模型1.一線三等角模型（相似模型）
【模型解讀與圖示】“一線三等角”型的圖形，因?yàn)橐粭l直線上有三個(gè)相等的角，一般就會(huì)有兩個(gè)三角形的“一對(duì)角相等”，再利用平角為180°，三角形的內(nèi)角和為180°，就可以得到兩個(gè)三角形的另外一對(duì)角也相等，從而得到兩個(gè)三角形相似．
1）一線三等角模型（同側(cè)型）

（銳角型） （直角型） （鈍角型）
條件：如圖，∠1=∠2＝∠3， 結(jié)論：△ACE∽△BED.
2）一線三等角模型（異側(cè)型）
條件：如圖，∠1=∠2＝∠3， 結(jié)論：△ADE∽△BEC.
3）一線三等角模型（變異型）
圖1 圖2 圖3
①特殊中點(diǎn)型：條件：如圖1，若C為AB的中點(diǎn)，結(jié)論：△ACE∽△BED∽△ECD.
②一線三直角變異型1：條件：如圖2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.結(jié)論：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.
③一線三直角變異型2：條件：如圖3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.結(jié)論：△ABM∽△NDE∽△NCM.
例1．（2023·重慶渝北·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在等邊三角形中，點(diǎn)，分別是邊，上的點(diǎn)．將沿翻折，點(diǎn)正好落在線段上的點(diǎn)處，使得．若，則的長(zhǎng)度為（ ）
A．B．C．D．
例2．（2023·黑龍江綏化·校聯(lián)考三模）如圖，已知正方形，為的中點(diǎn)，是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接將沿折疊得，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，現(xiàn)在有如下五個(gè)結(jié)論：①一定是直角三角形；②；③當(dāng)與重合時(shí)，有；④平分正方形的面積；⑤，則正確的有（ ）

A．2個(gè)B．3個(gè)C．4個(gè)D．5個(gè)
例3．（2022·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）[問(wèn)題背景]（1）如圖1，是等腰直角三角形，，直線過(guò)點(diǎn)，，，垂足分別為，．求證：；
[嘗試應(yīng)用]（2）如圖2，，，，，三點(diǎn)共線，，，，．求的長(zhǎng)；[拓展創(chuàng)新]（3）如圖3，在中，，點(diǎn)，分別在，上，，，若，直接寫(xiě)出的值為 ．
例4．（2022?廣東中考模擬）（1）模型探究：如圖1，、、分別為三邊、、上的點(diǎn)，且，與相似嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.
（2）模型應(yīng)用：為等邊三角形，其邊長(zhǎng)為，為邊上一點(diǎn)，為射線上一點(diǎn)，將沿翻折，使點(diǎn)落在射線上的點(diǎn)處，且.①如圖2，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，求的值；
②如圖3，當(dāng)點(diǎn)落在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，求與的周長(zhǎng)之比.
例5．（2022·山西晉中·一模）閱讀材料：
我們知道：一條直線經(jīng)過(guò)等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)，過(guò)另外兩個(gè)頂點(diǎn)分別向該直線作垂線，即可得三垂直模型”如圖①，在中，，，分別過(guò)、向經(jīng)過(guò)點(diǎn)直線作垂線，垂足分別為、，我們很容易發(fā)現(xiàn)結(jié)論：．
（1）探究問(wèn)題：如果，其他條件不變，如圖②，可得到結(jié)論；．請(qǐng)你說(shuō)明理由．
（2）學(xué)以致用：如圖③，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與直線交于點(diǎn)，且兩直線夾角為，且，請(qǐng)你求出直線的解析式．（3）拓展應(yīng)用：如圖④，在矩形中，，，點(diǎn)為邊上—個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)落在點(diǎn)處，當(dāng)點(diǎn)在矩形外部時(shí)，連接，．若為直角三角形時(shí)，請(qǐng)你探究并直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．

例6．（2023·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）在中，，，點(diǎn)在所在的直線上運(yùn)動(dòng)，作（、、按逆時(shí)針?lè)较颍?）如圖，若點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，交于．
①求證：；②當(dāng)是等腰三角形時(shí)，求的長(zhǎng)；
（2）如圖，若點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)，的反向延長(zhǎng)線與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)，是否存在點(diǎn)，使是等腰三角形？若存在，求出線段的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明理由；
（3）若點(diǎn)在的反向延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)，是否存在點(diǎn)，使是等腰三角形？若存在，寫(xiě)出所有點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明理由．

例7．（2023秋·上海靜安·九年級(jí)上海市市北初級(jí)中學(xué)校考期末）如圖，矩形中，，點(diǎn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn).

