一、向量的概念
（1）向量的概念
在數(shù)學中,我們把既有大小又有方向的量叫做向量.
①我們所學的向量是自由向量,即只有大小和方向,而無特定的位置,這樣的向量可以作任意平移.
②向量與向量之間不能比較大小.
（2）數(shù)量
只有大小沒有方向的量稱為數(shù)量,如年齡、身高、長度、面積體積、質量等
（3）向量與數(shù)量的區(qū)別
①向量與數(shù)量的區(qū)別:向量有方向,而數(shù)量沒有方向；數(shù)量與數(shù)量之間可以比較大小,而向量與向量之間不能比較大小；
②向量與矢量:數(shù)學中的向量是從物理中的矢量(如位移、力、加速度、速度等)中抽象出來的,但在這里我們僅考慮它的大小及方向；而物理中的這些量,既同時具備大小和方向這兩個屬性,還具有其他屬性(如“力”就是由大小方向、作用點所決定的).
二、向量的幾何表示
(1)有向線段
具有方向的線段叫做有向線段
①有向線段:具有方向的線段叫做有向線段,其方向是由起點指向終點.以為起點、為終點的有向線段記作(如圖所示),線段的長度也叫做有向線段的長度,記作. 表示有向線段時,起點一定要寫在終點的前面,上面標上箭頭.
②有向線段的三個要素:起點、方向、長度.知道了有向線段的起點、方向、長度,它的終點就唯一確定了.
（2）向量的表示
①幾何表示:向量可以用有向線段表示,有向線段的長度表示向量的大小,有向線段的方向表示向量的方向.
②字母表示:向量可以用字母,,,…表示
（3）向量的模
向量的大小稱為向量的長度(或稱模),記作.
（4）兩種特殊的向量
零向量:長度為0的向量叫做零向量,記作.
單位向量:長度等于1個單位長度的向量,叫做單位向量
①若用有向線段表示零向量,則其終點與起點重合.
②要注意0與的區(qū)別與聯(lián)系:0是一個實數(shù),是一個向量,且有；書寫時表示零向量,一定不能漏掉0上的箭頭.
③單位向量有無數(shù)個,它們大小相等,但方向不一定相同.
④在平面內,將表示所有單位向量的有向線段的起點平移到同一點,則它們的終點構成一個半徑為1的圓.
三、相等向量與共線向量
(1)平行向量
方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.向量與平行,記作.規(guī)定:零向量與任意向量平行,即對于任意向量,都有.
(2)相等向量
長度相等且方向相同的向量叫做相等向量.
向量與相等,記作.兩個向量相等必須具備的條件是長度相等,方向相同因為向量完全由它的方向和模確定,故任意兩個相等的非零向量,都可用同一條有向線段來表示,并且與有向線段的起點無關.
（3）共線向量
任一組平行向量都可以平移到同一條直線上,因此,平行向量也叫做共線.
共線向量所在直線平行或重合,如果兩個向量所在的直線平行或重合,則這兩個向量是共線向量.
題型一：向量的有關概念及辨析
策略方法
解決與向量概念有關問題的關鍵是突出向量的核心——方向和長度,只有緊緊抓住概念的核心才能順利解決與向量概念有關的問題.
【例1】（多選）下列命題中正確的是
A．單位向量的模都相等
B．長度不等且方向相反的兩個向量不一定是共線向量
C．若與滿足，且與同向,則
D．兩個有共同起點而且相等的向量，其終點必相同
【變式1-1】給出下列物理量：
①質量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功；⑨時間．
其中不是向量的有（ ）
A．3個B．4個C．5個D．6個
【變式1-2】（多選）下列說法錯誤的是（ ）
A．零向量沒有方向 B．零向量與零向量共線
C．若，，則 D．溫度含零上溫度和零下溫度，所以溫度是向量
【變式1-3】（多選）下列說法中正確的是（ ）
A．單位向量都相等
B．任一向量與它的相反向量不相等
C．四邊形是平行四邊形的充要條件
D．模為0是一個向量的方向是任意的充要條件
【變式1-4】下列結論正確的序號是 .
①若，都是單位向量，則；
②物理學中作用力與反作用力是一對共線向量；
③方向為南偏西60°的向量與北偏東60°的向量是共線向量；
④直角坐標平面上的x軸，y軸都是向量.
【變式1-5】對下列命題：
（1）若向量與同向，且，則；
（2）若向量，則與的長度相等且方向相同或相反；
（3）對于任意向量，若與的方向相同，則；
（4）由于方向不確定，故不與任意向量平行；
（5）向量與平行，則向量與方向相同或相反．
其中正確的命題的個數(shù)為
題型二：相等向量與共線向量
策略方法
相等向量與共線向量的探求方法
(1)尋找相等向量:先找與表示已知向量的有向線段長度相等的向量,再確定哪些是同向共線.
(2)尋找共線向量:先找與表示已知向量的有向線段平行或共線的線段,再構造同向與反向的向量.
【例2】給出下列命題：
①和的模相等；②方向不同的兩個向量一定不平行；③；④．
其中正確命題的個數(shù)是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【變式2-1】已知兩個非零向量與共線，下列說法不正確的是（ ）
A．或 B．與平行
C．與方向相同或相反 D．存在實數(shù)，使得
【變式2-2】給出下列四個命題：①若，則；②若，則或；③若，則；④若，則. 其中的正確命題有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【變式2-3】已知四邊形，下列說法正確的是（ ）
A．若，則四邊形為平行四邊形
B．若，則四邊形為矩形
C．若，且，則四邊形為矩形
D．若，且，則四邊形為梯形
【變式2-4】（多選）下列命題中錯誤的有（ ）
A．起點相同的單位向量，終點必相同；
B．已知向量，則四邊形ABCD為平行四邊形；
C．若，則；
D．若，則
【變式2-5】下列五個命題：
①向量與共線，則必在同一條直線上；
②如果向量與平行，則與方向相同或相反；
③四邊形P1P2OA是平行四邊形的充要條件是；
④若，則、的長度相等且方向相同或相反；
⑤由于零向量方向不確定，故零向量與任何向量不平行.
其中正確的命題有 個.題型三：向量的表示與向量的模
策略方法
(1)向量的兩種表示方法
①幾何表示法:先確定向量的起點,再確定向量的方向,最后根據(jù)向量的長度確定向量的終點.②字母表示法:為了便于運算可用字母a,b,c表示,為了聯(lián)系平面幾何中的圖形性質,可用表示向量的有向線段的起點與終點表示向量,如AB→,CD→,EF→等.
(2)向量的模也就是向量的長度,求解已知圖形中的向量的模的問題,一般轉化為求圖形中線段的長度問題.
【例3】下列說法錯誤的是（ ）
A．任一非零向量都可以平行移動B．是單位向量，則
C．D．若，則
【變式3-1】如圖，在中，點D?E?F分別是邊BC?CA?AB的中點，在以A?B?C?D?E?F為端點的向量中，與向量的模相等的向量的個數(shù)是 .
【變式3-2】在靜水中船的速度為，水流的速度為，如果船從岸邊出發(fā)沿垂直于水流的航線到達對岸，則經過，該船的實際航程是 .
【變式3-3】在如圖的方格紙中，畫出下列向量．

