模型一：正方形的“十字架”模型
模型二：正方形中過對角線交點(diǎn)的直角問題
正方形ABCD中，O為兩條對角線的交點(diǎn)，點(diǎn)分別在上.若為直角，分別與的延長線交于點(diǎn)，則△AOE≌△BOF，
△AOG≌△BOH，△OGH是等腰直角三角形，且.
模型三：正方形中的“三垂定理”模型
如圖，已知正方形ABCD，過點(diǎn)B、D兩點(diǎn)分別向過點(diǎn)C的直線作垂線，垂足分別為E、F，則有△BCE≌△CDF
條件：①正方形ABCD，②∠EAF=45°
結(jié)論：
①EF=BE+DF；(△CEF的周長=正方形ABCD周長的一半）
②EA平分∠BEF
③FA平分∠DAE
模型四：正方形半角模型
條件：①正方形ABCD；②∠EAF=45°
結(jié)論：EF=DF-BE
☆：當(dāng)∠EAF旋轉(zhuǎn)到正方形ABCD外部時，則有：
【模型一：正方形的“十字架”模型】
【典例1】如圖，ABCD是一個正方形花園，是它的兩個門，且.要修建兩條路BE和AF，這兩條路等長嗎？它們有什么位置關(guān)系？為什么？
【探究】若去掉“”這一條件，將兩個結(jié)論中的一個作為條件能推出另一個結(jié)論成立嗎？
（1）若已知，則成立嗎？
（2）若已知，則成立嗎？
【解答】且，理由：∵四邊形ABCD是正方形，，.又.△ABE≌△DAF（SAS）.
.，.
，即.
【探究】解：（1）成立.理由：∵四邊形ABCD是正方形，，
.在Rt△ABE和Rt△DAF中，Rt△ABE≌Rt△DAF（HL）. .，.
，即.
（2）成立.理由：∵四邊形ABCD是正方形，.
又..，
.△ABE≌△DAF（ASA）..
【變式1-1】如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在BC、CD上，且BE＝CF，求證：AE＝BF．
【解答】證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90?，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴AE＝BF．
【變式1-2】如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)P在AD上，且不與A，D重合，點(diǎn)H在AB上，且不與A，B重合，連接BP、CH，BP與CH交于點(diǎn)E．
（1）若BP＝CH，求證：BP⊥CH；
（2）在（1）的條件下，若正方形ABCD的邊長為12，AP＝5，求線段BE的長．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝AC＝BC，∠A＝∠ABC＝90°，
在Rt△PAB和Rt△HBC中，
，
∴Rt△PAB≌Rt△HBC（HL），
∴∠APB＝∠BHC，
∵∠APB+∠PBA＝90°，
∴∠CHB+∠PBA＝90°＝∠CEB，
∴BP⊥CH；
（2）解：∵正方形ABCD的邊長為12，
∴AB＝BC＝12，
∵AP＝5，
由（1）Rt△PAB≌Rt△HBC得BH＝AP＝5，
在Rt△HBC中，由勾股定理得：CH＝，
∵△HBC的面積＝CH?BE＝HB?BC，
∴，
解得：BE＝，
即線段BE的長為．
【變式1-3】如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是BC邊上任意一點(diǎn)，連接AE，過點(diǎn)D作DF⊥AE交AB于F，垂足為G．
（1）求證：AF＝BE；
（2）若點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，連接BG，請?zhí)骄烤€段FG，BG，EG之間的數(shù)量關(guān)系．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠DAF＝90°，AD＝AB，
∵DF⊥AE，
∴∠AGD＝90°，
∴∠DAG+∠ADF＝90°，∠DAG+∠BAE＝90°，
∴∠BAE＝∠ADF，
∴△ABE≌△DAF（SAS），
∴AF＝BE．
（2）解：FG+EG＝BG．
理由：過點(diǎn)B作BG的垂線交AE的延長線于點(diǎn)H．
∵E是BC的中點(diǎn)，
∵BE＝EC，
∵AB＝CB，AF＝BE，
∴AF＝BF＝BE＝CE，
∵BH⊥BG，
∴∠GBH＝90°，
∵∠ABC＝∠GBH＝90°，
∴∠FBG＝∠EBH，
∵DF⊥AE，
∴∠FGE＝∠EBF＝90°，
∴∠BFG+∠BEG＝180°，
∵∠BEG+∠BEH＝180°，
∴∠BFG＝∠BEH，
∴△BFG≌△BEH（ASA），
∴BG＝BH，
∴GH＝BG，
∵△BFG≌△BEG，
∴FG＝EH，
∴FG+EG＝GH，
∴FG+EG＝BG．
【模型二：正方形中過對角線交點(diǎn)的直角問題】
【典例2】如圖，正方形ABCD的對角線AC和BD相交于點(diǎn)又是正方形的一個頂點(diǎn)，交AB于點(diǎn)交BC于點(diǎn)F.
（1）求證：△AOE≌△BOF；
（2）如果兩個正方形的邊長都為a，那么這兩個正方形重疊部分的面積等于多少？為什么？
【解答】（1）證明：在正方形ABCD中，，
.
.在△AOE和△BOF中，
△AOE≌△BOF（ASA）.
（2）兩個正方形重疊部分的面積等于.