(1)設(shè)，的余切值為，求關(guān)于的函數(shù)解析式；
(2)若存在點(diǎn)，使得、與四邊形的面積比是，試求矩形的面積；
(3)對(duì)（2）中求出的矩形，聯(lián)結(jié)，當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為多少時(shí)，是等腰三角形？
課后專項(xiàng)訓(xùn)練
1．（2023秋·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，點(diǎn)E、F分別在矩形的邊上，且，若，則的長(zhǎng)為（ ）

A．12B．13C．14D．15
2．（2023·河北滄州·校考二模）如圖，在中，，，點(diǎn)D是線段上的一點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)B作，分別交、于點(diǎn)E、F，與過(guò)點(diǎn)A且垂直于的直線相交于點(diǎn)G，連接，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A． B．若點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，則
C．當(dāng)B、C、F、D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上時(shí)， D．若，則
3．（2023秋·山東聊城·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在正方形中，是的中點(diǎn)，是上一點(diǎn)，，則下列結(jié)論中正確的結(jié)論有（ ）
①；②；③；④圖中有3對(duì)相似三角形．

A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
4．（2023春·安徽六安·八年級(jí)統(tǒng)考期中）在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，小穎發(fā)現(xiàn)：將三角板的直角頂點(diǎn)放在長(zhǎng)方形紙片的邊上移動(dòng)，恰好存在兩直角邊分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)，情形（如圖）．如果，，則的長(zhǎng)應(yīng)為（ ）

A．1或9B．2或8C．3或7D．4或6
5．（2023·遼寧丹東·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形中，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊，上，與相交于點(diǎn)G，若，則的長(zhǎng)為 ．
6．（2023春·山東煙臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖．是等邊三角形，點(diǎn)D，E分別為邊，上的點(diǎn)，，若，，則的長(zhǎng)為 ．

7．（2023·江蘇鹽城·校聯(lián)考二模）如圖，在矩形 中，，點(diǎn) E、F 分別是邊上的動(dòng)點(diǎn)，且， 當(dāng)為 時(shí)，最大．
8．（2023春·廣東深圳·八年級(jí)校考期中）如圖，在等邊中，，，E，F(xiàn)分別為邊，上的點(diǎn)，將沿所在直線翻折，點(diǎn)A落在邊上的G點(diǎn)，得到三角形，則的面積為 ．

9．（2023·山西·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，，，，，則CD的長(zhǎng)為_(kāi)_____．
10．（2023·安徽·九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，∠A=∠D=120°，AB=6、AD=4，點(diǎn)E、F分別在線段AD、DC上（點(diǎn)E與點(diǎn)A、D不重合），若∠BEF=120°，AE=x、DF=y，則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為_(kāi)_______
11．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖，，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，且．已知．(1)證明：．(2)求線段的長(zhǎng)．

12．（2023秋·安徽阜陽(yáng)·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在中，，點(diǎn)、分別是、邊上的點(diǎn)，且．(1)求證：；(2)若，，當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．

13．（2023秋·上?！ぞ拍昙?jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，梯形中，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，射線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，且．
(1)求證：；(2)若，求的長(zhǎng)．

14．（2023秋·吉林長(zhǎng)春·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，是矩形的邊上的一點(diǎn)，于點(diǎn)，，，．(1)求證：∽．(2)計(jì)算點(diǎn)到直線的距離為_(kāi)_____ ．

15．（2023春·上海普陀·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在梯形中，，，，，點(diǎn)E是射線上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），聯(lián)結(jié)，過(guò)點(diǎn)E作交射線于點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)．設(shè)．(1)求的長(zhǎng)；(2)如圖，當(dāng)點(diǎn)E在線段上時(shí)，求y與x之間的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍；(3)如果是以為腰的等腰三角形，求的長(zhǎng)．

16．（2023秋·四川達(dá)州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）問(wèn)題提出：如圖（1），是菱形邊上一點(diǎn)，是等腰三角形，，交于點(diǎn)，探究與的數(shù)量關(guān)系．

問(wèn)題探究：(1)先將問(wèn)題特殊化，如圖（2），當(dāng)時(shí)，直接寫(xiě)出的大小；
(2)再探究一般情形，如圖（1），求與的數(shù)量關(guān)系．
問(wèn)題拓展：(3)將圖（1）特殊化，如圖（3），當(dāng)時(shí)，若，求的值．
17．（2023·四川成都·校考三模）在矩形中，，．點(diǎn)為邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接，在右側(cè)作，，．

(1)如圖1，若點(diǎn)恰好落在邊上，求的長(zhǎng)；
(2)如圖2，延長(zhǎng)交邊于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求的值；
(3)連接，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，求的長(zhǎng)．
18．（2022·湖北武漢·?？寄M預(yù)測(cè)）【試題再現(xiàn)】如圖1，中，，，直線過(guò)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)、分別作于點(diǎn)，于點(diǎn)，則（不用證明）．
(1)【類比探究】如圖2，在中，，且，上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)說(shuō)明理由：若不成立，請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)你認(rèn)為正確的結(jié)論．
(2)【拓展延伸】①如圖3，在中，，且，猜想線段、、之間有什么數(shù)量關(guān)系？并證明你的猜想．②若圖1的中，，，并將直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度后與斜邊相交，分別過(guò)點(diǎn)、作直線的垂線，垂足分別為點(diǎn)和點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)趥溆脠D上畫(huà)出圖形，并直接寫(xiě)出線段、、之間滿足的一種數(shù)量關(guān)系（不要求寫(xiě)出證明過(guò)程）．

