如圖一，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC。 結(jié)論：Rt△BDC≌Rt△CEA
模型二 一線三等角全等模型
如圖二，∠D=∠BCA=∠E，BC=AC。 結(jié)論：△BEC≌△CDA

圖一 圖二
應(yīng)用：①通過(guò)證明全等實(shí)現(xiàn)邊角關(guān)系的轉(zhuǎn)化，便于解決對(duì)應(yīng)的幾何問(wèn)題；
②與函數(shù)綜合應(yīng)用中有利于點(diǎn)的坐標(biāo)的求解。
【類(lèi)型一：標(biāo)準(zhǔn)“K”型圖】
【典例1】在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
（1）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖（1）的位置時(shí)，
求證：①△ADC≌△CEB；
②DE＝AD+BE；
（2）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖（2）的位置時(shí)，求證：DE＝AD﹣BE；
當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖（3）的位置時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出DE，AD，BE之間的等量關(guān)系．
【變式1-1】如圖，∠BAC＝90°，AD是∠BAC內(nèi)部一條射線，若AB＝AC，BE⊥AD于點(diǎn)E，CF⊥AD于點(diǎn)F．
求證：△ABE≌△CAF．
【變式1-2】在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)B、C分別作l的垂線，垂足分別為點(diǎn)D、E．
（1）特例體驗(yàn)：如圖①，若直線l∥BC，AB＝AC＝，分別求出線段BD、CE和DE的長(zhǎng)；
（2）規(guī)律探究：
（Ⅰ）如圖②，若直線l從圖①狀態(tài)開(kāi)始繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)α（0＜α＜45°），請(qǐng)?zhí)骄烤€段BD、CE和DE的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由；
（Ⅱ）如圖③，若直線l從圖①狀態(tài)開(kāi)始繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（45°＜α＜90°），與線段BC相交于點(diǎn)H，請(qǐng)?jiān)偬骄€段BD、CE和DE的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由；
（3）嘗試應(yīng)用：在圖③中，延長(zhǎng)線段BD交線段AC于點(diǎn)F，若CE＝3，DE＝1，求S△BFC．
【類(lèi)型二：做輔助線構(gòu)造“K”型圖】
【典例2】如圖，△ABC為等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△ABD為等腰三角形，AD＝AB＝BC，E為DB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，∠BAD＝2∠CAE．
（1）若∠CAE＝20°，求∠CBE的度數(shù)；
（2）求證：∠BEC＝135°；
（3）若AE＝a，BE＝b，CE＝c．則△ABC的面積為 ．（用含a，b，c的式子表示）
【類(lèi)型三：“K”型圖與平面直角坐標(biāo)綜合】
【典例3】如圖，平面直角坐標(biāo)系中有點(diǎn)A（﹣1，0）和y軸上一動(dòng)點(diǎn)B（0，a），其中a＞0，以B點(diǎn)為直角頂點(diǎn)在第二象限內(nèi)作等腰直角△ABC，設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（c，d）．
（1）當(dāng)a＝2時(shí)，則C點(diǎn)的坐標(biāo)為 ；
（2）動(dòng)點(diǎn)B在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，試判斷c+d的值是否發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)求出其值；若發(fā)生變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【變式3】點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)B為y軸負(fù)半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別以O(shè)B、AB為直角邊在第三象限和第四象限作等腰Rt△OBC和等腰Rt△ABD．
（1）如圖一，若點(diǎn)B坐標(biāo)為（0，﹣3），連接AC、OD．
①求證：AC＝OD；
②求D點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）如圖二，連接CD，與y軸交于點(diǎn)E，試求BE長(zhǎng)度．
【類(lèi)型四：特殊“K”型圖】
【典例4】（1）猜想：如圖1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直線m經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點(diǎn)D、E．試猜想DE、BD、CE有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫(xiě)出；
（2）探究：如果三個(gè)角不是直角，那結(jié)論是否會(huì)成立呢？如圖2，將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB＝AC，D，A、E三點(diǎn)都在直線m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α（其中α為任意銳角或鈍角）如果成立，請(qǐng)你給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）解決問(wèn)題：如圖3，F(xiàn)是角平分線上的一點(diǎn)，且△ABF和△ACF均為等邊三角形，D、E分別是直線m上A點(diǎn)左右兩側(cè)的動(dòng)點(diǎn)，D、E、A互不重合，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中線段DE的長(zhǎng)度始終為n，連接BD、CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，試判斷△DEF的形狀，并說(shuō)明理由．
【變式4】已知，在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三點(diǎn)都在直線m上，且DE＝9cm，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC
（1）如圖①，若AB⊥AC，則BD與AE的數(shù)量關(guān)系為 ，CE與AD的數(shù)量關(guān)系為 ；
（2）如圖②，判斷并說(shuō)明線段BD，CE與 DE的數(shù)量關(guān)系；
