一、向量的數(shù)乘
（1）向量數(shù)乘的定義
一般地,我們規(guī)定實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)向量,這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘,記作.它的長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下：
①
②當(dāng)時(shí)，的方向與的方向相同；當(dāng)時(shí)，的方向與的方向相反；當(dāng)時(shí)，.
（2）向量數(shù)乘的幾何意義
對(duì)于：①?gòu)拇鷶?shù)角度看，是實(shí)數(shù)，是向量，它們的積仍然是向量．的條件是或．②從幾何的角度看，對(duì)于長(zhǎng)度來(lái)說(shuō)，當(dāng)時(shí)，意味著表示向量的有向線段在原方向或相反方向上伸長(zhǎng)了倍；當(dāng)時(shí)，意味著表示向量的有向線段在原方向或反方向上縮短了倍．
（3）向量數(shù)乘的運(yùn)算律
實(shí)數(shù)與向量的積滿足下面的運(yùn)算律：設(shè)、是實(shí)數(shù)，、是向量，則：
①結(jié)合律：
②第一分配律：
③第二分配律：
二、向量的線性運(yùn)算
向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算.向量線性運(yùn)算的結(jié)果仍是向量.
對(duì)于任意向量,,以及任意實(shí)數(shù),,,恒有.
三、向量共線定理
（1）內(nèi)容：向量與非零向量共線，則存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，.
（2）向量共線定理的注意問(wèn)題：
①定理的運(yùn)用過(guò)程中要特別注意．特別地，若，實(shí)數(shù)仍存在，但不唯一．
②定理的實(shí)質(zhì)是向量相等，應(yīng)從大小和方向兩個(gè)方面理解，借助于實(shí)數(shù)溝通了兩個(gè)向量與的關(guān)系．
③定理為解決三點(diǎn)共線和兩直線平行問(wèn)題提供了一種方法．要證三點(diǎn)共線或兩直線平行，任取兩點(diǎn)確定兩個(gè)向量，看能否找到唯一的實(shí)數(shù)使向量相等即可．
題型一：數(shù)乘運(yùn)算的定義及其幾何意義
策略方法
②當(dāng)時(shí)，的方向與的方向相同；當(dāng)時(shí)，的方向與的方向相反；當(dāng)時(shí)，.
【例1】化簡(jiǎn)為（ ）
A． B． C． D．
【變式1-1】已知，則下列結(jié)論一定正確的是（ ）
A． B． C．且 D．以上說(shuō)法都不對(duì)
【變式1-2】下列說(shuō)法中正確的是（ ）
A．與的方向不是相同就是相反 B．若共線，則
C．若，則 D．若，則
【變式1-3】已知點(diǎn)在線段上，且，若向量，則（ ）
A．2 B． C． D．
【變式1-4】（多選）如圖，設(shè)兩點(diǎn)把線段三等分，則下列向量表達(dá)式正確的是（ ）