專題04 相似三角形重要模型之一線三等角模型
相似三角形在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位。相似三角形與其它知識(shí)點(diǎn)結(jié)合以綜合題的形式呈現(xiàn)，其變化很多，難度大，是中考的常考題型。如果大家平時(shí)注重解題方法，熟練掌握基本解題模型，再遇到該類問(wèn)題就信心更足了．本專題就一線三等角模型進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。
模型1.一線三等角模型（相似模型）
【模型解讀與圖示】“一線三等角”型的圖形，因?yàn)橐粭l直線上有三個(gè)相等的角，一般就會(huì)有兩個(gè)三角形的“一對(duì)角相等”，再利用平角為180°，三角形的內(nèi)角和為180°，就可以得到兩個(gè)三角形的另外一對(duì)角也相等，從而得到兩個(gè)三角形相似．
1）一線三等角模型（同側(cè)型）

（銳角型） （直角型） （鈍角型）
條件：如圖，∠1=∠2＝∠3， 結(jié)論：△ACE∽△BED.
2）一線三等角模型（異側(cè)型）
條件：如圖，∠1=∠2＝∠3， 結(jié)論：△ADE∽△BEC.
3）一線三等角模型（變異型）
圖1 圖2 圖3
①特殊中點(diǎn)型：條件：如圖1，若C為AB的中點(diǎn)，結(jié)論：△ACE∽△BED∽△ECD.
②一線三直角變異型1：條件：如圖2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.結(jié)論：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.
③一線三直角變異型2：條件：如圖3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.結(jié)論：△ABM∽△NDE∽△NCM.
例1．（2023·重慶渝北·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在等邊三角形中，點(diǎn)，分別是邊，上的點(diǎn)．將沿翻折，點(diǎn)正好落在線段上的點(diǎn)處，使得．若，則的長(zhǎng)度為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由是等邊三角形，＝＝＝60°， 由沿DE折疊C落在AB邊上的點(diǎn)F上，，＝＝60°，CD=DF，CE＝EF，由AF：BF=1:2，設(shè)AF=m，BF=2m，AB=3m，設(shè)AD＝x，CD=DF＝， 由BE=2，BC＝，可得CE＝，可證 ，利用性質(zhì) ，即，解方程即可
【詳解】解：∵是等邊三角形，∴ ＝＝＝60°，
∵ 沿DE折疊C落在AB邊上的點(diǎn)F上，∴ ，
∴ ＝＝60°，CD=DF，CE＝EF，
∵AF：BF=1:2， 設(shè)AF=m，BF=2m，AB=3m，設(shè)＝x，＝DF＝，
∵BE=2，BC＝，∴ CE＝，∵ ＝，＝60°，
∴ ＝120°，＝120°，∴ ＝，
∵ ＝，∴ ，∴ ，即，
解得：，使等式有意義，
∴ ＝，故選擇：A．
【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形性質(zhì)和折疊性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)和判定，主要考查學(xué)生運(yùn)用定理進(jìn)行推理和計(jì)算的能力，題目綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度．
例2．（2023·黑龍江綏化·校聯(lián)考三模）如圖，已知正方形，為的中點(diǎn)，是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接將沿折疊得，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，現(xiàn)在有如下五個(gè)結(jié)論：①一定是直角三角形；②；③當(dāng)與重合時(shí)，有；④平分正方形的面積；⑤，則正確的有（ ）

A．2個(gè)B．3個(gè)C．4個(gè)D．5個(gè)
【答案】C
【分析】如圖1中，證明，，可得，可得，，可得①②正確，如圖2中，當(dāng)M與C重合時(shí)，設(shè)．則，證明，可得，即，可得，可得③正確，如圖3中，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)D重合時(shí)，顯然直線不平分正方形的面積，可得④錯(cuò)誤，如圖1中，于H，，同理可得：，可得，結(jié)合，可得⑤正確．
【詳解】解：如圖1中，

∵四邊形是正方形，∴，∵E為的中點(diǎn)，∴，
由翻折可知：，，，
∵，，，
∴，∴，
∵，∴，故①②正確，
如圖2中，當(dāng)M與C重合時(shí)，設(shè)．則，

∵，∴，
∴，∴，∴，即，可得，
∴，∴，故③正確，
如圖3中，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)D重合時(shí)，顯然直線不平分正方形的面積，故④錯(cuò)誤，
如圖1中，∵于H，，同理可得：，
∴，∴，∵，∴．故⑤正確，故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．
例3．（2022·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）[問(wèn)題背景]（1）如圖1，是等腰直角三角形，，直線過(guò)點(diǎn)，，，垂足分別為，．求證：；
[嘗試應(yīng)用]（2）如圖2，，，，，三點(diǎn)共線，，，，．求的長(zhǎng)；[拓展創(chuàng)新]（3）如圖3，在中，，點(diǎn)，分別在，上，，，若，直接寫(xiě)出的值為 ．
【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）5
【分析】（1）由“”可證；
（2）延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于，由（1）可知：，可得，，由直角三角形的性質(zhì)可求解；
（3）通過(guò)證明，可求，通過(guò)證明，可求，即可求解．
【詳解】解：（1）證明：∵，，∴，
∴，∴，
在和中，，∴；
（2）如圖2，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于，

