北師大版數(shù)學(xué)九上期末重難點培優(yōu)訓(xùn)練專題06 待定系數(shù)求二次函數(shù)的解析式（2份，原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

考點一一點一參數(shù)代入求二次函數(shù)的解析式考點二兩點兩參數(shù)代入求二次函數(shù)的解析式
考點三三點三參數(shù)代入求二次函數(shù)的解析式考點四已知頂點式求二次函數(shù)的解析式
考點五已知交點式求二次函數(shù)的解析式
考點一一點一參數(shù)代入求二次函數(shù)的解析式
例題：（2022·全國·九年級專題練習(xí)）已知拋物線y＝x2＋（3﹣m）x﹣2m＋2
(1)若拋物線經(jīng)過坐標(biāo)原點，求此時拋物線的解析式；
(2)該拋物線的頂點隨著m的變化而移動，當(dāng)頂點移到最高處時，求該拋物線的頂點坐標(biāo)；
【答案】(1)y＝x2+2x
(2)（﹣2，0）
【分析】（1）用待定系數(shù)法將（0，0）代入進行計算即可得；
（2）設(shè)拋物線的頂點坐標(biāo)為（p，q），即可得，，頂點移到最高處，即是q取最大值，而進行計算，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得．
（1）
解：將（0，0）代入得：
，
解得m＝1，
∴拋物線的解析式為；
（2）
解：設(shè)拋物線的頂點坐標(biāo)為（p，q），
則，，
頂點移到最高處，即是q取最大值，
而
＝
＝
＝，
∵，
∴當(dāng)時，q最大值是0，
此時，
∴當(dāng)頂點移到最高處時，拋物線的頂點坐標(biāo)為（﹣2，0）．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作為待定系數(shù)法，二次函數(shù)的性質(zhì)．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·湖南·長沙市長郡雙語實驗中學(xué)九年級開學(xué)考試）已知拋物線（）經(jīng)過點（，0）．
(1)求拋物線的函數(shù)表達式和頂點坐標(biāo)．
(2)直線l交拋物線于點A（，m），B（n，7），n為正數(shù)．若點P在拋物線上且在直線l下方（不與點A，B重合），求出點P縱坐標(biāo)的取值范圍．
【答案】(1)，頂點坐標(biāo)為
(2)
【分析】（1）將點（-2，0）代入求解；
（2）分別求出點A、B坐標(biāo)，根據(jù)圖像開口方向及頂點坐標(biāo)求解．
（1）
解：把（-2，0）代入，
可得，
解得，
∴拋物線的函數(shù)表達式為，
∵，
∴拋物線頂點坐標(biāo)為；
（2）
把代入，
可得，
∴，
把代入函數(shù)解析式得，
解得或，
∴或，
∵n為正數(shù)，
∴，
∴點A坐標(biāo)為，點B坐標(biāo)為，
∵拋物線開口向上，頂點坐標(biāo)為，
∴拋物線頂點在下方，
∴，．
【點睛】本題主要考查了求二次函數(shù)解析式以及二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)以及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式．
考點二兩點兩參數(shù)代入求二次函數(shù)的解析式
例題：（2022·福建·莆田二中九年級階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線圖像恰好經(jīng)過A（2，﹣9），B（4，﹣5）兩點，求該拋物線解析式．
【答案】
【分析】利用待定系數(shù)法解答，即可求解．
【詳解】解：把A（2，﹣9），B（4，﹣5）代入，得：
，
解得：，
所以該拋物線解析式為．
【點睛】本題主要考查了求二次函數(shù)的解析式，熟練掌握利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式的方法是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
1．（2023·湖北·襄州七中九年級階段練習(xí)）如圖，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A(2，0)，B(0，-6)兩點．
(1)求這個二次函數(shù)的解析式；
(2)設(shè)該二次函數(shù)的對稱軸與x軸交于點C，連接BA、BC，求△ABC的面積．
【答案】(1)
(2)6
【分析】（1）將點A及點B的坐標(biāo)代入即可得出b、c的值，繼而可得出二次函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)（1）求得的解析式，可得出對稱軸，也可得出AC的長度，根據(jù) 可得出答案．
（1）
解：（1）將點A（2，0）、B（0，?6）代入得：
，
解得：，
故這個二次函數(shù)的解析式為：．
（2）
∵二次函數(shù)的解析式為：，
∴二次函數(shù)的對稱軸為x＝4，
∴（4，0），B（0，?6）
∴OC＝4，，
∵點A（2，0），
∴AC＝2，
故．
【點睛】此題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、三角形的面積，要注意掌握點的坐標(biāo)與線段長度之間的轉(zhuǎn)換．
2．（2021·山東·嘉祥縣金屯鎮(zhèn)中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，拋物線y＝ax2+bx+6（a≠0）與x軸交于點A（2，0）和點B（﹣6，0），與y軸交于點C．
(1)求拋物線的解析式；
(2)在拋物線上是否存在一點P，使△PAB的面積與△ABC的面積相等，若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
