1、掌握平面向量的運算和探索其運算性質(zhì)．
2、體會平面向量運算的作用．
【考點目錄】
考點一：向量的加法運算
考點二：向量的減法運算
考點三：與向量的模有關的問題
考點四：向量的數(shù)乘運算
考點五：共線向量與三點共線問題
考點六：平面向量數(shù)量積的運算
考點七：平面向量模的問題
考點八：向量垂直（或夾角）問題
【基礎知識】
知識點一：向量加法的三角形法則與平行四邊形法則
1、向量加法的概念及三角形法則
已知向量，在平面內(nèi)任取一點A，作，再作向量，則向量叫做與的和，記作，即．如圖
本定義給出的向量加法的幾何作圖方法叫做向量加法的三角形法則．
2、向量加法的平行四邊形法則
已知兩個不共線向量，作，則三點不共線，以為鄰邊作平行四邊形，則對角線．這個法則叫做兩個向量求和的平行四邊形法則．
求兩個向量和的運算，叫做向量的加法．
對于零向量與任一向量，我們規(guī)定．
知識點詮釋：
兩個向量的和是一個向量，可用平行四邊形或三角形法則進行運算，但要注意向量的起點與終點．
知識點二：向量求和的多邊形法則及加法運算律
1、向量求和的多邊形法則的概念
已知個向量，依次把這個向量首尾相連，以第一個向量的起點為起點，第個向量的終點為終點的向量叫做這個向量的和向量．這個法則叫做向量求和的多邊形法則．
特別地，當與重合，即一個圖形為封閉圖形時，有
2、向量加法的運算律
（1）交換律：；
（2）結合律：
知識點三：向量的三角形不等式
由向量的三角形法則，可以得到
（1）當不共線時，；
（2）當同向且共線時，同向，則；
（3） 當反向且共線時，若，則同向，；若，則同向，．
知識點四：向量的減法
1、向量的減法
（1）如果，則向量叫做與的差，記作，求兩個向量差的運算，叫做向量的減法．此定義是向量加法的逆運算給出的．
相反向量：與向量方向相反且等長的向量叫做的相反向量．
（2）向量加上的相反向量，叫做與的差，即．求兩個向量差的運算，叫做向量的減法，此定義是利用相反向量給出的，其實質(zhì)就是把向量減法化為向量加法．
知識點詮釋：
（1）兩種方法給出的定義其實質(zhì)是一樣的．
（2）對于相反向量有；若，互為相反向量，則．
（3）兩個向量的差仍是一個向量．
2、向量減法的作圖方法
（1）已知向量，，作，則=，即向量等于終點向量（）減去起點向量（）．利用此方法作圖時，把兩個向量的始點放在一起，則這兩個向量的差是以減向量的終點為始點的，被減向量的終點為終點的向量．
（2）利用相反向量作圖，通過向量加法的平行四邊形法則作出．作，則，如圖．由圖可知，一個向量減去另一個向量等于加上這個向量的相反向量．
知識點五：數(shù)乘向量
1、向量數(shù)乘的定義
實數(shù)與向量的積：實數(shù)與向量的積是一個向量，記作：
（1）；
（2）①當時，的方向與的方向相同；
②當時．的方向與的方向相反；
③當時，．
2、向量數(shù)乘的幾何意義
由實數(shù)與向量積的定義知，實數(shù)與向量的積的幾何意義是：可以由同向或反向伸縮得到．當時，表示向量的有向線段在原方向（）或反方向（）上伸長為原來的倍得到；當時，表示向量的有向線段在原方向（）或反方向（）上縮短為原來的倍得到；當時，=；當時，=-，與互為相反向量；當時，=．實數(shù)與向量的積得幾何意義也是求作向量的作法．
3、向量數(shù)乘的運算律
設為實數(shù)
結合律：；
分配律：，
知識點六：向量共線的條件
1、向量共線的條件
（1）當向量時，與任一向量共線．
（2）當向量時，對于向量．如果有一個實數(shù)，使，那么由實數(shù)與向量的積的定義知與共線．
反之，已知向量與（）共線且向量的長度是向量的長度的倍，即，那么當與同向時，；當與反向時，．
2、向量共線的判定定理
是一個非零向量，若存在一個實數(shù)，使，則向量與非零向量共線．
3、向量共線的性質(zhì)定理
若向量與非零向量共線，則存在一個實數(shù)，使．
知識點詮釋：
（1）兩個向量定理中向量均為非零向量，即兩定理均不包括與共線的情況；
（2）是必要條件，否則，時，雖然與共線但不存在使；
（3）有且只有一個實數(shù)，使．
（4）是判定兩個向量共線的重要依據(jù)，其本質(zhì)是位置關系與數(shù)量關系的相互轉化，體現(xiàn)了數(shù)形結合的高度統(tǒng)一．
