一、平面向量數(shù)列積的物理背景
如圖,一個物體在力F的作用下產(chǎn)生了位移s,且力F與位移s的夾角為，那么力F所做的功.其中是F在物體位移方向上的分量的數(shù)量,也就是力F在物體位移方向上正投影的數(shù)量.
從物理角度來看數(shù)量積的意義,有利于理解數(shù)量積的概念,兩個向量的數(shù)量積可以運算,其結(jié)果是一個數(shù)量.
二、向量的夾角
(1)定義：已知兩個非零向量,,是平面上的任意一點,作,,則叫做向量與的夾角.
(2)向量的夾角范圍.
(3)特殊情況：
①，與同向；②，與垂直，記作；③，與反向.
三、平面向量數(shù)量積的概念
（1）平面向量數(shù)量積的定義
已知兩個非零向量與,它們的夾角為,我們把數(shù)量叫做向量與的數(shù)量積(或內(nèi)積).
記作：，即.規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0
注:①“·”是數(shù)量積的運算符號,既不能省略不寫,也不能寫成“×”；②數(shù)量積的結(jié)果為數(shù)量,不再是向量；
③向量數(shù)量積的正負(fù)由兩個向量的夾角決定:當(dāng)是銳角時,數(shù)量積為正；當(dāng)是鈍角時,數(shù)量積為負(fù)；當(dāng)是直角時,數(shù)量積等于零.
（2）投影
如圖,設(shè),是兩個非零向量,,,作如下變換:過的起點和終點,分別作所在直線的垂線,垂足分別為,,得到,我們稱上述變換為向量向向量投影,叫做向量在向量上的投影向量.
注:①為向量在上的投影的數(shù)量；②為向量在上的投影的數(shù)量；
③投影的數(shù)量（）是一個值，不是向量.
四、平面向量數(shù)量積的性質(zhì)
設(shè),是非零向量,它們的夾角是,是與方向相同的單位向量,則
①.
②.
③當(dāng)與同向時,；
④當(dāng)與反向時,；
⑤ 或；
⑥；
⑦.
五、向量數(shù)量積的運算律
①交換律：
②對數(shù)乘的結(jié)合律：
③分配律：
④
⑤
題型一：平面向量的數(shù)量積的概念
策略方法
【例1】已知向量滿足，，且與夾角為30°，那么等于（ ）
A．1 B． C．3 D．
【答案】C
【分析】直接利用平面向量的數(shù)量積公式，即可求得本題答案.
【詳解】，故選：C
【變式1-1】在邊長為2的等邊中，的值是（ ）
A．4 B． C．2 D．
【答案】D
【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積運算求得正確答案.
【詳解】∵，向量與的夾角為120°，∴.
故選：D
【變式1-2】在三角形中，，，，則（ ）
A．10 B．12 C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積公式求得結(jié)果.
【詳解】記，則，，，
．故選：A.
【變式1-3】在中，，則的形狀是（ ）
A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．不能確定
【答案】D
【分析】由，可得，分析即得解.
【詳解】由題意，，，又，
為銳角，但另外兩角不能確定，故的形狀不能確定.故選：D.
【變式1-4】式已知在ABC中，AB＝AC＝4，，則ABC的形狀是 ，＝ .
【答案】等邊三角形 -8
【分析】（1）化簡得∠BAC＝60°，即得三角形形狀；
（2）直接利用向量的數(shù)量積公式求解.
【詳解】由題得，所以8＝4×4cs ∠BAC，于是cs ∠BAC＝，
因為0°

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