一、向量的加法
（1）向量加法的定義
求兩個(gè)向量和的運(yùn)算,叫做向量的加法.兩個(gè)向量的和仍然是一個(gè)向量.對于零向量與任意向量，我們規(guī)定.
（2）向量加法的三角形法則(首尾相接連首尾）
已知非零向量,,在平面內(nèi)任取一點(diǎn),作,,則向量叫做與的和,記作,即.這種求向量和的方法,稱為向量加法的三角形法則.
（3）向量加法的平行四邊形法則（作平移,共起點(diǎn),四邊形,對角線）
已知兩個(gè)不共線向量,,作,,以,為鄰邊作,則以為起點(diǎn)的向量(是的對角線)就是向量與的和.這種作兩個(gè)向量和的方法叫做向量加法的平行四邊形法則.
（4）多個(gè)向量相加
已知個(gè)向量，依次把這個(gè)向量首尾相連，以第一個(gè)向量的始點(diǎn)為始點(diǎn)，第個(gè)向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量叫做這個(gè)向量的和向量，這個(gè)法則叫做向量求和的多邊形法則。如圖.
二、向量加法的運(yùn)算律
（1）交換律
（2）結(jié)合律
三、向量的減法
（1）相反向量
與向量長度相等,方向相反的向量,叫做的相反向量，記作.
①零向量的相反向量仍是零向量
②任意向量與其相反向量的和是零向量，即:
③若,互為相反向量,則，，.
（2）向量減法定義
向量加上的相反向量，叫做與的差，即.
求兩個(gè)向量差的運(yùn)算叫做向量的減法.
向量減法的實(shí)質(zhì)是向量加法的逆運(yùn)算.利用相反向量的定義,可以把向量的減法轉(zhuǎn)化為向量的加法進(jìn)行運(yùn)算.
（3）向量減法的幾何意義
已知向量,,在平面內(nèi)任取一點(diǎn),作,,則向量.如圖所示
如果把兩個(gè)向量,的起點(diǎn)放在一起,則可以表示為從向量的終點(diǎn)指向向量的終點(diǎn)的向量.
四、向量三角不等式
①已知非零向量，，則（當(dāng)與反向共線時(shí)左邊等號成立；當(dāng)與同向共線時(shí)右邊等號成立）；
②已知非零向量，，則（當(dāng)與同向共線時(shí)左邊等號成立；當(dāng)與反向共線時(shí)右邊等號成立）；
記憶方式：（“符異”反向共線等號成立；“符同”同向共線等號成立）如中，中間連接號一負(fù)一正“符異”，故反向共線時(shí)等號成立；右如：中中間鏈接號都是正號“符同”，故同向共線時(shí)等號成立；
題型一：向量加、減法的三角形法則和平行四邊形法則
策略方法
(1)向量加法的三角形法則與平行四邊形法則作圖的方法
(2)向量減法的三角形法則作圖的方法
此步驟可以簡記為“作平移,共起點(diǎn),兩尾連,指被減”.
【例1】化簡：（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由向量加法的三角形法則可知.
【詳解】.故選：C.
【變式1-1】化簡（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)向量的加減法法則，結(jié)合向量加法交換律即可求解.
【詳解】.故選：B
【變式1-2】四邊形是梯形，，則等于（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)向量的加法運(yùn)算法則即可求解.
【詳解】,故選：B
【變式1-3】如圖，向量，，，則向量（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)向量的加減法求解即可.
【詳解】依題意，得，故選：C．
【變式1-4】（多選）化簡以下各式，結(jié)果為的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算求解即可.
【詳解】對A，，故A正確；
對B，，故B正確；
對C，，故C錯(cuò)誤；
對D，，故D正確.故選：ABD
【變式1-5】已知為正三角形，則下列各式中成立的是 .（填序號）
①；②；③；④.
【答案】①②③
【分析】設(shè)分別為的中點(diǎn)，根據(jù)平面向量加法和減法的運(yùn)算法則逐一判斷即可得出答案.
【詳解】對于①，，故①成立；
對于②，設(shè)分別為的中點(diǎn)，則，
，，
所以，故②成立；
對于③，，所以，故③正確；
對于④，，故④不成立.故答案為：①②③.
【變式1-6】如圖，已知正方形ABCD的邊長等于1，，，，試作向量:
（1）；
（2）.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根據(jù)向量的減法可作.
