（預(yù)習(xí)）2025年高一數(shù)學(xué)寒假講義+隨堂檢測(cè) 第09講正弦定理（2份，原卷版+教師版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、正弦定理
（1）正弦定理的描述
①文字語(yǔ)言：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等.
②符號(hào)語(yǔ)言：在中，若角、及所對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別為，及，則有
（2）正弦定理的推廣及常用變形公式
在中，若角、及所對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別為，及，其外接圓半徑為，則
①
②；；；
③
④
⑤，，（可實(shí)現(xiàn)邊到角的轉(zhuǎn)化）
⑥，，（可實(shí)現(xiàn)角到邊的轉(zhuǎn)化）
二、三角形面積公式
三角形面積的計(jì)算公式：
①；
②；
③（其中，是三角形的各邊長(zhǎng)，是三角形的內(nèi)切圓半徑）；
④(其中，是三角形的各邊長(zhǎng)，是三角形的外接圓半徑).
題型一：已知兩角和一邊解三角形
策略方法
解決已知兩角及一邊類型的解題方法
(1)若所給邊是已知角的對(duì)邊時(shí),可由正弦定理求另一邊,再由三角形內(nèi)角和定理求出第三個(gè)角,最后由正弦定理求第三邊.
(2)若所給邊不是已知角的對(duì)邊時(shí),先由三角形內(nèi)角和定理求第三個(gè)角,再由正弦定理求另外兩邊.
【例1】在△ABC中，若，，，則（）
A． B． C． D．
【變式1-1】在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，，，則（）
A．8 B．5 C．4 D．3
【變式1-2】在中，若，，，則．
【變式1-3】在中，，，，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，且，則 .
題型二：已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形
策略方法
(1)已知兩邊及其中一邊的對(duì)角解三角形的思路
①由正弦定理求出另一邊對(duì)角的正弦值;
②如果已知的角為大邊所對(duì)的角時(shí),由三角形中大邊對(duì)大角,大角對(duì)大邊的法則能判斷另一邊所對(duì)的角為銳角,由正弦值可求銳角;
③如果已知的角為小邊所對(duì)的角時(shí),則不能判斷另一邊所對(duì)的角為銳角,這時(shí)由正弦值可求兩個(gè)角,要分類討論.
(2)已知兩邊及其中一邊的對(duì)角判斷三角形解的個(gè)數(shù)的方法
①應(yīng)用三角形中大邊對(duì)大角的性質(zhì)以及正弦函數(shù)的值域判斷解的個(gè)數(shù);
②在△ABC中,已知a,b和A,以點(diǎn)C為圓心,以邊長(zhǎng)a為半徑畫(huà)弧,此弧與除去頂點(diǎn)A的射線AB的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)即為三角形解的個(gè)數(shù),解的個(gè)數(shù)見(jiàn)下表:
【例2】設(shè)的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若則的值可以為（）
A． B． C． D．或
【變式2-1】中，，，，則（）
A． B． C． D．
【變式2-2】在△ABC中，角 A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若則C=（）
A． B． C． D．
【變式2-3】在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為 a， b，c，已知，則csB=（）
A． B． C． D．
【變式2-4】已知中，，，，則（）
A． B．或 C． D．或
【變式2-5】在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，根據(jù)下列條件解三角形，其中有兩解的是（）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【變式2-6】在中，已知，，若有兩解，則邊的取值范圍為 .
題型三：判斷三角形的形狀
策略方法
(1)判斷三角形形狀時(shí),應(yīng)圍繞三角形的邊角關(guān)系,利用正弦定理或余弦定理進(jìn)行邊角互化,要么把角轉(zhuǎn)化為邊,通過(guò)代數(shù)變形找出邊之間的關(guān)系,要么把邊轉(zhuǎn)化為角,通過(guò)三角變換找出角之間的關(guān)系,當(dāng)然也可以邊角同時(shí)考慮.
(2)在解題中,若出現(xiàn)關(guān)于邊的齊次式(方程),或關(guān)于角的正弦的齊次式(方程),可通過(guò)正弦定理,進(jìn)行邊角互化.
