一、平面向量數(shù)量積的坐標表示
在平面直角坐標系中，設(shè)，分別是軸，軸上的單位向量．向量分別等價于，，根據(jù)向量數(shù)量積的運算，有：由于，為正交單位向量，故，，，，從而．即，其含義是：兩個向量的數(shù)量積等于它們對應(yīng)坐標的乘積的和．
二、兩個向量平行、垂直的坐標表示
已知非零向量，
（1）．
（2）
三、向量模的坐標表示
（1）向量模的坐標表示
若向量，由于，所以．其含義是：向量的模等于向量坐標平方和的算術(shù)平方根．
（2）兩點間的距離公式
已知原點，點，則，于是．
其含義是：向量的模等于A，B兩點之間的距離．
（3）向量的單位向量的坐標表示：設(shè)，表示方向上的單位向量
四、兩向量夾角余弦的坐標表示
已知非零向量，是與的夾角，則．
五、數(shù)量積的坐標運算
已知非零向量，，為向量、的夾角．
題型一：平面向量數(shù)量積的坐標表示
策略方法 平面向量數(shù)量積的三種運算方法
【例1】已知，，若，則x等于（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】C
【分析】由平面向量的坐標運算即可得出答案.
【詳解】由題意，，，，，解得：.故選：C.
【變式1-1】已知（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由平面向量的坐標的加減運算及數(shù)量積公式求解結(jié)果.
【詳解】，，.故選：A.
【變式1-2】已知向量，，，則的最小值是（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【分析】根據(jù)數(shù)量積的坐標運算可得，結(jié)合二次函數(shù)運算求解.
【詳解】由題意可得：，當(dāng)時，則取到最小值.故選：A.
【變式1-3】在矩形ABCD中，若，，且，則的值為（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】D
【詳解】建立如圖所示坐標系，設(shè)，，，，，，由可得： ，，由，可得，解得，或舍去，則．故選：D．

【變式1-4】如圖所示，為正三角形，，則 ．

【答案】
【分析】建立平面直角坐標系，把數(shù)量積運算轉(zhuǎn)化為坐標運算.
【詳解】如圖建立平面直角坐標系，

易知：，∴，∴
故答案為：
【變式1-5】在邊長為的正方形中，是中點，則 ；若點在線段上運動，則的最小值是 .
【答案】
【分析】根據(jù)題意，以為坐標原點，建立如圖所示平面直角坐標系，結(jié)合平面向量的坐標運算，代入計算，即可得到結(jié)果.
【詳解】
根據(jù)題意，以為坐標原點，建立如圖所示平面直角坐標系，
因為正方形的邊長為，且是中點，則，
則，所以；設(shè)，其中，
則，則，所以，，
則，，
其中，，當(dāng)時，有最小值為.所以的最小值是.
故答案為：30；
題型二：坐標表示中的垂直問題
策略方法
1．利用坐標運算證明兩個向量的垂直問題
若證明兩個向量垂直，先根據(jù)共線、夾角等條件計算出這兩個向量的坐標；然后根據(jù)數(shù)量積的坐標運算公式，計算出這兩個向量的數(shù)量積為0即可．
2．已知兩個向量的垂直關(guān)系，求解相關(guān)參數(shù)的值
根據(jù)兩個向量垂直的充要條件，列出相應(yīng)的關(guān)系式，進而求解參數(shù)．
【例2】已知向量．若，則（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【分析】根據(jù)向量減法的坐標運算和向量垂直的數(shù)量積表示即可求值.
【詳解】由向量，則
因為，所以，解得.故選：A
【變式2-1】已知向量，，若實數(shù)λ滿足，則（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】先表示出的坐標，然后根據(jù)垂直關(guān)系得到的方程，由此求解出結(jié)果.
【詳解】因為，且，所以，所以，
故選：A.
【變式2-2】已知向量，，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】用坐標表示向量，根據(jù)向量垂直的坐標運算建立方程，并化簡得結(jié)果.