(3)設(shè)拋物線的對稱軸與x軸交于點M，在對稱軸上存在點Q，使△CMQ是以MC為腰的等腰三角形，請直接寫出所有符合條件的點Q的坐標(biāo)．
【答案】(1)y＝
(2)存在，點P的坐標(biāo)為：（﹣2+，﹣6）或（﹣2﹣，﹣6）或（﹣4，6）
(3)點Q的坐標(biāo)為（﹣2，2）或（﹣2，﹣2）或（﹣2，12）
【分析】（1）把A（2，0）和B（﹣6，0）代入解方程組即可；
（2）先假設(shè)存點P，設(shè)出P點坐標(biāo)，利用△PAB的面積與△ABC的面積相等建立方程求解即可；
（3）如圖1中，分三種情形①當(dāng)時，②當(dāng)時，③當(dāng)時，分別求解即可．
（1）
解：（1）把A（2，0）和B（﹣6，0）代入，得：
，
解得：，
∴拋物線的解析式為；
（2）
存在，P（﹣2+，﹣6）或（﹣2﹣，﹣6）或（﹣4，6），
理由如下：
∵A（2，0）、B（﹣6，0）、，
∴AB＝8，C（0，6），OC＝6，
設(shè)點P的縱坐標(biāo)為，由△PAB的面積與△ABC的面積相等，得：
，
∴．
解得：或．
當(dāng)時，＝﹣6，
解得，
當(dāng)時，＝6，
解得：（此時與點C重合，舍去），，
綜上所述，點P的坐標(biāo)為：（﹣2+，﹣6）或（﹣2﹣，﹣6）或（﹣4，6）；
（3）
解：如圖
∵拋物線的解析式為：，
∴它的對稱軸為直線x＝﹣2，
∴M（﹣2，0），
設(shè)點Q坐標(biāo)為（﹣2，t）．
∵中，當(dāng)x＝0時，y＝6，
∴C（0，6），
∵M（﹣2，0），
∴，，．
①當(dāng)CQ＝QM時，，
解得，
∴點Q的坐標(biāo)為，此時，MC不是腰，不符合題意，舍去；
②當(dāng)CM＝QM時，，
解得：，
∴點Q的坐標(biāo)為或，
③當(dāng)CM＝CQ時，，
解得：t＝0（舍去），或t＝12，
∴Q點坐標(biāo)為
綜上所述，符合條件的點Q的坐標(biāo)為（﹣2，2）或（﹣2，﹣2）或（﹣2，12）
【點睛】本題考查二次函數(shù)綜合題、待定系數(shù)法、等腰三角形的判定和性質(zhì)、三角形面積問題等知識，解題的關(guān)鍵是分類討論思想的運用，屬于中考壓軸題．
考點三三點三參數(shù)代入求二次函數(shù)的解析式
例題：（2021·四川·鄰水縣壇同鎮(zhèn)初級中學(xué)九年級階段練習(xí)）已知二次函數(shù)y＝c的圖象經(jīng)過（0，﹣2），（﹣1，﹣1），（1，1）三點．
(1)求這個函數(shù)的解析式；
(2)寫出此拋物線的開口方向，對稱軸，頂點坐標(biāo)，增減性，最值．
【答案】(1)y＝
(2)拋物線的開口象上，對稱軸為直線x＝﹣，頂點坐標(biāo)為（﹣，﹣），當(dāng)x≤﹣時，y隨x的增大而減小，當(dāng)x＞時，y隨x的增大增大，當(dāng)x＝時，y取最小值﹣．
【分析】（1）用待定系數(shù)法直接可得函數(shù)的解析式；
（2）配成頂點式，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可得答案．
（1）
解：把（0，﹣2），（﹣1，﹣1），（1，1）代入y＝得：
解得，
∴這個函數(shù)的解析式為y＝；
（2）
∵y＝2+x﹣2＝2﹣，
∴拋物線的開口象上，對稱軸為直線x＝﹣，頂點坐標(biāo)為（﹣，﹣），
當(dāng)x≤﹣時，y隨x的增大而減小，當(dāng)x＞時，y隨x的增大增大，
當(dāng)x＝時，y取最小值﹣．
【點睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法，求出二次函數(shù)解析式．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·云南·會澤縣以禮中學(xué)校九年級階段練習(xí)）如圖，拋物線與x軸交于點A（-2，0）和點B（4，0），與y軸交于點C（0，4）
(1)求拋物線的解析式．
(2)點D在拋物線的對稱軸上，求AD+CD的最小值．
(3)點P是直線BC上方的點，連接CP，BP，若△BCP的面積等于3，求點P的坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）利用待定系數(shù)法解答，即可求解；
（2）連接BD，根據(jù)二次函數(shù)的的對稱性可得AD=BD，可得到當(dāng)點B，D，C三點共線時，AD+CD的值最小，最小值等于BC的長，利用勾股定理求出BC，即可求解；
（3）過點P作PF⊥x軸于點F，交BC于點E，先求出直線BC的解析式，設(shè)點，則點，可得，再根據(jù)△BCP的面積等于3，列出方程，即可求解．
（1）
解：把點A（-2，0），點B（4，0），點C（0，4）代入得：
，
解得：，
∴拋物線的解析式為；
（2）
如圖，連接BD，
∵點D在拋物線的對稱軸上，
∴AD=BD，
∴AD+CD=BD+CD≥BC，
∴當(dāng)點B，D，C三點共線時，AD+CD的值最小，最小值等于BC的長，
∵點B（4，0），點C（0，4），
∴OB=OC=4，
∴；
（3）
解：如圖，過點P作PF⊥x軸于點F，交BC于點E，
設(shè)直線BC的解析式為，
把點B（4，0），點C（0，4）代入得：
，
解得：，
∴直線BC的解析式為，
設(shè)點，則點，
∴，
∵△BCP的面積等于3，
∴，
解得：m=1或3，
∴點P的坐標(biāo)為或．
【點睛】本題主要考查了求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合思想解答是解題的關(guān)鍵．
2．（2022·甘肅·武威第九中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，已知拋物線與x軸的交點坐標(biāo)A(﹣4，0)，B(2，0)，并過點C(﹣2，﹣2)，與y軸交于點D．