【變式2-1】如圖，已知四邊形ABCD是正方形，對角線AC、BD相交于O，設(shè)E、F分別是AD、AB上的點(diǎn)，且∠EOF＝90°．
求證：AE＝BF．
【解答】證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴OA＝OB，∠OAE＝∠OBF＝45°，∠AOB＝90°，
∵∠EOF＝90°，
∴∠EOF﹣∠AOF＝∠AOB﹣∠AOF，
即∠AOE＝∠BOF，
在△AOE和△BOF中，
，
∴△AOE≌△BOF（ASA），
∴AE＝BF．
【變式2-2】如圖，已知正方形ABCD的對角線交于點(diǎn)O，點(diǎn)M在AB邊的延長線上，點(diǎn)N在BC邊的延長線上，OM交BC于點(diǎn)E，ON交CD于點(diǎn)F，且∠MON＝90°，連接MN．
（1）求證：EM＝FN；
（2）若正方形ABCD的邊長為4，E為OM的中點(diǎn)，求MN的長．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴OA＝OB，∠DAO＝45°，∠OBA＝45°，
∴∠OAM＝∠OBN＝135°，
∵∠EOF＝90°，∠AOB＝90°，
∴∠AOM＝∠BON，
∴△OAM≌△OBN（ASA），
∴OM＝ON，
∵∠BOE+∠EOC＝90°，∠COF+∠EOC＝90°，
∴∠BOE＝∠COF，
在△OBE與△OCF中，
，
∴△OBE≌△OCF（ASA），
∴OE＝OF，
∴OM﹣OE＝ON﹣OF，
即EM＝FN．
（2）解：如圖，過點(diǎn)O作OH⊥AD于點(diǎn)H，
∵正方形的邊長為4，
∴OH＝HA＝2，
∵E為OM的中點(diǎn)，
∴HM＝4，
則OM＝，
∴MN＝OM＝2．
【模型三：正方形中的“三垂定理”模型】
【典例3】（1）數(shù)學(xué)課上，張老師給出了一個問題：如圖1，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分線CF于點(diǎn)F．求證：AE＝EF．
小明經(jīng)過思考展示了一種正確的解題思路：取AB的中點(diǎn)H，連接HE，則可以證明AE＝EF．
請你寫出證明過程．
（2）在此基礎(chǔ)上，小穎提出：如圖2，如果把“點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)”改為“點(diǎn)E是邊BC上（除B、C外）的任意一點(diǎn)”，其他條件不變，那么結(jié)論“AE＝EF”仍然成立，你認(rèn)為小穎的觀點(diǎn)正確嗎？如果正確，請寫出證明過程；如果不正確，請說明理由；
（3）如圖3，如果點(diǎn)E是BC的延長線上（除C點(diǎn)外）的任意一點(diǎn)，其他條件不變，結(jié)論“AE＝EF”仍然成立嗎？直接寫出結(jié)論，不用說明理由．
【分析】（1）取AB的中點(diǎn)H，連接EH，根據(jù)已知及正方形的性質(zhì)利用ASA判定△AHE≌△ECF，從而得到AE＝EF；
（2）如圖2，在AB上取一點(diǎn)M，使AM＝CE，連接ME，方法同（1）可得出結(jié)論；
（3）延長BA到M，使AM＝CE，根據(jù)已知及正方形的性質(zhì)利用ASA判定△AHE≌△ECF，從而得到AE＝EF．
【解答】證明：（1）如圖1，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠B＝∠BCD＝∠AEF＝90°，
∵點(diǎn)H、E分別是邊AB、BC的中點(diǎn)，
∴AH＝BH＝BE＝CE，
∴∠BHE＝45°，
∴∠AHE＝135°，
∵CF是正方形外角∠DCG的平分線，
∴∠DCF＝45°，
∴∠ECF＝135°，
∴∠AHE＝∠ECF，
∵∠AEF＝90°，
∴∠AEB+∠BAE＝90°，∠AEB+∠CEF＝90°，
∴∠BAE＝∠CEF，
∴△AHE≌△ECF（ASA），
∴AE＝EF；
（2）解：正確．
如圖2，在AB上取一點(diǎn)M，使AM＝CE，連接ME，
∴BM＝BE，
∴∠BME＝45°，∠AME＝135°，
∵CF是正方形外交∠DCG的平分線，
∴∠DCF＝45°，∠ECF＝135°，
同（1）可證明△AME≌△ECF，
∴AE＝EF；
（3）成立．
理由如下：如圖3，延長BA到M，使AM＝CE，
∵∠AEF＝90°，
∴∠FEG+∠AEB＝90°．
∵∠BAE+∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝∠FEG，
∴∠MAE＝∠CEF．
∵AB＝BC，
∴AB+AM＝BC+CE，
即BM＝BE．
∴∠M＝45°，
∴∠M＝∠FCE．
在△AME與△ECF中，
，
∴△AME≌△ECF（ASA），
∴AE＝EF．
【變式3-1】如圖，一塊邊長為5的正方形木板ABCD斜靠在墻邊，OC⊥OB，點(diǎn)A，B，C，D，O在同一平面內(nèi)，過點(diǎn)A作AE⊥OB于點(diǎn)E．
（1）求證：△ABE≌△BCO；
（2）若OC＝3，求EO的長．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∵OC⊥OB，AE⊥OB，
∴∠AEB＝∠BOC＝90°，
∴∠ABE+∠BAE＝90°＝∠ABE+∠OBC，
∴∠BAE＝∠OBC，
在△ABE和△BCO中，
，
∴△ABE≌△BCO；
（2）∵△ABE≌△BCO，
∴BE＝OC＝3，
在Rt△BOC中，BO＝＝＝4，
