知識(shí)點(diǎn)1 直角三角形的性質(zhì)與判定
a2＋b2＝ c2
a2＋b2＝
2. 求幾何體表面上兩點(diǎn)之間的最短距離 時(shí)，一般先把立體圖形展開(kāi)成平面圖形 后再用勾股定理求解，這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的 轉(zhuǎn)化思想.
3. 關(guān)于直角三角形的兩個(gè)重要定理：（1）含30°角的直角三角形中，30°角 所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，其性質(zhì) 體現(xiàn)直角三角形與等邊三角形之間的聯(lián) 系，即等邊三角形是由兩個(gè)相同的含 30°角的直角三角形拼接而成的；（2）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊 的一半，還可以得到有公共斜邊的多個(gè) 直角三角形，斜邊上中點(diǎn)到直角三角形 各頂點(diǎn)的距離相等.直角三角形斜邊上的 中線把直角三角形分成兩個(gè)等腰三角形.
考點(diǎn)一　勾股定理及其逆定理
例1　 （1）在如圖1所示的2×4的正方 形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1， △ABC的頂點(diǎn)都在小正方形的格點(diǎn)上， 這樣的三角形稱(chēng)為格點(diǎn)三角形，則點(diǎn)A 到BC的距離等于（　C?。?br/>（2）（2024·浙江）如圖2，正方形 ABCD由四個(gè)全等的直角三角形（△ABE，△BCF，△CDG，△DAH）和中間一個(gè)小正方形EFGH組成，連接DE. 若AE＝4，BE＝3，則DE＝（　C?。?br/>（3）（2024·牡丹江）小明同學(xué)手中有一張矩形紙片ABCD，AD＝12cm，CD＝10cm，他進(jìn)行了如下操作：第一步，如圖3，將矩形紙片對(duì)折，使AD與BC重合，得到折痕MN，將紙片展平.第二步，如圖4，再一次折疊紙片，把△ADN沿AN折疊得到△AD'N，AD'交折痕MN于點(diǎn)E，則線段EN的長(zhǎng)為（　B　）
圖3 圖4
考點(diǎn)二　直角三角形相關(guān)性質(zhì)例2　 （1）由下列條件不能判定△ABC 為直角三角形的是（　B?。?br/>（2）（2024·青海）如圖1，在Rt△ABC 中，D是AC的中點(diǎn)，∠BDC＝60°， AC＝6，則BC的長(zhǎng)是（　A?。?br/>（3）（2024·安徽）如圖2，在Rt△ABC 中，AC＝BC＝2，點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線 上，且CD＝AB，則BD的長(zhǎng)是（　B?。?br/>例3　在Rt△ABC中，∠ABC＝90°， BA＝BC，D為邊AC上一動(dòng)點(diǎn).（1）如圖1，若DC＝6，∠ABD＝15°，求BD的長(zhǎng)；
（2）如圖2，以BD為直角邊作 Rt△BDE，使得BD＝BE，連接AE， 點(diǎn)F為AE中點(diǎn).請(qǐng)猜想BF，AD，DE之 間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

圖2
[答案] 解：（2）猜想：4BF2＋AD2＝DE2.理由如下：如答案圖2，連接CE并延長(zhǎng)交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)T. ∵∠ABC＝∠DBE＝∠CBT＝90°，∴∠ABD＝∠CBE，∠EBT＝∠DBC. ∵BA＝BC，BD＝BE，∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴AD＝CE，∠BAD＝∠BCE＝45°，∠ADB＝∠CEB，∴∠BDC＝∠BET，∴△DBC≌△EBT（ASA），∴CD＝ET，BC＝BT，∴AB＝BT. 又∵點(diǎn)F為AE中點(diǎn)，∴ET＝2BF，∴CD＝2BF. ∵∠ACB＝45°， ∴∠DCE＝90°，∴DE2＝CD2＋CE2，∴4BF2＋AD2＝DE2.
考點(diǎn)三　勾股定理與最值問(wèn)題例4　　 （1）（2024·內(nèi)江）如圖1，在 △ABC中，∠ABC＝60°，BC＝8，E 是BC邊上一點(diǎn)，且BE＝2，點(diǎn)I是 △ABC的內(nèi)心，BI的延長(zhǎng)線交AC于點(diǎn) D，P是BD上一動(dòng)點(diǎn)，連接PE，PC， 則PE＋PC的最小值為 ?；
（2）如圖2為一個(gè)圓柱形容器，其高為 1.2m，底面周長(zhǎng)為1m，在容器內(nèi)壁離容 器底部0.3m的點(diǎn)B處有一只蚊子.此時(shí)， 一只壁虎正好在容器外壁，離容器上沿 0.3m與蚊子相對(duì)的點(diǎn)A處，則壁虎捕捉 蚊子的最短路程為 m（容器厚度 忽略不計(jì)）.
1. 如圖，在直線l上方有正方形①，②， ③.若正方形①，③的面積分別為4和 16，則正方形②的面積為（　B?。?br/>2. （2024·巴中）“今有方池一丈，葭生 其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸 齊.問(wèn)：水深幾何？”這是我國(guó)數(shù)學(xué)史上 的“葭生池中”問(wèn)題.即AC＝5，DC＝1， BD＝BA，則BC＝（　C?。〢. 8B. 10C. 12D. 13
3. （2024·巴蜀）如圖，圓柱體的底面周 長(zhǎng)為6cm，AB是底面圓的直徑，在圓柱 表面的高BC上有一點(diǎn)D，BD＝2CD， BC＝6cm，一只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)，沿圓 柱的表面爬行到點(diǎn)D的最短路程 是 ?cm.

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