【詳解】法一：用坐標表示向量
由題意可知，，由得，
，整理得，，所以．則A對；
法二：因為向量，所以，又，
所以，所以.故選：A．
【變式2-3】已知向量，且，則向量在向量方向上的投影向量為 .
【答案】
【分析】首先求出，，再根據(jù)向量垂直得到，即可求出，最后根據(jù)計算.
【詳解】因為，，則，，
又，所以，即，解得，所以，
則向量在向量方向上的投影向量為.故答案為：
【變式2-4】已知為平面向量，且.
(1)若，且與垂直，求實數(shù)的值；
(2)若，且，求向量的坐標.
【答案】(1)；(2)或
【分析】（1）利用向量運算的坐標表示，利用向量垂直的坐標表示，列出方程，求解作答.
（2）利用向量共線設(shè)出的坐標，利用坐標求模，列式計算作答.
【詳解】（1）因為，所以，
又因為與垂直，所以，即，得，所以.
（2）因為得，又因為，所以，
即，所以，故或.
題型三：坐標表示中的模長問題
策略方法
求向量模的方法
(1)a2＝a·a＝|a|2或|a|＝eq \r(a·a)．
(2)若a＝(x，y)，則|a|＝eq \r(x2＋y2)．
【例3】已知向量，，則 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【詳解】由題意知，所以，故選：D．
【變式3-1】已知向量，.若與垂直，則（ ）
A．1 B． C．2 D．4
【答案】B
【分析】根據(jù)向量垂直的坐標表示求出，再由向量的坐標求模即可.
【詳解】因為與垂直，，，所以，解得，
所以，故.故選：B
【變式3-2】已知平面向量，，滿足，，且．若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)向量的垂直和數(shù)量積的坐標表示求出，再用坐標公式求模即可.
【詳解】設(shè)，則，可得，所以.故選:A
【變式3-3】已知平面向量，，，的夾角為60°，，則實數(shù)（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【分析】平方后由平面向量數(shù)量積的運算律求解，
【詳解】因為，所以.即，解得，
故選：C.
【變式3-4】已知向量，的夾角為，且．
(1)若，求的坐標；
(2)若，，求的最小值．
【答案】(1)或；(2).
【分析】（1）設(shè)出的坐標，利用向量模的坐標表示及數(shù)量積的定義列式求解作答.
（2）利用垂直關(guān)系的向量表示求出，再利用數(shù)量積的運算律建立函數(shù)關(guān)系，求出最小值作答.
【詳解】（1）設(shè)，由，得，即，
而向量，的夾角為，則，又，
即，解得，于是，即有或，所以的坐標是或.
（2）由，得，即，因此，，
因此
，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
所以當(dāng)時，取得最小值.
題型四：坐標表示中的夾角問題
策略方法 求向量夾角問題的方法
【例4】已知向量，，則向量與夾角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由平面向量的坐標運算分別得到以及，然后由平面向量的夾角公式即可解出.
【詳解】∵向量，，∴，∴，，
∴向量與夾角的余弦值為.故選：D．
【變式4-1】已知向量，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標表示及夾角公式求解即可.
【詳解】因為，，，所以，，則，，
故．故選：A．
【變式4-2】已知向量，，若與的夾角的余弦值為，且，則可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由與的夾角的余弦值，利用向量數(shù)量積求出的值，由，，求出的坐標特征即可.
【詳解】向量，，若與的夾角的余弦值為，
則有，解得，則有，
設(shè)，由，則有，解得，B選項符合.故選：B
【變式4-3】已知向量，，，若，則等于
【答案】
【分析】確定，再利用向量的夾角公式計算得到答案.
【詳解】，，，，即，即，解得.故答案為：.
【變式4-4】已知向量，且與的夾角為.
(1)求及；
(2)若與所成的角是銳角，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)；(2)且
【分析】（1）根據(jù)與的夾角列方程，由此求得，進而求得.
（2）根據(jù)與所成的角是銳角列不等式，由此求得實數(shù)的取值范圍.
