一、解答題
1．(2023·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）二次函數(shù)的圖像經(jīng)過A(2，1)，B(-1，-2)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式．
2．(2023·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知二次函數(shù)的圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，2），這個(gè)圖像經(jīng)過平移能與的圖像重合，求這個(gè)二次函數(shù)的解析式．
3．(2023·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知二次函數(shù)圖像經(jīng)過下列點(diǎn)，求二次函數(shù)的解析式：
（1）（0，-1），（1，-1），（2，3）
（2）（0，0），（2，0），（-3，3）
4．(2023·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知拋物線頂點(diǎn)為（2，3），且經(jīng)過（1，2）求二次函數(shù)解析式．
5．(2023·上海民辦蘭生復(fù)旦中學(xué)九年級(jí)月考）已知拋物線與軸交于點(diǎn)（-3，0）、（5，0），與y軸交于（0，1），求拋物線的函數(shù)解析式．
6．(2023·上海九年級(jí)專題練習(xí)）拋物線上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)x，縱坐標(biāo)y的對(duì)應(yīng)值如下表：
求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式，并利用配方法求出此拋物線的對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)
7．(2023·上海市民辦文綺中學(xué)九年級(jí)期中）已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)A(1，0)，與軸正半軸交于點(diǎn)，且的正切值為3．
（1）求次拋物線的解析式，并寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）將次拋物線向左右平移后經(jīng)過原點(diǎn)，試確定拋物線平移的方向和平移的距離．
8．(2023·上海）在平面直角坐標(biāo)系中，已知，點(diǎn)（3，0）、（－2，5）、（0，－3）．求經(jīng)過點(diǎn)、、的拋物線的表達(dá)式．
9．(2023·上海九年級(jí)一模）如圖，已知對(duì)稱軸為直線的拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，其中點(diǎn)的坐標(biāo)為．

（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)及拋物線的表達(dá)式；
（2）記拋物線的頂點(diǎn)為，對(duì)稱軸與線段的交點(diǎn)為，將線段繞點(diǎn)，按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，請(qǐng)判斷旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是否還在拋物線上，并說明理由；
（3）在軸上是否存在點(diǎn)，使與相似？若不存在，請(qǐng)說明理由；若存在請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)（不必書寫求解過程）．
10．(2023·上海九年級(jí)一模）我們已經(jīng)知道二次函數(shù)的圖像是一條拋物線．研究二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，我們主要關(guān)注拋物線的對(duì)稱軸、拋物線的開口方向、拋物線的最高點(diǎn)（或最低點(diǎn)）的坐標(biāo)、拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)、拋物線的上升或下降情況（沿x軸的正方向看）．
已知一個(gè)二次函數(shù)的大致圖像如圖所示．
（1）你可以獲得該二次函數(shù)的哪些信息？（寫出四條信息即可）
（2）依據(jù)目前的信息，你可以求出這個(gè)二次函數(shù)的解析式嗎？如果可以，請(qǐng)求出這個(gè)二次函數(shù)的解析式；如果不可以，請(qǐng)補(bǔ)充一個(gè)條件，并求出這個(gè)二次函數(shù)的解析式．
11．(2023·上海九年級(jí)專題練習(xí)）已知拋物線與軸交于點(diǎn)，它的頂點(diǎn)為，對(duì)稱軸是直線．
（1）求此拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）將上述拋物線向下平移個(gè)單位，所得新拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，設(shè)新拋物線的頂點(diǎn)為，請(qǐng)判斷的形狀，并說明理由．
12．(2023·上海九年級(jí)專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，直線與直線相交于點(diǎn)，拋物線經(jīng)過點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）若拋物線向上平移兩個(gè)單位后，經(jīng)過點(diǎn)，求拋物線的表達(dá)式；
（3）若拋物線與 關(guān)于軸對(duì)稱，且這兩條拋物線的頂點(diǎn)分別是點(diǎn)與點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求拋物線 的表達(dá)式．
13．(2023·上海九年級(jí)期中）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，