由（1）可知：，∴，，
∵，，∴，∴，，
∴，∴，，∴，∴；
（3）如圖3，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于，延長(zhǎng)交于，過(guò)點(diǎn)作于，過(guò)點(diǎn)作于，∵，∴設(shè)，，
∴，由（1）可知：，∴，，
∵，，，∴，
∴，，
∴，，，∴，
∵，，∴，
∴，∴，∵，，∴，
又∵，∴，
∴，∴，∴，∴，故答案為．
【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形或相似三角形是本題的關(guān)鍵．
例4．（2022?廣東中考模擬）（1）模型探究：如圖1，、、分別為三邊、、上的點(diǎn)，且，與相似嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.
（2）模型應(yīng)用：為等邊三角形，其邊長(zhǎng)為，為邊上一點(diǎn)，為射線上一點(diǎn)，將沿翻折，使點(diǎn)落在射線上的點(diǎn)處，且.①如圖2，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，求的值；
②如圖3，當(dāng)點(diǎn)落在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，求與的周長(zhǎng)之比.
【答案】（1），見(jiàn)解析；（2）①；②與的周長(zhǎng)之比為.
【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到，即可證明；
（2）①設(shè)，，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)與折疊可知，，，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得，即可證明，故，再根據(jù)比例關(guān)系求出的值；②同理可證，得，得，再得到，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解.
【詳解】解（1），
理由：，在中，，
，，
，，，；
（2）①設(shè)，，是等邊三角形，，，
由折疊知，，，，
在中，，，
，，
，，
，，，
，，
，，，；
②設(shè)，，是等邊三角形， ，，
由折疊知，，，，
在中，，，
，，，
，，，
，，，
，，.
.與的周長(zhǎng)之比為.
【點(diǎn)睛】此題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知等邊三角形的性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì).
例5．（2022·山西晉中·一模）閱讀材料：
我們知道：一條直線經(jīng)過(guò)等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)，過(guò)另外兩個(gè)頂點(diǎn)分別向該直線作垂線，即可得三垂直模型”如圖①，在中，，，分別過(guò)、向經(jīng)過(guò)點(diǎn)直線作垂線，垂足分別為、，我們很容易發(fā)現(xiàn)結(jié)論：．
（1）探究問(wèn)題：如果，其他條件不變，如圖②，可得到結(jié)論；．請(qǐng)你說(shuō)明理由．
（2）學(xué)以致用：如圖③，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與直線交于點(diǎn)，且兩直線夾角為，且，請(qǐng)你求出直線的解析式．（3）拓展應(yīng)用：如圖④，在矩形中，，，點(diǎn)為邊上—個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)落在點(diǎn)處，當(dāng)點(diǎn)在矩形外部時(shí)，連接，．若為直角三角形時(shí)，請(qǐng)你探究并直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．

【答案】（1）理由見(jiàn)解析；（2）；（3）長(zhǎng)為3或．
【分析】（1）根據(jù)同角的余角相等得到，然后利用AA定理判定三角形相似；
（2）過(guò)點(diǎn)作交直線于點(diǎn)，分別過(guò)、作軸，軸，由（1）得，從而得到，然后結(jié)合相似三角形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)求出，，從而確定N點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；
（3）分兩種情形討論：①如圖1中，當(dāng)∠PDC=90°時(shí)．②如圖2中，當(dāng)∠DPC=90°時(shí)，作PF⊥BC于F，PH⊥CD于H，設(shè)BE=x．分別求解即可．
【詳解】解：（1）∵，∴
又∵∴∴
∵．∴
（2）如圖，過(guò)點(diǎn)作交直線于點(diǎn)，分別過(guò)、作軸，軸
由（1）得 ∴∵坐標(biāo) ∴，
∵ ∴解得：， ∴
設(shè)直線表達(dá)式為，代入，
得，解得， ∴直線表達(dá)式為
（3）解：①如圖1中，當(dāng)∠PDC=90°時(shí)，

∵∠ADC=90°，∴∠ADC+∠PDC=180°，∴A、D、P共線，
∵EA=EP，∠AEP=90°，∴∠EAP=45°，∵∠BAD=90°，
∴∠BAE=45°，∵∠B=90°∴∠BAE=∠BEA=45°，∴BE=AB=3．
②如圖2中，當(dāng)∠DPC=90°時(shí)，作PF⊥BC于F，PH⊥CD于H，設(shè)BE=x，
∵∠AEB+∠PEF=90°，∠AEB+∠BAE=90°，∴∠BAE=∠PEF，
在△ABE和△EFP中，∴△ABE≌△EFP，
∴EF=AB=3，PF=HC=BE=x，∴CF=3-（5-x）=x-2，
∵∠DPH+∠CPH=90°，∠CPH+∠PCH=90°，∴∠DPH=∠PCH，∵∠DHP=∠PHC，
∴△PHD∽△CHP，∴PH2=DH?CH，∴（x-2）2=x（3-x），
∴x=或（舍棄），∴BE=，
綜上所述，當(dāng)△PDC是直角三角形時(shí)，BE的值為3或．
【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)變換、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線構(gòu)造全等三角形或相似三角形解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．
例6．（2023·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）在中，，，點(diǎn)在所在的直線上運(yùn)動(dòng)，作（、、按逆時(shí)針?lè)较颍?）如圖，若點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，交于．
①求證：；②當(dāng)是等腰三角形時(shí)，求的長(zhǎng)；
（2）如圖，若點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)，的反向延長(zhǎng)線與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)，是否存在點(diǎn)，使是等腰三角形？若存在，求出線段的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明理由；

