知識(shí)點(diǎn)1 正方形的性質(zhì)和判定
互相垂直且相等　
名師指津1. 正方形具備等腰直角三角形、平行四 邊形、矩形、菱形的所有性質(zhì)，比如 45°角在正方形的證明題中往往起到重 要作用.2. 正方形既是軸對(duì)稱(chēng)圖形，又是中心 對(duì)稱(chēng)圖形，因此在正方形中，所有對(duì) 稱(chēng)位置上的線、角、三角形都是相 （全）等的，這是解決問(wèn)題的一個(gè)重 要思維和方向.
3. 中點(diǎn)四邊形的形狀只與原四邊形對(duì)角 線（相等、垂直、相等且垂直）有關(guān).4. 中點(diǎn)四邊形的周長(zhǎng)是原圖形對(duì)角線之 和，面積是原圖形面積的一半.5. 證明一個(gè)四邊形是正方形的方法是先 證明它是矩形，再證明它是菱形；或先 證明它是菱形，再證明它是矩形，其證 明過(guò)程往往需要借助全等三角形.
6. 在正方形中求解策略是利用正方形四 個(gè)角都是直角或?qū)蔷€互相垂直平分且 相等，通過(guò)勾股定理求解.7. 正方形中的十字架模型
【模型介紹】如圖1，在正方形ABCD 中，若EF⊥MN，則EF＝MN.
變形1：如圖2，若AF⊥BE，則AF＝ BE. 變形2：如圖3，若BE⊥MN，則BE＝ MN.
【易錯(cuò)點(diǎn)】正方形內(nèi)十字架模型，垂直 一定相等，相等不一定垂直.【解題技巧】無(wú)論怎么變，只要垂直， 十字架就相等.
考點(diǎn)一　正方形的性質(zhì)及判定
例1　 （1）如圖1，要使?ABCD是正 方形，需增加條件.在條件①AB＝BC； ②AC＝BD；③AC⊥BD；④∠ABC＝ 90°中選取兩個(gè)作為條件，不正確的是 （　B?。?br/>（2）如圖2，在正方形ABCD中，點(diǎn) E，F(xiàn)分別在BC，CD上，連接AE， AF，EF，∠EAF＝45°.若∠BAE＝ α，則∠FEC一定等于（　A?。?br/>（3）（2024·南開(kāi)）如圖3，已知正方形 ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E為邊BC上一 點(diǎn)，連接AE，作∠DAE的平分線交CD 于點(diǎn)F，若F為CD的中點(diǎn)，則BE的長(zhǎng) 為（　C?。?br/>例2　 如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E 在邊BC上，點(diǎn)F在CD的延長(zhǎng)線上，且 DF＝BE，連接AE，AF，EF. （1）求證：△AEF是等腰直角三角形；
圖1 圖2
（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥EF，垂足 為H，交CD于點(diǎn)G，連接BH.

圖1 圖2
[答案]解：（2）①證明：如答案圖，過(guò)點(diǎn)H作HM⊥BH交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，∴∠BHE＋∠EHM＝90°.∵△AEF是等腰直角三角形，AH⊥EF，∴AH＝EH，∠AHE＝90°，∴∠BHE＋∠AHB＝90°，∴∠EHM＝∠AHB. ∵∠ABE＝∠AHE＝90°，
②若CE＝4，DG＝3，求BE的長(zhǎng).
[答案]解：（2） ②如答案圖，連接 EG. 設(shè)BE＝x，則DF＝x.∵CE＝4，DG＝3，∴BC＝x＋4，F(xiàn)G＝x＋3，CG＝（x＋4）－3＝x＋1.∵△AEF是等腰直角三角形，AH⊥EF，∴AH垂直平分EF，∴EG＝FG＝x＋3.在Rt△ECG中，由勾股定理，得EG2＝CG2＋CE2，即（x＋3）2＝（x＋1）2＋16，解得x＝2，∴BE＝2.
考點(diǎn)二　中點(diǎn)四邊形例3　 （1）如圖1，順次連接四邊形 ABCD各邊中點(diǎn)得到中點(diǎn)四邊形EFGH，下列說(shuō)法中正確的是（　C?。?br/>（2）如圖2，D，E，F(xiàn)，G分別為 AC，AB，BO，CO的中點(diǎn)，∠BOC＝ 90°.若AO＝3，BO＝4，CO＝3，則四 邊形DEFG的周長(zhǎng)為 ?.
1. 如圖，F(xiàn)是正方形ABCD的對(duì)角線BD 上一點(diǎn)，連接AF，CF，并延長(zhǎng)CF交 AD于點(diǎn)E. 若∠AFC＝140°，則∠DEC的度數(shù)為（　D?。?br/>2. 已知菱形ABCD中對(duì)角線AC，BD相 交于點(diǎn)O，添加條件 ? 可使菱形ABCD成為正方形.
AC＝BD或
3. （2024·內(nèi)蒙古）如圖，邊長(zhǎng)為2的正 方形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn) O. E是BC邊上一點(diǎn)，F(xiàn)是BD上一點(diǎn)， 連接DE，EF. 若△DEF與△DEC關(guān)于 直線DE對(duì)稱(chēng)，則△BEF的周長(zhǎng)是 ?.
4. 如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)F是BC 的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥DF于 點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)G，連接CE. （1）若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3，DF＝ 4，求CG的長(zhǎng)；
解：（2）證明：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CM⊥CE交BE于點(diǎn)M. ∵△CBG≌△CDF，∴CG＝CF，∠CGB＝∠F. ∵CM⊥CE，∠DCF＝90°，∴∠MCG＋∠DCE＝∠ECF＋∠DCE＝ 90°，∴∠MCG＝∠ECF， ∴△MCG≌△ECF（ASA），∴MG＝EF，CM＝CE，

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