（1）求該拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）將拋物線平移，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，點(diǎn)落在點(diǎn)處，求的面積；
（3）如果點(diǎn)在軸上，與相似，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
14．(2023·上海九年級(jí)二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知B（0，2），C（1，﹣），點(diǎn)A在x軸正半軸上，且OA＝2OB，拋物線y＝ax2＋bx（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)A、C．
（1）求這條拋物線的表達(dá)式；
（2）將拋物線先向右平移m個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，此時(shí)點(diǎn)C恰好落在直線AB上的點(diǎn)C′處，求m的值；
（3）設(shè)點(diǎn)B關(guān)于原拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為B′，聯(lián)結(jié)AC，如果點(diǎn)F在直線AB′上，∠ACF＝∠BAO，求點(diǎn)F的坐標(biāo)．
15．(2023·上海九年級(jí)三模）如圖，在直角坐標(biāo)平面xOy內(nèi)，點(diǎn)A在x軸的正半軸上，點(diǎn)B在第一象限內(nèi)，且∠OAB＝90°，∠BOA＝30°，OB＝4.，二次函數(shù)y＝﹣x2＋bx的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，頂點(diǎn)為點(diǎn)C．
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式，并寫出頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）設(shè)這個(gè)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸l與OB相交于點(diǎn)D，與x軸相交于點(diǎn)E，求的值；
（3）設(shè)P是這個(gè)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸l上一點(diǎn)，如果△POA的面積與△OCE的面積相等，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
16．(2023·上海九年級(jí)專題練習(xí)）已知：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（5，0）、B（-3，4），拋物線的對(duì)稱軸與x軸相交于點(diǎn)D．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）聯(lián)結(jié)OB、BD．求∠BDO的余切值；
（3）如果點(diǎn)P在線段BO的延長線上，且∠PAO =∠BAO，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
17．(2023·上海）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，3），頂點(diǎn)為G．
（1）求拋物線和直線AC的解析式；
（2）如圖，設(shè)E（m，0）為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，若△CGE和△CGO的面積滿足S△CGE＝43S△CGO，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）如圖，設(shè)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度沿x軸向右運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts，點(diǎn)M為射線AC上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作MN∥x軸交拋物線對(duì)稱軸右側(cè)部分于點(diǎn)N．試探究點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在以P，M，N為頂點(diǎn)的三角形為等腰直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
18．（2017·上海徐匯區(qū)·九年級(jí)二模）如圖，已知拋物線y＝ax2+4（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B（2，0），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是拋物線在第一象限的點(diǎn)．
（1）當(dāng)△ABD的面積為4時(shí)，
①求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
②聯(lián)結(jié)OD，點(diǎn)M是拋物線上的點(diǎn)，且∠MDO＝∠BOD，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）直線BD、AD分別與y軸交于點(diǎn)E、F，那么OE+OF的值是否變化，請(qǐng)說明理由．
19．(2023·上海）如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣3經(jīng)過點(diǎn)A（2，﹣3），與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，且OC＝3OB．
（1）求拋物線的解析式；
