知識點1 角平分線和線段垂直平分線的 性質(zhì)與判定
到角兩邊的距離相等
到線段兩個端點的
知識點2 等腰三角形和等邊三角形的性 質(zhì)與判定
知識點3 等腰三角形的性質(zhì)拓展
名師指津1. 等角對等邊是證邊相等的常用辦法.2. 三線合一是證兩條邊相等、兩個角相 等以及兩條直線互相垂直的重要依據(jù).3. 分類討論和方程思想是解決等腰三角 形多解問題的兩大法寶，畫出圖形，數(shù) 形結(jié)合是解這類題目的基本方法.考慮全 面，分類討論，逐一解決，不要漏解.4. 重要結(jié)論：
考點一　角平分線的性質(zhì)與判定
例1　 （1）如圖1，AE，BE，CE分別 平分∠BAC，∠ABC，∠ACB， ED⊥BC于點D，ED＝3，△ABC的面 積為36，則△ABC的周長為（　C?。?br/>（2）如圖2，點E是BC的中點， AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，連接DE. 下列四個結(jié)論：①∠AED＝90°；②∠ADE＝∠CDE；③DE＝BE；④AD＝AB＋CD. 其中成立的是 .（填序號）
考點二　線段垂直平分線的性質(zhì)與判定例2　 （1）如圖1，在△ABC中，AB， AC的中垂線DM，EN分別交BC于點 M，N，連接AM，AN. 若∠BAC＝ 79°，則∠MAN的度數(shù)為（　C　）
（3）如圖3，CD是∠ACE的平分線， DP垂直平分AB于點P，DF⊥AC于點 F，DE⊥BE于點E. 若BC＝3cm，AC ＝5cm，則CE＝ ?cm.
考點三　等腰三角形的性質(zhì)與判定例3　 （1）如圖1，在△ABC中，D，E 分別為AB，AC邊上的點，DA＝DE， DB＝BE＝EC. 若∠ABC＝130°，則 ∠C的度數(shù)為（　D　）
（2）如圖，△ABC為等腰三角形，AB ＝BC，點F是線段CB上一點，連接AF. ①如圖2，若AF⊥CB，AB＝10，BF ＝8，求線段AC的長；

②如圖3，點E為線段AB上一點，連接 CE，使∠ACE＝∠B，且EA＝BF， 點D為AF的中點，連接CD. 求證： ∠ACD＝∠BCE.
[答案]解： ②證明：∵∠ACE＝∠B，∴∠ACE＋∠BCE＝∠B＋∠BCE，∴∠ACB＝∠AEC. ∵AB＝BC，∴∠ACB＝∠BAC，∴∠AEC＝∠BAC， ∴AC＝EC. 如答案圖，延長BC至點G，使CG＝CF，連接AG. ∵CG＝CF，且點D為AF的中點，∴CD∥AG，
∴∠ACD＝∠GAC. ∵∠CEA＝∠ACB，∴∠ACG＝∠CEB. ∵AB＝BC，AE＝BF，∴BE＝CF＝CG. 又∵AC＝CE， ∴△ACG≌△CEB （SAS），∴∠GAC＝∠BCE， ∴∠ACD＝∠BCE.
考點四　等邊三角形的性質(zhì)與判定例4　?。?）（2024·自貢）如圖1，等 邊△ABC鋼架的立柱CD⊥AB于點D，AB長12m.現(xiàn)將鋼架立柱縮短成DE，∠BED＝60°，則新鋼架減少用鋼（　D?。?br/>（2）如圖2，在正方形ABCD中，E是 邊AD上一動點（不與點A，D重合）. 邊BC關(guān)于BE對稱的線段為BF，連接 AF. ①若∠ABE＝15°，求證：△ABF是等 邊三角形；
[答案]解： ①證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∵∠ABE＝15°，∴∠CBE＝75°.
∠FBE＝∠CBE＝75°，BF＝BC＝BA，
∴∠ABF＝∠FBE－∠ABE＝60°，
∴△ABF是等邊三角形.
②延長FA，交射線BE于點G，△BGF 能否為等腰三角形？如果能，求此時 ∠ABE的度數(shù)；如果不能，請說明理由.
[答案]②解：由①得BF＝BC＝BA，
∵E是邊AD上一動點，
∴BA＜BE＜BG，∴BF≠BG.
若FB＝FG，則有∠FGB＝∠FBG＝ ∠CBG，
此時E與D重合，不合題意.
若GF＝GB，連接CG 交AD于點H，如答案圖，
∵BC＝BF，∠CBG＝∠FBG，BG＝ BG，
∴△CBG≌△FBG（SAS），
∴FG＝CG，∠BFG＝∠BCG.
∵BA＝BC＝BF，∴∠BFA＝∠BAF.
∵△CBG≌△FBG，∴∠BFG＝ ∠BCG.
∵AD∥BC，∴∠AHG＝∠BCG，
∴∠BAF＋∠HAG＝∠AHG＋∠HAG＝180°－∠BAD＝90°，
∴∠FGC＝180°－∠HAG－∠AHG＝90°，
∴∠ABE＝∠ABC－∠GBC＝90°－ 67.5°＝22.5°.綜上所述，△BGF能為等腰三角形，此 時∠ABE的度數(shù)為22.5°.
1. 如圖，在△ABC中，AB邊的中垂線 DE分別與AB，AC邊交于點D，E， BC邊的中垂線FG分別與BC，AC邊交 于點F，G，連接BE，BG. 若△BEG的 周長為16，GE＝1，則AC的長為 （　B?。?br/>2. （2024·赤峰）等腰三角形的兩邊長分 別是方程x2－10x＋21＝0的兩個根，則 這個三角形的周長為 ?.3. 已知△ABC為等邊三角形，點D在BC 邊上.
【基本圖形】（1）如圖1，以AD為一 邊作等邊△ADE，連接CE. 請直接寫出 AC，CE，CD之間的數(shù)量關(guān)系；
解：（1）CE＋CD＝AC.

圖1 圖2
【遷移運用】（2）如圖2，點F是AC邊 上一點，以DF為一邊作等邊△DEF， 連接CE. 求證：CE＋CD＝CF；
解：（2）證明：如答案圖1，過點D作 DG∥AB，交AC于點G. ∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB＝∠A＝∠B＝60°.∵DG∥AB，∴∠CGD＝∠A＝60°，∠CDG＝∠B ＝60°，∴△CDG為等邊三角形，∴CD＝DG＝CG.
（答案圖1）
∵△DEF為等邊三角形，∴DE＝DF，∠EDF＝60 °.∴∠CDG－∠EDG＝∠EDF－∠EDG，即∠CDE＝∠GDF，∴△CDE≌△GDF（SAS），∴CE＝GF，∴CE＋CD＝GF＋CG＝CF.
【類比探究】（3）如圖3，點F是AC邊 的延長線上一點，以DF為一邊作等邊 △DEF，連接CE. 試探究CE，CD， CF之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系，請寫出你 的結(jié)論，并說明理由.
解： （3）CD＋CF＝CE. 理由如下：如答案圖2，過點D作DG∥AB，交AC 于點G. ∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB＝∠A＝∠B＝60°.∵DG∥AB，∴∠CGD＝∠A＝60°，∠CDG＝∠B＝60°，∴△CDG為等邊三角形，∴CD＝DG＝CG. ∵△DEF為等邊三角形，

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