與不共線，A錯；
因為、分別是、的中點，所以，，故與共線，B對；
因為與不平行，所以與不相等，C錯；
因為，D錯．
故選：B.
【變式6-1】（23-24高一下·黑龍江大慶·階段練習）下列命題中，正確的是（）
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，則
【答案】C
【知識點】平行向量（共線向量）
【分析】根據向量的概念逐一判斷.
【詳解】對于A：若，則只是大小相同，并不能說方向相同，A錯誤；
對于B：向量不能比較大小，B錯誤；
對于C：若，則方向相同，C正確；
對于D：若，如果為零向量，則不能推出平行，D錯誤.
故選：C.
【變式6-2】（多選）（24-25高二上·內蒙古呼倫貝爾·階段練習）關于非零向量，，下列命題中，正確的是（）
A．若，則B．若，則
C．若，，則D．若，則
【答案】BC
【知識點】向量的模、平行向量（共線向量）、平面向量的概念與表示、相等向量
【分析】根據向量的模、向量共線等知識對選項進行分析，從而確定正確答案.
【詳解】A選項，向量的模相等，可能方向不相等，所以A選項錯誤.
B選項，兩個向量互為相反向量，則這兩個向量平行，所以B選項正確.
C選項，非零向量，，若，，則成立，所以C選項正確.
D選項，向量不能比較大小，所以D選項錯誤.
故選：BC.
一、單選題
1．（2024高二上·黑龍江佳木斯·學業(yè)考試）下列量中是向量的為（）
A．功B．距離C．拉力D．質量
【答案】C
【知識點】平面向量的概念與表示
【分析】根據向量的定義即可判斷.
【詳解】功，距離，質量只有大小沒有方向,不是向量；拉力既有大小又有方向，是向量.
故選：C.
2．（2024高三·全國·專題練習）下面命題中，正確的是（）
A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則
【答案】C
【知識點】向量的模、平行向量（共線向量）、平面向量的概念與表示、零向量與單位向量
【分析】根據向量的概念逐一判斷
【詳解】對于，若，但兩向量方向不確定，則不成立，故選項錯誤；
對于，向量無法比較大小，故選項錯誤；
對于，若，則兩向量反向，因此，故選項正確；
對于，若，則，故選項錯誤.
故選：C
3．（24-25高二下·全國·課后作業(yè)）給出下列命題：
①若空間向量滿足，則；
②在正方體中，必有；
③若空間向量滿足，則．
其中假命題的個數(shù)是（）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【知識點】空間向量的有關概念、相等向量
【分析】根據相等向量的定義易判斷①為假命題；對于②借助于正方體圖形推理易得；對于③由空間向量的相等定義易得.
【詳解】對于①，向量相等即模相等和方向相同，故①為假命題；
對于②，如圖正方體中，且則得,
故有，,且方向一致，所以，故②為真命題；
對于③，根據向量相等的定義可知成立，故③為真命題．
故選：B．
4．（23-24高一下·陜西咸陽·期中）已知四邊形中，，并且，則四邊形是（）
A．菱形B．正方形C．等腰梯形D．長方形
【答案】A
【知識點】相等向量
【分析】由，得到四邊形為平行四邊形，再由，得到，得出四邊形為菱形.
【詳解】由題意，四邊形中，
因為，可得且，所以四邊形為平行四邊形，
又因為，可得，
所以四邊形為菱形.
故選：A.
5．（24-25高二上·河南商丘·階段練習）給出下列命題：
①將空間中所有的單位向量平移到同一個點為起點，則它們的終點構成一個圓；
②在正方體中，必有；
③若空間向量滿足，則；
④空間中任意兩個單位向量必相等；
其中假命題的個數(shù)是（）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【知識點】空間向量的有關概念、零向量與單位向量、判斷命題的真假
【分析】根據空間向量的定義，逐個命題進行判斷即可.
【詳解】對于①，根據空間向量的定義，空間中所有的單位向量平移到同一個點為起點，則它們的終點構成一個球面，故①為假命題；
對于②，根據正方體的定義，上下底面的對角線必定相等，結合向量的方向，所以，故②為真命題；
對于③，根據向量相等的定義，明顯成立，故③為真命題；
對于④，向量相等即模相等和方向相同，故空間中任意兩個單位向量必相等是假命題，故④為假命題.
