一線(xiàn)三等角：三個(gè)相等的角的頂點(diǎn)在一條直線(xiàn)上
◎結(jié)論1：如圖 ∠A＝∠DBE＝∠C，
則①△ADB∽△CBE；②AD×EC（豎著的）=AB×BC（躺著的）
外角：∠DBC＝∠A＋∠ADB
∠DBE＋∠EBC＝∠A＋∠ADB，
∠EBC＝∠ADB。
同理：∠DBA＝∠BEC，
∴△ADB∽△CBE
∴ADCB＝ABCE
改為乘積式：AD.CE＝AB.BC
一線(xiàn)三等角經(jīng)典結(jié)論：左乘右＝左乘右

◎結(jié)論2：如圖 ∠A＝∠DBE＝∠C，B點(diǎn)是AC的中點(diǎn)，
證明：△ABD∽△CEB
∴ABCE＝ADCB＝BDEB,ADCB＝BDEB
∵AB＝BC
∴ADAB＝BDEB
又∵∠DAB＝∠DBE
∴△DAB∽△DBE
∴∠ADB＝∠BDE
△ABD,△BED,△CEB均相似
BD,BE為∠ADE,∠DEC角平分線(xiàn)
則①△ABD∽△BED∽△CEB；②AD×EC（豎著的）=AB×BC（躺著的）
③DB、EB平分∠ADE和∠DEC


模型圖解


常見(jiàn)圖形：

一線(xiàn)三等角模型應(yīng)用的四種情況：
1.圖形中已經(jīng)存在“一線(xiàn)三等角”，直接應(yīng)用模型解題；
2.圖形中存在“一線(xiàn)二等角”，再構(gòu)造“一個(gè)等角”，利用模型解題；
3.圖形中只有直線(xiàn)上一個(gè)角，再構(gòu)造“兩個(gè)等角”，利用模型解題；
4.圖形中只有45°角，直角或直角三角形，可構(gòu)造“一線(xiàn)三等（直）角”，利用模型解題。
1．(2023·重慶渝北·九年級(jí)期末）如圖，在等邊三角形中，點(diǎn)，分別是邊，上的點(diǎn)．將沿翻折，點(diǎn)正好落在線(xiàn)段上的點(diǎn)處，使得．若，則的長(zhǎng)度為（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在矩形中，，，、、、分別為矩形邊上的點(diǎn)，過(guò)矩形的中心，且．為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則四邊形的周長(zhǎng)為（ ）
A．B．C．D．
1．(2023·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)期末）如圖，在邊長(zhǎng)為6的等邊△ABC中，D是邊BC上一點(diǎn)，將△ABC沿EF折疊使點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，若BD : DE=2 : 3，則CF=____．
2．(2023·安徽·淮北市烈山區(qū)淮選學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，∠A=∠D=120°，AB=6、AD=4，點(diǎn)E、F分別在線(xiàn)段AD、DC上（點(diǎn)E與點(diǎn)A、D不重合），若∠BEF=120°，AE=x、DF=y，則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為_(kāi)_______
3(2023·吉林·長(zhǎng)春市綠園區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校九年級(jí)期末）【感知】如圖①，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P在邊AB上（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合），．易證．（不需要證明）
【探究】如圖②，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P在邊AB上（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合），．若，，，求AP的長(zhǎng)．
【拓展】如圖③，在中，，，點(diǎn)P在邊AB上（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合），連結(jié)CP，作，PE與邊BC交于點(diǎn)E，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，直接寫(xiě)出AP的長(zhǎng)．
1．(2023·河南鄭州·二模）如圖，已知矩形的頂點(diǎn)分別落在軸軸上，，AB=2BC則點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·海南省直轄縣級(jí)單位·模擬預(yù)測(cè)）如圖，將正方形紙片ABCD沿EF折疊，折痕為EF，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)A′，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)B′，點(diǎn)B′落在邊CD上，若CB′:CD=1:3，且BF＝10，則EF的長(zhǎng)為（ ）
A．B．C．D．
3．(2023·湖北襄陽(yáng)·一模）如圖，為等邊三角形，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，，將沿直線(xiàn)DE翻折得到，當(dāng)點(diǎn)F落在邊BC上，且時(shí)，的值為_(kāi)_____．
4．(2023·山東菏澤·三模）（1）問(wèn)題
如圖1，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P為AB上一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求證：．
（2）探究
若將90°角改為銳角或鈍角（如圖2），其他條件不變，上述結(jié)論還成立嗎？說(shuō)明理由．
（3）應(yīng)用
如圖3，在中，，，以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)作等腰．點(diǎn)D在BC上，點(diǎn)E在AC上，點(diǎn)F在BC上，且，若，求CD的長(zhǎng)．
相似形
模型（四十二）——一線(xiàn)三等角模型
一線(xiàn)三等角：三個(gè)相等的角的頂點(diǎn)在一條直線(xiàn)上
◎結(jié)論1：如圖 ∠A＝∠DBE＝∠C，
則①△ADB∽△CBE；②AD×EC（豎著的）=AB×BC（躺著的）
外角：∠DBC＝∠A＋∠ADB
∠DBE＋∠EBC＝∠A＋∠ADB，
∠EBC＝∠ADB。
同理：∠DBA＝∠BEC，
∴△ADB∽△CBE
∴ADCB＝ABCE
改為乘積式：AD.CE＝AB.BC
一線(xiàn)三等角經(jīng)典結(jié)論：左乘右＝左乘右