∴OE＝OB+BE＝7．
【變式3-2】如圖，E、F、M、N分別是正方形ABCD四條邊上的點(diǎn)，且AE＝BF＝CM
＝DN
（1）求證：四邊形EFMN是正方形；
（2）若AB＝7，AE＝3，求四邊形EFMN的周長．
【解答】（1）證明：∵AE＝BF＝CM＝DN，
∴AN＝DM＝CF＝BE．
∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∴△AEN≌△DMN≌△CFM≌△BEF（SAS）．
∴EF＝EN＝NM＝MF，∠ENA＝∠DMN．
∴四邊形EFMN是菱形，
∵∠ENA＝∠DMN，∠DMN+∠DNM＝90°，
∴∠ENA+∠DNM＝90°．
∴∠ENM＝90°．
∴四邊形EFMN是正方形；
（2）解：∵AB＝7，AE＝3，
∴AN＝BE＝AB﹣AE＝4，
∴EN＝＝5，
∴正方形EFMN的周長＝4×5＝20．
【變式3-3】如圖，已知四邊形ABCD和CEFG均是正方形，點(diǎn)K在BC上，延長CD到點(diǎn)H，使DH＝BK＝CE，連接AK，KF，HF，AH．
（1）求證：AK＝AH；
（2）求證：四邊形AKFH是正方形；
（3）若四邊形AKFH的面積為10，CE＝1，求點(diǎn)A，E之間的距離．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD和CEFG都是正方形，
∴AB＝AD＝DC＝BC，GC＝EC＝FG＝EF，
∵DH＝CE＝BK，
∴HG＝EK＝BC＝AD＝AB，
在△ADH和△ABK中，
，
∴△ADH≌△ABK（SAS），
∴AK＝AH；
（2）證明：∵△ADH≌△ABK，
∴∠HAD＝∠BAK．
∴∠HAK＝90°，
同理可得：△HGF≌△KEF≌△ABK≌△ADH，
∴AH＝AK＝HF＝FK，
∴四邊形AKFH是正方形；
（3）解：∵四邊形AKFH的面積為10，
∴KF＝，
∵EF＝CE＝1，
∴KE＝，
∴AB＝KE＝3，
∵BK＝EF＝1，
∴BE＝BK+KE＝4，
∴AE＝，
故點(diǎn)A，E之間的距離為5．
【模型四：正方形半角模型】
【典例4】如圖，在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，F(xiàn)是AD延長線上一點(diǎn)，且DF＝BE．
（1）求證：CE＝CF．
（2）在圖1中，若G在AD上，且∠GCE＝45°，則GE＝BE+GD成立嗎？為什么？
（3）運(yùn)用（1）（2）解答中所累積的經(jīng)驗(yàn)和知識，完成下題：
如圖2，在直角梯形ABCG中，AG∥BC（BC＞AG），∠B＝90°，AB＝BC＝12，E是AB上一點(diǎn)，且∠GCE＝45°，BE＝4，求GE的長．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴BC＝DC，∠B＝∠ADC＝90°，
∴∠CDF＝90°，
在△CBE和△CDF中，
，
∴△CBE≌△CDF（SAS），
∴CE＝CF；
（2）解：GE＝BE+GD成立，理由如下：
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，
由（1）知，△CBE≌△CDF，
∴CE＝CF，∠BCE＝∠DCF，
∴∠DCF+∠ECD＝∠BCE+∠ECD＝∠BCD＝90°，
即∠ECF＝90°，
又∵∠GCE＝45°，
∴∠GCF＝∠GCE＝45°，
在△ECG和△FCG中，
，
∴△ECG≌△FCG（SAS），
∴GE＝GF，
∵GF＝DF+GD，DF＝BE，
∴GE＝DF+GD＝BE+GD；
（3）解：過C作CD⊥AG，交AG的延長線于D，如圖2所示：
則∠CDA＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠B＝90°，
∴∠A＝90°，
∴四邊形ABCD是矩形，
又∵AB＝BC，
∴四邊形ABCD為正方形，
∴AD＝AB＝12，
∵BE＝4，
∴AE＝AB﹣BE＝8，
由（2）得：GE＝BE+GD，
設(shè)GD＝x，則GE＝4+x，AG＝12﹣x，
在Rt△AEG中，由勾股定理得：AE2+AG2＝GE2，
即82+（12﹣x）2＝（4+x）2，
解得：x＝6，
∴GE＝4+6＝10．
【變式4-1】如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別為邊BC、CD上兩點(diǎn)，∠EAF＝45°，過點(diǎn)A作∠GAB＝∠FAD，且點(diǎn)G為邊CB延長線上一點(diǎn)．
（1）△GAB≌△FAD嗎？說明理由．
（2）猜想線段DF、BE、EF之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由．
【解答】解：（1）△GAB≌△FAD，理由：
過點(diǎn)A作∠GAB＝∠FAD，且點(diǎn)G為邊CB延長線上一點(diǎn)，如圖，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠D＝∠ABC＝90°，AB＝AD，
∴∠ABG＝90°，
∴∠ABG＝∠D．
在△GAB和△FAD中，
，
∴△GAB≌△FAD（ASA）；
（2）線段DF、BE、EF之間的數(shù)量關(guān)系為：DF+BE＝EF．理由：
由（1）知：△GAB≌△FAD，
∴BG＝DF，AG＝AF．
∵∠DAF+∠BAF＝90°，∠GAB＝∠FAD，
∴∠GAB+∠FAB＝90°，
∴∠GAF＝90°．