（3）若點(diǎn)在的反向延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)，是否存在點(diǎn)，使是等腰三角形？若存在，寫(xiě)出所有點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明理由．
【答案】（1）①見(jiàn)解析，②2或或1；（2）存在，2；（3）不存在，見(jiàn)解析
【分析】（1）①根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到，再證，根據(jù)相似三角形的判定定理證明即可；②根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，分，和三種情況討論，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解；（2）先證得，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計(jì)算即可；
（3）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及三角形外角的性質(zhì)定理，進(jìn)行判斷即可．
【詳解】（1）①證明：∵，，∴．∴．
又∵，∴．∴；
②解：分三種情況：
（i）當(dāng)，時(shí)，得到，點(diǎn)分別與重合，∴．
（ii）當(dāng)時(shí)，
在△ABD和△DCE中，，∴，∴，
∵BC=，∴，∴；
（iii）當(dāng)時(shí)，有，
∴，AD=CD，AE=CE=DE，∴．
綜上所述，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，的長(zhǎng)為2，或1．
（2）解：存在．∵，∴．
∵，∴．
∴，∴，∴，
當(dāng)，．
（3）解：不存在．理由如下：如圖，
∵和不重合，∴，又，，∴≠．
【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，分情況討論是解答本題的關(guān)鍵．
例7．（2023秋·上海靜安·九年級(jí)上海市市北初級(jí)中學(xué)?？计谀┤鐖D，矩形中，，點(diǎn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn).

(1)設(shè)，的余切值為，求關(guān)于的函數(shù)解析式；
(2)若存在點(diǎn)，使得、與四邊形的面積比是，試求矩形的面積；
(3)對(duì)（2）中求出的矩形，聯(lián)結(jié)，當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為多少時(shí)，是等腰三角形？
【答案】(1)(2)(3)或或1
【分析】（1）根據(jù)已知條件矩形和，得出，，從而求出，再根據(jù)求出結(jié)果；
（2）假設(shè)存在，由題意、與四邊形的面積比是，可得，設(shè)，證，根據(jù)三角形的相似比，從而求解；
（3）過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，判斷是等腰三角形，要分類討論，①；②；③，根據(jù)三角形相似進(jìn)行求解．
【詳解】（1）解：，，
，，
∵在矩形中，，∴，
則，；
（2）：四邊形的面積比是，
，，設(shè)，則，
∵，，，且，
，，解得，，∴；
（3）①時(shí)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，
則，，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，

，，當(dāng)時(shí)，是等腰三角形；
②時(shí)，則，
，，，則，當(dāng)時(shí)，是等腰三角形；
③時(shí)，則點(diǎn)在的垂直平分線上，故為中點(diǎn)．
，，，∴，
，，即，
∴，解得，當(dāng)時(shí)，是等腰三角形，
綜上：的長(zhǎng)度為或或1．
【點(diǎn)睛】此題難度比較大，主要考查矩形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)、三角函數(shù)及等腰三角形的判定，考查知識(shí)點(diǎn)比較多，綜合性比較強(qiáng)，另外要注意輔助線的作法．
課后專項(xiàng)訓(xùn)練
1．（2023秋·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，點(diǎn)E、F分別在矩形的邊上，且，若，則的長(zhǎng)為（ ）

A．12B．13C．14D．15
【答案】A
【分析】證明，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例即可求得．
【詳解】解：四邊形是矩形，，
，，
，，，
，，故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，證明相似三角形是本題的關(guān)鍵．
2．（2023·河北滄州·?？级＃┤鐖D，在中，，，點(diǎn)D是線段上的一點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)B作，分別交、于點(diǎn)E、F，與過(guò)點(diǎn)A且垂直于的直線相交于點(diǎn)G，連接，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A． B．若點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，則
C．當(dāng)B、C、F、D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上時(shí)， D．若，則
【答案】D
【分析】由，可確定A項(xiàng)正確；由可得，進(jìn)而由確定點(diǎn)F為的三等分點(diǎn)，可確定B項(xiàng)正確；當(dāng)B、C、F、D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上時(shí)，由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到，得到為圓的直徑，因?yàn)?，根?jù)垂徑定理得到，故C項(xiàng)正確；因?yàn)镈為的三等分點(diǎn)，即，可得，由此確定D項(xiàng)錯(cuò)誤．
【詳解】解：依題意可得，∴，∴，
又，∴．故A項(xiàng)正確；如圖，
∵，，∴．
在與中，，
∴，∴，又∵，∴；
∵為等腰直角三角形，∴；∴；
∵，∴，∴，∴．故B項(xiàng)正確；
當(dāng)B、C、F、D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上時(shí)，由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得，
∴是B、C、F、D四點(diǎn)所在圓的直徑，
∵，∴，∴，故C項(xiàng)正確；
∵，，，∴，
∴，，∴，∴；
∴．故D項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形中相似三角形與全等三角形的應(yīng)用，有一定的難度．對(duì)每一個(gè)結(jié)論，需要仔細(xì)分析，嚴(yán)格論證；注意各結(jié)論之間并非彼此孤立，而是往往存在邏輯關(guān)聯(lián)關(guān)系，需要善加利用．
3．（2023秋·山東聊城·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在正方形中，是的中點(diǎn)，是上一點(diǎn)，，則下列結(jié)論中正確的結(jié)論有（ ）
①；②；③；④圖中有3對(duì)相似三角形．