(1)求出拋物線的解析式；
(2)求出△ABD的面積；
(3)在拋物線對稱軸上是否存在一點E，使BE+DE的值最小，如果有，寫出點E的坐標(biāo)；如果沒有，說明理由．
【答案】(1)y＝
(2)△ABD的面積為6
(3)存在，點E的坐標(biāo)為(﹣1，﹣)
【分析】（1）利用待定系數(shù)法將A，B，C三點坐標(biāo)代入拋物線解析式，解方程組即可求得結(jié)論；
（2）利用拋物線解析式求得點D坐標(biāo)，利用點的坐標(biāo)表示出線段OA，OB，OD的長度，根據(jù)三角形的面積公式即可求得結(jié)論；
（3）連接AD交對稱軸于點E，則此時BD+BE最??；分別求得對稱軸方程和直線AD的解析式，聯(lián)立后解方程組即可求得點E坐標(biāo)．
（1）
∵物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過點A（﹣4，0），B（2，0），C（﹣2，﹣2），
∴，
解得：．
∴拋物線的解析式為y＝．
（2）
令x＝0，則y＝﹣2，
∴D（0，﹣2）．
∴OD＝2．
∵A（﹣4，0），B（2，0），
∴OA＝4，OB＝2，
∴AB＝OA+OB＝6．
∴AB?AD＝×6×2＝6．
∴△ABD的面積為6．
（3）
在拋物線對稱軸上存在一點E，使BE+DE的值最小，理由：
∵y＝＝＝，
∴拋物線y＝的對稱軸為直線x＝﹣1．
連接AD交對稱軸于點E，則此時BD+BE最小，如圖，
設(shè)直線AD的解析式為y＝kx+m，由題意得：
，
解得：．
∴直線AD的解析式為y＝﹣x﹣2．
∴．
解得：．
∴E（﹣1，﹣）．
∴拋物線對稱軸上存在一點E，使BE+DE的值最小，點E的坐標(biāo)為（﹣1，﹣）
【點睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，主要考查了待定系數(shù)法確定函數(shù)的解析式，二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)的特征，一次函數(shù)圖象的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，利用點的坐標(biāo)表示出相應(yīng)線段的長度是解題的關(guān)鍵．
3．（2021·河南·睢縣第二中學(xué)九年級期中）如圖，拋物線經(jīng)過A(﹣1，0)，B(3，0)，C(0，)三點．
(1)求拋物線的解析式；
(2)在拋物線的對稱軸上有一點P，使PA+PC的值最小，求點P的坐標(biāo)；
(3)點M為x軸上一動點，在拋物線上是否存在一點N，使以A，C，M，N四點構(gòu)成的四邊形為平行四邊形？若存在，求點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)（1，1）
(3)存在，，，，，
【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；
（2）因為點A關(guān)于對稱軸對稱的點B的坐標(biāo)為（3，0），連接BC交對稱軸直線于點P，求出P點坐標(biāo)即可；
（3）分點N在x軸下方或上方兩種情況進行討論．
（1）
解：設(shè)拋物線的解析式為，
，，三點在拋物線上，
，
解得．
拋物線的解析式為：．
（2）
拋物線的解析式為，
其對稱軸為直線：．
連接，設(shè)直線的解析式為，
，，
解得．
直線的解析式為．
當(dāng)時，．
；
（3）
存在．如圖2所示．
①當(dāng)點在軸上方時，
拋物線的對稱軸為直線，，
；
②當(dāng)點在軸下方時，
如圖，過點作軸于點，
△△．
，即點的縱坐標(biāo)為．
．解得或，
，，，．
綜上所述，點的坐標(biāo)為，，，，．
【點睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合知識，涉及到用待定系數(shù)法求一次函數(shù)與二次函數(shù)的解析式、平行四邊的判定與性質(zhì)、全等三角形等知識，在解答（3）時要注意進行分類討論．
考點四已知頂點式求二次函數(shù)的解析式
例題：（2020·浙江省義烏市廿三里初級中學(xué)九年級階段練習(xí)）已知拋物線經(jīng)過點，，三點，求拋物線的解析式．
【答案】
【分析】解法一：根據(jù)A（﹣2，0），B（，0），可設(shè)交點式，代入C點坐標(biāo)即可求得二次函數(shù)的解析式；
解法二：可設(shè)一般式，代入A、B、C點坐標(biāo)即可求二次函數(shù)的解析式．
【詳解】解：解法一：設(shè)
代入C（0，2）得
解得：
，
∴，
解法二：設(shè)
代入A（﹣2，0），B（，0），C（0，2）三點，得
，解得：
，
【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當(dāng)已知拋物線上三點時，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當(dāng)已知拋物線的頂點或?qū)ΨQ軸時，常設(shè)其解析式為頂點式來求解；當(dāng)已知拋物線與x軸有兩個交點時，可選擇設(shè)其解析式為交點式來求解．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·廣東·揭陽市實驗中學(xué)模擬預(yù)測）如圖，已知拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，拋物線的頂點為，連接．
(1)求此拋物線的解析式；
(2)拋物線對稱軸上是否存在一點，使得？若存在，求出點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)存在，，