∵∠EAF＝45°，
∴∠GAE＝∠FAE＝45°．
在△GAE和△FAE中，
，
∴△GAE≌△FAE（SAS），
∴GE＝EF，
∵GE＝BG+BE，
∴DF+BE＝EF．
【變式4-2】（2021?香洲區(qū)校級模擬）已知：正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB、DC（或它們的延長線）于點(diǎn)M、N．
（1）如圖1，當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM＝DN時，有BM+DN＝MN．當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM≠DN時，如圖2，請問圖1中的結(jié)論還是否成立？如果成立，請給予證明，如果不成立，請說明理由；
（2）當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時，線段BM，DN和MN之間有怎樣的等量關(guān)系？請寫出你的猜想，并證明．
【解答】解：（1）圖1中的結(jié)論仍然成立，即BM+DN＝MN，理由為：
如圖2，在MB的延長線上截取BE＝DN，連接AE，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠D＝∠DAB＝∠ABC＝∠ABE＝90°，
∵在△ABE和△ADN中
，
∴△ABE≌△ADN（SAS）．
∴AE＝AN；∠EAB＝∠NAD，
∵∠DAB＝90°，∠MAN＝45°，
∴∠DAN+∠BAM＝45°，
∴∠EAM＝∠BAM+∠EAB＝45°＝∠MAN，
∵在△AEM和△ANM中
，
∴△AEM≌△ANM（SAS），
∴ME＝MN，
∴MN＝ME＝BE+BM＝DN+BM，
即DN+BM＝MN；
（2）猜想：線段BM，DN和MN之間的等量關(guān)系為：DN﹣BM＝MN．
證明：如圖3，在DN上截取DE＝MB，連接AE，
∵由（1）知：AD＝AB，∠D＝∠ABM＝90°，BM＝DE，
∴△ABM≌△ADE（SAS）．
∴AM＝AE；∠MAB＝∠EAD，
∵∠MAN＝45°＝∠MAB+∠BAN，
∴∠DAE+∠BAN＝45°，
∴∠EAN＝90°﹣45°＝45°＝∠MAN，
∵在△AMN和△AEN中
，
∴△AMN≌△AEN（SAS），
∴MN＝EN，
∵DN﹣DE＝EN，
∴DN﹣BM＝MN．
1.已知在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在AB、BC邊上，DE⊥AF于點(diǎn)G．
（1）求證：DE＝AF；
（2）若點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，AB＝4，求GF的長．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAB＝∠ABF＝90°，
∵DE⊥AF，
∴∠AGD＝∠DAB＝90°，
∴∠DAG+∠ADG＝90°＝∠DAG+∠BAF，
∴∠ADG＝∠BAF，
在△ADE和△BAF中，
，
∴△ADE≌△BAF（ASA），
∴DE＝AF；
（2）解：∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，AB＝4，
∴AE＝BE＝2，
∴DE＝＝＝2，
∴S△ADE＝×AD×AE＝×DE×AG，
∴AG＝＝，
∵DE＝AF＝2，
∴GF＝．
2．如圖，已知正方形ABCD的邊長為6，E，F(xiàn)分別是AB、BC邊上的點(diǎn)，且∠EDF＝45°，將△DAE繞點(diǎn)D逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△DCM．
（1）求證：EF＝MF
（2）若AE＝2，求FC的長．
【解答】解：（1）∵△DAE逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△DCM，
∴∠FCM＝∠FCD+∠DCM＝180°，
∴F、C、M三點(diǎn)共線，
∴DE＝DM，∠EDM＝90°．
∴∠EDF+∠FDM＝90°，
∵∠EDF＝45°，∴∠FDM＝∠EDF＝45°，
∴△DEF≌△DMF（SAS），
∴EF＝MF．
（2）設(shè)EF＝MF＝x，
∵AE＝CM＝2，且BC＝6，∴BM＝BC+CM＝6+2＝8，
∴BF＝BM﹣MF＝BM﹣EF＝8﹣x，
∵EB＝AB﹣AE＝6﹣2＝4．
在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2+BF2＝EF2．
即42+（8﹣x）2＝x2，
∴解得：x＝5，即FM＝5．
∴FC＝FM﹣CM＝5﹣2＝3．
3．如圖，在正方形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是CD上一點(diǎn)，且AB＝4，CF＝1．
（1）求AE，EF，AF的長；
（2）求證：∠AEF＝90°．
【解答】（1）解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∵E為AB的中點(diǎn)，
∴BE＝CE＝2，
∴AE＝＝＝2，
EF＝＝＝，
AF＝＝＝5；
（2）證明：∵AE2+EF2＝20+5＝25，AF2＝52＝25，
∴AE2+EF2＝AF2，
∴∠AEF＝90°．
4.如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AD，CD上，且DE＝CF，AF與BE相交于點(diǎn)G．
