如圖，∽（一線三等角）
如圖，∽（一線三直角）
如圖，特別地，當(dāng)是中點(diǎn)時：∽∽平分，平分。
一線三等角輔助線添加：一般情況下，已知一條直線上有兩個等角（直角）或一個直角時，可構(gòu)造“一線三等角”型相似。
【類型1：標(biāo)準(zhǔn)“K”型圖】
【典例1】如圖有一塊三角尺，Rt△ABC，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝6，用一張面積最小的正方形紙片將這個三角尺完全覆蓋．求出這個正方形的面積．
【變式1-1】如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E在BC邊上，且AE⊥EF，若BE＝2，CF＝，求正方形ABCD的邊長．
【變式1-2】如圖，在正方形ABCD中，M為BC上一點(diǎn)，ME⊥AM，ME交CD于F，交AD的延長線于點(diǎn)E．
（1）求證：△ABM∽△MCF；
（2）若AB＝4，BM＝2，求△DEF的面積．
【變式1-3】已知矩形ABCD的一條邊AD＝8，將矩形ABCD折疊，使得頂點(diǎn)B落在CD邊上的P點(diǎn)處．如圖，已知折痕與邊BC交于點(diǎn)O，連接AP、OP、OA．
（1）求證：＝；
（2）若OP與PA的比為1：2，求邊AB的長．
【類型2：做輔助線構(gòu)造“K”型圖】
【典例2】已知：在△EFG中，∠EFG＝90°，EF＝FG，且點(diǎn)E，F(xiàn)分別在矩形ABCD的邊AB，AD上．
（1）如圖1，填空：當(dāng)點(diǎn)G在CD上，且DG＝1，AE＝2，則EG＝ ；
（2）如圖2，若F是AD的中點(diǎn)，F(xiàn)G與CD相交于點(diǎn)N，連接EN，求證：∠AEF＝∠FEN；
（3）如圖3，若AE＝AD，EG，F(xiàn)G分別交CD于點(diǎn)M，N，求證：MG2＝MN?MD．
【變式2】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線AB：y＝﹣x+m分別交x軸，y軸于A，B兩點(diǎn)，已知點(diǎn)C（2，0）．
（1）當(dāng)直線AB經(jīng)過點(diǎn)C時，m＝ ；
（2）設(shè)點(diǎn)P為線段OB的中點(diǎn)，連接PA，PC，若∠CPA＝∠ABO，則m的值是 ．
【類型2：特殊“K”型圖】
【典例3】如圖，AB＝9，AC＝8，P為AB上一點(diǎn)，∠A＝∠CPD＝∠B，連接CD．
（1）若AP＝3，求BD的長；
（2）若CP平分∠ACD，求證：PD2＝CD?BD．
【變式3-1】如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E，D分別在BC，AB上，且∠AED＝60°，求證：△AEC∽△EDB．
【變式3-2】如圖，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D、E分別在邊BC、AC上，連接AD、DE，有∠ADE＝45°．
（1）證明：△BDA∽△CED．
（2）若BC＝6，當(dāng)AE＝ED時，求BD的長．
1．如圖，點(diǎn)P在△ABC的邊AC上，若要判定△ABP∽△ACB，則下列添加的條件不正確的是（ ）
A．∠ABP＝∠CB．∠APB＝∠ABCC．＝D．＝
2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中．邊長為4的等邊△OAB的邊OA在x軸上，C、D、E分別是AB、OB、OA上的動點(diǎn)，且滿足BD＝2AC，DE∥AB，連接CD、CE，當(dāng)點(diǎn)E坐標(biāo)為 ． 時，△CDE與△ACE相似．
3．如圖，等邊△ABC的邊長為3，P為BC上一點(diǎn)，且BP＝1，D為AC上一點(diǎn)，∠APD＝60°．
（1）求CD的長；
（2）PD可以垂直AC嗎？如果不可以，請說明理由，如果可以，請求出BP的長．
4．如圖，等邊△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊BC、AC上，∠ADE＝60°
（1）求證：△ABD∽△DCE；
（2）若BD＝2，CE＝，求等邊△ABC的邊長．
5．如圖，等邊△ABC中，D為BC邊上一點(diǎn)，E為AC邊上一點(diǎn)，∠ADE＝60°
（1）求證：△ABD∽△DCE；
（2）若BD＝4，CE＝，求△ABC的邊長．
6．如圖，四邊形ABDC為矩形，AB＝4，AC＝3，點(diǎn)M為邊AB上一點(diǎn)（點(diǎn)M不與點(diǎn)A、B重合），連接CM，過點(diǎn)M作MN⊥MC，MN與邊BD交于點(diǎn)N．
（1）當(dāng)點(diǎn)M為邊AB的中點(diǎn)時，求線段BN的長；
（2）直接寫出：當(dāng)DN最小時△MNB的面積為 ．
7．如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，P是邊BC上的任意一點(diǎn)（P與B、C不重合），作PE⊥AP，交CD于點(diǎn)E．
（1）判斷△ABP與△PCE是否相似，并說明理由．
（2）連接BD，若PE∥BD，試求出此時BP的長．
8.感知：（1）數(shù)學(xué)課上，老師給出了一個模型：如圖1，∠BAD＝∠ACB＝∠AED＝90°，由∠1+∠2+∠BAD＝180°，∠2+∠D+∠AED＝180°，可得∠1＝∠D；又因?yàn)椤螦CB＝∠AED＝90°，可得△ABC∽△DAE，進(jìn)而得到＝ .我們把這個模型稱為“一線三等角”模型．
應(yīng)用：（2）實(shí)戰(zhàn)組受此模型的啟發(fā)，將三等角變?yōu)榉侵苯?，如圖2，如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，點(diǎn)P是BC邊上的一個動點(diǎn)（不與B、C重合），點(diǎn)D是AC邊上的一個動點(diǎn)，且∠APD＝∠B．
①求證：△ABP∽△PCD；
②當(dāng)點(diǎn)P為BC中點(diǎn)時，求CD的長；
拓展：（3）在（2）的條件下，如圖2，當(dāng)△APD為等腰三角形時，請直接寫出BP的長．
9．如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)D是AB邊上的一個動點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），以CD為邊作等邊△EDC，AC與DE交于點(diǎn)F，連接AE．
（1）求證：①△AEF∽△DCF；
②△ADF∽△BCD；
（2）若AB＝3BD＝6，求△ADF的面積．
10．【感知】如圖①，在正方形ABCD中，E為AB邊上一點(diǎn)，連結(jié)DE，過點(diǎn)E作EF⊥DE交BC于點(diǎn)F．易證：△AED∽△BFE．（不需要證明）
【探究】如圖②，在矩形ABCD中，E為AB邊上一點(diǎn)，連結(jié)DE，過點(diǎn)E作EF⊥DE交BC于點(diǎn)F．
（1）求證：△AED∽△BFE．
（2）若AB＝10，AD＝6，E為AB的中點(diǎn)，求BF的長．
【應(yīng)用】如圖③，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝4．E為AB邊上一點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A、B重合），連結(jié)CE，過點(diǎn)E作∠CEF＝45°交BC于點(diǎn)F．當(dāng)△CEF為等腰三角形時，BE的長為 ．