【分析】（1）設(shè)拋物線的解析式為，再把代入求出的值即可；
（2）根據(jù)（1）中拋物線的解析式，求出拋物線的對稱軸及頂點坐標(biāo)，設(shè)出點的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線的解析式，求出點的坐標(biāo)，所以可得出的面積，進而得出點的坐標(biāo)．
（1）
解：∵拋物線與x軸交于，兩點，
∴設(shè)拋物線的解析式為，
∵過點，
∴，解得，
∴拋物線的解析式為，即；
（2）
解：∵拋物線的解析式為；
∴其對稱軸，頂點的坐標(biāo)為，
∵點在拋物線的對稱軸上，
∴設(shè)，
∵，，
∴設(shè)過點、的直線解析式為，
∴，解得，
∴直線的解析式為，
∴直線與軸的交點的坐標(biāo)為，
∴，
∴，
∵，
∴，解得，
當(dāng)點在點上方時，，解得，
∴此時；
當(dāng)點在點下方時，，解得，
∴此時，
綜上所述，可得：，．
【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、求二次函數(shù)解析式、三角形的面積公式，解本題的關(guān)鍵在明確題意，利用二次函數(shù)性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合思想解答問題．
2．（2022·吉林·安圖縣第三中學(xué)九年級階段練習(xí)）已知關(guān)于x的二次函數(shù)的圖象與x軸交于（-1，0），(3，0)兩點，且圖象過點(0，3)，
(1)求這個二次函數(shù)的解析式；
(2)寫出它的開口方向、對稱軸
【答案】(1)
(2)開口向下，對稱軸為直線
【分析】（1）設(shè)這個二次函數(shù)的解析式為，然后把點(0，3)代入，即可求解；
（2）把二次函數(shù)的解析式化為頂點式，即可求解．
（1）
解：設(shè)這個二次函數(shù)的解析式為，
把點(0，3)代入得：，
解得：，
∴這個二次函數(shù)的解析式為；
（2）
解：∵，
∴二次函數(shù)開口向下，
∵，
∴二次函數(shù)的對稱軸為直線．
【點睛】本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當(dāng)已知拋物線上三點時，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當(dāng)已知拋物線的頂點或?qū)ΨQ軸時，常設(shè)其解析式為頂點式來求解；當(dāng)已知拋物線與x軸有兩個交點時，可選擇設(shè)其解析式為交點式來求解．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．
3．（2022·河南·開封市東信學(xué)校九年級階段練習(xí)）如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過A（﹣1，0），B（3，0）．C（0，﹣3）三點，直線l是拋物線的對稱軸．
(1)求拋物線的函數(shù)解析式；
(2)設(shè)點M是直線l上的一個動點，當(dāng)點M到點A，點C的距離之和最短時，求點M的坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用兩點式和待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；
（2）連接BC，BC與直線l的交點即為M．
（1）
解：設(shè)二次函數(shù)的解析式為：，
將點C（0，﹣3）代入得：，
解得：，
∴；
∴函數(shù)的解析式為：．
（2）
解：拋物線的對稱軸為：；
點A關(guān)于直線l的對稱點為點B，
連接BC，則BC是點M到點A，點C的距離之和的最小值，
設(shè)直線BC的解析式為：，則：
，解得：，
∴，
設(shè)，代入得：
，
∴．
【點睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，準(zhǔn)確求出函數(shù)的解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)進行解題是解題的關(guān)鍵．本題的動點問題是將軍飲馬問題，找到定點的對稱點，與另一個定點形成的線段即為最短距離．
考點五已知交點式求二次函數(shù)的解析式
例題：（2021·寧夏·石嘴山市第九中學(xué)九年級期中）已知拋物線的頂點為P（﹣2，3），且過A（﹣3，0），求此二次函數(shù)的解析式．
【答案】
【分析】設(shè)拋物線的頂點式，將頂點P（﹣2，3）及點A（﹣3，0）代入即可解答．
【詳解】解：設(shè)二次函數(shù)解析式為：，
∵頂點坐標(biāo)為P（﹣2，3），
∴，
將點A（﹣3，0）代入得，解得：，
∴．
【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，根據(jù)題目給出的條件，正確設(shè)出二次函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·湖北·浠水縣蘭溪鎮(zhèn)河口中學(xué)九年級階段練習(xí)）已知某二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點（2，-6），當(dāng)x＝1時，函數(shù)的最大值為-4，求此二次函數(shù)的解析式．
【答案】
【分析】根據(jù)題意得到拋物線的頂點坐標(biāo)為（1，-4），于是可設(shè)頂點式，然后把（2，-6）代入求出a的值即可．
【詳解】解：∵當(dāng)x=1時，函數(shù)的最大值為-4，
∴拋物線的頂點坐標(biāo)為（1，-4），
設(shè)所求二次函數(shù)解析式為，
把（2，-6）代入得，解得a=-2，
∴此二次函數(shù)解析式為．