◎結(jié)論2：如圖 ∠A＝∠DBE＝∠C，B點(diǎn)是AC的中點(diǎn)，
證明：△ABD∽△CEB
∴ABCE＝ADCB＝BDEB,ADCB＝BDEB
∵AB＝BC
∴ADAB＝BDEB
又∵∠DAB＝∠DBE
∴△DAB∽△DBE
∴∠ADB＝∠BDE
△ABD,△BED,△CEB均相似
BD,BE為∠ADE,∠DEC角平分線(xiàn)
則①△ABD∽△BED∽△CEB；②AD×EC（豎著的）=AB×BC（躺著的）
③DB、EB平分∠ADE和∠DEC


模型圖解


常見(jiàn)圖形：

一線(xiàn)三等角模型應(yīng)用的四種情況：
1.圖形中已經(jīng)存在“一線(xiàn)三等角”，直接應(yīng)用模型解題；
2.圖形中存在“一線(xiàn)二等角”，再構(gòu)造“一個(gè)等角”，利用模型解題；
3.圖形中只有直線(xiàn)上一個(gè)角，再構(gòu)造“兩個(gè)等角”，利用模型解題；
4.圖形中只有45°角，直角或直角三角形，可構(gòu)造“一線(xiàn)三等（直）角”，利用模型解題。
1．(2023·重慶渝北·九年級(jí)期末）如圖，在等邊三角形中，點(diǎn)，分別是邊，上的點(diǎn)．將沿翻折，點(diǎn)正好落在線(xiàn)段上的點(diǎn)處，使得．若，則的長(zhǎng)度為（ ）
A．B．C．D．
答案:A
分析由是等邊三角形，＝＝＝60°， 由沿DE折疊C落在AB邊上的點(diǎn)F上，，＝＝60°，CD=DF，CE＝EF，由AF：BF=1:2，設(shè)AF=m，BF=2m，AB=3m，設(shè)AD＝x，CD=DF＝， 由BE=2，BC＝，可得CE＝，可證 ，利用性質(zhì) ，即，解方程即可
【詳解】解：∵是等邊三角形，
∴ ＝＝＝60°，
∵ 沿DE折疊C落在AB邊上的點(diǎn)F上，
∴ ，
∴ ＝＝60°，CD=DF，CE＝EF，
∵AF：BF=1:2，
設(shè)AF=m，BF=2m，AB=3m，
設(shè)＝x，＝DF＝，
∵BE=2，BC＝，
∴ CE＝，
∵ ＝，＝60°，
∴ ＝120°，＝120°，
∴ ＝，
∵ ＝，
∴ ，
∴ ，
即，
解得：，使等式有意義，
∴ ＝，
故選擇：A．
【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形性質(zhì)和折疊性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)和判定，主要考查學(xué)生運(yùn)用定理進(jìn)行推理和計(jì)算的能力，題目綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度．
2．(2023·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在矩形中，，，、、、分別為矩形邊上的點(diǎn)，過(guò)矩形的中心，且．為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則四邊形的周長(zhǎng)為（ ）
A．B．C．D．
答案:B
分析連接，證明四邊形是矩形，再證明，求得與的長(zhǎng)度，由勾股定理求得與，再由矩形的周長(zhǎng)公式求得結(jié)果．
【詳解】解：連接，
四邊形是矩形，
，，
為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，
，，
四邊形是平行四邊形，
，
矩形是中心對(duì)稱(chēng)圖形，過(guò)矩形的中心．
過(guò)點(diǎn)，且，，
四邊形是平行四邊形，
，
四邊形是矩形，
，
，
，
，
，
，
設(shè)，則，
，
，
解得，或4，
或4，
當(dāng)時(shí)，，則，
，
四邊形的周長(zhǎng)；
同理，當(dāng)時(shí)，四邊形的周長(zhǎng)；
故選：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，關(guān)鍵在于證明四邊形是矩形．
1．(2023·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)期末）如圖，在邊長(zhǎng)為6的等邊△ABC中，D是邊BC上一點(diǎn)，將△ABC沿EF折疊使點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，若BD : DE=2 : 3，則CF=____．
答案:2.4