（2）過B作BF∥AC，交DC的延長線于F，連接，則即為所求的.
【詳解】(1)在正方形ABCD中，.連接BD，箭頭指向B，則即為.
(2)過B作BF∥AC，交DC的延長線于F，連接AF，則四邊形ABFC為平行四邊形，
故.在△ADF中，，故即為所求.
【變式1-7】如圖，按下列要求作答．
(1)以A為始點(diǎn)，作出；
(2)以B為始點(diǎn)，作出；
(3)若圖表中小正方形邊長為1，求、．
【答案】(1)圖見解析；(2)圖見解析；(3)，
【分析】（1）將的起點(diǎn)同時(shí)平移到A點(diǎn)，利用平行四邊形法則作出；
（2）先將共線向量的起點(diǎn)同時(shí)平移到B點(diǎn),計(jì)算出,再將向量與之首尾相接，利用三角形法則即可作出；
（3）作出的向量利用勾股定理可求得，由共線向量的加法運(yùn)算可得．
【詳解】（1）將的起點(diǎn)同時(shí)平移到A點(diǎn)，利用平行四邊形法則作出，如下圖所示：
（2）先將共線向量的起點(diǎn)同時(shí)平移到B點(diǎn),計(jì)算出,再平移向量與之首尾相接，利用三角形法則即可作出，如下圖所示：
（3）由是單位向量可知，根據(jù)作出的向量利用勾股定理可知，；
由共線向量的加法運(yùn)算可知.
題型二：向量加法運(yùn)算律的應(yīng)用
策略方法
求解向量加法運(yùn)算的方法
(1)①要靈活應(yīng)用向量加法運(yùn)算律,注意各向量的起、終點(diǎn)及向量起、終點(diǎn)字母的排列順序,必要時(shí)可以利用向量的幾何表示,畫出圖形進(jìn)行化簡或計(jì)算.特別注意勿將0寫成0.
②將若干個(gè)求和(差)的向量最終轉(zhuǎn)化為首尾相接的向量,如果遇到差向量可利用相反向量轉(zhuǎn)化為和向量.
(2)注意滿足下列兩種形式的可以化簡
①首尾相連且為和.②始點(diǎn)相同且為差.
解題時(shí)要注意觀察是否有這兩種形式,同時(shí)要注意逆向應(yīng)用.
【例2】向量化簡后等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)向量的加法運(yùn)算即可得到結(jié)果.
【詳解】，故選：D
【變式2-1】已知O,A,B是平面上的三個(gè)點(diǎn)，直線AB上有一點(diǎn)C，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由, 代入運(yùn)算即可得解.
【詳解】解：因?yàn)椋?所以，故選：A.
【變式2-2】已知是非零向量，則，，，，中，與向量相等的向量的個(gè)數(shù)為（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】A
【分析】根據(jù)向量的加法運(yùn)算律判斷
【詳解】因?yàn)橄蛄康募臃M足交換律和結(jié)合律，
所以，，，，都等于，故選：A
【變式2-3】如圖，向量（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由圖可得，，然后可得答案.
【詳解】由圖可得，所以故選：D
【變式2-4】在平行四邊形中，是對角線的交點(diǎn)，下列結(jié)論不正確的是（ ）
A．， B．
C． D．
【答案】BD
【分析】利用向量相等的概念可判定選項(xiàng)A，利用向量的加法法則可判定選項(xiàng)B，C，D.
【詳解】選項(xiàng)A：因?yàn)槠叫兴倪呅危?，，故選項(xiàng)A正確；
選項(xiàng)B：因?yàn)椋c不是相等向量，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
選項(xiàng)C：因?yàn)?，，所以，故選項(xiàng)C正確；
選項(xiàng)D：因?yàn)?，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選：BD.
【變式2-5】設(shè)M，N，P，Q是數(shù)軸上不同的四點(diǎn)，給出以下關(guān)系：①；②；③；④.其中正確的序號是 .
【答案】①②③
【分析】依次根據(jù)數(shù)軸上向量的幾何運(yùn)算規(guī)律進(jìn)行計(jì)算，即可得結(jié)果.
【詳解】，①顯然正確；
，故②正確；
，故③正確；
，與不相等，故④錯(cuò).故答案為：①②③.
【變式2-6】如圖所示，求：
(1)； (2)； (3)； (4).