A． B． C． D．
【變式1-5】若，則 .
【變式1-6】已知，若記，則 ．
題型二：平面向量的線性運(yùn)算
策略方法
向量線性運(yùn)算的基本方法
(1)類比法:向量的數(shù)乘運(yùn)算可類似于代數(shù)多項(xiàng)式的運(yùn)算.例如,實(shí)數(shù)運(yùn)算中的去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、提取公因式等變形在向量的數(shù)乘中同樣適用,但是在這里的“同類項(xiàng)”“公因式”指向量,實(shí)數(shù)看作向量的系數(shù).
(2)方程法:向量也可以通過(guò)列方程來(lái)解,把所求向量當(dāng)作未知數(shù),利用解方程的方法求解,同時(shí)在運(yùn)算過(guò)程中要多注意觀察,恰當(dāng)運(yùn)用運(yùn)算律,簡(jiǎn)化運(yùn)算.
【例2】已知四邊形為平行四邊形，與相交于，設(shè)，則等于（ ）
A． B． C． D．
【變式2-1】在中，，則（ ）
A． B． C． D．
【變式2-2】在梯形ABCD中，，，則（ ）
A．5 B．6 C．－5 D．－6
【變式2-3】如圖，在四邊形ABCD中，，設(shè)，，則等于（ ）
A． B． C． D．
【變式2-4】如圖所示，四邊形為梯形，其中，，，分別為，的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A． B． C． D．
【變式2-5】若點(diǎn)M是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足：．則與的面積之比為 ．
題型三：平面向量共線的判定及應(yīng)用
策略方法
(1)證明或判斷三點(diǎn)共線的方法
①一般來(lái)說(shuō),要判定A,B,C三點(diǎn)是否共線,只需看是否存在實(shí)數(shù)λ,使得AB→=λAC→(或BC→=λAB→等)即可.
②利用結(jié)論:若A,B,C三點(diǎn)共線,O為直線外一點(diǎn)?存在實(shí)數(shù)x,y,使OA→=xOB→+yOC→ 且x+y=1.
(2)利用向量共線求參數(shù)的方法
已知向量共線求λ,常根據(jù)向量共線的條件轉(zhuǎn)化為相應(yīng)向量系數(shù)相等求解.若兩向量不共線,必有向量的系數(shù)為零,利用待定系數(shù)法建立方程,從而解方程求得λ的值.
【例3】設(shè)，是兩個(gè)不共線向量，若向量與向量共線，則的值等于（ ）
A． B． C． D．
【變式3-1】設(shè)，是兩個(gè)不共線的向量，若向量與向量共線，則（ ）
A． B． C． D．
【變式3-2】（多選）下列命題正確的的有（ ）
A． B．
C．若，則共線 D．，則共線
【變式3-3】（多選）已知，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．A，B，C，D四點(diǎn)共線 B．C，B，D三點(diǎn)共線
C． D．
【變式3-4】在平行四邊形中，是的中點(diǎn)，在對(duì)角線上，且，求證：共線
【變式3-5】判斷三點(diǎn)是否共線.
(1)已知兩個(gè)非零向量和不共線，，，.求證：A，B，D三點(diǎn)共線.
(2)已知任意兩個(gè)非零向量，，求作，，.試判斷A，B，C三點(diǎn)之間的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.
【變式3-6】如圖，在平行四邊形ABCD中，E是對(duì)角線AC上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，點(diǎn)F為BE的中點(diǎn)，若，則 ．
【變式3-7】是由3個(gè)全等的三角形與中間一個(gè)小等邊三角形拼成的一個(gè)較大的等邊三角形，若，，且，則（ ）.
A． B． C． D．
【變式3-8】已知點(diǎn)G是的重心，過(guò)點(diǎn)G作直線分別與兩邊相交于點(diǎn)M，N兩點(diǎn)（點(diǎn)M，N與點(diǎn)B，C不重合），設(shè)，，則的最小值為 ．
平面向量的數(shù)乘運(yùn)算 隨堂檢測(cè)
1.已知平面內(nèi)的兩個(gè)非零向量，滿足，則與（ ）
A．相等 B．方向相同 C．垂直 D．方向相反
2．下列計(jì)算正確的個(gè)數(shù)是（ ）
①；②；③.
A．0 B．1 C．2 D．3
3.（多選）若都是非零向量，且，則（ ）
A．方向相同 B．方向相反 C． D．
4.（多選）向量，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A． B．向量方向相反 C． D．
5．設(shè)，是兩個(gè)不共線的向量，已知，，，若三點(diǎn)A，B，D共線，則k的值為（ ）
A．－8 B．8 C．6 D．－6
6．在梯形中，是中點(diǎn)，，設(shè)，則（ ）
A． B． C． D．
7.如圖，在中，，則（ ）
A．B．C．D．
8.化簡(jiǎn)： ．
9．如圖，在中，向量，且，則 .
10．設(shè)與是兩個(gè)不共線向量，且向量與共線，則 .
11．已知，是兩個(gè)不共線的向量，向量，共線，則實(shí)數(shù)t的值為 .
12．判斷下列各小題中的向量，是否共線：
(1)，；
(2)，（其中兩個(gè)非零向量和不共線）；
(3)，.
14.如圖，在中，.設(shè).

(1)用表示；
(2)若為內(nèi)部一點(diǎn)，且.求證：三點(diǎn)共線，并指明點(diǎn)的具體位置.
①平面向量數(shù)乘的定義及相關(guān)運(yùn)算
②平面向量的線性運(yùn)算
③平面向量共線的判定及應(yīng)用

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