（2）拋物線的對(duì)稱軸上有一點(diǎn)P，使PB+PC的值最小，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)M在拋物線上，點(diǎn)N在拋物線的對(duì)稱軸上，是否存在以點(diǎn)A，B，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
20．(2023·安徽九年級(jí)二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中（如圖），已知拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)B （4，0）、D （5，3），設(shè)它與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），且△ABD的面積是3．
（1）求該拋物線的表達(dá)式；
（2）求∠ADB的正切值；
（3）若拋物線與y軸交于點(diǎn)C，直線CD交x軸于點(diǎn)E，點(diǎn)P在射線AD上，當(dāng)△APE與△ABD相似時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
21．(2023·上海九年級(jí)專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，對(duì)稱軸是直線．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）直線平行于軸，與拋物線交于、兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），且，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，求線段的長；
（3）點(diǎn)是該拋物線上一點(diǎn)，且在第一象限內(nèi)，聯(lián)結(jié)、，交線段于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
22．(2023·上海九年級(jí)二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)，對(duì)稱軸是直線，頂點(diǎn)為點(diǎn)，拋物線與軸交于點(diǎn)．
（1）求拋物線的表達(dá)式和點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）將上述拋物線向下平移個(gè)單位，平移后的拋物線與軸正半軸交于點(diǎn)，求的面積；
（3）如果點(diǎn)在原拋物線上，且在對(duì)稱軸的右側(cè)，聯(lián)結(jié)交線段于點(diǎn)，，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
23．(2023·上海九年級(jí)專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線yx+4m（m＞0）與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，如圖所示，點(diǎn)C在線段AB的延長線上，且AB＝2BC．
（1）用含字母m的代數(shù)式表示點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）拋物線ybx+10經(jīng)過點(diǎn)A、C，求此拋物線的表達(dá)式；
（3）在位于第四象限的拋物線上，是否存在這樣的點(diǎn)P：使S△PAB＝2S△OBC，如果存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，如果不存在，試說明理由．
24．(2023·上海九年級(jí)二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝x2+bx經(jīng)過點(diǎn)A（2，0）．直線y＝x﹣2與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求這條拋物線的表達(dá)式和頂點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）將拋物線y＝x2+bx向右平移，使平移后的拋物線經(jīng)過點(diǎn)B，求平移后拋物線的表達(dá)式；
（3）將拋物線y＝x2+bx向下平移，使平移后的拋物線交y軸于點(diǎn)D，交線段BC于點(diǎn)P、Q，（點(diǎn)P在點(diǎn)Q右側(cè)），平移后拋物線的頂點(diǎn)為M，如果DP∥x軸，求∠MCP的正弦值．
25．(2023·上海九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+4經(jīng)過點(diǎn)A（﹣3，0）和點(diǎn)B（3，2），與y軸相交于點(diǎn)C．
（1）求這條拋物線的表達(dá)式；
（2）點(diǎn)P是拋物線在第一象限內(nèi)一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)AP，如果點(diǎn)C關(guān)于直線AP的對(duì)稱點(diǎn)D恰好落在x軸上，求直線AP的截距；
（3）在（2）小題的條件下，如果點(diǎn)E是y軸正半軸上一點(diǎn)，點(diǎn)F是直線AP上一點(diǎn)．當(dāng)△EAO與△EAF全等時(shí)，求點(diǎn)E的縱坐標(biāo)．
26．(2023·上海市民辦新竹園中學(xué)九年級(jí)月考）下表中給出了變量x與ax2，ax2+bx+c之間的部分對(duì)應(yīng)值(表格中的符號(hào)“…”表示該項(xiàng)數(shù)據(jù)已經(jīng)丟失)
（1）寫出這條拋物線的開口方向，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；并說明它的變化情況；
（2）拋物線的頂點(diǎn)為D，與y軸的交點(diǎn)為A，點(diǎn)M是拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，直線AM交對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線于點(diǎn)B，當(dāng)△ADM與△BDM的面積比為2：3時(shí)，求點(diǎn)B的坐標(biāo)：