知識點七： 平面向量的數(shù)量積
1、平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義：
已知兩個非零向量與，它們的夾角是，則數(shù)量叫與的數(shù)量積，記作，即有．并規(guī)定與任何向量的數(shù)量積為0．
2、如圖（1），設是兩個非零向量，，作如下變換：過的起點A和終點B，分別作所在直線的垂線，垂足分別為，得到，我們稱上述變換為向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．
如圖（2），在平面內(nèi)任取一點O，作．過點M作直線ON的垂線，垂足為，則就是向量在向量上的投影向量．
知識點詮釋：
1、兩個向量的數(shù)量積與向量同實數(shù)積有很大區(qū)別
（1）兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，不是向量，符號由的符號所決定．
（2）兩個向量的數(shù)量積稱為內(nèi)積，寫成；今后要學到兩個向量的外積，而是兩個向量的數(shù)量的積，書寫時要嚴格區(qū)分．符號“· ”在向量運算中不是乘號，既不能省略，也不能用“×”代替．
（3）在實數(shù)中，若，且，則；但是在數(shù)量積中，若，且，不能推出．因為其中有可能為0．
2、投影也是一個數(shù)量，不是向量；當為銳角時投影為正值；當為鈍角時投影為負值；當為直角時投影為0；當=0?時投影為；當=180?時投影為．
3、投影向量是一個向量，當對于任意的，都有．
知識點八：平面向量數(shù)量積的幾何意義
數(shù)量積表示的長度與在方向上的投影的乘積，這是的幾何意義．圖所示分別是兩向量夾角為銳角、鈍角、直角時向量在向量方向上的投影的情形，其中，它的意義是，向量在向量方向上的投影是向量的數(shù)量，即．
事實上，當為銳角時，由于，所以；當為鈍角時，由于，所以；當時，由于，所以，此時與重合；當時，由于，所以；當時，由于，所以．
知識點九：向量數(shù)量積的性質(zhì)
設與為兩個非零向量，是與同向的單位向量．
1、
2、
3、當與同向時，；當與反向時，．特別的或
4、
5、
知識點十：向量數(shù)量積的運算律
1、交換律：
2、數(shù)乘結合律：
3、分配律：
知識點詮釋：
1、已知實數(shù)、、，則．但是；
2、在實數(shù)中，有，但是
顯然，這是因為左端是與共線的向量，而右端是與共線的向量，而一般與不共線．
【考點剖析】
考點一：向量的加法運算
例1．已知、是不平行的向量，若，，，則下列關系中正確的是（ ）
A． B． C． D．
例2．設，是任一非零向量，則在下列結論中：
①；②；③；④；⑤．
正確結論的序號是（ ）
A．①⑤B．②④⑤C．③⑤D．①③⑤
例3．如圖，在平行四邊形中，O是和的交點．
（1）____________；（2）________；
（3）_______；（4）_________．
考點二：向量的減法運算
例4．在四邊形中，對角線與交于點O，若，則四邊形一定是（ ）
A．矩形B．梯形C．平行四邊形D．菱形
例5．如圖，已知向量，，求作向量．
考點三：與向量的模有關的問題
例6．（1）已知、、的模分別為1、2、3，求|++|的最大值；
（2）如圖所示，已知矩形ABCD中，，設，，，試求|++|的大?。?br>例7．已知平面上不共線的四點，若，則等于（ ）
A．B．C．3D．2
例8．已知非零向量，滿足，，且|－|=4，求|+|的值．
考點四：向量的數(shù)乘運算
例9．計算下列各式：
（1）4（+）3（）；
（2）3（2+）（2+3）；
（3）．
例10．如圖所示，的兩條對角線相交于點，且用表示
考點五：共線向量與三點共線問題
例11．設兩非零向量和不共線，
（1）如果求證三點共線．
（2）試確定實數(shù)，使和共線．
例12．已知向量，，其中，不共線，向量，問是否存在這樣的實數(shù)λ，μ，使向量與共線？
例13．如圖所示：，在中，向量，AD與BC交于點M，設，在線段AC上取一點E，在線段BD上取一點F，使EF過M點，設＝p， ＝q，求證：＋＝1．
考點六：平面向量數(shù)量積的運算
例14．已知，，