【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當(dāng)已知拋物線上三點時，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當(dāng)已知拋物線的頂點或?qū)ΨQ軸時，常設(shè)其解析式為頂點式來求解；當(dāng)已知拋物線與x軸有兩個交點時，可選擇設(shè)其解析式為交點式來求解．
2．（2020·天津市西青區(qū)當(dāng)城中學(xué)九年級階段練習(xí)）拋物線的頂點坐標(biāo)為（3，－1）且經(jīng)過點（2，3），求該拋物線解析式．
【答案】
【分析】因為拋物線的頂點坐標(biāo)為M（3，﹣1），所以設(shè)此二次函數(shù)的解析式為，把點（2，3）代入解析式即可解答．
【詳解】解：已知拋物線的頂點坐標(biāo)為（3，﹣1），
設(shè)此二次函數(shù)的解析式為，
把點（2，3）代入解析式，得：
a﹣1＝3，即a＝4，
∴此函數(shù)的解析式為．
【點睛】本題考查了用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的方法．題目給出了二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)，則采用頂點式求解簡單．
3．（2020·天津市西青區(qū)張家窩中學(xué)九年級階段練習(xí)）已知二次函數(shù)圖像的頂點坐標(biāo)（-1，-3），且經(jīng)過點（1，5），求此二次函數(shù)的表達式．
【答案】
【分析】由于已知二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)，則可設(shè)頂點式，然后把（1，5）代入求出a即可．
【詳解】解：設(shè)二次函數(shù)的解析式為，
把（1，5）代入得a?4﹣3＝5，解得a＝2，
所以二次函數(shù)的解析式為．
即．
【點睛】本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當(dāng)已知拋物線上三點時，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當(dāng)已知拋物線的頂點或?qū)ΨQ軸時，常設(shè)其解析式為頂點式來求解；當(dāng)已知拋物線與x軸有兩個交點時，可選擇設(shè)其解析式為交點式來求解．
4．（2022·湖北武漢·九年級期中）已知拋物線經(jīng)過點(－1，0)，(3，0)，且函數(shù)有最小值－4．
(1)求拋物線的解析式；
(2)若0＜x＜4，求函數(shù)值y的取值范圍．
【答案】(1)（或）
(2)
【分析】（1）利用二次函數(shù)的對稱性可由拋物線經(jīng)過點(－1，0)，(3，0)，得到拋物線的對稱軸為直線，則拋物線的頂點坐標(biāo)為，于是可設(shè)頂點式，然后把代入求出a的值即可；
（2）求得和的函數(shù)值，即可求得結(jié)論．
（1）
∵拋物線經(jīng)過點(－1，0)，(3，0)，
∴拋物線的對稱軸為直線，
∵函數(shù)有最小值-4，
∴拋物線的頂點坐標(biāo)為，
設(shè)拋物線解析式為，
把代入得，解得，
∴拋物線的解析式為（或）．
（2）
∵，
∴拋物線開口向上，函數(shù)有最小值為，
當(dāng)時，，
∴當(dāng)時，函數(shù)值y的取值范圍是．
【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)圖像上點的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的性質(zhì)，求得頂點坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．
一、選擇題
1．（2022·云南·通?？h東麓中學(xué)九年級期中）若拋物線的頂點為，且經(jīng)過點A關(guān)于原點O的對稱點，則拋物線的解析式為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)題意得拋物線的解析式為，再求得點A關(guān)于原點O的對稱點的坐標(biāo)，代入求解即可
【詳解】解：∵拋物線的頂點為，
∴拋物線的解析式為，
∵點A關(guān)于原點O的對稱點，
∴，
把代入，
得，
解得：，
∴拋物線的解析式為，
故選：D
【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，關(guān)于原點對稱的點的特征，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)及待定系數(shù)法求解二次函數(shù)解析式的方法進行計算是解決本題的關(guān)鍵．
2．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+1，若當(dāng)x＝1時，y＝0；當(dāng)x＝﹣1時，y＝4，則a、b的值分別為（）
A．a(chǎn)＝1，b＝2B．a(chǎn)＝1，b＝﹣2C．a(chǎn)＝﹣1，b＝2D．a(chǎn)＝﹣1，b＝﹣2
【答案】B
【分析】把兩組對應(yīng)值分別代入y＝ax2+bx+1得到關(guān)于a、b的方程組，然后解方程組即可得到a和b的值．
【詳解】解：根據(jù)題意得，
解得a＝1，b＝﹣2．
故選：B．
【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，根據(jù)已知條件列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．