分析根據(jù)折疊的性質(zhì)可得∠EDF=∠A，DF=AF，再由等邊三角形的性質(zhì)可得∠EDF=60°，∠BDE+∠CDF=∠BDE+∠BED=120°，從而得到∠CDF=∠BED，進(jìn)而得到△BDE∽△CFD，再由BD : DE=2 : 3，可得到，即，即可求解．
【詳解】解：根據(jù)題意得：∠EDF=∠A，DF=AF，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
∴∠EDF=60°，
∴∠BDE+∠CDF=180°-∠EDF=120°，
∵∠B=60°，
∴∠BDE+∠BED=180°-∠B=120°，
∴∠BDE+∠CDF=∠BDE+∠BED，
∴∠CDF=∠BED，
∴△BDE∽△CFD，
∴ ，即，
∵等邊△ABC的邊長(zhǎng)為6 ，
∴ ，解得： ．
故答案為：2.4
【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，圖形的折疊，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，圖形的折疊的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
2．(2023·安徽·淮北市烈山區(qū)淮選學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，∠A=∠D=120°，AB=6、AD=4，點(diǎn)E、F分別在線(xiàn)段AD、DC上（點(diǎn)E與點(diǎn)A、D不重合），若∠BEF=120°，AE=x、DF=y，則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為_(kāi)_______
答案:
分析根據(jù)題意證明，列出比例式即可求得y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式
【詳解】解：∠A=∠D=120°，∠BEF=120°，
AB=6、AD=4，AE=x、DF=y，
即
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，函數(shù)解析式，掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
3(2023·吉林·長(zhǎng)春市綠園區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校九年級(jí)期末）【感知】如圖①，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P在邊AB上（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合），．易證．（不需要證明）
【探究】如圖②，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P在邊AB上（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合），．若，，，求AP的長(zhǎng)．
【拓展】如圖③，在中，，，點(diǎn)P在邊AB上（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合），連結(jié)CP，作，PE與邊BC交于點(diǎn)E，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，直接寫(xiě)出AP的長(zhǎng)．
答案:【探究】3；【拓展】4或．
分析探究：根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計(jì)算即可；
拓展：證明△ACP∽△BPE，分CP=CE、PC=PE、EC=EP三種情況，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計(jì)算即可．
【詳解】探究：證明：∵是的外角，
∴，
即，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
解得：；
拓展：∵AC=BC，
∴∠A=∠B，
∵∠CPB是△APC的外角，
∴∠CPB=∠A+∠PCA，即∠CPE+∠EPB=∠A+∠PCA，
∵∠A=∠CPE，
∴∠ACP=∠BPE，
∵∠A=∠B，
∴△ACP∽△BPE，
當(dāng)CP=CE時(shí)，∠CPE=∠CEP，