【答案】(1)；(2)；(3)；(4)
【分析】（1）（2）（3）（4）按照向量加法法則直接計(jì)算即可.
【詳解】（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
題型三：利用向量加減法判斷平面圖形的幾何形狀
策略方法
要熟悉并會應(yīng)用平行四邊形、菱形、矩形、正方形對角線具有的性質(zhì).基本思路是先對向量條件化簡、轉(zhuǎn)化,再找(作)圖形(三角形或平行四邊形),確定圖形的形狀,利用圖形的幾何性質(zhì)求解.
【例3】正方形的邊長為1，則為（ ）
A．1 B． C．3 D．
【答案】B
【分析】利用向量加法運(yùn)算及向量的摸的定義，結(jié)合勾股定理即可求解.
【詳解】在正方形中，如圖所示,
根據(jù)向量加法的平行四邊形法則，,又因?yàn)檎叫蔚倪呴L為1，
所以，故選：B.
【變式3-1】如圖，在正六邊形中，（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)與平面向量加法運(yùn)算法則即可得答案.
【詳解】連接，，交于點(diǎn)，由正六邊形的性質(zhì)可知，六個(gè)小三角形均為全等的正三角形，
所以且，，故選：C
【變式3-2】在矩形中，，，則等于（ ）
A． B． C．3 D．4
【答案】A
【詳解】根據(jù)向量的加法運(yùn)算法化簡，根據(jù)矩形的特征可求對角線的長度，進(jìn)而可求模長．
【分析】在矩形中，由，可得，又因?yàn)?，故，故．故選：A.
【變式3-3】已知平面內(nèi)三點(diǎn)滿足，則下列說法正確的是（ ）
A．是一個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn) B．是一條直線上的三個(gè)點(diǎn)
C．是平面內(nèi)的任意三個(gè)點(diǎn) D．是一個(gè)銳角或鈍角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)
【答案】C
【分析】根據(jù)向量加法運(yùn)算即可進(jìn)行判斷.
【詳解】由向量加法運(yùn)算可得：，
是平面內(nèi)的任意三個(gè)點(diǎn)都滿足上式，故選：C.
【變式3-4】在中，若，則的形狀為（ ）
A．等邊三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】A
【分析】根據(jù)向量的減法法則可得，由三邊相等關(guān)系即可得出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)?，，所以，所以為等邊三角形?br>故選：A
【變式3-5】已知風(fēng)機(jī)的每個(gè)轉(zhuǎn)子葉片的長度為20米，每兩個(gè)葉片之間的夾角相同，風(fēng)機(jī)塔（桿）的長度為60米，葉片隨風(fēng)轉(zhuǎn)動(dòng)，假設(shè)葉片與風(fēng)機(jī)塔在同一平面內(nèi)，如下圖所示，則的最小值為（ ）
A．40 B． C． D．80
【答案】A
【分析】由題知，，從而有，則當(dāng)風(fēng)葉旋轉(zhuǎn)到最低點(diǎn)時(shí)，最小，從而計(jì)算出模長的最小值.
【詳解】由題知，，即，則，則當(dāng)風(fēng)葉旋轉(zhuǎn)到最低點(diǎn)時(shí)，最小，且值為.故選：A
【變式3-6】在中，D，E，F(xiàn)分別是邊BC，CA，AB的中點(diǎn)，點(diǎn)G為的重心，則下述結(jié)論中正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【分析】根據(jù)向量的加法運(yùn)算、相反向量、中線的向量表示，重心的性質(zhì)分別計(jì)算求解.
【詳解】由D，E，F(xiàn)分別是邊BC，CA，AB的中點(diǎn)，點(diǎn)G為的重心，
因?yàn)?，故A錯(cuò)誤；
由, 故B錯(cuò)誤；因?yàn)? 故C正確；
因?yàn)? 故D正確.故選：CD
平面向量的加法、減法運(yùn)算 隨堂檢測
1．已知四邊形是平行四邊形，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用平面向量加法法則可化簡.
【詳解】.故選：D.
2.如圖，在正六邊形ABCDEF中，（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用向量的加法法則即可求解.
【詳解】由向量的加法法則，得.故選：A.
3.化簡以下各式:
①；②；③；④，
結(jié)果為零向量的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根據(jù)平面向量的加法運(yùn)算即可求解.
【詳解】對于①，,故①正確；
對于②，,故②錯(cuò)誤；
對于③，，故③正確；
對于④，,故④正確.