（3）在（2）的條件下，設(shè)線段BD交x軸于點(diǎn)C，試寫出∠BAD與∠DCO的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
27．(2023·上海九年級(jí)一模）已知拋物線經(jīng)過 ，兩點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸與軸交于點(diǎn)，點(diǎn) 與點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，聯(lián)結(jié)、．
（1）求該拋物線的表達(dá)式以及對(duì)稱軸；
（2）點(diǎn)在線段上，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn) 的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)在對(duì)稱軸上，點(diǎn)在拋物線上，當(dāng)以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求這個(gè)平行四邊形的面積．
28．(2023·上海九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸正半軸交于點(diǎn)A（4，0），與y軸交于點(diǎn)B（0，2），點(diǎn)C在該拋物線上且在第一象限．
（1）求該拋物線的表達(dá)式；
（2）將該拋物線向下平移m個(gè)單位，使得點(diǎn)C落在線段AB上的點(diǎn)D處，當(dāng)AD＝3BD時(shí)，求m的值；
（3）聯(lián)結(jié)BC，當(dāng)∠CBA＝2∠BAO時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．
29．(2023·上海普陀區(qū)·九年級(jí)二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中（如圖），已知拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（﹣2，0）、B（6，0），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是在第四象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線AD與直線BC交于點(diǎn)E．
（1）求b、c的值和直線BC的表達(dá)式；
（2）設(shè)∠CAD＝45°，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為d，用含d的代數(shù)式表示△ACE與△DCE的面積比．
30．(2023·上海九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸正半軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)在該拋物線上且在第一象限．
（1）求該拋物線的表達(dá)式；
（2）將該拋物線向下平移個(gè)單位，使得點(diǎn)落在線段上的點(diǎn)處，當(dāng)時(shí)，求的值；
（3）聯(lián)結(jié)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
31．(2023·上海中考真題）已知拋物線過點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)A在直線上且在第一象限內(nèi)，過A作軸于B，以為斜邊在其左側(cè)作等腰直角．
①若A與Q重合，求C到拋物線對(duì)稱軸的距離；
②若C落在拋物線上，求C的坐標(biāo)．
32．（2017·上海長寧區(qū)·）已知△OAB在直角坐標(biāo)系中的位置如圖，點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)B在x軸正半軸上，OA＝OB＝6，∠AOB＝30°．
（1）求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；
（2）開口向上的拋物線經(jīng)過原點(diǎn)O和點(diǎn)B，設(shè)其頂點(diǎn)為E，當(dāng)△OBE為等腰直角三角形時(shí)，求拋物線的解析式；
（3）設(shè)半徑為2的⊙P與直線OA交于M、N兩點(diǎn)，已知，P（m，2）（m＞0），求m的值．
33．(2023·上海）在平面直角坐標(biāo)系中（如圖），已知二次函數(shù)（其中a、b、c是常數(shù)，且a≠0）的圖像經(jīng)過點(diǎn)A（0，-3）、B（1，0）、C（3，0），聯(lián)結(jié)AB、AC．
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；
（2）點(diǎn)D是線段AC上的一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)BD，如果，求tan∠DBC的值；
（3）如果點(diǎn)E在該二次函數(shù)圖像的對(duì)稱軸上，當(dāng)AC平分∠BAE時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．
34．(2023·上海九年級(jí)二模）已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是該拋物線上一點(diǎn)，且在第四象限內(nèi)，連接．
（1）求拋物線的函數(shù)解析式，并寫出對(duì)稱軸；
（2）當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，如果點(diǎn)是軸上一點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．
二、填空題
