一、結合圖象務必理解掌握下面幾個重要結論！
設函數(shù)的值域為或，或或中之一種，則
①若恒成立（即無解），則；
②若恒成立（即無解），則；
③若有解（即存在使得成立），則；
④若有解（即存在使得成立），則；
⑤若 有解（即無解），則；
⑥若無解（即有解），則．
【說明】
（1）一般來說，優(yōu)先考慮分離參數(shù)法，其次考慮含參轉化法．
（2）取值范圍都與最值或值域(上限、下限)有關，另外要注意①②③④中前后等號的取舍！（即端點值的取舍）
二、分離參數(shù)的方法
①常規(guī)法分離參數(shù)：如；
②倒數(shù)法分離參數(shù)：如；
【當?shù)闹涤锌赡苋〉?，而的值一定不?時，可用倒數(shù)法分離參數(shù)．】
③討論法分離參數(shù)：如:
④整體法分離參數(shù)：如；
⑤不完全分離參數(shù)法：如；
⑥作商法凸顯參數(shù)，換元法凸顯參數(shù)．
【注意】
（1）分離參數(shù)后，問題容易解決，就用分離參數(shù)法（大多數(shù)題可以使用此方法）． 但如果難以分離參數(shù)或分離參數(shù)后，問題反而變得更復雜，則不分離參數(shù)，此時就用含參轉化法．
（2）恒成立命題對自變量的范圍有時有一部分或端點是必然成立的，應該考慮先去掉這一部分或端點，再分離參數(shù)求解．【否則往往分離不了參數(shù)或以至于答案出問題．】
三、其他恒成立類型一
①在上是增函數(shù)，則恒成立．(等號不能漏掉)．
②在 上是減函數(shù)，則恒成立．(等號不能漏掉)．
③在上是單調函數(shù)，方法一：分上述兩種情形討論；(常用方法)
四、其他恒成立類型二
①，使得方程成立．
②，使得方程成．
五、其他恒成立類型三
①，；
②，；
③，；
④，．
【方法】處理時，把當常數(shù)；處理時，把當常數(shù)．
①基本不等式恒成立問題
【例1】當時，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】將問題化為，利用基本不等式求左側的最小值，注意取值條件，即可得參數(shù)范圍.
【詳解】由題意，只需在時即可，又，則，
故，當且僅當時等號成立，故，所以，即.故選：A
【變式1-1】若對于任意的，不等式恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】變換，設，均值不等式計算最值得到答案.
【詳解】不等式可化為，，令，由題意可得，
，當且僅當，即時等號成立，，所以實數(shù)a的取值范圍為.故選：C.
【變式1-2】若存在，使不等式成立，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】當時，由參變量分離法可得，利用基本不等式求出的最大值，即可求得實數(shù)的取值范圍.
【詳解】當時，由，可得，則，
因為，當且僅當時，即當時，等號成立，
所以，當時，的最大值為，故.故選：A.
【變式1-3】設，且不等式恒成立，則正實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)基本不等式，建立了不等式，可得答案.
【詳解】由題意可知，則，
當且僅當，即，等號成立；由題意可得，解得.故選：C.
【變式1-4】設，若恒成立，則的最大值為（ ）
A．16 B．2 C．8 D．1
【答案】C
【分析】根據(jù)條件推出，即可將化為，展開后利用基本不等式，即可求得的最小值，結合不等式恒成立即得答案.
【詳解】因為，故，
則，
當且僅當，即時取得等號，由于恒成立，故，
即的最大值為8，故選：C.
②函數(shù)不等式恒成立（有解）問題
【例2】若對于任意的，不等式恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】變換，設，均值不等式計算最值得到答案.
【詳解】不等式可化為，，令，由題意可得，
，當且僅當，即時等號成立，，所以實數(shù)a的取值范圍為.故選：C.
【變式2-1】已知函數(shù)，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】參變分離可得恒成立，結合基本不等式求出的最小值，即可求出參數(shù)的取值范圍.
【詳解】因為恒成立，即恒成立，所以恒成立，又由（當且僅當時取等號），所以．故選：A．
【變式2-2】設偶函數(shù)在上是增函數(shù)，且，若對所有的及任意的都滿足，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)題意，轉化為對任意的恒成立，令，列出不等式組，即可求解.
【詳解】因為偶函數(shù)在上是增函數(shù)，且，所以的最大值為2，由對所有的及任意的都滿足，則只需，即對任意的恒成立，令，則滿足，解得或，所以實數(shù)的取值范圍是．故選：C．
【變式2-3】已知，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由題意得出求解即可.