3．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的x、y的部分對應(yīng)值如下表所示，則下列判斷不正確的是（）
A．當(dāng)時，y隨x的增大而增大B．當(dāng)時，
C．頂點坐標(biāo)為(1，2)D．是方程的一個根
【答案】B
【分析】利用待定系數(shù)法求出二次函的解析式，得出頂點坐標(biāo)，可判斷選項C；由函數(shù)的增減性質(zhì)可判斷選項A；代入x=4，可求得y的值，可判斷選項B；由x=-1時，y=0，可判斷選項D；即可得出結(jié)論．
【詳解】解：由題意得：，解得，
∴二次函數(shù)y=ax2+bx+c的解析式為y=-x2+x+=-（x-1）2+2，
∴頂點坐標(biāo)為(1，2)，選項C不符合題意；
∵-開口向下，∴x＜1時，y隨x的增大而增大，
∴x＜0時，y隨x的增大而增大，選項A不符合題意；
當(dāng)x=4時，y=-2.5，選項B符合題意；
∵x=-1時，y=0，∴x=-1是方程的一個根，選項D不符合題意；
故選：B．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、拋物線與x軸的交點等知識．熟練掌握二次函數(shù)圖象的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
4．（2022·北京·日壇中學(xué)九年級期中）已知拋物線上的部分點的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的對應(yīng)值如表：
以下結(jié)論正確的是（）
A．拋物線的開口向下B．拋物線的對稱軸是軸
C．方程的根為0和2D．當(dāng)時，隨增大而增大
【答案】C
【分析】利用表中數(shù)據(jù)求出拋物線的解析式，根據(jù)二次函數(shù)解析式和性質(zhì)依次進行判斷即可.
【詳解】解：將代入拋物線的解析式得；
，解得：
所以拋物線的解析式為：
A、，拋物線開口向上，故選項錯誤，不符合題；
B、拋物線的對稱軸為直線，故選項錯誤，不符合題意；
C、方程的根為和，故選項正確，符合題意；
D、在時，y隨x增大而增大，故選項錯誤，不符合題意.
故選：C．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)的解析式的求法和函數(shù)的圖像與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：利用待定系數(shù)法求出解析式，然后利用函數(shù)的圖像及性質(zhì)解答．
二、填空題
5．（2021·信達外國語學(xué)校九年級期中）拋物線的頂點坐標(biāo)是，則該拋物線的解析式是__________．
【答案】
【分析】根據(jù)解析式可知，設(shè)頂點式即可求解．
【詳解】∵拋物線的頂點坐標(biāo)是，
設(shè)，
又∵，
∴，
即，
故答案為：．
【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求解析式，掌握頂點式是解題的關(guān)鍵．
6．（2022·天津市匯文中學(xué)九年級期中）已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點，且這個二次函數(shù)圖像的對稱軸是，則二次函數(shù)的解析式為___________．
【答案】
【分析】根據(jù)拋物線經(jīng)過點與對稱軸，用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式即可．
【詳解】解：二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點，且這個二次函數(shù)圖像的對稱軸是，
，
解得
二次函數(shù)的解析式為：；
故答案為：．
【點睛】此題考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，正確理解題意，準(zhǔn)確列出方程組是解答此題的關(guān)鍵．
7．（2022·北京市房山區(qū)燕山教委九年級期中）小聰在畫一個二次函數(shù)的圖象時，列出了下面幾組y與x的對應(yīng)值：
該二次函數(shù)的解析式是__________．
【答案】
【分析】設(shè)二次函數(shù)的解析式為，根據(jù)表格可把點代入解析式進行求解即可．
【詳解】解：設(shè)二次函數(shù)的解析式為，由表格可把點代入得：
，
解得：，
∴二次函數(shù)的解析式為；
故答案為．
【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的解析式，熟練掌握利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．
8．（2022·江蘇·九年級專題練習(xí)）二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，且a≠0）中的x與y的部分對應(yīng)值如表．下列結(jié)論：①ac＜0；②當(dāng)x＞1時，y的值隨x值的增大而減?。郛?dāng)x=4時，y=5；④3是方程ax2+（b-1）x+c=0的一個根；其中正確的有______ ．（填正確結(jié)論的序號）
【答案】①④##④①
【分析】利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式為y＝﹣x2+3x+3，然后判斷出①正確，②錯誤；再根據(jù)代自變量求函數(shù)值和一元二次方程的解法判定③④．
【詳解】解：將（﹣1，﹣1）、（0，3）、（1，5）代入y＝ax2+bx+c，
得，
解得：，
∴二次函數(shù)的解析式為y＝﹣x2+3x+3．
經(jīng)檢驗，當(dāng)x=3時，y=3滿足函數(shù)關(guān)系式.
