知識點1 平移與旋轉(zhuǎn)的定義與性質(zhì)
平行（或共線）
知識點2 平面直角坐標系中點的平移規(guī)律平面內(nèi)點A的坐標為（x，y），則：（1）將點A向右平移a（a＞0）個單位 長度得到的點的坐標為 ??；（2）將點A向左平移a（a＞0）個單位 長度得到的點的坐標為 ??；
（x＋a， y）
（x－a， y）
（3）將點A向上平移a（a＞0）個單位 長度得到的點的坐標為 ??；（4）將點A向下平移a（a＞0）個單位 長度得到的點的坐標為 ??.簡稱：上加下減，左減右加.
（x，y＋a）
（x，y－a）
名師指津1. 解決有關(guān)平移的問題，關(guān)鍵是利用圖 形平移過程中的不變量與不變性，通常 會用到平行四邊形的知識.2. 解決有關(guān)旋轉(zhuǎn)的問題，關(guān)鍵是利用旋 轉(zhuǎn)的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換的作用在于：（1）把分散的幾何圖形和條件進行集中 和整合；（2）添加輔助線構(gòu)造基本圖形和全等三 角形.
例1　 （1）（2024·育才）如圖1，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝ 10，BC＝6.點F是AB中點，連接CF， 把線段CF沿射線BC方向平移到ED， 點D在AC上.則線段CF在平移過程中掃 過區(qū)域形成的四邊形CFDE的周長和面 積分別是（　C?。?br/>（2）如圖2，點A，B的坐標分別為 （－2，1），（0，－1）.若將線段AB 平移至A1B1，點A1，B1的坐標分別為 （a，3），（3，b），則a＋b的值 為 ?.
考點二　圖形的旋轉(zhuǎn)例2　 （1）如圖1，在△ABC中， ∠BAC＝105°，將△ABC繞點A按逆 時針方向旋轉(zhuǎn)得到△AB'C'.若點B'恰好落 在BC邊上，且AB＝CB'，則∠AB'C'的 度數(shù)為 ?；
（2）（2024·長春）一塊含30°角的 直角三角板ABC按如圖2所示的方式擺 放，邊AB與直線l重合，AB＝12cm.現(xiàn) 將該三角板繞點B順時針旋轉(zhuǎn)，使點C 的對應(yīng)點C'落在直線l上，則點A經(jīng)過 的路徑長至少為 ?；（結(jié)果保 留π）
（3）如圖3，在△ABC中，AB＞AC， E為AB上一點，D為BC的中點， ∠BAC＝120°.將AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn) 120°至AF，連接CE，CF. 若AC＝ 10，AE＝6，∠ACF＝∠AEC，則CF 的長為 ?；
[解析] 如答案圖，過點D作DH∥CE交 AB于點H，過點E作EG⊥AC交CA的延 長線于點G.
由題意可知，AD＝AF，∠BAC＝ ∠DAF＝120°，∴∠HAD＝∠CAF. ∵DH∥EC，∴∠AHD＝∠AEC.
（4）如圖4，在△ABC中，∠ABC＝ 60°，P是△ABC內(nèi)一點，連接PA， PB，PC. 若AB＝4，BC＝6，則PA＋ PB＋PC的最小值是 ?.
[解析] 如答案 圖，將△BPA繞點 B順時針旋轉(zhuǎn)60° 得到△BFE，過 點E作EH⊥CB 交CB的延長線于點H.
∵∠ABC＝60°，∠ABE＝60°， ∴∠EBC＝120°.∵PB＝BF，∠PBF ＝60°，∴△PBF是等邊三角形，∴PB ＝PF. ∵PA＝EF，∴PA＋PB＋PC＝ EF＋PF＋PC.
例3　 （2024·遼寧）如圖，在△ABC 中，∠ABC＝90°，∠ACB＝α（0°＜ α＜45°）.將線段CA繞點C順時針旋轉(zhuǎn) 90°得到線段CD，過點D作 DE⊥BC，垂足為E.

圖1 圖2 圖3
（1）如圖1，求證：△ABC≌△CED；
[答案]解：（1）證明：由題意，得CA＝ CD，∠ACD＝90°，∴∠ACB＋∠BCD＝90°.∵DE⊥BC，∴∠DEC＝90°，∴∠BCD＋∠D＝90°，∴∠ACB＝∠D. ∵∠ABC＝90°，∴∠ABC＝∠DEC，∴△ABC≌△CED（AAS）.
（2）如圖2，∠ACD的平分線與AB的 延長線相交于點F，連接DF，DF的延 長線與CB的延長線相交于點P，猜想 PC與PD的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；
圖2
[答案]解：（2）猜想：PC＝PD. 證明 如下：∵∠ABC＝90°，∠ACB＝α，∴∠A＝90°－α.∵CF平分∠ACD，∴∠ACF＝∠DCF. 又∵CA＝CD，CF＝CF，∴△ACF≌△DCF（SAS），∴∠CDF＝∠A＝90°－α.∵∠ACD＝90°，∠ACB＝α，∴∠BCD＝90°－α，∴∠BCD＝∠CDF，∴PC＝PD.
（3）如圖3，在（2）的條件下，將 △BFP沿AF折疊，在α變化的過程中， 當點P落在點E的位置時，連接EF. ①求證：點F是PD的中點；
圖3
[答案] （3）①證明：由題意，得FP＝FE，∴∠P＝∠FEP. ∵∠DEC＝90°，∴∠PED＝90°，∴∠P＋∠FDE＝90°， ∠FEP＋∠FED＝90°，∴∠FED＝∠FDE，∴FE＝FD，∴FP＝FD，即點F是PD的中點.
②若CD＝20，求△CEF的面積.
解：②如答案圖，過點F作FM∥CP交CD于點M，連接EM. ∵△ABC≌△CED，∴DE＝CB. 設(shè)CE＝m，DE＝CB＝n，則BE＝CB－CE＝n－m.由翻折，得PB＝BE＝n－m，∴PE＝2n－2m，∴PC＝PE＋CE＝2n－m＝PD. 在Rt△PDE中，由勾股定理，得（2n－m）2＝（2n－2m）2＋n2，整理，得3m2－4mn＋n2＝0，
1. （2024·資陽）在平面直角坐標系中， 將點（－2，1）沿y軸向上平移1個單位 長度后，得到的點的坐標為（　B?。?br/>2. 如圖，將△ABC沿BC向右平移得到 △DEF，若BC＝5，BE＝2，則CF的 長是（　A?。?

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