（預(yù)習(xí)）2025年高一數(shù)學(xué)寒假講義+隨堂檢測第05講平面向量基本定理（2份，原卷版+教師版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、平面向量基本定理
（1）平面向量基本定理
如果,是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量,有且只有一對實數(shù),,使.若,不共線,我們把,叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個基底.
（2）對平面向量基本定理的理解
①這個定理告訴我們,平面內(nèi)任意兩個不共線向量都可以作為基底,一旦選定一組基底,則平面內(nèi)的任一向量都可用該組基底唯一表示.
②對于確定的基底,,同一向量的分解式是唯一的,不同向量的分解式是不同的.
③同一個非零向量在不同的基底下分解式是不同的,零向量的分解式是唯一的,即,且.
④這個定理可推廣為:平面內(nèi)任意三個不共線的向量中,任何一個向量都可表示例示為其余兩個向量的線性組合,且形式唯一.
二、平面向量基本定理的有關(guān)結(jié)論
（1）設(shè),是平面內(nèi)一組基底，若，當(dāng)時，與共線；
當(dāng)時，與共線；當(dāng)時，，同樣的時，.
（2）設(shè)是同一平面內(nèi)的兩個不共線的向量，若，則.
題型一：基底的概念及辨析
策略方法對基底的理解
兩個向量能否作為一組基底,關(guān)鍵是看這兩個向量是否共線,若共線,則不能作基底,若不共線,則可作基底.
【例1】已知，是不共線的非零向量，則以下向量可以作為基底的是（）
A．， B．，
C．， D．，
【變式1-1】已知向量與不平行，記，，若，則（）
A．2 B． C． D．
【變式1-2】設(shè)是兩個不平行的向量，則下列四組向量中，不能組成平面向量的一個基底的是（）
A．和 B．和
C．和 D．和
【變式1-3】設(shè)，是不共線的兩個向量，給出下列四組向量：①與；②與；③與；④與．其中不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底的是．（寫出所有滿足條件的序號）
【變式1-4】若為平面內(nèi)所有向量的一組基，且，不能作為一組基，則k的值為 .
題型二：用基底表示向量
策略方法用基底表示向量的方法
將兩個不共線的向量作為基底表示其他向量,基本方法有兩種:一種是運用向量的線性運算法則對待求向量不斷進行轉(zhuǎn)化,直至用基底表示為止;另一種是通過列向量方程或方程組的形式,利用基底表示向量的唯一性求解.
【例2】在梯形中，設(shè)，，若，則（）
A． B． C． D．
【變式2-1】在中，為邊上的中線，，則（）
A． B． C． D．
【變式2-2】如圖，在平行四邊形中，為對角線的交點，為的中點，為的中點，若，則（）

A．1 B．2 C． D．
【變式2-3】在平行四邊形中，點為對角線上靠近點的三等分點，連接并延長交于點，則（）
A． B． C． D．
【變式2-4】在平行四邊形ABCD中，點P滿足，若，則的值是．
【變式2-5】在中，為線段上一點，則.
(1)若，求，的值
(2)若，，，且與的夾角為60°，求的值.
題型三：平面向量基本定理中的參數(shù)問題
策略方法
若直接利用基底表示向量比較困難,可設(shè)出目標(biāo)向量并建立其與基底之間滿足的二元關(guān)系式,然后利用已知條件及相關(guān)結(jié)論,從不同方向和角度表示出目標(biāo)向量(一般需建立兩個不同的向量表達式),再根據(jù)待定系數(shù)法確定系數(shù),建立方程或方程組,解方程或方程組即得.
【例3】已知平行四邊形中，，若，則（）
A． B． C．2 D．
【變式3-1】在中，，是直線上的一點，若則實數(shù)的值為（）
A． B． C． D．
【變式3-2】在平行四邊形中，是對角線上靠近點的四等分點，點在上，若，則（）

A． B． C． D．
【變式3-3】如圖，與的面積之比為2，點P是區(qū)域內(nèi)任意一點（含邊界），且，則的取值范圍是（）

A． B． C． D．
【變式3-4】已知在中，為的中點，是線段上的動點，若，則的最小值為 .
【變式3-5】如圖所示，中，AQ為邊BC的中線，，，，，其中，，，．

(1)當(dāng)時，用向量，表示；
(2)證明：為定值．
題型四：平面向量基本定理的綜合應(yīng)用
【例4】在三角形中，，，，若點滿足，則（）
A．4 B． C． D．
【變式4-1】已知為的外接圓的圓心且，若，且，則（）
A． B． C． D．
【變式4-2】已知平行四邊形，若點是邊的三等分點（靠近點處），點是邊的中點，直線與相交于點，則（）
A． B． C． D．
【變式4-3】在中，點是的中點，點在邊上，且與交于點，若，則長是（）
A．3.8 B．4 C．4.2 D．4.4
【變式4-4】已知是邊長為的等邊三角形，是邊上的動點，是邊的中點，則的取值范圍是（）
A． B． C． D．
平面向量基本定理隨堂檢測
1．已知向量、不共線，且，則的值等于（）
A．3B．－3C．0D．2
2.已知向量，不共線，則下列向量不可以作為一組基底的是（）
A．和 B．和
C．和 D．和
3.如圖，在中，是的中點．若，則（）

A．B．C．D．
4．在中，是邊上一點，且，若，則的值為（）
A． B． C． D．
5．在三角形ABC中，點D是AB邊上的四等分點且，AC邊上存在點E滿足，直線CD和直線BE交于點F，若，則的值為（）

A．2 B．3 C．4 D．5
6．已知中，D為的中點，，若，則 .
7．如圖，在四邊形ABCD中，，E為BC的中點，且，則．

8.正的邊長為2，D為BC邊的中點，則的模等于．
9．如圖，在中，，E是AD的中點，設(shè)，．

(1)試用，表示，；
(2)若，與的夾角為，求．
10．在中，已知在線段上，且，設(shè)．
(1)用向量表示；
(2)若，求．①基底的概念及辨析
②用基底表示向量
③平面向量基本定理中的參數(shù)問題
④平面向量基本定理的綜合應(yīng)用