【詳解】（1）由于與的夾角為，所以，解得，
則，所以
（2），
由于與所成的角是銳角，所以，，解得且.
平面向量數(shù)量積的坐標表示 隨堂檢測
1．已知，，則（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】根據(jù)向量的坐標運算求解.
【詳解】由題意可得：，所以.故選：A.
2．已知向量，且，則實數(shù)（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】由.
因為，所以．故選:A.
3．已知向量，，則（ ）
A． B．5 C． D．4
【答案】B
【分析】根據(jù)平面向量坐標運算求出，再由向量模公式求解即可.
【詳解】因為，所以.故選：B
4．已知平面向量，滿足，且，則（ ）
A．4 B．5 C． D．2
【答案】B
【分析】設(shè)，根據(jù)向量的模、向量垂直列方程，求得的坐標，進而求得.
【詳解】設(shè)，因為，，所以，即①．又因為，所以，即，即②．聯(lián)立①②可得或，所以或，所以.
故選：B
5.已知向量，，且與的夾角余弦值為，則（ ）
A．或 B．或 C． D．或
【答案】B
【分析】利用數(shù)量積運算性質(zhì)、向量夾角公式即可得出．
【詳解】，，，顯然，
故有：，解得或．故選：B．
6．已知向量，若，則在上的投影為（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【分析】首先根據(jù)向量垂直的坐標運算求出，然后根據(jù)數(shù)量積的幾何意義即可求出投影.
【詳解】因為向量，若，所以，即，
，則在上的投影為，故選：A.
7．已知向量，則 .
【答案】
【分析】先求出，再根據(jù)數(shù)量積的坐標表示求解即可.
【詳解】，，，
故答案為：.
8．已知向量，，若，則 ．
【答案】
【分析】根據(jù)數(shù)量積公式求得，再根據(jù)二倍角的正切公式，即可求解.
【詳解】，得，.
故答案為：
9．已知向量，，若，則 .
【答案】
【分析】由題可得 ，再利用向量數(shù)量積的坐標公式即可求解.
【詳解】向量，，，又，則，解得.
故答案為：
10．已知向量，滿足，，，則等于 ．
【答案】
【分析】根據(jù)平面向量的數(shù)量積的運算律和坐標運算求解.
【詳解】因為向量，滿足，，，所以，解得，
所以，故答案為: .
11．已知向量，且，則向量在向量方向上的投影向量為 .
【答案】
【分析】首先求出，，再根據(jù)向量垂直得到，即可求出，最后根據(jù)計算可得.
【詳解】因為，，則，，
又，所以，即，解得，所以，
則向量在向量方向上的投影向量為.故答案為：
12．若向量，，且，則與的夾角為 .
【答案】
【分析】由可得，即可得，利用向量夾角的坐標表示即可求出夾角為.
【詳解】將兩邊平方可得，又，解得；所以，又，則與的夾角的余弦值為，則與的夾角為.
故答案為：
13．已知向量，滿足且.
(1)求的值；
(2)若，求實數(shù)的值.
【答案】(1)4；(2)
【分析】（1）由且可得坐標，后由向量數(shù)量積的坐標表示可得答案；（2）由（1）及向量垂直的坐標表示可得答案.
【詳解】（1）因，，則,.則；
（2）由（1），又，，則.
14．已知向量，向量．
(1)若，求與的夾角；
(2)若與的夾角為鈍角，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）根據(jù)得到與的夾角；
（2）根據(jù)與的夾角為鈍角得到且不反向共線，然后求即可.
【詳解】（1）當(dāng)時，，，與的夾角為.
（2）因為與的夾角為鈍角，所以，解得，
當(dāng)與反向共線，即時，，解得，
綜上，實數(shù)的取值范圍為.
①平面向量數(shù)量積的坐標表示
②坐標表示中的垂直問題
③坐標表示中的模長問題
④坐標表示中的夾角問題
結(jié)論
幾何表示
坐標表示
模
數(shù)量積
夾角
的充要條件
的充要條件
與
的關(guān)系
(當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立)

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