（3）如圖③，若只保持∠BDA＝∠AEC，BD＝EF＝7cm，點(diǎn)A在線段DE上以2cm/s的速度由點(diǎn)D向點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)C在線段EF上以xcm/s的速度由點(diǎn)E向點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)，它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）．是否存在x，使得△ABD與△EAC全等？若存在，求出相應(yīng)的t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
1．如圖，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分別為D，E．
（1）求證：△ACD≌△CBE；
（2）試探究線段AD，DE，BE之間有什么樣的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)說(shuō)明理由．
2．如圖，在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三點(diǎn)都在直線m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，若DE＝10，BD＝3，求CE的長(zhǎng)．
3．如圖，把一塊直角三角尺ABC的直角頂點(diǎn)C放置在水平直線MN上，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，試回答下列問(wèn)題：
（1）若把三角尺ABC繞著點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，當(dāng)AB∥MN時(shí)，∠2＝ 45 度；
（2）在三角尺ABC繞著點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)過(guò)程中，分別作AM⊥MN于M，BN⊥MN與N，若AM＝6，BN＝2，求MN．
（3）三角尺ABC繞著點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蚶^續(xù)旋轉(zhuǎn)到圖3的位置，其他條件不變，則AM、BN與MN之間有什么關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．
4．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
（1）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，
求證：①△ADC≌△CEB；
②DE＝AD+BE；
（2）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，說(shuō)明理由．
5.已知△ABC在平面直角坐標(biāo)系中，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°．
（1）如圖①，已知點(diǎn)A（0，﹣4），B（1，0），求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）如圖②，已知點(diǎn)A（0，0），B（3，1），求點(diǎn)C的坐標(biāo)．
6．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（0，m），B（m，0），C（0，﹣m），其中m＞0，點(diǎn)P為線段OA上任意一點(diǎn)，連接BP，CE⊥BP于E，AD⊥BP于D．
（1）求證：AD＝BE；
（2）當(dāng)m＝3時(shí)，若點(diǎn)N（﹣3，0），請(qǐng)你在圖1中連接CD，EN交于點(diǎn)Q．求證：EN⊥CD；
（3）若將“點(diǎn)P為線段OA上任意一點(diǎn)，”改為“點(diǎn)P為線段OA延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)”，其他條件不變，連接CD，EN⊥CD，垂足為F，交y軸于點(diǎn)H，交x軸于點(diǎn)N，請(qǐng)?jiān)趫D2中補(bǔ)全圖形，求點(diǎn)N的坐標(biāo)（用含m的代數(shù)式表示）．
7．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，A（﹣6，0），B（0，9），C（0，4），連接AB、AC，點(diǎn)D為x軸正半軸上一點(diǎn)，且S△ACD＝S△ABC．
（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）如圖2，延長(zhǎng)DC交AB于點(diǎn)E，AE＝AC，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）如圖3，在（2）的條件下，點(diǎn)P在第三象限，連接AP、BP、CP，若∠CAP＝90°，∠BAC＝2∠PCO，BP交x軸于點(diǎn)K，求點(diǎn)K的坐標(biāo)．
8．從反思中總結(jié)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是一個(gè)重要的學(xué)習(xí)方法．例如，我們?cè)谌葘W(xué)習(xí)中所總結(jié)的“一線三等角、K型全等”這一基本圖形，可以使得我們?cè)谟^察新問(wèn)題的時(shí)候很迅速地聯(lián)想，從而借助已有經(jīng)驗(yàn)，迅速解決問(wèn)題．
（1）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OBCD是正方形，且D（0，2），點(diǎn)E是線段OB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，M是線段OB上一動(dòng)點(diǎn)（不包括點(diǎn)O、B），作MN⊥DM，垂足為M，且MN＝DM．設(shè)OM＝a，請(qǐng)你利用基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)直接寫(xiě)出點(diǎn)N的坐標(biāo) （2+a，a） （用含a的代數(shù)式表示）；
（2）基本經(jīng)驗(yàn)有利有弊，當(dāng)基本經(jīng)驗(yàn)有利于新問(wèn)題解決的時(shí)候，這是基本經(jīng)驗(yàn)的正遷移；當(dāng)基本經(jīng)驗(yàn)所形成的思維定勢(shì)局限了新問(wèn)題的思考，讓新問(wèn)題解決不出來(lái)的時(shí)候，這是基本經(jīng)驗(yàn)的負(fù)遷移．例如，如果（1）的條件去掉“且MN＝DM”，加上“交∠CBE的平分線與點(diǎn)N”，如圖2，求證：MD＝MN．如何突破這種定勢(shì)，獲得問(wèn)題的解決，請(qǐng)你寫(xiě)出你的證明過(guò)程．
（3）如圖3，請(qǐng)你繼續(xù)探索：連接DN交BC于點(diǎn)F，連接FM，下列兩個(gè)結(jié)論：①FM的長(zhǎng)度不變；②MN平分∠FMB，請(qǐng)你指出正確的結(jié)論，并給出證明．

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