∵∠CEP＞∠B，∠CPE=∠A=∠B，
∴CP=CE不成立；
當(dāng)PC=PE時(shí)，△ACP≌△BPE，
則PB=AC=8，
∴AP=AB-PB=128=4；
當(dāng)EC=EP時(shí)，∠CPE=∠ECP，
∵∠B=∠CPE，
∴∠ECP=∠B，
∴PC=PB，
∵△ACP∽△BPE，
∴，
即，
解得：，
∴AP=ABPB=，
綜上所述：△CPE是等腰三角形時(shí)，AP的長(zhǎng)為4或．
【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)，靈活運(yùn)用分情況討論思想是解題的關(guān)鍵．
1．(2023·河南鄭州·二模）如圖，已知矩形的頂點(diǎn)分別落在軸軸上，，AB=2BC則點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ）
A．B．C．D．
答案:D
分析過(guò)C作CE⊥x軸于E，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到CD=AB，∠ABC=90°，，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠BCE=∠ABO，進(jìn)而得出△BCE∽△ABO，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到結(jié)論．
【詳解】解：過(guò)C作CE⊥x軸于E，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴CD=AB，∠ABC=90°，
∴∠ABO+∠CBE=∠CBE+∠BCE=90°，
∴∠BCE=∠ABO，
∵，
∴△BCE∽△ABO，
∴，
∵
∴AB=，
∵AB=2BC，
∴BC=AB=4，
∵，
∴CE=2，BE=2
∴OE=4+2
∴C（4+2，2），
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，正確的作出輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．
2．(2023·海南省直轄縣級(jí)單位·模擬預(yù)測(cè)）如圖，將正方形紙片ABCD沿EF折疊，折痕為EF，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)A′，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)B′，點(diǎn)B′落在邊CD上，若CB′:CD=1:3，且BF＝10，則EF的長(zhǎng)為（ ）
A．B．C．D．
答案:C
分析設(shè)，則CD=3x，，根據(jù)求出x=6，得到CD=18，CF=8，=12，證明△∽△求得DM=9，，，AM=9，再根據(jù)求得AE=4，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥BC于H，則四邊形ABHE是矩形，再根據(jù)勾股定理求出EF=.
【詳解】設(shè)，則CD=3x，，
由折疊得，
∴CF=3x-10，
∵
∴100=，
解得x=6或x=0（舍去），
∴CD=18，CF=8，=12，
∵∠C=∠D=∠,
∴∠,
∴△∽△,
∴，
∴，
∴DM=9，，
∴，AM=9，
在Rt△中，，
∴,
解得EM=5，
∴AE=4，
過(guò)點(diǎn)E作EH⊥BC于H，則四邊形ABHE是矩形，
∴BH=AE=4，EH=AB=CD=18，
∴FH=10-4=6，
∴EF=,
故選：C.
【點(diǎn)睛】此題考查正方形的性質(zhì)，勾股定理，折疊的性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，矩形的判定及性質(zhì)，解題中多次用到勾股定理求出直角三角形中的邊長(zhǎng)，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到對(duì)應(yīng)的邊相等或角度相等是解題的關(guān)鍵.
3．(2023·湖北襄陽(yáng)·一模）如圖，為等邊三角形，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，，將沿直線(xiàn)DE翻折得到，當(dāng)點(diǎn)F落在邊BC上，且時(shí)，的值為_(kāi)_____．
答案:
