北師大版數(shù)學(xué)九上期末復(fù)習(xí)訓(xùn)練專項(xiàng)10 相似三角形-射影定理綜合應(yīng)用（2份，原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、射影定理直角三角形斜邊上的高是它分斜邊所得兩條線段的比例中項(xiàng)；且每條直角邊都是它在斜邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng)。
如圖（１）：Ｒt△ＡＢＣ中，若ＣＤ為高，
則有ＣD２＝ＢＤ?AD、
ＢＣ２＝ＢＤ?ＡＢ或
ＡＣ２＝ＡＤ?ＡＢ。（證明略）
二、變式推廣
１．逆用如圖（１）：若△ＡＢＣ中，ＣＤ為高，且有ＤＣ２＝ＢＤ?ＡＤ或ＡＣ２＝ＡＤ?ＡＢ或ＢＣ２＝ＢＤ?ＡＢ，則有∠ＤＣＢ＝∠Ａ或∠ＡＣＤ＝∠Ｂ，均可等到△ＡＢＣ為直角三角形。

２．一般化，若△ＡＢＣ不為直角三角形，當(dāng)點(diǎn)Ｄ滿足一定條件時(shí)，類似地仍有部分結(jié)論成立。（后文簡(jiǎn)稱：射影定理變式（2））
如圖（２）：△ＡＢＣ中，D為ＡＢ上一點(diǎn)，若∠ＣＤＢ＝∠ＡＣＢ，或∠ＤＣＢ＝∠Ａ，則有△ＣＤＢ∽△ＡＣＢ，可得ＢＣ２＝ＢＤ?AB；反之，若△ＡＢＣ中，Ｄ為ＡＢ上一點(diǎn)，且有ＢＣ２＝ＢＤ?ＡＢ，則有△ＣＤＢ∽△ＡＣＢ，可得到∠ＣＤＢ＝∠ＡＣＢ，或∠ＤＣＢ＝∠Ａ。

【類型1：直角三角形中射影定理】
【典例1】如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，若AD＝4，BD＝8，則CD的長(zhǎng)為（）
A．4B．4C．4D．
【變式1-1】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，AD＝4，BD＝9，則CD的長(zhǎng)是（）
A．B．6C．D．
【變式1-2】如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）
A．AC2＝AD?ABB．CD2＝CA?CBC．CD2＝AD?DBD．BC2＝BD?BA
【變式1-3】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D在AB上，且＝．
（1）求證△ACD∽△ABC；
（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的長(zhǎng)．
【類型2：非直角三角形中射影定理】
【典例2】如圖，已知∠A＝70°，∠APC＝65°，AC2＝AP?AB，則∠B的度數(shù)為（）
A．45°B．50°C．55°D．60°
【變式2-1】如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，若∠ACD＝∠B，AD＝3，BD＝4，則AC的長(zhǎng)為（）
A．2B．C．5D．2
【變式2-2】如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在AB邊上，∠ABC＝∠ACD．
（1）求證：△ABC∽△ACD；
（2）若AD＝2，AB＝6．求AC的長(zhǎng)．
【典例3】如圖，在△ABC中，∠A＝90°，點(diǎn)D、E分別在AC、BC邊上，BD＝CD＝2DE，且∠C+∠CDE＝45°，若AD＝6，則BC的長(zhǎng)為．
【變式3】如圖，在銳角△ABC中，BD⊥AC于D，DE⊥BC于E，AB＝14，AD＝4，BE：EC＝9：2，則CD＝．
1．已知：如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足是D，BC＝，BD＝1．求AD＝．
2．如圖所示，△ABC中，AD⊥BC于D，對(duì)于下列中的每一個(gè)條件①∠B+∠DAC＝90°；②∠B＝∠DAC；③CD：AD＝AC：AB；④AB2＝BD?BC．其中一定能判定△ABC是直角三角形的共有（）
A．3個(gè)B．2個(gè)C．1個(gè)D．0個(gè)
3．如圖，在矩形ABCD中，BD＝2．對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)D作AC的垂線，交AC于點(diǎn)E，AE＝3CE．則DE2的值為（）
A．4B．2C．D．4
4．在矩形ABCD中，BE⊥AC交AD于點(diǎn)E，G為垂足．若CG＝CD＝1，則AC的長(zhǎng)是．
5．已知：如圖，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，且BE：ED＝1：3，AB＝6cm，則AC的長(zhǎng)度為 cm．
6．如圖，點(diǎn)D在△ABC的邊BC上，∠ADC+∠BAC＝180°，AB＝4，BC＝8，求BD的長(zhǎng)．
7．如圖，AD是Rt△ABC斜邊上的高，若AB＝4cm，BC＝10cm，求BD的長(zhǎng)．
8．如圖，在Rt△ABC中，CD為斜邊AB上的高，如果AC＝3，AB＝6，求BD的值．
9．如圖：在△ABC中，∠BAC＝108°，D為BC上的一點(diǎn)且AB＝AC＝BD．
（1）求證：△ACD∽△BCA；
（2）若AB＝6cm，求AD的長(zhǎng)．
10．如圖，在等腰三角形ABC中，AB＝2，∠A＝90°，點(diǎn)E為腰AC中點(diǎn)，點(diǎn)F在底邊BC上，且FE⊥BE，求△CEF的面積．
11．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC交BC于點(diǎn)E，點(diǎn)F在BC的延長(zhǎng)線上，且CF＝BE，連接DF．
（1）求證：四邊形AEFD是矩形；
（2）連接AC，若∠ACD＝90°，AE＝4，CF＝2，求EC和AC的長(zhǎng)．

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