35．(2023·上海崇明區(qū)·九年級(jí)二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，等腰直角三角形OAB的斜邊OA在x軸上，且OA＝4，如果拋物線y＝ax2+bx+c向下平移4個(gè)單位后恰好能同時(shí)經(jīng)過O、A、B三點(diǎn)，那么a+b+c＝_____．
x
…
0
1
2
…
y
…
0
4
6
6
4
…
x
-1
0
1
ax2
…
…
1
ax2+ bx + c
7
2
…
專題05待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式重難點(diǎn)專練（解析版）
學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________
一、解答題
1．二次函數(shù)的圖像經(jīng)過A(2，1)，B(-1，-2)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式．
【來源】上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)上學(xué)期滬教版五四制第二十六章26.2特殊的二次函數(shù)圖像
答案:
分析：
利用待定系數(shù)法將A（２，１）、B（?1，?2）分別代入y＝ax2＋c，求出a，c的值即可．
【詳解】
把A（2，1），B(-1，-2)分別代入y＝ax2＋c，
得，
解得，
∴解析式為
【點(diǎn)睛】
此題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，根據(jù)已知將A，B代入求出是解題關(guān)鍵．
2．已知二次函數(shù)的圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，2），這個(gè)圖像經(jīng)過平移能與的圖像重合，求這個(gè)二次函數(shù)的解析式．
【來源】上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)上學(xué)期滬教版五四制第二十六章26.3二次函數(shù)的圖像
答案:二次函數(shù)的解析式是
分析：
根據(jù)經(jīng)過平移后能與拋物線y=-6x2重合可知a=-6，再由二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，2）即可得出結(jié)論．
【詳解】
解析：∵這個(gè)圖像經(jīng)過平移能與的圖像重合
∴ ，
∵ 頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，2）
∴這個(gè)二次函數(shù)的解析式是
【點(diǎn)睛】
本題考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知圖形平移不變性的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．
3．已知二次函數(shù)圖像經(jīng)過下列點(diǎn)，求二次函數(shù)的解析式：
（1）（0，-1），（1，-1），（2，3）
（2）（0，0），（2，0），（-3，3）
【來源】上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)上學(xué)期滬教版五四制第二十六章26.3二次函數(shù)的圖像
答案:（1）；（2）
分析：
（1）設(shè)二次函數(shù)解析式為y=ax2+bx+c，利用待定系數(shù)法求解即可．
（2）設(shè)二次函數(shù)的解析式為，然后代入（-3，3）用待定系數(shù)法即可求得．
【詳解】
解：(1)設(shè)
把點(diǎn)（1，-1），（2，3）代入解析式得，
，
解得，
∴解析式為
(2)設(shè)
把點(diǎn)（-3，3）代入解析式得，
，
解得，
∴解析式為
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式的方法，熟練掌握待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．
4．已知拋物線頂點(diǎn)為（2，3），且經(jīng)過（1，2）求二次函數(shù)解析式．
【來源】上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)上學(xué)期滬教版五四制第二十六章26.3二次函數(shù)的圖像
答案:二次函數(shù)解析式為
分析：
因?yàn)閽佄锞€的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3），所以設(shè)此二次函數(shù)的解析式為y=a（x-2）2+3，把點(diǎn)（1，2）代入解析式即可解答．
【詳解】
解：已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3），
設(shè)，
把點(diǎn)（1，2）代入解析式，得：
，
解得，
∴二次函數(shù)解析式為
【點(diǎn)睛】
本題考查了用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的方法．若題目給出了二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，則采用頂點(diǎn)式求解簡單．
5．已知拋物線與軸交于點(diǎn)（-3，0）、（5，0），與y軸交于（0，1），求拋物線的函數(shù)解析式．
【來源】上海市蘭生復(fù)旦2018-2019學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期 9月月考數(shù)學(xué)試題
答案:．
分析：
將拋物線解析式設(shè)為交點(diǎn)式，再將(0,1)代入函數(shù)解析式，求出未知參數(shù)a的值即可．
【詳解】
解：設(shè)拋物線解析式為，
把(0,1)代入解析式得：，
解得：，
拋物線的函數(shù)解析式為：，