故選：B
6．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）下述四個結論中，所有正確結論的編號是（）
①零向量沒有方向；②向量的線性運算結果可以是實數(shù)；
③相等向量的方向相同；④與向量方向相反的向量，叫做的相反向量．
A．①②B．②③C．③D．③④
【答案】C
【知識點】零向量與單位向量、向量的線性運算的幾何應用、相等向量
【分析】運用向量有關概念逐項判斷即可.
【詳解】零向量長度為0，有方向，①錯誤；
②向量的線性運算結果仍然是向量，②錯誤；
相等向量的方向相同，模相等，③正確；
④與向量長度相等，方向相反的向量，叫做向量的相反向量，④錯誤．
故選：C.
7．（23-24高一下·福建福州·期中）下列說法正確的是（）
A．若兩個非零向量共線，則必在同一直線上
B．若與共線，與共線，則與也共線
C．若則
D．若非零向量與是共線向量，則它們的夾角是或
【答案】D
【知識點】平行向量（共線向量）、相等向量
【分析】根據共線向量的概念即可判斷A,B,D;根據相等向量的概念可以判斷C.
【詳解】方向相同或相反的兩個非零向量是共線向量，因此D正確；
若非零向量是共線向量，則未必在同一直線上，A錯；
若，則與共線，與共線，但是與未必共線，B錯；
由可以得到的大小相等，但方向不一定相同，C錯.
故選：D.
8．（23-24高一下·吉林·期末）下列說法正確的是（）
A．平面上所有單位向量，其終點在同一個圓上；
B．若，則與的長度相等且方向相同或相反；
C．若，且與的方向相同，則
D．若，則與方向相同或相反
【答案】C
【知識點】平行向量（共線向量）、相等向量、零向量與單位向量、向量的模
【分析】考慮向量的起點位置可判斷A；利用向量相等的定義可判斷BC；考慮特殊向量可判斷D.
【詳解】對于A，只有平面上所有單位向量的起點移到同一個點時，其終點才會在同一個圓上，故A錯誤：
對于B，由只能判斷兩向量長度相等，不能確定它們的方向關系，故B錯誤；
對于C，因為，且與同向，由兩向量相等的條件，可得，故C正確；
對于D，依據規(guī)定：與任意向量平行，故當時，與的方向不一定相同或相反，故D錯誤.
故選：C．
二、多選題
9．（24-25高二上·云南昭通·期中）如圖，在菱形中，若，則以下說法中正確的是（）
A．與不平行
B．的模恰為模的倍
C．與的模相等的向量有9個（不含）
D．與相等的向量只有一個（不含）
【答案】BCD
【知識點】相等向量、平行向量（共線向量）、向量的模
【分析】根據題意結合向量的相關概念逐項分析判斷.
【詳解】對于選項A：向量與的方向是相反的，是平行向量，故A錯誤；
對于選項B：因為，則，
所以的模恰為模的倍，故B正確；
對于選項C：根據菱形的性質結合，可知對角線與菱形的邊長相等，
故與的模相等的向量有，，，，，，，，，共9個向量，故C正確；
對于選項D：與相等的向量需要方向相同，模相等，只有，故D正確；
故選：BCD.
10．（24-25高一下·全國·課堂例題）（多選）下列命題中，正確的是（）
A．若與同向，且，則
B．若，則與的長度相等且方向相同或相反
C．對于任意，且與的方向相同，則
D．所有的零向量都相等
【答案】CD
【知識點】零向量與單位向量、相等向量、向量的模
【分析】根據向量的概念判斷A；根據向量模的概念判斷B；根據向量相等的概念判斷C；根據向量相等的概念判斷D.
【詳解】A不正確，因為向量是不同于數(shù)量的一種量，它由兩個因素來確定，即大小與方向，所以兩個向量不能比較大?。?br>B不正確，由只能判斷兩向量長度相等，并不能判斷方向；
C正確，，且與同向，由兩向量相等的條件可得；
D正確，符合相等向量的定義.
故選：CD.