【詳解】，，所以，，
在上單調遞減，所以，
當時，，即，取成立.
當時，，即，得，所以
當時，，即，得，所以，
綜上： 的取值范圍是.故選：A
【變式2-4】已知函數(shù)，不等式在區(qū)間上恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】確定出分段函數(shù)的單調性，由單調性確定不等式的解，再根據(jù)恒成立得結論．
【詳解】是減函數(shù)，也是減函數(shù)，時，，所以在上是減函數(shù)，
因此不等式等價于，即，因此有．故選：A．
③一元二次不等式恒成立（有解）問題
策略方法 一元二次不等式恒成立問題
（1）轉化為一元二次不等式解集為的情況，即恒成立恒成立
（2）分離參數(shù)，將恒成立問題轉化為求最值問題．
【例3】若命題“”是假命題，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由題意“，”為真命題，然后利用即可求解.
【詳解】由題意得：“，”是假命題，得：“，”為真命題，
所以：，解得：，故A項正確.故選：A.
【變式3-1】若關于的不等式在區(qū)間內(nèi)有解，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】不等式在區(qū)間內(nèi)有解，轉化為，求出的最大值可得答案.
【詳解】因為，所以由不等式得，不等式在區(qū)間內(nèi)有解，只需，因為在上單調遞增，
所以的最大值為，可得，解得.故選：D.
【變式3-2】若存在，使得成立，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由于，所以問題轉化為有解，再由可求得結果.
【詳解】因為恒成立，所以原不等式等價于有解，即有解，所以，解得，即實數(shù)的取值范圍為，
故選：C
【變式3-3】若不等式恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)題意，由指數(shù)函數(shù)的單調性化簡，轉化為一元二次不等式恒成立，列出不等式，即可得到結果.
【詳解】不等式恒成立，即恒成立，所以恒成立，
即恒成立，所以，即，解得，所以實數(shù)a的取值范圍是.故選：B
【變式3-4】若函數(shù)，使不等式成立，則實數(shù)a的取值范圍為
【答案】
【分析】由題意可得在上有解，然后求出的最小值即可.
【詳解】因為函數(shù)，使不等式成立，所以在上有解，所以，，因為，所以，所以當時，取得最小值，所以，即實數(shù)a的取值范圍為，故答案為：.
不等式中的恒成立（有解）問題 隨堂檢測
1.若命題“，”是假命題，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由題意可知恒成立，只需，結合基本不等式可求得實數(shù)的取值范圍.
【詳解】由題可知恒成立，只需，因為，當且僅當時，即當時取等號，所以的取值范圍為.故選：B.
2．已知，且為真命題，則是的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】判斷充分必要條件，一般先就兩個命題求出它們的等價命題，再根據(jù)要求判斷即可.
【詳解】由題意，，即；又由“”為真命題當且僅當，即，解得：或，即或.所以是的充分不必要條件.故選：A.
3．已知命題“，使”是假命題，則實數(shù)m的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)條件，將問題轉化成恒成立，分和兩種情況討論，即可得出結果.
【詳解】由題意知，“，使”是真命題，當，即時，不等式可化為，符合題意；當，即時，則且，解得，綜上，實數(shù)m的取值范圍為，故選：C．
4．已知函數(shù)在上單調遞減，則a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)函數(shù)定義可得在上恒成立，利用參變分離結合恒成立問題可得，再根據(jù)復合函數(shù)單調性結合二次函數(shù)性質可得.
【詳解】由題意可知：在上恒成立，整理得在上恒成立，
因為在上單調遞減，則在上單調遞減，且，可得，又因為在定義域內(nèi)單調遞增，且函數(shù)在上單調遞減，可得在上單調遞減，則，可得，綜上所述：a的取值范圍是.故選：C.
5．若存在正數(shù)x，使得關于x的不等式成立，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】問題轉化為在上能成立，根據(jù)右側的單調性求值域，進而求參數(shù)范圍.
【詳解】由題意知成立，即成立．令，顯然在上單調遞增，所以，，所以實數(shù)a的取值范圍是．故選：C
6．已知定義在R上的奇函數(shù)在時滿足，且在有解，則實數(shù)m的最大值為（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】D
【分析】化簡，得到在上單調遞增，再化簡得到，把不等式轉化為，得到在有解，結合，即可求解.