（1）求證：AF⊥BE；
（2）若AB＝8，DE＝2，求AG的長．
【解答】（1）證明：∵正方形ABCD，
∴AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠D＝90°．
∵DE＝CF，
∴AD﹣DE＝CD﹣CF，即AE＝DF，
∴△ABE≌△DAF（SAS）．
∴∠ABE＝∠DAF．
∵∠BAF+∠DAF＝90°，
∴∠ABE+∠BAF＝90°，
∴∠AGB＝90°，
∴AF⊥BE；
（2）解：∵AB＝AD＝8，DE＝2，
∴AE＝8﹣2＝6．
∵∠BAD＝90°，
∴．
∵AF⊥BE，
∴S△ABE＝?AB?AE＝?BE?AG，
∴．
5．如圖，正方形ABCD中，E是對角線BD上一點(diǎn)，連接AE，過點(diǎn)E作EF⊥AE，交邊BC于點(diǎn)F．
（1）求證：EA＝EF；
（2）寫出線段FC，DE的數(shù)量關(guān)系并加以證明；
（3）若AB＝4，F(xiàn)E＝FC，求DE的長．
【解答】（1）證明：過點(diǎn)E作MN⊥AD于M，交BC于點(diǎn)N，如圖：
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AD∥BC，AD＝DC，∠ADB＝45°，
∵M(jìn)N⊥AD，
∴MN⊥BC，
∴四邊形NCDM為矩形，
∴MN＝CD，
∵∠ADB＝45°，MN⊥AD，
∴MD＝ME，
∴AM＝EN，
∵AE⊥EF，
∴∠AEM+∠FEN＝90°．
∵∠AEM+∠MAE＝90°，
∴∠FEN＝∠MAE，
∴△AEM≌△EFN（ASA），
∴AE＝EF．
（2）解：CF＝DE，理由如下：
由（1）知△AEM≌△EFN，∠ADB＝45°，
∴ME＝FN＝MD，
∵四邊形NCDM為矩形，
∴CN＝MD，
∴CF＝2MD，
∵DE＝MD，
∴CF＝DE；
（3）解：設(shè)DE＝x．由（1）得：FE2＝AE2＝AM2+ME2＝（4﹣x）2+（x）2，
由（2）得CF＝DE，
∴CF＝x，
∵FE＝FC，
∴FE2＝FC2，
∴（4﹣x）2+（x）2＝（x）2，
解方程得：x1＝2﹣2，x2＝﹣2﹣2（舍去），
∴DE＝2﹣2．
6．如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上，AF⊥DE，且AF＝DE，AF與DE相交于點(diǎn)G．
（1）求證：矩形ABCD為正方形：
（2）若AE：EB＝2：1，△AEG的面積為4，求四邊形BEGF的面積．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝∠B＝90°，
∵DE⊥AF，
∴∠DAB＝∠AGD＝90°，
∴∠BAF+∠DAF＝90°，∠ADE+∠DAF＝90°，
∴∠BAF＝∠ADE，
在△ABF和△DAE中，
，
∴△ABF≌△DAE（AAS），
∴AD＝AB，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴四邊形ABCD是正方形；
（2）解：∵△ABF≌△DAE，
∴BF＝AE，
∵AE：EB＝2：1，
設(shè)AE＝2x，EB＝x，
∴BF＝AE＝2x，AB＝3x，
∴AF＝＝x，
∵∠EAG＝∠FAB，∠AGE＝∠B＝90°，
∴△AEG∽△AFB，
∴△AEG的面積：△AFB的面積＝AE2：AF2＝4x2：13x2＝4：13，
∵△AEG的面積為4，
∴△AFB的面積為13，
∴四邊形BEGF的面積＝13﹣4＝9．
7．如圖①，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是BC上一點(diǎn)，連接AE，以AE為一邊作正方形AEFG，連接DG．
（1）求證：DG＝BE；
（2）如圖②，連接AF交CD于點(diǎn)H，連接EH，請?zhí)骄縀H、BE、DH三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
【解答】（1）證明：如圖①，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠DAB＝∠B＝∠ADC＝∠ADG＝90°，AB＝AD，
∴∠BAE+∠EAD＝90°，
∵四邊形AEFG是正方形，
∴∠EAD+∠DAG＝∠EAG＝90°，
∴∠BAE+∠EAD＝∠EAD+∠DAG，
∴∠BAE＝∠DAG，
在△BAE和△DAG中，
，
∴△BAE≌△DAG（ASA），
∴DG＝BE；
（2）解：如圖②，BE+DH＝HE，
理由：∵△BAE≌△DAG，
∴AE＝AG，BE＝DG，
∵四邊形AEFG是正方形，
∴∠EAH＝∠GAH＝45°，
在△EAH和△GAH中，
，
∴△EAH≌△GAH（SAS），
∴EH＝GH，
∵DG+DH＝GH，
∴BE+DH＝EH
8．如圖，正方形ABCD中，AB＝4，點(diǎn)E是對角線AC上的一點(diǎn)，連接DE，過點(diǎn)E作EF⊥ED，交AB于點(diǎn)F，以DE、EF為鄰邊作矩形DEFG，連接AG．
（1）求證：矩形DEFG是正方形；
（2）求AG+AE的值；
（3）若F恰為AB的中點(diǎn)，連接DF，求點(diǎn)E到DF的距離．
【解答】（1）證明：如圖，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠EAD＝∠EAB，
∵EM⊥AD于M，EN⊥AB于N，