故結(jié)果為零向量的個(gè)數(shù)是3.故選:C.
4．下列各式中不能化簡為的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)平面向量線性運(yùn)算法則計(jì)算可得.
【詳解】對于A：
，故A正確；
對于B：，故B錯(cuò)誤；
對于C：，故C正確；
對于D：，故D正確；故選：B
5．在矩形中，等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)向量加法的幾何關(guān)系及矩形性質(zhì)判斷各項(xiàng)的結(jié)果，即可得答案.
【詳解】由題設(shè)，，，，，故A、B、C錯(cuò)，D對.

故選：D
6．在四邊形ABCD中，＋＝，則四邊形ABCD是（ ）
A．梯形 B．矩形 C．正方形 D．平行四邊形
【答案】D
【分析】利用向量的加法平行四邊形法則求解出答案.
【詳解】由平行四邊形法則可得，四邊形ABCD是以AB，AD為鄰邊的平行四邊形.故選：D.
7．已知正方形的邊長為1，，，，則等于（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)題意，分析易得正方形中，由向量加法的性質(zhì)可得
，由向量模的公式計(jì)算可得答案.
【詳解】
如圖，因?yàn)檎叫蔚倪呴L為1， , ,， ，
， 故選：D
8．已知是四邊形所在平面上任一點(diǎn)，且．則四邊形一定為（ ）
A．菱形 B．梯形 C．平行四邊形 D．矩形
【答案】C
【分析】分析可得，結(jié)合平行四邊形的定義可得出結(jié)論.
【詳解】因?yàn)椋?，又因?yàn)?，故四邊形一定為平行四邊?
故選：C.
9．簡化 ．
【答案】
【分析】根據(jù)向量加減法法則運(yùn)算即可.
【詳解】，故答案為：
10．如圖，在菱形ABCD中，，，則 ．
【答案】
【分析】根據(jù)向量加法運(yùn)算結(jié)合菱形的性質(zhì)及角度，求出模長即可
【詳解】如圖所示，設(shè)菱形對角線交點(diǎn)為O,．
因?yàn)椋?，所以為等邊三角形．又，，所以?br>在中，，所以．
故答案為:
12．已知，，為邊的中點(diǎn)，則 .
【答案】
【分析】根據(jù)向量加法的平行四邊法則可得.
【詳解】因?yàn)椋?，以，為鄰邊作平行四邊形，所?br>故答案為：
13．在四邊形ABCD中，若，且，則四邊形ABCD的形狀為 .
【答案】矩形
【解析】根據(jù)向量相等可證明四邊形為平行四邊形，再由對角線相等可證明是矩形.
【詳解】因?yàn)?，所以，所以四邊形ABCD為平行四邊形.
因?yàn)?，所以，即平行四邊形ABCD的對角線相等，
所以四邊形ABCD為矩形，故答案為：矩形
15．化簡：（1）
（2）；
（3）＋．
【詳解】（1）
方法二(利用)：
（2）．
（3）
16.如圖所示，P，Q是的邊BC上兩點(diǎn)，且.求證：.
【分析】表示出，，相加結(jié)合已知，即可得出證明.
【詳解】因?yàn)?，，所?
又因?yàn)?，所?
17.已知，，，求的值．
【答案】10
【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算結(jié)合矩形的性質(zhì)分析求解.
【詳解】在平行四邊形中，
設(shè)，，則，，
由于，，且，
可得，所以，故四邊形為矩形，
所以，即．

①向量加、減法的三角形法則和平行四邊形法則
②向量加法運(yùn)算律的應(yīng)用
③利用向量加減法判斷平面圖形的幾何形狀
法則
作法
三角形
法則
①把用小寫字母表示的向量,用兩個(gè)大寫字母表示(其中后面向量的始點(diǎn)與前一個(gè)向量的終點(diǎn)重合,即用同一個(gè)字母來表示).
②由第一個(gè)向量的始點(diǎn)指向第二個(gè)向量終點(diǎn)的有向線段就表示這兩個(gè)向量的和
平行四
邊形法
則
①把兩個(gè)已知向量的始點(diǎn)平移到同一點(diǎn).
②以這兩個(gè)已知向量為鄰邊作平行四邊形.
③與已知向量同起點(diǎn)的對角線表示的向量就是這兩個(gè)已知向量的和

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