【詳解】當時，函數(shù)，可得函數(shù)在上單調遞增，
因為，所以，所以，所以，
即在有解，又由當時，，所以，所以實數(shù)最大值為.故選：D.
7．已知不等式對滿足的所有正實數(shù)都成立，則正實數(shù)的最小值為（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【分析】先利用基本不等式證得（此公式也可背誦下來），從而由題設條件證得，結合題意得到，利用二次不等式的解法解之即可得到正數(shù)的最小值.
【詳解】因為，當且僅當時，等號成立，所以，因為，為正實數(shù)且，
所以，當且僅當，即時，等號成立，
所以，即，因為對滿足的所有正實數(shù)，都成立，
所以，即，整理得，解得或，由為正數(shù)得，
所以正數(shù)的最小值為.
故選：B.
8．已知關于的不等式在上有解，則實數(shù)的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】求出在的最大值，然后可得關于a的不等式，解出即可.
【詳解】設，則在的最大值為4，因為關于的不等式在上有解，即，解得，故答案為：.
9．設，，若，且不等式恒成立，則的取值范圍是 .
【答案】
【分析】首先根據(jù)已知條件得到，然后結合基本不等式即可求得最小值，再解關于的一元二次不等式即可求得的取值范圍.
【詳解】因為，，，所以，
則，當且僅當時，即時取等號，所以，解得.故答案為：
10．已知函數(shù)，若，恒成立，則實數(shù)的取值范圍是 .
【答案】
【分析】令，結合對勾函數(shù)單調性可求得，根據(jù)恒成立的思想可求得結果.
【詳解】，當時，，
令，則在上單調遞增，，，當時，恒成立，即實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.
11．已知正實數(shù)a，b滿足，若恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是 .
【答案】
【分析】利用基本不等式求解即可.
【詳解】因為正實數(shù)a，b滿足，
所以，當且僅當時取等號，
故的最大值為，所以.故答案為：
12．已知函數(shù)，，若對任意的，總存在使得成立，則實數(shù)a的取值范圍為 .
【答案】
【分析】根據(jù)雙變量不等式轉化為函數(shù)最值問題，即，先根據(jù)二次函數(shù)知識求得，然后根據(jù)a的符號討論，利用單調性求得最值，列不等式即可求解.
【詳解】因為對任意的，總存在與使得成立，所以，
，對稱軸為，因為，所以當時，，
當時，函數(shù)在上單調遞增，所以，
所以，解得；當時，函數(shù)在上為常數(shù)函數(shù)，滿足；
當時，函數(shù)在上單調遞減，所以，
所以，解得；綜上，，即實數(shù)a的取值范圍為.
故答案為：
13．若關于的不等式在上有解，則實數(shù)的最小值為 ．
【答案】
【分析】參變分離得到關于的不等式在上有解，利用對勾函數(shù)的性質求出，即可求出的取值范圍.
【詳解】因為關于的不等式在上有解，
所以關于的不等式在上有解，所以，，
因為，所以，令，則，，令，，
因為對勾函數(shù)在上單調遞減，則，所以，當且僅當時取等號，所以，則，即實數(shù)的最小值為.
故答案為：
14．已知函數(shù)，且，若對任意的，存在使得成立，則實數(shù)的取值范圍是 .
【答案】
【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)在上的最小值小于函數(shù)在上的最小值求解.
【詳解】解：當時，，則，
對任意的，存在，使得成立，函數(shù)在上的最小值小于函數(shù)在上的最小值.又當，時，，不符合題意，則，函數(shù)在上單調遞增，所以，所以，即，所以實數(shù)的取值范圍是.
故答案為：.
15．已知定義在上的奇函數(shù)在滿足：當時，.若不等式對任意實數(shù)恒成立，則實數(shù)的取值范圍是 .
【答案】
【分析】根據(jù)函數(shù)單調性將不等式對任意實數(shù)恒成立，轉化為對于恒成立，列出不等式組進而求解即可.
【詳解】因為時，，所以由函數(shù)圖象可知，函數(shù)在上遞增，
又是上的奇函數(shù)，所以在上單調遞增，若不等式對任意實數(shù)恒成立，
即對任意實數(shù)恒成立，即對于恒成立，當時，不恒成立，
當時，則，解得.綜上可得.
故答案為：
①基本不等式恒成立問題
②函數(shù)不等式恒成立（有解）問題
③一元二次不等式恒成立（有解）問題

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