模型一：有公共頂點(diǎn)的直角三角形
模型二：有公共頂點(diǎn)的任意三角形
【類型1：有公共頂點(diǎn)的直角三角形】
【典例1】如圖1，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分別是AC、BC的中點(diǎn)，連接DE，tan∠BAC＝．
【問題背景】如圖2，將△CDE繞C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度，連接BE、AD，求證：△ADC∽△BEC；
【嘗試運(yùn)用】如圖3，當(dāng)△CDE繞C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)過程中，AD、BE交于點(diǎn)H，連接CH，CH＝5，求AH﹣BH的值；
【拓展延伸】如圖3，若CD＝1，當(dāng)△CDE繞C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)過程中，直接寫出△ABH面積的最大值是 ．
【變式1】【問題背景】正方形ABCD和等腰直角三角形CEF按如圖①所示的位置擺放，點(diǎn)B，C，E在同一條直線上，其中∠ECF＝90°．
【初步探究】
（1）如圖②，將等腰直角三角形CEF繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，連接BF，DE，請(qǐng)直接寫出BF與DE的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系： ；
【類比探究】
（2）如圖③，將（1）中的正方形ABCD和等腰直角三角形CEF分別改成矩形ABCD和Rt△CEF，其中∠ECF＝90°，且，其他條件不變．
①判斷線段BF與DE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
②連接DF，BE，若CE＝6，AB＝12，求DF2+BE2的值．
【類型2：有公共頂點(diǎn)的任意三角形】
【典例2】已知：如圖，△ABD∽△ACE．求證：△DAE∽△BAC．
【變式2】如圖，已知△ABD∽△ACE，求證：△ABC∽△ADE．
【典例3】如圖，正△ABC的邊長為6，點(diǎn)D是BC邊上一點(diǎn)，連接AD，將AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得AE，連接DE交AB于點(diǎn)F．
（1）填空：若∠BAD＝20°，則∠BDF＝ °；
（2）若當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)（不與B、C兩點(diǎn)重合），設(shè)BD＝x，BF＝y(tǒng)，
試求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）若＝，請(qǐng)求出AE的長．
【變式3】（1）如圖（1），已知△ABC∽△ADE，求證：△ABD∽△ACE；
（2）如圖（2），D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠BAD＝∠CBD＝30°，延長BD到點(diǎn)E，使∠CAE＝30°，∠BDC＝90°，AB＝4，AC＝2，求出AD的長．
（3）如圖（3），在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，AC與DE相交于點(diǎn)F，點(diǎn)D在BC邊上，＝，試證明△ADF∽△ECF，并求出的值．
1．如圖（1）以O(shè)點(diǎn)為位似中心在y軸的左側(cè)將△OBC放大到兩倍（即新圖與原圖的相似比為2），畫出ΔOB1C1；
（2）點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B1的坐標(biāo)是 ，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C1的坐標(biāo)是 ．
2．如圖，在△ABC和△ADE中，∠BAD＝∠CAE，∠ABC＝∠ADE．
（1）求證：△ABC∽△ADE；
（2）判斷△ABD與△ACE是否相似？并證明．
3．如圖1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝2，點(diǎn)D、E分別是邊BC，AC的中點(diǎn)，連接DE．
（1）求：的值；
（2）將△CDE繞點(diǎn)C逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一定的角度，的大小有無變化？請(qǐng)僅就圖2的情形給出證明．
4．如圖，在△ABC與△DEC中，已知∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝6，BC＝3，CD＝5，CE＝2.5，連接AD，BE．
（1）求證：△ACD∽△BCE；
（2）若∠BCE＝45°，求△ACD的面積．
5．問題背景：如圖（1），已知△ABC∽△ADE，求證：△ABD∽△ACE；
嘗試應(yīng)用：如圖（2），在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，AC與DE相交于點(diǎn)F．點(diǎn)D在BC邊上，，求的值．
6．如圖，在△ABC與△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE，連接BD、CE，求證：（1）△ABC∽△ADE
（2）若AC：BC＝3：4，求BD：CE為多少
7．【問題背景】如圖1，在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，由已知可以得到：
①△ ≌△ ；
②△ ∽△ ．
【嘗試應(yīng)用】如圖2，在△ABC和△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，
求證：△ACE∽△ABD．
【問題解決】如圖3，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，AC與DE相交于點(diǎn)F，點(diǎn)D在BC上，，求的值．
8．如圖，點(diǎn)B在線段CD上，在CD的同一側(cè)作兩個(gè)等腰直角△ABC和△BDE，且∠ACB＝∠BED＝90°，AD與CE，BE分別交于點(diǎn)P，M，連接PB．
（1）若AD＝k?CE，則k的值是 ；
（2）求證：△BMP∽△DME；
（3）若BC＝，PA＝3，求PM的長．
9．如圖1，在Rt△ABC中，AC＝BC＝5，等腰直角△BDE的頂點(diǎn)D，E分別在邊BC，AB上，且BD＝，將△BDE繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為α（0°≤α＜360°）．
（1）問題發(fā)現(xiàn)
當(dāng)α＝0°時(shí)，的值為 ，直線AE，CD相交形成的較小角的度數(shù)為 ；
（2）拓展探究
試判斷：在旋轉(zhuǎn)過程中，（1）中的兩個(gè)結(jié)論有無變化？請(qǐng)僅就圖2的情況給出證明：
（3）問題解決
當(dāng)△BDE旋轉(zhuǎn)至A，D，E三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，請(qǐng)直接寫出△ACD的面積．

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