①ac＝﹣1×3＝﹣3＜0，
∴結(jié)論①正確；
②∵y＝﹣x2+3x+3＝﹣（x?）2，
∴當(dāng)x時，y的值隨x值的增大而減小，
∴結(jié)論②不正確；
③當(dāng)x＝4時，y＝﹣42+3×4+3＝﹣1，
∴結(jié)論③不正確；
④ax2+（b﹣1）x+c＝﹣x2+2x+3＝﹣（x+1）（x－3）＝0，
∴x＝3是方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的一個根，
∴結(jié)論④正確；
故答案為：①④．
【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)以及因式分解法解一元二次方程，根據(jù)點的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．
三、解答題
9．（2022·福建·龍巖蓮東中學(xué)九年級期中）若二次函數(shù)圖象經(jīng)過，求此二次函數(shù)的解析式．
【答案】
【分析】根據(jù)題意可設(shè)拋物線解析式為，再利用待定系數(shù)法求解即可．
【詳解】解：根據(jù)題意可設(shè)拋物線解析式為，
將點代入，得：，
解得：，
∴該二次函數(shù)解析式為，
即．
【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的的解析式，屬于基本題型，熟練掌握求解的方法是關(guān)鍵．
10．（2022·北京市回民學(xué)校九年級期中）已知二次函數(shù)的圖像頂點為，且經(jīng)過點．求這個二次函數(shù)的表達式．
【答案】
【分析】由于已知拋物線的頂點坐標(biāo)，則可設(shè)頂點式，然后把代入求出a的值即可．
【詳解】解：設(shè)拋物線解析式為，
把代入得，
解得，
所以拋物線解析式為．
【點睛】本題考查了用定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當(dāng)已知拋物線上三點時，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當(dāng)已知拋物線的頂點或?qū)ΨQ軸時，常設(shè)其解析式為頂點式來求解；當(dāng)已知拋物線與x軸有兩個交點時，可選擇設(shè)其解析式為交點式來求．
11．（2022·廣東·廣州市第二中學(xué)九年級期中）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，對稱軸為直線，函數(shù)的最小值為．
(1)求此函數(shù)的解析式；
(2)當(dāng)y隨x的增大而增大時，x的取值范圍為______（請直接寫出答案）．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．
【詳解】（1）設(shè)二次函數(shù)的解析式為，
∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，
∴，解得
∴．
（2）∵二次函數(shù)，對稱軸為直線，
∴開口向上，
∴y隨x的增大而增大時，．
故答案為：．
【點睛】此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是求出二次函數(shù)解析式．
12．（2022·福建·漳州三中九年級期中）已知：二次函數(shù)中的x和y滿足下表：
(1)m的值為；
(2)當(dāng)時，則y的取值范圍為；
(3)求出這個二次函數(shù)的解析式．
【答案】(1)3
(2)
(3)
【分析】（1）觀察表格可知當(dāng)與當(dāng)時的函數(shù)值相同，即可得到拋物線對稱軸，然后根據(jù)對稱性可直接得出m的值；
（2）根據(jù)（1）中求出的對稱軸，結(jié)合表中數(shù)據(jù)得到拋物線的頂點坐標(biāo)，即可得出y的取值范圍；
（3）代入表格中前三組值，運用待定系數(shù)法求解即可．
【詳解】（1）解：由表格得當(dāng)與當(dāng) 時的函數(shù)值相同，
二次函數(shù)的對稱軸為直線，
當(dāng)時與時的函數(shù)值相同，
的值為3；
（2）解：二次函數(shù)的對稱軸為直線，當(dāng)時，，
拋物線的頂點坐標(biāo)為，
結(jié)合表中數(shù)據(jù)可知，
當(dāng)時，y的取值范圍為；
（3）解：由題意得：
，
∴，
∴二次函數(shù)解析式為．
【點睛】本題主要考查了求二次函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)的對稱性求函數(shù)值，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的對稱性．
13．（2022·浙江·溫州繡山中學(xué)九年級期中）如圖，拋物線經(jīng)過點，，與軸交于點．
(1)求該拋物線的函數(shù)表達式和對稱軸．
(2)點在射線上，過點作軸的平行線交拋物線于點，（點在點的左側(cè)）．若，求點的坐標(biāo)．
【答案】(1)，對稱軸為直線
(2)