（1）求；
（2）求向量在向量方向上的投影
例15．已知平面向量，滿足，，．
（1）求；
（2）若向量與的夾角為銳角，求實數(shù)的取值范圍．
例16．已知，且向量與向量的夾角．
（1）求；
（2）求向量在向量上的投影向量．
考點七：平面向量模的問題
例17．已知向量與滿足，，與的夾角大小為60°，則______．
例18．已知向量，滿足：，，．
（1）求與的夾角；
（2）求；
（3）若，求實數(shù)的值．
考點八：向量垂直（或夾角）問題
例19．已知，且向量在向量方向上的投影數(shù)量為．
（1）求與的夾角；
（2）求；
（3）當為何值時，向量與向量互相垂直？
例20．已知，，，求：
（1）與的夾角；
（2）與的夾角的余弦值．
【真題演練】
1．（2022·全國·高考真題（理））已知向量滿足，則（ ）
A．B．C．1D．2
2．（2019·全國·高考真題（文））已知非零向量滿足，且，則與的夾角為
A．B．C．D．
3．（2019·北京·高考真題（理））設點A，B，C不共線，則“與的夾角為銳角”是“”的
A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
4．（2022·全國·高考真題（理））設向量，的夾角的余弦值為，且，，則_________．
5．（2021·全國·高考真題（文））若向量滿足，則_________.
6．（2020·全國·高考真題（理））設為單位向量，且，則______________.
7．（2020·全國·高考真題（理））已知單位向量,的夾角為45°，與垂直，則k=__________.
8．（2019·全國·高考真題（理））已知為單位向量，且=0，若 ，則___________.
【過關檢測】
一、單選題
1．在中，已知為上一點，若，則（ ）
A．B．C．D．
2．在中，已知是邊上一點，若，則（ ）
A．2 B．１ C．-2 D．－1
3．是所在平面內(nèi)一點，，則點必在（ ）
A．內(nèi)部B．在直線上
C．在直線上D．在直線上
4．如圖，將四個邊長為1的小正方形拼成一個大正方形，、是原來小正方形的其中兩個頂點邊，是小正方形的其余頂點，在所有中，不同的數(shù)值有（ ）
A．6個B．5個C．4個D．3個
二、多選題
5．已知非零平面向量，，，則說法正確的是（ ）
A．存在唯一的實數(shù)對，使B．若，則
C．D．若，則
6．如圖，在邊長為2的菱形中，，下列結論正確的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空題
7．已知向量與的夾角為，記且，則_____．
8．如圖，在中，，，，若為圓心為的單位圓的一條動直徑，則的取值范圍是 ．
四、解答題
9．（1）已知，是兩個不共線的向量，向量，，求（用，表示）.
（2）設，是不共線的兩個非零向量.若與共線，求實數(shù)的值.
10．已知平面向量滿足，且．
(1)求與的夾角；
(2)求向量在向量上的投影．
11．已知是夾角為的兩個單位向量，.
(1)求的值.
(2)求與的夾角的大小.
平面向量的運算 隨堂檢測
1.化簡等于（ ）
A．B．C．D．
2.已知在邊長為2的等邊中，向量，滿足，，則（ ）
A．2B．C．D．3
3．，，向量與向量的夾角為，則向量在向量方向上的投影等于（ ）
A．B．C．1D．
4．如圖，等腰梯形ABCD中，，點E為線段CD中點，點F為線段BC的中點，則（ ）
A． B． C． D．
5．（多選）邊長為2的等邊中，為的中點.下列正確的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（多選）在△ABC中，下列結論錯誤的是（ ）
A．
B．
C．若，則是等腰三角形
D．若則是銳角三角形
7.設向量、滿足，則_______．
8.若，則__．
9.已知向量滿足，且.
(1)求；
(2)記向量與向量的夾角為，求.
10.如圖，在矩形中，點在邊上，且，是線段上一動點．
(1)若是線段的中點，，求的值；
(2)若，，求解.
11.如圖，在△ABC中，，，，，．
(1)設，求x，y的值，并求；
(2)求的值．

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