A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【答案】C
【分析】由題中條件可得，進(jìn)而得出對(duì)應(yīng)線段成比例，進(jìn)而又可得出，即可得出題中結(jié)論．
【詳解】解：四邊形 是正方形，，
，，
，，，
是的中點(diǎn)，，，故①正確；
由可得，的正切值相同，，
，，，，
，，故②正確；
，，，與不全等，故③錯(cuò)誤；
由以上證得，，，故④正確．故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定及性質(zhì)，其中又涉及正方形的一些性質(zhì)問(wèn)題，能夠熟練掌握這些定理是解題的關(guān)鍵．
4．（2023春·安徽六安·八年級(jí)統(tǒng)考期中）在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，小穎發(fā)現(xiàn)：將三角板的直角頂點(diǎn)放在長(zhǎng)方形紙片的邊上移動(dòng)，恰好存在兩直角邊分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)，情形（如圖）．如果，，則的長(zhǎng)應(yīng)為（ ）

A．1或9B．2或8C．3或7D．4或6
【答案】B
【分析】根據(jù)得出，再根據(jù)長(zhǎng)方形的性質(zhì)證得，，從而得到，最后根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可求出的長(zhǎng)．
【詳解】解：由題意知，，
四邊形為長(zhǎng)方形，，，，
，，，，
設(shè)，則，，
整理得，，解得，，，即的長(zhǎng)應(yīng)為2或8，故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)．
5．（2023·遼寧丹東·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形中，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊，上，與相交于點(diǎn)G，若，則的長(zhǎng)為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)題意證明，，利用勾股定理即可求解．
【詳解】解：四邊形是正方形，，，
，，，
，，，，
又，，，
，，，
，．故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
6．（2023春·山東煙臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖．是等邊三角形，點(diǎn)D，E分別為邊，上的點(diǎn)，，若，，則的長(zhǎng)為 ．

【答案】或
【分析】根據(jù)是等邊三角形，得到，，推出，得到，得到，然后代入數(shù)值求得結(jié)果．
【詳解】解：∵是等邊三角形，∴，，
∵，，
∴，∴，
∴，即，解得：或，
經(jīng)檢驗(yàn)：或是原方程的解，故答案為：或．
【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，注意數(shù)形結(jié)合和方程思想的應(yīng)用．
7．（2023·江蘇鹽城·校聯(lián)考二模）如圖，在矩形 中，，點(diǎn) E、F 分別是邊上的動(dòng)點(diǎn)，且， 當(dāng)為 時(shí)，最大．
【答案】/
【分析】在中，，則，當(dāng)增加時(shí)，也增加，因?yàn)?，要使取最大值，所以取最小值，然后證明，利用二次函數(shù)求得的最小值即可．
【詳解】設(shè)，∵矩形中，，
∴，
∴,
∵，∴，
又∵，∴，∴，
∴，即，整理得：，
∵，∴當(dāng)時(shí)，y取最小值，
∵中，，∴，
∴要使取最大值，即最大時(shí)，y應(yīng)取最小值，
∴，即，故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函的最值、三角形相似的判定和性質(zhì)、正切函數(shù)的性質(zhì)，也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中轉(zhuǎn)化的思想，靈活運(yùn)用是關(guān)鍵．
8．（2023春·廣東深圳·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在等邊中，，，E，F(xiàn)分別為邊，上的點(diǎn)，將沿所在直線翻折，點(diǎn)A落在邊上的G點(diǎn)，得到三角形，則的面積為 ．

【答案】
【分析】過(guò)點(diǎn)G作于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)F作于點(diǎn)N，由已知條件及翻折的性質(zhì)可知，可得，，，，，設(shè)，則，在中，由勾股定理可求出x值，即可得，，證明，則，可得和，在中，可得，利用三角形面積公式直接求的面積即為的面積．
【詳解】解：過(guò)點(diǎn)G作于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)F作于點(diǎn)N．