(1)，點在點的正西方向；
(2)，點在點的北偏西方向；
(3)求出的值．
【變式3-4】一艘軍艦從基地A出發(fā)向東航行了200海里到達基地B，然后改變航線向東偏北航行了400海里到達C島，最后又改變航線向西航行了200海里到達D島．
（1）試作出向量；
（2）求．
平面向量的概念 隨堂檢測
1.下列說法正確的個數(shù)是（ ）
（1）溫度、速度、位移、功這些物理量是向量；
（2）零向量沒有方向；
（3）向量的模一定是正數(shù)；
（4）非零向量的單位向量是唯一的．
A．0B．1C．2D．3
2.下列說法正確的是（ ）
A．身高是一個向量
B．溫度有零上溫度和零下溫度之分，故溫度是向量
C．有向線段由方向和長度兩個要素確定
D．有向線段和有向線段的長度相等
3.下列說法錯誤的是（ ）
A．長度為0的向量叫做零向量
B．零向量與任意向量都不平行
C．平行向量就是共線向量
D．長度等于1個單位長度的向量叫做單位向量
4．如圖，在四邊形ABCD中，若，則圖中相等的向量是（ ）

A．與B．與C．與D．與
5.如圖，在正六邊形中，點為其中點，則下列判斷錯誤的是（ ）

A． B． C． D．
6．(多選)下列命題的判斷正確的是（ ）
A．若向量與向量共線，則A，B，C，D四點在一條直線上
B．若A，B，C，D四點在一條直線上，則向量與向量共線
C．若A，B，C，D四點不在一條直線上，則向量與向量不共線
D．若向量與向量共線，則A，B，C三點在一條直線上
7．（多選題）給出下列命題，不正確的有（ ）
A．若兩個向量相等，則它們的起點相同，終點相同
B．若A，B，C，D是不共線的四點，且＝，則四邊形ABCD為平行四邊形
C．的充要條件是且
D．已知λ，μ為實數(shù)，若，則與共線
8.下列命題正確的是（ ）
A．零向量沒有方向B．若，則
C．若，，則D．若，，則
9.下列命題：①若，則；
②若，，則；
③的充要條件是且；
④若，，則；
⑤若、、、是不共線的四點，則是四邊形為平行四邊形的充要條件.其中，真命題的個數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
10.在如圖所示的半圓中，AB為直徑，點O為圓心，C為半圓上一點，且，，則等于（ ）
A．1B．C．D．2
11.下列命題中，正確的是 （填序號）.
①有向線段就是向量，向量就是有向線段；
②向量與向量平行，則與的方向相同或相反；
③兩個向量不能比較大小，但它們的模能比較大小.
12.如圖所示，在中，分別為的中點．圖中與相等的向量為 ．
13.四邊形，，都是全等的菱形，與相交于點，則下列關系中正確的序號是 ．
①；②；③；④．
14.已知O為正六邊形的中心，在圖所標出的向量中：