相關(guān)試卷

人教版數(shù)學(xué)九下期末復(fù)習(xí)講練專項(xiàng)07 相似三角形-一線三等角模型綜合應(yīng)用（2份，原卷版+解析版）：

這是一份人教版數(shù)學(xué)九下期末復(fù)習(xí)講練專項(xiàng)07 相似三角形-一線三等角模型綜合應(yīng)用（2份，原卷版+解析版），文件包含人教版數(shù)學(xué)九下期末復(fù)習(xí)講練專項(xiàng)07相似三角形-一線三等角模型綜合應(yīng)用原卷版doc、人教版數(shù)學(xué)九下期末復(fù)習(xí)講練專項(xiàng)07相似三角形-一線三等角模型綜合應(yīng)用解析版doc等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共39頁， 歡迎下載使用。

人教版數(shù)學(xué)八上高分突破訓(xùn)練專項(xiàng)05 一線三等角模型的綜合應(yīng)用（2份，原卷版+解析版）：

這是一份人教版數(shù)學(xué)八上高分突破訓(xùn)練專項(xiàng)05 一線三等角模型的綜合應(yīng)用（2份，原卷版+解析版），文件包含人教版數(shù)學(xué)八上高分突破訓(xùn)練專項(xiàng)05一線三等角模型的綜合應(yīng)用原卷版doc、人教版數(shù)學(xué)八上高分突破訓(xùn)練專項(xiàng)05一線三等角模型的綜合應(yīng)用解析版doc等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共40頁， 歡迎下載使用。

中考數(shù)學(xué)解題大招復(fù)習(xí)講義(全國通用)模型04一線三等角模型(原卷版+解析)：

這是一份中考數(shù)學(xué)解題大招復(fù)習(xí)講義(全國通用)模型04一線三等角模型(原卷版+解析)，共39頁。試卷主要包含了∠2，MF＝NE＝3，等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

九年級數(shù)學(xué)下冊專題04相似三角形重要模型之一線三等角模型(原卷版+解析)

九年級數(shù)學(xué)下冊專題04相似三角形重要模型之一線三等角模型(原卷版+解析)
北師大版九年級數(shù)學(xué)全冊高分突破必練專題專項(xiàng)11相似三角形-一線三等角模型綜合應(yīng)用(原卷版+解析)

北師大版九年級數(shù)學(xué)全冊高分突破必練專題專項(xiàng)11相似三角形-一線三等角模型綜合應(yīng)用(原卷版+解析)
2024年中考數(shù)學(xué)幾何模型專項(xiàng)復(fù)習(xí)講與練 模型42 相似形——一線三等角模型-原卷版+解析

2024年中考數(shù)學(xué)幾何模型專項(xiàng)復(fù)習(xí)講與練 模型42 相似形——一線三等角模型-原卷版+解析
中考數(shù)學(xué)幾何模型專項(xiàng)復(fù)習(xí) 模型42 相似形——一線三等角模型-（原卷版+解析）

中考數(shù)學(xué)幾何模型專項(xiàng)復(fù)習(xí) 模型42 相似形——一線三等角模型-（原卷版+解析）
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
期末專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機(jī)號注冊
手機(jī)號碼

手機(jī)號格式錯誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機(jī)號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部