一線三等角：三個相等的角的頂點在一條直線上
◎結論1：如圖 ∠A＝∠DBE＝∠C，
則①△ADB∽△CBE；②AD×EC（豎著的）=AB×BC（躺著的）
外角：∠DBC＝∠A＋∠ADB
∠DBE＋∠EBC＝∠A＋∠ADB，
∠EBC＝∠ADB。
同理：∠DBA＝∠BEC，
∴△ADB∽△CBE
∴＝
改為乘積式：AD.CE＝AB.BC
一線三等角經典結論：左乘右＝左乘右

◎結論2：如圖 ∠A＝∠DBE＝∠C，B點是AC的中點，
證明：△ABD∽△CEB
∴＝＝,＝
∵AB＝BC
∴＝
又∵∠DAB＝∠DBE
∴△DAB∽△DBE
∴∠ADB＝∠BDE
△ABD,△BED,△CEB均相似
BD,BE為∠ADE,∠DEC角平分線
則①△ABD∽△BED∽△CEB；②AD×EC（豎著的）=AB×BC（躺著的）
③DB、EB平分∠ADE和∠DEC


模型圖解


常見圖形：

一線三等角模型應用的四種情況：
1.圖形中已經存在“一線三等角”，直接應用模型解題；
2.圖形中存在“一線二等角”，再構造“一個等角”，利用模型解題；
3.圖形中只有直線上一個角，再構造“兩個等角”，利用模型解題；
4.圖形中只有45°角，直角或直角三角形，可構造“一線三等（直）角”，利用模型解題。
1． (2023·重慶渝北·九年級期末）如圖，在等邊三角形中，點，分別是邊，上的點．將沿翻折，點正好落在線段上的點處，使得．若，則的長度為（ ）
A．B．C．D．
2． (2023·全國·九年級專題練習）如圖，在矩形中，，，、、、分別為矩形邊上的點，過矩形的中心，且．為的中點，為的中點，則四邊形的周長為（ ）
A．B．C．D．
1． (2023·江蘇揚州·九年級期末）如圖，在邊長為6的等邊△ABC中，D是邊BC上一點，將△ABC沿EF折疊使點A與點D重合，若BD : DE=2 : 3，則CF=____．
2． (2023·安徽·淮北市烈山區(qū)淮選學校九年級階段練習）如圖，在四邊形ABCD中，∠A=∠D=120°，AB=6、AD=4，點E、F分別在線段AD、DC上（點E與點A、D不重合），若∠BEF=120°，AE=x、DF=y，則y關于x的函數(shù)關系式為________
3 (2023·吉林·長春市綠園區(qū)教師進修學校九年級期末）【感知】如圖①，在四邊形ABCD中，點P在邊AB上（點P不與點A、B重合），．易證．（不需要證明）
【探究】如圖②，在四邊形ABCD中，點P在邊AB上（點P不與點A、B重合），．若，，，求AP的長．
【拓展】如圖③，在中，，，點P在邊AB上（點P不與點A、B重合），連結CP，作，PE與邊BC交于點E，當是等腰三角形時，直接寫出AP的長．
1． (2023·河南鄭州·二模）如圖，已知矩形的頂點分別落在軸軸上，，AB=2BC則點的坐標是（ ）
A．B．C．D．
2． (2023·海南省直轄縣級單位·模擬預測）如圖，將正方形紙片ABCD沿EF折疊，折痕為EF，點A的對應點是點A′，點B的對應點是點B′，點B′落在邊CD上，若CB′:CD=1:3，且BF＝10，則EF的長為（ ）
A．B．C．D．
3． (2023·湖北襄陽·一模）如圖，為等邊三角形，點D，E分別在邊AB，AC上，，將沿直線DE翻折得到，當點F落在邊BC上，且時，的值為______．
4． (2023·山東菏澤·三模）（1）問題
如圖1，在四邊形ABCD中，點P為AB上一點，當時，求證：．
（2）探究
若將90°角改為銳角或鈍角（如圖2），其他條件不變，上述結論還成立嗎？說明理由．
（3）應用
如圖3，在中，，，以點A為直角頂點作等腰．點D在BC上，點E在AC上，點F在BC上，且，若，求CD的長．
相似形
模型（四十二）——一線三等角模型
一線三等角：三個相等的角的頂點在一條直線上
◎結論1：如圖 ∠A＝∠DBE＝∠C，
則①△ADB∽△CBE；②AD×EC（豎著的）=AB×BC（躺著的）
外角：∠DBC＝∠A＋∠ADB
∠DBE＋∠EBC＝∠A＋∠ADB，
∠EBC＝∠ADB。
同理：∠DBA＝∠BEC，
∴△ADB∽△CBE
∴＝
改為乘積式：AD.CE＝AB.BC
一線三等角經典結論：左乘右＝左乘右