(1)試找出與共線的向量；
(2)確定與相等的向量；
(3)與相等嗎？
15.在圖中的方格紙中有一個向量，分別以圖中的格點為起點和終點作向量，其中與相等的向量有多少個？與長度相等的共線向量有多少個（除外）？

①向量的有關概念及辨析
②相等向量與共線向量
③向量的表示與向量的模

相關試卷

（預習課）人教A版高一數(shù)學寒假講義第11講 復數(shù)的四則運算+鞏固練習+隨堂檢測（2份，原卷版+教師版）：

這是一份（預習課）人教A版高一數(shù)學寒假講義第11講 復數(shù)的四則運算+鞏固練習+隨堂檢測（2份，原卷版+教師版），文件包含預習課人教A版高一數(shù)學寒假講義第11講復數(shù)的四則運算+鞏固練習+隨堂檢測教師版docx、預習課人教A版高一數(shù)學寒假講義第11講復數(shù)的四則運算+鞏固練習+隨堂檢測教師版pdf、預習課人教A版高一數(shù)學寒假講義第11講復數(shù)的四則運算+鞏固練習+隨堂檢測原卷版docx、預習課人教A版高一數(shù)學寒假講義第11講復數(shù)的四則運算+鞏固練習+隨堂檢測原卷版pdf等4份試卷配套教學資源，其中試卷共51頁， 歡迎下載使用。

（預習課）人教A版高一數(shù)學寒假講義第10講 復數(shù)的概念+鞏固練習+隨堂檢測（2份，原卷版+教師版）：

這是一份（預習課）人教A版高一數(shù)學寒假講義第10講 復數(shù)的概念+鞏固練習+隨堂檢測（2份，原卷版+教師版），文件包含預習課人教A版高一數(shù)學寒假講義第10講復數(shù)的概念+鞏固練習+隨堂檢測教師版docx、預習課人教A版高一數(shù)學寒假講義第10講復數(shù)的概念+鞏固練習+隨堂檢測教師版pdf、預習課人教A版高一數(shù)學寒假講義第10講復數(shù)的概念+鞏固練習+隨堂檢測原卷版docx、預習課人教A版高一數(shù)學寒假講義第10講復數(shù)的概念+鞏固練習+隨堂檢測原卷版pdf等4份試卷配套教學資源，其中試卷共54頁， 歡迎下載使用。

（預習課）人教A版高一數(shù)學寒假講義第09講 平面向量的應用+鞏固練習+隨堂檢測（2份，原卷版+教師版）：

這是一份（預習課）人教A版高一數(shù)學寒假講義第09講 平面向量的應用+鞏固練習+隨堂檢測（2份，原卷版+教師版），文件包含預習課人教A版高一數(shù)學寒假講義第09講平面向量的應用+鞏固練習+隨堂檢測教師版docx、預習課人教A版高一數(shù)學寒假講義第09講平面向量的應用+鞏固練習+隨堂檢測教師版pdf、預習課人教A版高一數(shù)學寒假講義第09講平面向量的應用+鞏固練習+隨堂檢測原卷版docx、預習課人教A版高一數(shù)學寒假講義第09講平面向量的應用+鞏固練習+隨堂檢測原卷版pdf等4份試卷配套教學資源，其中試卷共85頁， 歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關試卷 更多

（預習課）人教A版高一數(shù)學寒假講義第08講 平面向量基本定理及坐標表示+鞏固練習+隨堂檢測（2份，原卷版+教師版）

（預習課）人教A版高一數(shù)學寒假講義第08講 平面向量基本定理及坐標表示+鞏固練習+隨堂檢測（2份，原卷版+教師版）
（預習課）人教A版高一數(shù)學寒假講義第07講 平面向量的運算+鞏固練習+隨堂檢測（2份，原卷版+教師版）

（預習課）人教A版高一數(shù)學寒假講義第07講 平面向量的運算+鞏固練習+隨堂檢測（2份，原卷版+教師版）
（預習課）人教A版高一數(shù)學寒假講義第06講 平面向量的概念+鞏固練習+隨堂檢測（2份，原卷版+教師版）

（預習課）人教A版高一數(shù)學寒假講義第06講 平面向量的概念+鞏固練習+隨堂檢測（2份，原卷版+教師版）
（復習課）人教A版高一數(shù)學寒假講義第03講 函數(shù)的概念與性質+鞏固練習+隨堂檢測（2份，原卷版+教師版）

（復習課）人教A版高一數(shù)學寒假講義第03講 函數(shù)的概念與性質+鞏固練習+隨堂檢測（2份，原卷版+教師版）
資料下載及使用幫助
版權申訴
版權申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內容侵犯了您的知識產權，請掃碼添加我們的相關工作人員，我們盡可能的保護您的合法權益。
入駐教習網，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權申訴二維碼
寒假專區(qū)
歡迎來到教習網
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經成功發(fā)送，5分鐘內有效

設置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習網「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部