∵為等邊三角形，，，∴，，，
由翻折可知，，，在中，，，
∴，，設(shè)，則，
在中，由勾股定理可得，，
解得，∴，，
∵，∴，
又∵，∴，∴，即，解得，∴，
在中，，∴，
∴．故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換（折疊問(wèn)題）、等邊三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形等知識(shí)，熟練掌握翻折的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
9．（2023·山西·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，，，，，則CD的長(zhǎng)為_(kāi)_____．
【答案】5
【分析】在CD上取點(diǎn)F，使，證明，求解 再證明，利用相似三角形的性質(zhì)求解即可得到答案.
【詳解】解：在CD上取點(diǎn)F，使，
，，由，，
，，且，
，，∽，
， ，，
又， ，
∽，，
又，，或舍去，
經(jīng)檢驗(yàn)：符合題意，．故答案為：5．
本題考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，分式方程與一元二次方程的解法，相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.
10．（2023·安徽·九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，∠A=∠D=120°，AB=6、AD=4，點(diǎn)E、F分別在線段AD、DC上（點(diǎn)E與點(diǎn)A、D不重合），若∠BEF=120°，AE=x、DF=y，則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為_(kāi)_______
【答案】
【分析】根據(jù)題意證明，列出比例式即可求得y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式
【詳解】解：∠A=∠D=120°，∠BEF=120°，
AB=6、AD=4，AE=x、DF=y，
即故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，函數(shù)解析式，掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
11．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖，，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，且．已知．

(1)證明：．(2)求線段的長(zhǎng)．
【答案】(1)見(jiàn)解析(2)
【分析】（1）根據(jù)題意得出，，則，即可得證；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，利用相似三角形的性質(zhì)列出比例式，代入數(shù)據(jù)即可求解．
【詳解】（1）證明：∵，∴，
∵，∴，∴，∴；
（2）∵，∴，
∵，∴，解得：．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
12．（2023秋·安徽阜陽(yáng)·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，點(diǎn)、分別是、邊上的點(diǎn)，且．(1)求證：；(2)若，，當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．

【答案】(1)見(jiàn)解析(2)
【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，再由三角形外角的性質(zhì)可得，即可求證；（2）根據(jù)，可得，再由，可得，從而得到，進(jìn)而得到，即可求解．
【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，
∴且，∴，
∵，∴；
（2）解：∵，∴，即，
∵，∴，
∴，即，∴，
∵，，∴，∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
13．（2023秋·上?！ぞ拍昙?jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，梯形中，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，射線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，且．
(1)求證：；(2)若，求的長(zhǎng)．

【答案】(1)見(jiàn)解析(2)
【分析】（1）根據(jù)已知條件得出，，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)，可得，證明，則，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即可得證；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論得出比例式，代入數(shù)據(jù)，即可求解．
【詳解】（1）證明：∵梯形中，，
∴，
又∵∴
∴，∴∴
∴即；
（2）解：∵∴
∵∴，∴
則
∵∴，∴
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
14．（2023秋·吉林長(zhǎng)春·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，是矩形的邊上的一點(diǎn)，于點(diǎn)，，，．(1)求證：∽．(2)計(jì)算點(diǎn)到直線的距離為_(kāi)_____ ．

【答案】(1)詳見(jiàn)解析(2)
【分析】（1）證明兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等；
（2）點(diǎn)到直線的距離就是線段的長(zhǎng)度，由相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求解即可；
【詳解】（1）證明：四邊形是矩形，
，，，∴
，，
∴，
∴，∽，
（2）解：∵∽，∴，
即?！喙蚀鸢笧椋海?br>【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，證得∽是解題的關(guān)鍵
15．（2023春·上海普陀·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在梯形中，，，，，點(diǎn)E是射線上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），聯(lián)結(jié)，過(guò)點(diǎn)E作交射線于點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)．設(shè)．(1)求的長(zhǎng)；(2)如圖，當(dāng)點(diǎn)E在線段上時(shí)，求y與x之間的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍；(3)如果是以為腰的等腰三角形，求的長(zhǎng)．

【答案】(1)6(2)(3)或
【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作，可得四邊形為矩形，利用勾股定理求出的長(zhǎng)即可；
（2）證明，列出比例式進(jìn)行求解即可；
（3）分點(diǎn)在線段上和在線段的延長(zhǎng)線上，兩種情況進(jìn)行討論求解．
【詳解】（1）解：過(guò)點(diǎn)作與點(diǎn)，

∵，，∴，∴四邊形為平行四邊形，
∵，∴四邊形為矩形，∴，，∴，
在中，，∴
（2）∵，∴，，
∵，，，∴，
∴，∴，
∴，即：，整理，得：，
∵點(diǎn)E在線段上，∴，∴；
（3）當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，
①當(dāng)時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)作與點(diǎn)，則：，

由（1）知，，∴，由（2）知：，
當(dāng)時(shí)：或，即：或；
②當(dāng)時(shí)，∵，∴此種情況不存在；
當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)：如圖，

則：，同法（2）可得：，即：，
整理，得：，
∵是以為腰的等腰三角形，則：，
在中：，
在中：，
在中：，
整理，得：，
∵，∴，
整理，得：，解得：（負(fù)值已舍掉）；∴，
綜上：或．
【點(diǎn)睛】本題考查矩形得判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形，勾股定理．解題的關(guān)鍵是讀懂題意，正確的作圖，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想進(jìn)行求解．
16．（2023秋·四川達(dá)州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）問(wèn)題提出：如圖（1），是菱形邊上一點(diǎn)，是等腰三角形，，交于點(diǎn)，探究與的數(shù)量關(guān)系．