∴EM＝EN，
∵∠EMA＝∠ENA＝∠DAB＝90°，
∴四邊形ANEM是矩形，
∵EF⊥DE，
∴∠MEN＝∠DEF＝90°，
∴∠DEM＝∠FEN，
∵∠EMD＝∠ENF＝90°，
∴△EMD≌△ENF，
∴ED＝EF，
∵四邊形DEFG是矩形，
∴四邊形DEFG是正方形．
（2）解：∵四邊形DEFG是正方形，四邊形ABCD是正方形，
∴DG＝DE，DC＝DA＝AB＝4，∠GDE＝∠ADC＝90°，
∴∠ADG＝∠CDE，
∴△ADG≌△CDE（SAS），
∴AG＝CE，
∴AE+AG＝AE+EC＝AC＝AD＝4．
（3）解：連接DF，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝4，AB∥CD，
∵F是AB中點(diǎn)，
∴AF＝FB，
∴DF＝＝2，
∴點(diǎn)E到DF的距離＝DF＝．
9．如圖，在正方形ABCD中，G是BC上任意一點(diǎn)，DE⊥AG于點(diǎn)E，BF∥DE，且交AG于點(diǎn)F．
（1）如圖1，求證：AE＝BF；
（2）如圖2，延長DE交AB于點(diǎn)M，延長BF交CD于點(diǎn)N，若AM＝2MB，在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖2中3個面積等于△AED面積的圖形．
【解答】（1）證明：如圖1，∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∴∠BAF+∠DAE＝90°，
∵DE⊥AG，BF∥DE，
∴BF⊥AG，
∴∠AFB＝∠AED＝90°，
∴∠ADE+∠DAE＝90°，
∴∠BAF＝∠ADE，
在△ABF和△DAE中，
，
∴△ABF≌△DAE（AAS），
∴AE＝BF；
（2）S△ABF＝S四邊形BMEG＝S四邊形CGFN＝S△ADE，
由（1）知：△ABF≌△DAE，
∴S△ABF＝S△DAE，
∵BF∥DE，
∴∠AMD＝∠ABF，∠BNC＝∠MDC，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠DAM＝∠ABC＝∠C＝∠ADC＝90°，AB∥CD，AD＝BC＝AB，
∴∠ADM+∠MDC＝90°，∠BNC＝∠ABF，∠MDC＝∠AMD，
∴∠AMD＝∠BNC，
在△ADM和△CBN中，
，
∴△ADM≌△CBN（AAS），
∴S△ADM＝S△CBN，∠GBF＝∠ADM，
∵∠BAF＝∠ADE，即∠GAB＝∠MDA，∠ABG＝∠DAM＝90°，AB＝AD，
∴△AGB≌△DMA（ASA），
∴BG＝AM，
∵AM＝2MB，
∴AM＝AB，
∴BG＝AB，
在△AME和△BGF中，
，
∴△AME≌△BGF（AAS），
∴S△AME＝S△BGF，
∴S△ADM﹣S△AME＝S△CBN﹣S△BGF，
即S△DAE＝S四邊形CGFN，
同理可得S四邊形BMEG＝S△ADE，
綜上所述，S△ABF＝S四邊形BMEG＝S四邊形CGFN＝S△ADE．
10．已知：四邊形ABCD是正方形．
（1）如圖1，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角平分線CF于點(diǎn)F．求證：AE＝EF；
（2）如圖2，若把（1）中“點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)”改為“點(diǎn)E是邊BC上的任意一點(diǎn)”，其余的條件不變，試證明AE＝EF仍然成立．
【解答】（1）證明：∵點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，
∴BE＝CE，
∵點(diǎn)G為AB的中點(diǎn)，
∴BG＝AG，
∴AG＝CE，
故答案為：AG＝CE；
（2）證明：取AG＝EC，連接EG，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠B＝90°，
∵AG＝CE，
∴BG＝BE，
∴△BGE是等腰直角三角形，
∴∠BGE＝∠BEG＝45°，
∴∠AGE＝∠ECF＝135°，
∵AE⊥EF，
∴∠AEB+∠FEC＝90°，
∵∠BAE+∠AEB＝90°，
∴∠FEC＝∠BAE，
∴△GAE≌△CEF（ASA），
∴AE＝EF．
11．如圖，P是正方形ABCD對角線AC上一點(diǎn)，點(diǎn)E在BC上，且PE＝PB．
（1）求證：PE＝PD；
（2）連接DE，求∠PED的度數(shù)．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴BC＝CD，∠ACB＝∠ACD，
在△PBC和△PDC中，
，
∴△PBC≌△PDC（SAS），
∴PB＝PD，
∵PE＝PB，
∴PE＝PD；
（2）解：連接DE，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，
∵△PBC≌△PDC，
∴∠PBC＝∠PDC，
∵PE＝PB，
∴∠PBC＝∠PEB，
∴∠PDC＝∠PEB，
∵∠PEB+∠PEC＝180°，
∴∠PDC+∠PEC＝180°，
在四邊形PECD中，∠EPD＝360°﹣（∠PDC+∠PEC）﹣∠BCD＝360°﹣180°﹣90°＝90°，
又∵PE＝PD，
∴△PDE是等腰直角三角形，
∴∠PED＝45°．
12．如圖，四邊形ABCD和四邊形CEFG都是正方形，連接BG、DE．
求證：（1）BG＝DE；
（2）BG⊥DE．