分析根據(jù)△ABC為等邊三角形，△ADE與△FDE關(guān)于DE成軸對(duì)稱(chēng)，可證△BDF∽△CFE，根據(jù)BF=4CF，可得CF=4，根據(jù)AF為軸對(duì)稱(chēng)圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線(xiàn),DE為對(duì)稱(chēng)軸，可得DE⊥AF，
根據(jù)S四邊形ADFE==S△CEF=-S△ABC-S△CEF，進(jìn)而可求．
【詳解】解：如圖，作△ABC的高AL，作△BDF的高DH，
∵△ABC為等邊三角形，△ADE與△FDE關(guān)于DE成軸對(duì)稱(chēng)，
∴∠DFE=∠DAE= 60°，AD = DF，
∴∠CFE+∠FEC=∠CFE+∠DFB= 120°，
∴∠DFB= ∠CEF，
又∠B=∠C= 60°，
∴△BDF∽△CFE，
∴ ，
即 ，
設(shè)CF= x(x > 0)，
∵BF=4CF，
∴BF= 4x，
∵BD=3，
∴，
∵，
∴，，
∵△BDF∽△CFE，
∴，
∴
解得：x=2，
∴CF=4，
∴BC=5x=10，
∵在Rt△ABL中，∠B=60°，
∴AL=ABsin60°=10×=5，
∴S△ABC=，
∵在Rt△BHD中，BD=3，∠B=60°，
∴DH=BDsin60°=，
∴S△BDF=，
∵△BDF∽△CFE，
∴，
∵S△BDF=，
∴S△CEF=，
又∵AF為軸對(duì)稱(chēng)圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線(xiàn),DE為對(duì)稱(chēng)軸，
∴AD=DF，△ADF為等腰三角形，DE⊥AF，
∴S四邊形ADFE==S△CEF=-S△ABC-S△CEF
=，
∴．
故答案為:．
【點(diǎn)睛】本題主要考查等邊三角形的和折疊的性質(zhì)，一線(xiàn)三等角證明k型相似，以及“垂美四邊形”的性質(zhì)：對(duì)角線(xiàn)互相垂直的四邊形的面積＝對(duì)角線(xiàn)乘積的一半．
4．(2023·山東菏澤·三模）（1）問(wèn)題
如圖1，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P為AB上一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求證：．
（2）探究
若將90°角改為銳角或鈍角（如圖2），其他條件不變，上述結(jié)論還成立嗎？說(shuō)明理由．
（3）應(yīng)用
如圖3，在中，，，以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)作等腰．點(diǎn)D在BC上，點(diǎn)E在AC上，點(diǎn)F在BC上，且，若，求CD的長(zhǎng)．
答案:（1）見(jiàn)解析；（2）成立，理由見(jiàn)解析；（3）
分析（1）由∠DPC=∠A=B=90°，可得∠ADP＝∠BPC，即可證到△ADP△BPC，然后運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題；
（2）由∠DPC＝∠A＝∠B＝α，可得∠ADP=∠BPC，即可證到△ADP△BPC，然后運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題；
（3）先證△ABD△DFE，求出DF=4，再證△EFC△DEC，可求FC＝1，進(jìn)而解答即可．
【詳解】（1）證明：如題圖1，
∵∠DPC=∠A=∠B=90°，
∴∠ADP＋∠APD=90°，∠BPC＋∠APD = 90°，
∴∠ADP = ∠BPC，
∴△ADP△BPC，
，
∴ADBC = APBP，
（2）結(jié)論仍然成立，理由如下，
，
又，
，
，
設(shè)，
，
，
，
∴ADBC = APBP，
（3），
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
,，
，
，
．
【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的綜合題，三角形的相似；能夠通過(guò)構(gòu)造45°角將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一線(xiàn)三角是解題的關(guān)鍵．

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