◎結論2：如圖 ∠A＝∠DBE＝∠C，B點是AC的中點，
證明：△ABD∽△CEB
∴＝＝,＝
∵AB＝BC
∴＝
又∵∠DAB＝∠DBE
∴△DAB∽△DBE
∴∠ADB＝∠BDE
△ABD,△BED,△CEB均相似
BD,BE為∠ADE,∠DEC角平分線
則①△ABD∽△BED∽△CEB；②AD×EC（豎著的）=AB×BC（躺著的）
③DB、EB平分∠ADE和∠DEC


模型圖解


常見圖形：

一線三等角模型應用的四種情況：
1.圖形中已經存在“一線三等角”，直接應用模型解題；
2.圖形中存在“一線二等角”，再構造“一個等角”，利用模型解題；
3.圖形中只有直線上一個角，再構造“兩個等角”，利用模型解題；
4.圖形中只有45°角，直角或直角三角形，可構造“一線三等（直）角”，利用模型解題。
1． (2023·重慶渝北·九年級期末）如圖，在等邊三角形中，點，分別是邊，上的點．將沿翻折，點正好落在線段上的點處，使得．若，則的長度為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由是等邊三角形，＝＝＝60°， 由沿DE折疊C落在AB邊上的點F上，，＝＝60°，CD=DF，CE＝EF，由AF：BF=1:2，設AF=m，BF=2m，AB=3m，設AD＝x，CD=DF＝， 由BE=2，BC＝，可得CE＝，可證 ，利用性質 ，即，解方程即可
【詳解】解：∵是等邊三角形，
∴ ＝＝＝60°，
∵ 沿DE折疊C落在AB邊上的點F上，
∴ ，
∴ ＝＝60°，CD=DF，CE＝EF，
∵AF：BF=1:2，
設AF=m，BF=2m，AB=3m，
設＝x，＝DF＝，
∵BE=2，BC＝，
∴ CE＝，
∵ ＝，＝60°，
∴ ＝120°，＝120°，
∴ ＝，
∵ ＝，
∴ ，
∴ ，
即，
解得：，使等式有意義，
∴ ＝，
故選擇：A．
【點睛】本題考查等邊三角形性質和折疊性質以及相似三角形的性質和判定，主要考查學生運用定理進行推理和計算的能力，題目綜合性比較強，有一定的難度．
2． (2023·全國·九年級專題練習）如圖，在矩形中，，，、、、分別為矩形邊上的點，過矩形的中心，且．為的中點，為的中點，則四邊形的周長為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】連接，證明四邊形是矩形，再證明，求得與的長度，由勾股定理求得與，再由矩形的周長公式求得結果．
【詳解】解：連接，
四邊形是矩形，
，，
為的中點，為的中點，
，，
四邊形是平行四邊形，
，
矩形是中心對稱圖形，過矩形的中心．
過點，且，，
四邊形是平行四邊形，
，
四邊形是矩形，
，
，
，
，
，
，
設，則，
，
，
解得，或4，
或4，
當時，，則，
，
四邊形的周長；
同理，當時，四邊形的周長；
故選：．
【點睛】本題主要考查了矩形的性質，相似三角形的性質與判定，勾股定理，關鍵在于證明四邊形是矩形．
1． (2023·江蘇揚州·九年級期末）如圖，在邊長為6的等邊△ABC中，D是邊BC上一點，將△ABC沿EF折疊使點A與點D重合，若BD : DE=2 : 3，則CF=____．
【答案】2.4
【分析】根據(jù)折疊的性質可得∠EDF=∠A，DF=AF，再由等邊三角形的性質可得∠EDF=60°，∠BDE+∠CDF=∠BDE+∠BED=120°，從而得到∠CDF=∠BED，進而得到△BDE∽△CFD，再由BD : DE=2 : 3，可得到，即，即可求解．
【詳解】解：根據(jù)題意得：∠EDF=∠A，DF=AF，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
∴∠EDF=60°，
∴∠BDE+∠CDF=180°-∠EDF=120°，
∵∠B=60°，
∴∠BDE+∠BED=180°-∠B=120°，
∴∠BDE+∠CDF=∠BDE+∠BED，
∴∠CDF=∠BED，
∴△BDE∽△CFD，
∴ ，即，
∵等邊△ABC的邊長為6 ，
∴ ，解得： ．
故答案為：2.4
【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質，圖形的折疊，相似三角形的判定和性質，熟練掌握等邊三角形的性質，圖形的折疊的性質，相似三角形的判定和性質是解題的關鍵．
