平行(或在一條直線上)且相等
【例1-1】已知一副直角三角板如圖放置,其中AB=12,EF=8,把含30o角的三角板向右平移,使頂點(diǎn)B落在含45o角的三角板的斜邊DF上,則CE=____.
【變式】如圖,將△ABC沿BC邊上的中線AD平移到△A′B′C′的位置,已知△ABC的面積為9,陰影部分三角形的面積為4.若AA′=1,則A′D等于____.
【例1-2】如圖,在正方形ABCD中,A,B,C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(-1,2),(-1,0),(-3,0),將正方形ABCD向右平移3個(gè)單位,則平移后點(diǎn)D的坐標(biāo)是( ) A.(-6,2) B.(0,2) C.(2,0) D.(2,2)
(2018·T10)如圖,在矩形ABCD中,AD=3,將矩形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),得到矩形AEFG,點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E落在CD上,且DE=FF,則AB的長(zhǎng)為______.
【例2-1】如圖,已知△ABC是等腰三角形,AB=AC,∠BAC=45o,點(diǎn)D在AC邊上,將△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45o,得到△ACD′,且點(diǎn)D′,D,B三點(diǎn)在一條直線上,則∠ABD的度數(shù)是_______.
【例2-2】(2011·T15)如圖,△DEF是由△ABC繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到的,則這點(diǎn)的坐標(biāo)是_______.
【例5】如圖,已知△OAB與△OA′B′是相似比為1:2的位似圖形,點(diǎn)O為位似中心,若△OAB內(nèi)一點(diǎn)P(x,y)與△OA′B′內(nèi)一點(diǎn)P′是一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn),則點(diǎn)P′的坐標(biāo)是__________.
4.已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,3),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,1).將線段AB沿某一方向平移后,點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(-2,1).則點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(　　) A.(5,3) B.(-1,-2) C.(-1,-1) D.(0,-1)5.如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90o,∠A=60o,AC=6,將△ABC繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到△A′B′C,點(diǎn)A′恰好在AB邊上,則點(diǎn)B′與點(diǎn)B之間的距離為_____.
(2m,2n)或(-2m,-2n)
4.如果存在一條直線把一個(gè)圖形分割成兩個(gè)部分，使其中一個(gè)部分沿某個(gè)方向平移后能與另一個(gè)部分重合，那么我們把這個(gè)圖形叫做平移重合圖形，下列圖形中，是平移重合圖形的是( ) A.平行四邊形 B.等腰梯形 C.正六邊形 D.圓5.在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1, ),將點(diǎn)A以原點(diǎn)為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30o,則點(diǎn)A′的坐標(biāo)為( ) A. B. C.(2,1) D.(2,0)
6.如圖,把圖中的△ABC經(jīng)過(guò)一定的變換得到△A′B′C′,如果圖中△ABC上的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a,b),那么它的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P′的坐標(biāo)為( ) A.(a-3,b) B.(a+3,b) C.(3-a,-b) D.(a-3,-b)7.如圖,在△ABC中,A,B兩點(diǎn)在x軸的上方,點(diǎn)C的坐標(biāo)是(-1,0).以點(diǎn)C為位似中心,在x軸的下方作△ABC的位似圖形△A′B′C′,并把△ABC的邊長(zhǎng)放大到原來(lái)的2倍.設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是a,則點(diǎn)A′的橫坐標(biāo)為_______.
3.如圖,正方形ABCD和正方形CEFG邊長(zhǎng)分別為a和b,正方形CEFG繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn),給出下列論：①BE=DG；②BE⊥DG；③DE2+BG2=2a2+2b2,其中正確結(jié)論是_______(填序號(hào))
6.如圖,將矩形ABCD繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn),得到矩形EBFG,且點(diǎn)E落在CD上,過(guò)點(diǎn)C作FG的垂線,垂足為H,若FH=HG,則BC:AB的值為_______.
6.如圖,在邊長(zhǎng)為2的正六邊形ABCDEF中,將四邊形ABCF繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到四邊形A′B′CF′處,若此時(shí)點(diǎn)A′落在對(duì)角線CF上,A′F′與EF交于點(diǎn)G,則六邊形A′B′CDEG的周長(zhǎng)為________.
11.我們知道：四邊形具有不穩(wěn)定性.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,將邊長(zhǎng)為4的菱形OBCD的邊OB固定在x軸上,開始時(shí)∠DOB=30o,現(xiàn)把菱形沿箭頭方向推,使點(diǎn)D落在y軸正半軸上的點(diǎn)D′處,則下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是( ) A.點(diǎn)C′的坐標(biāo)為(4,4) B.∠CBC′=60o C.點(diǎn)D移動(dòng)的路徑長(zhǎng)度為4 D.CD垂直平分BC′
5.如圖1,邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中,將AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),得到AE,旋轉(zhuǎn)角為θ(0＜θ＜90o),射線DE與∠BAE的平分線相交于F,連接BF.(1)求證：BF=EF；(2)若θ=30o,求EF的長(zhǎng)；(3)如圖2,在AB的旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,猜想DF、EF與AB之間的數(shù)量關(guān)系,并給予證明.
DF2+BF2=BD2
DF2+EF2=2AB2
7.如圖(1),□ABCD在坐標(biāo)系的第一象限,且BC∥x軸,直線y=x從原點(diǎn)O出發(fā)沿x軸正方向平移,在平移過(guò)程中,直線被□ABCD截得的線段長(zhǎng)度n與直線在x軸上平移的距離m的函數(shù)關(guān)系圖象如圖(2)所示,那么□ABCD的面積為____
8.在△ABC中,∠ACB=90o,∠ABC=30o,將△ABC繞頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)角為θ(0o＜θ＜180o)得到△A′B′C.(1)如圖①,當(dāng)AB∥CB′時(shí),A′B′與CB交于點(diǎn)D.求證：△A′CD是等邊三角形；(2)如圖②,連接A′A,B′B,設(shè)△ACA′和△BCB′的面積分別為S△ACA′和S△BCB′的面積.求證：S△ACA′：S△BCB′=1:3；(3)如圖③,設(shè)AC的中點(diǎn)為E,A′B′的中點(diǎn)為P,AC=a,連接EP,當(dāng)θ=_____o時(shí),EP的長(zhǎng)度最大,最大值為_______.
提示：畫出點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡。

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