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解函數(shù)表達式，再利用對稱軸公式求解即可；
（2）設(shè)點的橫坐標(biāo)為，由對稱性質(zhì)得，根據(jù)得，然后解方程即可求解．
【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過點，，
∴，解得：，
∴該拋物線的函數(shù)表達式為，對稱軸為直線；
（2）解：設(shè)點的橫坐標(biāo)為，由對稱性質(zhì)得，
∵，
∴，則，
解得：，
當(dāng)時，，
∴點的坐標(biāo)為．
【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的表達式、二次函數(shù)的性質(zhì)、解一元一次方程等知識，正確求出函數(shù)表達式，并會利用對稱性表示出的長是解答關(guān)鍵．
14．（2021·內(nèi)蒙古·呼和浩特市實驗中學(xué)察哈爾校區(qū)九年級期中）已知，二次函數(shù)（a≠0）中的x，y滿足下表：
(1)求該二次函數(shù)的解析式；
(2)m的值為________；
(3)若、兩點都在該函數(shù)的圖象上，且，試比較與的大?。?br>【答案】(1)
(2)0
(3)
【分析】（1）從表格中選取3組解，利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式；
（2）觀察表格知是二次函數(shù)的對稱軸，關(guān)于對稱，可得；
（3）根據(jù)函數(shù)的增減性來判斷較與的大?。?br>【詳解】（1）解：把點，，分別代入中，得
，
解得，
∴這個二次函數(shù)的關(guān)系式為：；
（2）由已知表格可得
函數(shù)的對稱軸為，
∴．
故答案為：0；
（3）解：∵，
∴，
∵對稱軸為，
A、B兩點位于對稱軸的左側(cè)，
又因為拋物開口向上，
∴，
故答案為：．
【點睛】此題主要考查一元二次方程與函數(shù)的關(guān)系，函數(shù)與x軸的交點的橫坐標(biāo)就是方程的根，此題從表格中找函數(shù)的對稱軸，從而來運用函數(shù)的增減性來解題．
15．（2022·北京四中九年級期中）已知，拋物線：經(jīng)過點，．
(1)求拋物線的對稱軸；
(2)平移拋物線：，使其頂點在直線上，設(shè)平移后的拋物線的頂點的橫坐標(biāo)為．求拋物線與軸交點的縱坐標(biāo)的最大值．
(3)在（2）的條件下，拋物線與軸交于點，將其向左平移2個單位得到點，若拋物線與線段只有1個公共點，直接寫出的取值范圍．
【答案】(1)直線
(2)拋物線與軸交點的縱坐標(biāo)的最大值為．
(3)當(dāng)拋物線與線段只有一個交點時，的范圍為：或
【分析】（1）把點，代入拋物線的解析式，再利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式，再求解對稱軸方程即可；
（2）設(shè)平移后的拋物線的頂點為：平移后的拋物線的解析式為：再令建立二次函數(shù)的關(guān)系式，從而可得答案；
（3）由平移先秋季由平移后的拋物線的解析式為：分兩種情況討論：當(dāng)拋物線的頂點在上時，此時拋物線與線段只有一個交點，當(dāng)拋物線過點時，可得：結(jié)合（2）可得答案．
【詳解】（1）解：∵拋物線：經(jīng)過點，，
∴ 解得：
∴拋物線為：
∴拋物線的對稱軸為直線
（2）∵拋物線的頂點坐標(biāo)為：
∵平移拋物線：，使其頂點在直線上，
∴設(shè)平移后的拋物線的頂點為：
∴平移后的拋物線的解析式為：
當(dāng)時，
∴拋物線與軸交點的縱坐標(biāo)的最大值為．
（3）∵
∴
∵平移后的拋物線的解析式為：
∴當(dāng)拋物線的頂點在上時，此時拋物線與線段只有一個交點，
∴
解得：
由②得：當(dāng)時，拋物線為：
當(dāng)時，此時
解得：
此時拋物線剛好經(jīng)過兩點，
當(dāng)拋物線過點時，
∴
整理得：
解得：
∴當(dāng)拋物線與線段只有一個交點時，
綜上：當(dāng)拋物線與線段只有一個交點時，的范圍為：或
【點睛】本題考查的是利用待定系數(shù)法求解拋物線的解析式，構(gòu)建二次函數(shù)利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決實際問題，拋物線與線段的交點問題，靈活的運用二次函數(shù)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．
x
0
1
2
y
0
1.5
2
1.5
…
0
1
2
3
…
…
3
0
3
…
x
…
0
1
2
3
4
5
…
y
…
5
0
0
…
x
-1
0
1
3
y
-1
3
5
3
x
…
0
1
2
3
4
5
…
y
3
0
0
m
8
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
……
0
﹣3
﹣4
﹣3
m
…

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