2． (2023·安徽·淮北市烈山區(qū)淮選學校九年級階段練習）如圖，在四邊形ABCD中，∠A=∠D=120°，AB=6、AD=4，點E、F分別在線段AD、DC上（點E與點A、D不重合），若∠BEF=120°，AE=x、DF=y，則y關于x的函數(shù)關系式為________
【答案】
【分析】根據(jù)題意證明，列出比例式即可求得y關于x的函數(shù)關系式
【詳解】解：∠A=∠D=120°，∠BEF=120°，
AB=6、AD=4，AE=x、DF=y，
即
故答案為：
【點睛】本題考查了相似三角形的性質與判定，函數(shù)解析式，掌握相似三角形的性質與判定是解題的關鍵．
3 (2023·吉林·長春市綠園區(qū)教師進修學校九年級期末）【感知】如圖①，在四邊形ABCD中，點P在邊AB上（點P不與點A、B重合），．易證．（不需要證明）
【探究】如圖②，在四邊形ABCD中，點P在邊AB上（點P不與點A、B重合），．若，，，求AP的長．
【拓展】如圖③，在中，，，點P在邊AB上（點P不與點A、B重合），連結CP，作，PE與邊BC交于點E，當是等腰三角形時，直接寫出AP的長．
【答案】【探究】3；【拓展】4或．
【分析】探究：根據(jù)相似三角形的性質列出比例式，計算即可；
拓展：證明△ACP∽△BPE，分CP=CE、PC=PE、EC=EP三種情況，根據(jù)相似三角形的性質計算即可．
【詳解】探究：證明：∵是的外角，
∴，
即，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
解得：；
拓展：∵AC=BC，
∴∠A=∠B，
∵∠CPB是△APC的外角，
∴∠CPB=∠A+∠PCA，即∠CPE+∠EPB=∠A+∠PCA，
∵∠A=∠CPE，
∴∠ACP=∠BPE，
∵∠A=∠B，
∴△ACP∽△BPE，
當CP=CE時，∠CPE=∠CEP，
∵∠CEP＞∠B，∠CPE=∠A=∠B，
∴CP=CE不成立；
當PC=PE時，△ACP≌△BPE，
則PB=AC=8，
∴AP=AB-PB=128=4；
當EC=EP時，∠CPE=∠ECP，
∵∠B=∠CPE，
∴∠ECP=∠B，
∴PC=PB，
∵△ACP∽△BPE，
∴，
即，
解得：，
∴AP=ABPB=，
綜上所述：△CPE是等腰三角形時，AP的長為4或．
【點睛】本題考查的是相似三角形的判定和性質、等腰三角形的性質、三角形的外角性質，靈活運用分情況討論思想是解題的關鍵．
1． (2023·河南鄭州·二模）如圖，已知矩形的頂點分別落在軸軸上，，AB=2BC則點的坐標是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】過C作CE⊥x軸于E，根據(jù)矩形的性質得到CD=AB，∠ABC=90°，，根據(jù)余角的性質得到∠BCE=∠ABO，進而得出△BCE∽△ABO，根據(jù)相似三角形的性質得到結論．
【詳解】解：過C作CE⊥x軸于E，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴CD=AB，∠ABC=90°，
∴∠ABO+∠CBE=∠CBE+∠BCE=90°，
∴∠BCE=∠ABO，
∵，
∴△BCE∽△ABO，
∴，
∵
∴AB=，
∵AB=2BC，
∴BC=AB=4，
∵，
∴CE=2，BE=2
∴OE=4+2
∴C（4+2，2），
故選：D．
【點睛】本題考查了矩形的性質，相似三角形的判定和性質，坐標與圖形性質，正確的作出輔助線是解題的關鍵．
2． (2023·海南省直轄縣級單位·模擬預測）如圖，將正方形紙片ABCD沿EF折疊，折痕為EF，點A的對應點是點A′，點B的對應點是點B′，點B′落在邊CD上，若CB′:CD=1:3，且BF＝10，則EF的長為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】設，則CD=3x，，根據(jù)求出x=6，得到CD=18，CF=8，=12，證明△∽△求得DM=9，，，AM=9，再根據(jù)求得AE=4，過點E作EH⊥BC于H，則四邊形ABHE是矩形，再根據(jù)勾股定理求出EF=.