三、填空題
11．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）給出下列命題：
①是向量的必要不充分條件；
②向量，相等的充要條件是；
③若是不共線的四點，則是四邊形為平行四邊形的充要條件.
其中正確的是 .（填序號）
【答案】①③
【知識點】相等向量、判斷命題的必要不充分條件、充要條件的證明
【分析】對每個命題分別判斷即可得到答案.
【詳解】對于①，由，而顯然.
從而是向量的必要不充分條件，故①正確.
對于②，向量，不相等，但滿足且，故②錯誤.
對于③，因為，則且，
又不共線，所以四邊形是平行四邊形.
反之，在平行四邊形中，由于平行四邊形對邊平行且長度相等，故有.
所以是四邊形為平行四邊形的充要條件，故③正確.
故答案為：①③.
12．（23-24高一下·全國·課后作業(yè)）如圖所示，O是正三角形ABC的中心，四邊形AOCD和四邊形AOBE均為平行四邊形，

則：（1）與向量相等的向量有；
（2）與向量相反的向量有；
（3）與向量的模相等的向量有 .（填圖中所畫出的向量）
【答案】，，，，，
【知識點】相反向量、相等向量、向量的模
【分析】根據已知，結合圖象以及向量的概念，即可得出答案.
【詳解】因為O是正三角形ABC的中心，所以.
因為四邊形AOCD為平行四邊形，所以，且.
根據圖象可知，與向量相等的向量有；
由已知可得，，且，且.
所以，與向量相反的向量有，；
因為，，
所以與向量的模相等的向量有，，，，.
故答案為：；，；，，，，.
四、解答題
13．（23-24高一·上?！ふn堂例題）如圖，在中，點D、E、F分別是、、的中點，根據下列條件，寫出相應的向量：
(1)與向量相等的向量；
(2)向量的負向量；
(3)與向量平行的向量．
【答案】(1)，
(2)，，
(3)，，，，，，
【知識點】相反向量、平行向量（共線向量）、相等向量
【分析】（1）利用向量相等概念求解；
（2）向量的相反向量的概念求解；
（3）向量共線的定義求解．
【詳解】（1）與向量相等的向量：，；
（2）向量的負向量：，，；
（3）與向量平行的向量：，，，，，，.
14．（24-25高一下·全國·課后作業(yè)）在如圖的方格紙中，小方格的邊長為1，畫出下列向量．
(1)，點A在點O的正西方向；
(2)，點B在點O的北偏西方向；
(3)根據（1）（2），作出向量并求出的值．
【答案】(1)圖象見解析
(2)圖象見解析
(3)圖象見解析，
【知識點】向量的模、平面向量的概念與表示
【分析】（1）根據要求畫出點的位置即可；
（2）根據要求畫出點的位置即可；
（3）向量由點指向點，畫出圖形即可求出．
【詳解】（1）因為，點A在點O的正西方向，故向量如圖所示．
（2）因為，點B在點O的北偏西方向，故向量如圖所示．
（3）向量如圖所示，．
15．（2024高一·江蘇·專題練習）如圖所示，O是正六邊形ABCDEF的中心，且，，在每兩點所確定的向量中．
(1)與的長度相等、方向相反的向量有哪些？
(2)與共線的向量有哪些？
【答案】(1)答案見解析；
(2)答案見解析．
【知識點】相反向量、平行向量（共線向量）
【分析】
（1）由相反向量的概念即可求解；
（2）由共線向量的概念即可求解.
【詳解】（1）
與的長度相等、方向相反的向量有，，，．
（2）
與共線的向量有，，，，，，，，．
模塊一思維導圖串知識
模塊二基礎知識全梳理（吃透教材）
模塊三核心考點舉一反三
模塊四小試牛刀過關測
1.通過閱讀課本，查閱資料，并能結合物理中的力、位移、速度等具體背景認識向量，掌握向量與數(shù)量的區(qū)別與聯(lián)系；
2.認真閱讀課本，在讀書過程中學會用有向線段、字母表示向量，了解有向線段與向量的聯(lián)系與區(qū)別；
3.在認真學習的基礎上，理解零向量、單位向量、平行向量、共線向量、相等向量及向量的模等概念，會辨識圖形中這些相關的概念．學會向量的表示方法；

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