（2）對于兩步試驗：先列表（或畫樹狀 圖），不重不漏地列舉出所有等可能的 結(jié)果，再確定其中事件A所包含的結(jié)果 數(shù)，然后用概率公式求解，注意要區(qū)分 “放回”和“不放回”問題，“不放回”則第1 次與第2次不重復；（3）對于三步試驗：一般是通過畫樹狀 圖列舉所有等可能的結(jié)果，然后用概率 公式計算；（4）與代數(shù)、幾何知識相結(jié)合的概率題其本質(zhì)還是求概率，只不過是需要應用代數(shù)和幾何的方法確定某些限制條件的事件數(shù)
例1　 （1）下列事件中，是必然事件的 是（　A?。?br/>（2）下列事件：①打開電視，正在播 放廣告；②拋擲一枚硬幣，正面向上；③5張相同的小標簽分別標有數(shù)字1～5，從中任意抽取1張，抽到0號簽；④在紙上畫兩條直線，這兩條直線互相垂直.其中屬于隨機事件的是 .（填序號）
考點二　概率的意義例2　 （1）如果用A表示事件“若a＞b，則a＋c＞b＋c”，用P（A）表示“事件A發(fā)生的概率”，那么下列結(jié)論中正確的是（　A　）
（2）下列說法中正確的是 ?. （填序號）①367人中至少有兩人是同月同日生；②某商場抽獎活動的中獎率為1‰，說明 每抽1000張獎券，一定有一張能中獎；③“打開電視機，正在播放《動物世界》”是隨機事件；④“明天降雨的概率是80％”表示明天有 80％的時間降雨.
考點三　等可能事件發(fā)生的概率例3　 （1）（2024·蘇州）如圖1，正八 邊形轉(zhuǎn)盤被分成八個面積相等的三角 形，任意轉(zhuǎn)動這個轉(zhuǎn)盤一次，當轉(zhuǎn)盤停 止轉(zhuǎn)動時，指針落在陰影部分的概率 是 ?；
（2）七巧板是我國古代勞動人民的發(fā)明 之一，被譽為“東方魔板”，它是由五塊 等腰直角三角形、一塊正方形和一塊平 行四邊形共七塊板組成的.如圖2是一個 用七巧板拼成的正方形，如果在此正方 形中隨機取一點，那么此點取自陰影部 分的概率是 ?.
例4　 （1）（2024·山東）某校課外活動期間開展跳繩、踢毽子、韻律操三項活動，甲、乙兩位同學各自任選其中一項參加，則他們選擇同一項活動的概率是（　C?。?br/>（2）（2024·青海）如圖，一只螞蟻在 樹枝上尋覓食物，假定螞蟻在每個岔路 口都隨機選擇一條路徑，它獲得食物的 概率是 ?；
例5　 小華和小軍做摸球游戲，A袋中 裝有編號為1，2，3的三個小球，B袋中 裝有編號為4，5，7的三個小球，兩袋中 的所有小球除編號外都相同，現(xiàn)從兩個 袋子中分別隨機摸出一個小球.若B袋摸 出的小球的編號與A袋摸出小球的編號 之差為奇數(shù)，則小華勝，否則小軍勝.這 個游戲?qū)﹄p方公平嗎？請說明理由.
[答案] 解：不公平.理由如下：
由圖可知，共有9種等可能的結(jié)果，差為 奇數(shù)的結(jié)果有4種，
考點四　用頻率估計概率例6　 （1）（2024·貴州）小星同學通過 大量重復的定點投籃練習，用頻率估計 他投中的概率為0.4，下列說法正確的是（　A?。?br/>（2）一個密閉不透明的口袋中有質(zhì)地均 勻、大小相同的白球若干個，在不允許 將球倒出來的情況下，為估計白球的個 數(shù)，小華往口袋中放入10個紅球（紅球 與白球除顏色不同外，其他都一樣）， 將口袋中的球攪拌均勻，從中隨機摸出 一個球，記下它的顏色后再放回口袋 中，不斷重復這一過程，共摸了100次 球，發(fā)現(xiàn)有63次摸到紅球.估計這個口袋 中白球的個數(shù)約為 個.
考點五　統(tǒng)計與概率綜合例7　 （2024·雅安）某中學對八年級 學生進行了教育質(zhì)量監(jiān)測，隨機抽取 了參加15米折返跑的部分學生成績 （成績劃分為優(yōu)秀、良好、合格與不 合格四個等級），并繪制了不完整的 統(tǒng)計圖（如圖所示）.根據(jù)圖中提供的 信息解答下列問題：
（1）請把條形統(tǒng)計圖補充完整；
[答案] 解：（1）根據(jù)題意，得12÷40％ ＝30（人），∴不合格的為30－（5＋12＋10）＝3（人）.補充條形統(tǒng)計圖略.
（2）若該校八年級學生有300人，試估 計該校八年級學生15米折返跑成績不合 格的人數(shù)；
（3）從所抽取的優(yōu)秀等級的學生A， B，C，D，E中，隨機選取兩人去參加 即將舉辦的學校運動會，請利用列表或 畫樹狀圖的方法，求恰好抽到A，B兩 位同學的概率.
[答案] 解：（3）列表如下：
1. 下列說法正確的是（　C　）
3.如圖，若隨機向8×8的正方形網(wǎng)格內(nèi)投針，則針尖落在空白區(qū)域的概率為 ?.

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