【詳解】設，則CD=3x，，
由折疊得，
∴CF=3x-10，
∵
∴100=，
解得x=6或x=0（舍去），
∴CD=18，CF=8，=12，
∵∠C=∠D=∠,
∴∠,
∴△∽△,
∴，
∴，
∴DM=9，，
∴，AM=9，
在Rt△中，，
∴,
解得EM=5，
∴AE=4，
過點E作EH⊥BC于H，則四邊形ABHE是矩形，
∴BH=AE=4，EH=AB=CD=18，
∴FH=10-4=6，
∴EF=,
故選：C.
【點睛】此題考查正方形的性質，勾股定理，折疊的性質，相似三角形的判定及性質，矩形的判定及性質，解題中多次用到勾股定理求出直角三角形中的邊長，根據(jù)折疊的性質得到對應的邊相等或角度相等是解題的關鍵.
3． (2023·湖北襄陽·一模）如圖，為等邊三角形，點D，E分別在邊AB，AC上，，將沿直線DE翻折得到，當點F落在邊BC上，且時，的值為______．
【答案】
【分析】根據(jù)△ABC為等邊三角形，△ADE與△FDE關于DE成軸對稱，可證△BDF∽△CFE，根據(jù)BF=4CF，可得CF=4，根據(jù)AF為軸對稱圖形對應點的連線,DE為對稱軸，可得DE⊥AF，
根據(jù)S四邊形ADFE==S△CEF=-S△ABC-S△CEF，進而可求．
【詳解】解：如圖，作△ABC的高AL，作△BDF的高DH，
∵△ABC為等邊三角形，△ADE與△FDE關于DE成軸對稱，
∴∠DFE=∠DAE= 60°，AD = DF，
∴∠CFE+∠FEC=∠CFE+∠DFB= 120°，
∴∠DFB= ∠CEF，
又∠B=∠C= 60°，
∴△BDF∽△CFE，
∴ ，
即 ，
設CF= x(x > 0)，
∵BF=4CF，
∴BF= 4x，
∵BD=3，
∴，
∵，
∴，，
∵△BDF∽△CFE，
∴，
∴
解得：x=2，
∴CF=4，
∴BC=5x=10，
∵在Rt△ABL中，∠B=60°，
∴AL=ABsin60°=10×=5，
∴S△ABC=，
∵在Rt△BHD中，BD=3，∠B=60°，
∴DH=BDsin60°=，
∴S△BDF=，
∵△BDF∽△CFE，
∴，
∵S△BDF=，
∴S△CEF=，
又∵AF為軸對稱圖形對應點的連線,DE為對稱軸，
∴AD=DF，△ADF為等腰三角形，DE⊥AF，
∴S四邊形ADFE==S△CEF=-S△ABC-S△CEF
=，
∴．
故答案為:．
【點睛】本題主要考查等邊三角形的和折疊的性質，一線三等角證明k型相似，以及“垂美四邊形”的性質：對角線互相垂直的四邊形的面積＝對角線乘積的一半．
4． (2023·山東菏澤·三模）（1）問題
如圖1，在四邊形ABCD中，點P為AB上一點，當時，求證：．
（2）探究
若將90°角改為銳角或鈍角（如圖2），其他條件不變，上述結論還成立嗎？說明理由．
（3）應用
如圖3，在中，，，以點A為直角頂點作等腰．點D在BC上，點E在AC上，點F在BC上，且，若，求CD的長．
【答案】（1）見解析；（2）成立，理由見解析；（3）
【分析】（1）由∠DPC=∠A=B=90°，可得∠ADP＝∠BPC，即可證到△ADP△BPC，然后運用相似三角形的性質即可解決問題；
（2）由∠DPC＝∠A＝∠B＝α，可得∠ADP=∠BPC，即可證到△ADP△BPC，然后運用相似三角形的性質即可解決問題；
（3）先證△ABD△DFE，求出DF=4，再證△EFC△DEC，可求FC＝1，進而解答即可．
【詳解】（1）證明：如題圖1，
∵∠DPC=∠A=∠B=90°，
∴∠ADP＋∠APD=90°，∠BPC＋∠APD = 90°，
∴∠ADP = ∠BPC，
∴△ADP△BPC，
，
∴ADBC = APBP，
（2）結論仍然成立，理由如下，
，
又，
，
，
設，
，
，
，
∴ADBC = APBP，
（3），
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
,，
，
，
．
【點睛】本題考查相似三角形的綜合題，三角形的相似；能夠通過構造45°角將問題轉化為一線三角是解題的關鍵．

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