【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD和CEFG為正方形，
∴BC＝DC，CG＝CE，∠BCD＝∠GCE＝90°，
∴∠BCD+∠DCG＝∠GCE+∠DCG，
即：∠BCG＝∠DCE，
在△BCG和△DCE中，
，
∴△BCG≌△DCE（SAS），
∴BG＝DE，
（2）∵△BCG≌△DCE，
∴∠GBC＝∠EDC，
∵∠GBC+∠BOC＝90°，∠BOC＝∠DOG，
∴∠DOG+∠EDC＝90°，
∴BG⊥DE．
13．如圖，在正方形ABCD中，AB＝4，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是CD上一點(diǎn)，且DF＝3CF．
（1）求證：AE⊥EF；
（2）求四邊形AEFD的面積．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，
∵DF＝3CF，
∴CF＝1，DF＝3，
在Rt△ADF中，根據(jù)勾股定理可得：
AF2＝AD2+DF2＝42+32＝25，
∵E是BC的中點(diǎn)，
∴BE＝EC＝BC＝2，
∴AE2＝AB2+BE2＝42+22＝20，
同理EF2＝EC2+CF2＝22+12＝5，
∵EF2+AE2＝5+20＝25，AF2＝25，
∴EF2+AE2＝AF2，
∴△BEF是直角三角形，
∴∠BEF＝90°．
∴AE⊥EF；
（2）解：S四邊形AEFD＝S△AEF+S△ADF
＝AE?EF+AD?DF
＝2×+4×3
＝5+6
＝11．
∴四邊形AEFD的面積為11．
14．綜合與實(shí)踐：
如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是邊AB上的一個動點(diǎn)（點(diǎn)E與點(diǎn)A，B不重合），連接CE，過點(diǎn)B作BF⊥CE于點(diǎn)G，交AD于點(diǎn)F．
（1）如圖1，求證：△ABF≌△BCE；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動到AB中點(diǎn)時，連接DG，求證：DC＝DG；
（3）如圖3，若AB＝4，連接AG，當(dāng)點(diǎn)E在邊AB上運(yùn)動的過程中．AG是否存在最小值，若存在，請直接寫出AG最小值，及此時AE的值；若不存在，請說明理由．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠BAD＝∠CBA＝90°，
∴∠CEB+∠BCE＝90°，
∵BF⊥CE，
∴∠ABF+∠CEB＝90°，
∴∠ABF＝∠BCE，
在△ABF和△BCE中，
，
∴△ABF≌△BCE（ASA），
（2）證明：如圖2，延長CD，BF交于點(diǎn)H，
∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，
∴BE＝AB，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴CD∥AB，AD＝AB＝BC，∠BAD＝∠CBA＝90°，
∴∠CEB+∠BCE＝90°，
∵BF⊥CE，
∴∠ABF+∠CEB＝90°，
∴∠ABF＝∠BCE，
又∵AB＝BC，∠FAB＝∠EBC＝90°，
∴△ABF≌△BCE（ASA），
∴BE＝AF，
∴BE＝AF＝AB＝AD，
∴AF＝DF，
∵AB∥CD，
∴∠ABF＝∠H，
在△ABF和△DHF中，
，
∴△ABF≌△DHF（AAS）
∴AB＝DH，
∴DH＝CD，
又∵BF⊥CE，
∴∠BGH＝90°，
∴DC＝DH＝DG．
（3）解：AG存在最小值．
如圖3，以BC為直徑作⊙O，連接AO，OG，
∵BF⊥CE，
∴∠BGC＝90°，
∴點(diǎn)G在以BC為直徑的⊙O上，
在△AGO中，AG≥AO﹣GO，
∴當(dāng)點(diǎn)G在AO上時，AG有最小值，
此時：如圖4，
∵BC＝AB＝4，點(diǎn)O是BC中點(diǎn)，
∴BO＝2＝CO，
∵AO＝＝＝2，
∴AG＝2﹣2，
∵OG＝OB，
∴∠OBG＝∠OGB，
∵AD∥BC，
∴∠AFG＝∠OBG，
∴∠AFG＝∠OBG＝∠OGB＝∠AGF，
∴AG＝AF＝2﹣2，
由（2）可得AF＝BE＝2﹣2，
∴AE＝AB﹣BE＝4﹣（2﹣2）＝6﹣2．
15．如圖1，P為正方形ABCD的邊BC上一動點(diǎn)（P與B、C不重合），點(diǎn)Q在CD邊上，且BP＝CQ，連接AP、BQ交于點(diǎn)E．
（1）求證：AP⊥BQ；
（2）當(dāng)P運(yùn)動到BC中點(diǎn)處時（如圖2），連接DE，請你判斷線段DE與AD之間的關(guān)系，并說明理由；
（3）如圖3，在（2）的條件下，過A點(diǎn)作AM⊥DE于點(diǎn)H，交BQ、CD于點(diǎn)N、M，若AB＝2，求QM的長度．
【解答】解：（1）在正方形ABCD中有：AB＝BC，∠ABP＝∠BCQ＝90°，
∵BP＝CQ，
∴△ABP≌△BCQ（SAS），
∴∠PAB＝∠QBC，
∵∠QBC+∠ABQ＝90°，
∴∠PAB+∠ABQ＝90°，
∴∠AEB＝90°，
∴AP⊥BQ；
（2）AD＝DE，理由如下：
如圖，延長BQ、AD交于一點(diǎn)F，
當(dāng)點(diǎn)P為BC中點(diǎn)時，Q為CD中點(diǎn)，即CQ＝DQ，
∵∠FQD＝∠BQC，∠FDQ＝∠C，
∴△FDQ≌△BCQ（ASA），
∴FD＝BC，
∴FD＝AD，
由（1）得：∠FEA＝90°，