即．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式的方法，本題關(guān)鍵在于根據(jù)已知的與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)將函數(shù)解析式設(shè)為交點(diǎn)式求解．
6．拋物線上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)x，縱坐標(biāo)y的對(duì)應(yīng)值如下表：
求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式，并利用配方法求出此拋物線的對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)
【來源】專題3.5 二次函數(shù)-備戰(zhàn)2021年中考數(shù)學(xué)精選考點(diǎn)專項(xiàng)突破題集（上海專用）
答案:y=-x2+x+6，對(duì)稱軸方程為直線x=，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，）．
分析：
把點(diǎn)（0，6）代入求出c，把點(diǎn)（-1，4）和（1，6）代入得出，求出a、b，再利用x=-得出拋物線的對(duì)稱軸方程，代入二次函數(shù)的表達(dá)式，即可求出答案．
【詳解】
解：（1）由表得，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）過點(diǎn)（0，6），
∴c=6，
∵拋物線y=ax2+bx+6過點(diǎn)（-1，4）和（1，6），
∴，
解得：，
∴二次函數(shù)的表達(dá)式為：y=-x2+x+6；
∴拋物線的對(duì)稱軸方程為直線x=，
∵當(dāng)x=時(shí)，y=，
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，）；
【點(diǎn)睛】
本題考查了用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式的應(yīng)用，能求出二次函數(shù)的解析式是解此題的關(guān)鍵．
7．已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)A(1，0)，與軸正半軸交于點(diǎn)，且的正切值為3．
（1）求次拋物線的解析式，并寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）將次拋物線向左右平移后經(jīng)過原點(diǎn)，試確定拋物線平移的方向和平移的距離．
【來源】上海市上海市民辦文綺中學(xué)2020-2021學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題
答案:（1），頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）向左平移1個(gè)單位或向左平移3個(gè)單位
分析：
（1）根據(jù)的正切值求出OB的長，得到點(diǎn)B的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求出解析式，再把一般式寫成頂點(diǎn)式得到頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）求出拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，就可以得到如何左右平移經(jīng)過原點(diǎn)．
【詳解】
解：（1）∵，
∴，即，
把點(diǎn)B和點(diǎn)A的坐標(biāo)代入解析式，得，解得，
∴，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)是；
（2）令，則，解得，，
∴拋物線與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，
則向左平移1個(gè)單位或向左平移3個(gè)單位，圖象會(huì)經(jīng)過原點(diǎn)．
【點(diǎn)睛】
本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)解析式的求解方法和函數(shù)圖象平移的方法，還需要掌握銳角三角函數(shù)的知識(shí)．
8．在平面直角坐標(biāo)系中，已知，點(diǎn)（3，0）、（－2，5）、（0，－3）．求經(jīng)過點(diǎn)、、的拋物線的表達(dá)式．
【來源】第三章 函數(shù)與分析（3）（用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式）-備戰(zhàn)2021年中考數(shù)學(xué)考點(diǎn) 核心考點(diǎn)清單 （上海專用）
答案:
分析：
設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c，再把三個(gè)已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入得到關(guān)于a、b、c的方程組，解方程組即可得到二次函數(shù)的解析式．
【詳解】
解：設(shè)經(jīng)過點(diǎn)、、的拋物線的表達(dá)式為．
則，解得：．
∴經(jīng)過點(diǎn)、、的拋物線的表達(dá)式為．
【點(diǎn)睛】
本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二函數(shù)關(guān)系式時(shí)，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．
9．如圖，已知對(duì)稱軸為直線的拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，其中點(diǎn)的坐標(biāo)為．

（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)及拋物線的表達(dá)式；