【例3】已知的三個(gè)角的對(duì)邊分別為，且滿足，則的形狀為（）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
【變式3-1】在中，已知，且，則該三角形的形狀是（）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等邊三角形 D．鈍角三角形
【變式3-2】在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，且，則形狀為（）
A．銳角三角形 B．直角三角形
C．鈍角三角形 D．等腰直角三角形
【變式3-3】在中，角所對(duì)的邊分別為，已知，，則的形狀為（）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等邊三角形 D．等腰直角三角形
【變式3-4】在中，若，則的形狀為（）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
【變式3-5】在△ABC中，已知，且，則△ABC的形狀是（）
A．等腰三角形 B．等邊三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
題型四：與三角形面積相關(guān)的問(wèn)題
策略方法三角形面積的計(jì)算公式
①；
②；
③（其中，是三角形的各邊長(zhǎng)，是三角形的內(nèi)切圓半徑）；
【例4】已知中，，且的面積為，則（）
A． B．或 C． D．或
【變式4-1】在中，三個(gè)內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，，，則的面積為（）
A． B． C． D．21
【變式4-2】在中，分別是角所對(duì)的邊，，則的面積為（）
A． B． C． D．
【變式4-3】的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，則的面積為（）
A． B． C．1 D．2
【變式4-4】在中，，，分別為，，的對(duì)邊，且，，的面積為，那么等于（）
A． B． C． D．
題型五：正余弦定理的綜合應(yīng)用
策略方法
(1)判斷三角形形狀時(shí),應(yīng)圍繞三角形的邊角關(guān)系,利用正弦定理或余弦定理進(jìn)行邊角互化,要么把角轉(zhuǎn)化為邊,通過(guò)代數(shù)變形找出邊之間的關(guān)系,要么把邊轉(zhuǎn)化為角,通過(guò)三角變換找出角之間的關(guān)系,當(dāng)然也可以邊角同時(shí)考慮.
(2)在解題中,若出現(xiàn)關(guān)于邊的齊次式(方程),或關(guān)于角的正弦的齊次式(方程),可通過(guò)正弦定理,進(jìn)行邊角互化.
【例5】在中，，則（）
A． B． C． D．
【變式5-1】在中，若，則的面積為（）
A． B． C．或 D．
【變式5-2】在中，，，且的面積為，則（）
A． B． C． D．
【變式5-3】已知中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，若，且，那么是（）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形
【變式5-4】已知的角的對(duì)邊分別為，且滿足，若，，則（）
A． B． C． D．
【變式5-5】在中，，，所對(duì)的邊分別是，，，，，且滿足，則該三角形的外接圓的面積為（）
A． B． C． D．
【變式5-6】已知△的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且．
(1)求證：；
(2)若的面積為，且，求．
正弦定理隨堂檢測(cè)
1．在中，已知，，，則邊的長(zhǎng)為（）
A．B．C．D．
2．在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，，，，則此三角形的解的情況是（）
A．有一解B．有兩解
C．無(wú)解D．有解但解的個(gè)數(shù)不確定
3．在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，．，，則（）
A．B．C．D．
4.在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，，，則（）
A．8B．5C．4D．3
5．若，且，則的形狀為（）
A．直角三角形 B．鈍角三角形 C．等腰直角三角形 D．等邊三角形
6．在中，若，則的面積為（）
A． B． C．或 D．
7．設(shè)△ABC內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，若，，，則．
8．設(shè)的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別是，，，若，，，則 .
9.在中，角、、的對(duì)邊分別為、、，已知，，，則．
10．在中，，，，則邊上的高為 .
11．記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，若，，，則的面積為 .
12．在中，內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，的面積為，，，則 .
13．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，且，，則；面積為．
14．已知內(nèi)角的對(duì)邊分別為，設(shè).
(1)求；
(2)若的面積為，求的值.
15．記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知.
(1)求的值；
(2)若，且的周長(zhǎng)為，求邊上的高.
①已知兩角和一邊解三角形
②已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形
③判斷三角形的形狀
④與三角形面積相關(guān)的問(wèn)題
⑤正余弦定理的綜合應(yīng)用
A為鈍角
A為直角
A為銳角
a>b
一解
一解
一解
a=b
無(wú)解
無(wú)解
一解
absin A
兩解
a=bsin A
一解
a

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