∴DE＝FA＝AD；
（3）由（1）得：AP⊥BQ，
∴∠ANE+∠NAE＝90°，
∵∠NAE+∠AEH＝90°，
∴∠ANE＝∠AEH，
設(shè)∠ANE＝∠AEH＝α，
∵DE＝DA，
∴∠DAE＝∠AEH＝α，
∵AD∥BC，
∴∠APB＝∠DAE＝α，
∵△PAB≌△QBC，
∴∠CQB＝∠APB＝α，
∵∠QNM＝∠ANE＝α，
∴∠CQB＝∠QNM，
∴QM＝MN，
∵CD∥AB，
∴∠ABQ＝∠CQB＝α，
∴∠ABQ＝∠ANE，
∴AN＝AB＝2，
設(shè)QM＝MN＝x，則DM＝DQ+QM＝1+x，AM＝AN+MN＝2+x，
∵AD2+DM2＝AM2，
∴22+（x+1）2＝（x+2）2，
解得：x＝，
∴QM＝．
16．如圖，四邊形ABDE和四邊形ACFG都是正方形，CE與BG交于點(diǎn)M，點(diǎn)M在△ABC的外部．
（1）求證：BG＝CE；
（2）求證：CE⊥BG；
（3）求：∠AME的度數(shù)．
【解答】（1）證明：在正方形ABDE和ACFG中，AB＝AE，AC＝AG，∠BAE＝∠CAG＝90°，
∴∠BAE+∠BAC＝∠CAG+∠BAC，
即∠CAE＝∠BAG，
∵在△ABG和△AEC中，
，
∴△ABG≌△AEC（SAS），
∴BG＝CE；
（2）證明：設(shè)BG、CE相交于點(diǎn)N，
∵△ABG≌△AEC，
∴∠ACE＝∠AGB，
∵∠NCF+∠NGF＝∠ACF+∠AGF＝90°+90°＝180°，
∴∠CNG＝360°﹣（∠NCF+∠NGF+∠F）＝360°﹣（180°+90°）＝90°，
∴BG⊥CE；
（3）解：過A作BG，CE的垂線段交于點(diǎn)P，Q，
∵△ABG≌△AEC，
∴AP＝AQ，
∴AM是角平分線，
∴∠AMC＝45°，
∴∠AME＝135°．
17．已知：如圖，在邊長為1的正方形ABCD中，點(diǎn)P是對角線AC上的一個動點(diǎn)（與點(diǎn)A、C不重合），過點(diǎn)P作PE⊥PB，PE交邊CD于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF⊥AC，垂足為F．
（1）求證：PB＝PE；
（2）在點(diǎn)P的運(yùn)動過程中，PF的長度是否發(fā)生變化？若不變，試求出這個不變的值，寫出解答過程；若變化，試說明理由．
【解答】（1）證明：過點(diǎn)P作PG⊥BC于G，過點(diǎn)P作PH⊥DC于H，如圖1．
∵四邊形ABCD是正方形，
PG⊥BC，PH⊥DC，
∴∠GPC＝∠ACB＝∠ACD＝∠HPC＝45°．
∴PG＝PH，∠GPH＝∠PGB＝∠PHE＝90°．
∵PE⊥PB，即∠BPE＝90°，
∴∠BPG＝90°﹣∠GPE＝∠EPH．
在△PGB和△PHE中，
．
∴△PGB≌△PHE（ASA），
∴PB＝PE．
（2）解：連接BD，如圖2．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BOP＝90°．
∵PE⊥PB，即∠BPE＝90°，
∴∠PBO＝90°﹣∠BPO＝∠EPF．
∵EF⊥PC，即∠PFE＝90°，
∴∠BOP＝∠PFE．
在△BOP和△PFE中，
∴△BOP≌△PFE（AAS），
∴BO＝PF．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴OB＝OC，∠BOC＝90°，
∴BC＝OB．
∵BC＝1，
∴OB＝，
∴PF＝OB＝．
∴點(diǎn)PP在運(yùn)動過程中，PF的長度不變，值為．
18．（1）如圖1，在正方形ABCD中，AE，DF相交于點(diǎn)O且AE⊥DF．則AE和DF的數(shù)量關(guān)系為 AE＝DF ．
（2）如圖2，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)，G分別是邊AD，BC，CD上的點(diǎn)，BG⊥EF，垂足為H．求證：EF＝BG．
（3）如圖3，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)，M分別是邊AD，BC，AB上的點(diǎn)，AE＝2，BF＝4，BM＝1，將正方形沿EF折疊，點(diǎn)M的對應(yīng)點(diǎn)與CD邊上的點(diǎn)N重合，求CN的長度．
【解答】解：（1）∵∠DAO+∠BAE＝90°，∠DAO+∠ADF＝90°，
∴∠BAE＝∠ADF，
在△ABE和△DAF中，
，
∴△ABE≌△DAF（AAS），
∴AE＝DF，
故答案為：AE＝DF；
（2）如圖1，過點(diǎn)E作EM⊥BC于點(diǎn)M，則四邊形ABME為矩形，
則AB＝EM，
在正方形ABCD中，AB＝BC，
∴EM＝BC，
∵EM⊥BC，
∴∠MEF+∠EFM＝90°，
∵BC⊥EM，
∴∠CBG+∠EFM＝90°，
∴∠CBG＝∠MEF，
在△BCG和△EMF中，
，
∴△BCG≌△EMF（ASA），
∴EF＝BG；
（3）如圖2，連接MN，
∵M(jìn)、N關(guān)于EF對稱，
∴MN⊥EF，過點(diǎn)E作EH⊥BC于點(diǎn)H，
過點(diǎn)M作MG⊥CD于點(diǎn)G，則EH⊥MG，
由（2）同理可得：△EHF≌△MGN（ASA），
∴NG＝HF，
∵AE＝2，BF＝4，
∴NG＝HF＝4﹣2＝2，
又∵GC＝MB＝1，
∴NC＝NG+CG＝2+1＝3．

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