問(wèn)題探究：(1)先將問(wèn)題特殊化，如圖（2），當(dāng)時(shí)，直接寫(xiě)出的大小；
(2)再探究一般情形，如圖（1），求與的數(shù)量關(guān)系．
問(wèn)題拓展：(3)將圖（1）特殊化，如圖（3），當(dāng)時(shí)，若，求的值．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）延長(zhǎng)過(guò)點(diǎn)F作，證明即可得出結(jié)論．
（2）在上截取，使，連接，證明，通過(guò)邊和角的關(guān)系即可證明．
（3）過(guò)點(diǎn)A作的垂線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為，由（2）知，，通過(guò)相似求出，即可解出．
【詳解】（1）延長(zhǎng)過(guò)點(diǎn)F作，
∵，，∴，
在和中∴，∴，，
∴，∴，∴．故答案為：．

（2）解：在上截取，使，連接．
，
，．
，．．
，．
．

（3）解：過(guò)點(diǎn)作的垂線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為，
．在中，
，．，由（2）知，．
．，，，
在上截取，使，連接，作于點(diǎn)O．
由（2）知，，∴，
∵，∴，．
∵，∴，
∵，∴．．

【點(diǎn)睛】此題考查菱形性質(zhì)、三角形全等、三角形相似，解題的關(guān)鍵是熟悉菱形性質(zhì)、三角形全等、三角形相似．
17．（2023·四川成都·?？既＃┰诰匦沃?，，．點(diǎn)為邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接，在右側(cè)作，，．

(1)如圖1，若點(diǎn)恰好落在邊上，求的長(zhǎng)；
(2)如圖2，延長(zhǎng)交邊于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求的值；
(3)連接，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，求的長(zhǎng)．
【答案】(1)(2)(3)或
【分析】（1）可證，可得，從而可求，即可求解；
（2）過(guò)點(diǎn)作交于，可證，可得，設(shè)，則有，，可得，即可求解；（3）①當(dāng)在邊上，時(shí)，可證，從而可證，即可求解；②當(dāng)在矩形內(nèi)部時(shí)，（?。┊?dāng)時(shí)，由（2）得： ，即可求解；（ⅱ）當(dāng)時(shí)，由（2）得同理可求： ，
，，由，即可求解；③如圖，當(dāng)在矩形外部時(shí)，由判斷，即可求解．
【詳解】（1）解：四邊形是矩形，，，
，，，，
，，，
，解得：，，，解得：．
（2）解：如圖，過(guò)點(diǎn)作交于，

，，，
由（1）得同理可證：，
，，，解得：，
，，，
設(shè)，則有，， ，
整理得：，解得：，，經(jīng)檢驗(yàn)：，是此方程的根，
， (不合題意，舍去)，，在中，．
（3）解：①如圖，當(dāng)在邊上，時(shí)，

，由（1）得：，
，，，
，，故此種情況不存在．
②當(dāng)在矩形內(nèi)部時(shí)，（?。┤鐖D，當(dāng)時(shí)，

由（2）得： ，，；
（ⅱ）如圖，當(dāng)時(shí)，

由（2）得同理可求：，，
，，在中，
，整理得：，
解得：，（舍去），；
③如圖，當(dāng)在矩形外部時(shí)，

，始終不是等腰三角形．
綜上所述：的長(zhǎng)為或．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，等腰三角形的判定，三角形相似的判定及性質(zhì)，勾股定理，一般角的三角函數(shù)值等，掌握相關(guān)的判定方法及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
18．（2022·湖北武漢·?？寄M預(yù)測(cè)）【試題再現(xiàn)】如圖1，中，，，直線過(guò)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)、分別作于點(diǎn)，于點(diǎn)，則（不用證明）．

(1)【類比探究】如圖2，在中，，且，上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)說(shuō)明理由：若不成立，請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)你認(rèn)為正確的結(jié)論．
(2)【拓展延伸】①如圖3，在中，，且，猜想線段、、之間有什么數(shù)量關(guān)系？并證明你的猜想．
②若圖1的中，，，并將直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度后與斜邊相交，分別過(guò)點(diǎn)、作直線的垂線，垂足分別為點(diǎn)和點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)趥溆脠D上畫(huà)出圖形，并直接寫(xiě)出線段、、之間滿足的一種數(shù)量關(guān)系（不要求寫(xiě)出證明過(guò)程）．
【答案】(1)成立，見(jiàn)解析 (2)①，見(jiàn)解析；②或
【分析】（1）易證，則有，，從而可得；
（2）①易證，則有，從而可得，，即可得到；②同①可得，．由于直線在繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，點(diǎn)到直線的距離與點(diǎn)到直線的距離大小關(guān)系會(huì)發(fā)生變化，因此需分情況討論（如圖4、圖，然后只需結(jié)合圖形就可解決問(wèn)題．
【詳解】（1）猜想．理由：如圖2，

，．
，，．
在和中，，，
，，；
（2）①猜想：．理由：如圖3，

，．
，，．
，，，
，，；
②或．同①可得：，．
如圖4，；

如圖5，．
【點(diǎn)睛】本題是一道探究題，用到了全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、平角的定義等知識(shí)，考查了探究能力，滲透分類討論的思想以及特殊到一般的思想，是一道好題．

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