（2）記拋物線的頂點(diǎn)為，對(duì)稱軸與線段的交點(diǎn)為，將線段繞點(diǎn)，按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，請(qǐng)判斷旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是否還在拋物線上，并說明理由；
（3）在軸上是否存在點(diǎn)，使與相似？若不存在，請(qǐng)說明理由；若存在請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)（不必書寫求解過程）．
【來源】上海市崇明區(qū)2020-2021學(xué)年九年級(jí)第一學(xué)期教學(xué)質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)測試卷（一模）
答案:（1），；（2）在拋物線上，理由見解析；（3）存在； 或或或
分析：
（1）根據(jù)軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離相等，方向相反，可得點(diǎn)B的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求得函數(shù)解析式．
（2）求出直線BC的解析式，計(jì)算得出線段PQ的長度，過作平行于x軸，交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)D，根據(jù)旋轉(zhuǎn)角度解直角三角形，得出的坐標(biāo)，將的橫坐標(biāo)代入拋物線的解析式，計(jì)算并判斷即可得出答案．
（3）根據(jù)勾股定理可得出是直角三角形，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)分類討論，得出點(diǎn)M的坐標(biāo)．
【詳解】
解：（1）∵A、B是關(guān)于直線軸對(duì)稱圖形的兩點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，
∴點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為；
將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)值代入可列方程組：
解得
∴拋物線的表達(dá)式為：．
（2）∵點(diǎn)P為拋物線頂點(diǎn)，直線為拋物線的對(duì)稱軸，
∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為-1，縱坐標(biāo)為，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為，
直線BC的解析式為，將B、C的值代入可列方程：
解得
∵BC與對(duì)稱軸交于點(diǎn)Q，
∴當(dāng)，，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，
，
∵是點(diǎn)P繞點(diǎn)Q順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到的，
∴，
過作平行于x軸，交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)D，如圖：
∵在中，，，
∴，，
∴點(diǎn)橫坐標(biāo)為點(diǎn)D橫坐標(biāo)加，即：，
點(diǎn)縱坐標(biāo)為點(diǎn)Q縱坐標(biāo)減，即：，
將的橫坐標(biāo)值代入，
，
∴的坐標(biāo)符合拋物線表達(dá)式，
∴在拋物線上．
（3）∵，
，
，
，
∴，
∴是直角三角形，，，，
∵M(jìn)是x軸上一點(diǎn)，，
若，則，
∴，
此時(shí)，點(diǎn)M坐標(biāo)為或，
若，則，
∴，
此時(shí)，點(diǎn)M坐標(biāo)為或，
∴綜上，點(diǎn)M存在，點(diǎn)坐標(biāo)為 或或或．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、勾股定理及相似三角形的性質(zhì)，運(yùn)用分類討論的思想是解決第（3）小題的關(guān)鍵．
10．我們已經(jīng)知道二次函數(shù)的圖像是一條拋物線．研究二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，我們主要關(guān)注拋物線的對(duì)稱軸、拋物線的開口方向、拋物線的最高點(diǎn)（或最低點(diǎn)）的坐標(biāo)、拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)、拋物線的上升或下降情況（沿x軸的正方向看）．
已知一個(gè)二次函數(shù)的大致圖像如圖所示．
（1）你可以獲得該二次函數(shù)的哪些信息？（寫出四條信息即可）
（2）依據(jù)目前的信息，你可以求出這個(gè)二次函數(shù)的解析式嗎？如果可以，請(qǐng)求出這個(gè)二次函數(shù)的解析式；如果不可以，請(qǐng)補(bǔ)充一個(gè)條件，并求出這個(gè)二次函數(shù)的解析式．
【來源】上海市嘉定區(qū)2020-2021學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（一模）
答案:（1）對(duì)稱軸為直線；頂點(diǎn)坐標(biāo)為；開口向下；當(dāng)時(shí)，y隨x增大而增大；（2）不可以；補(bǔ)充條件，
分析：
（1）觀察函數(shù)圖像頂點(diǎn)，對(duì)稱軸，由對(duì)稱軸分開增減區(qū)間；
（2）只有頂點(diǎn)，條件不足，不能求出解析式，可以給出除頂點(diǎn)外的一點(diǎn)坐標(biāo)即可如添加“C（0，2）”設(shè)出頂點(diǎn)式，然后把C點(diǎn)坐標(biāo)代入即可．
【詳解】
（1）對(duì)稱軸：直線，最高點(diǎn)/頂點(diǎn)，
開口方向：向下，
當(dāng)時(shí)，y隨x增大而增大，
當(dāng)時(shí)，y隨x增大而減?。?br>（2）不可以，加上“”，
設(shè)，
代入得，
∴．
【點(diǎn)睛】
本題考查數(shù)形結(jié)合的問題，仔細(xì)觀察圖像，找出發(fā)現(xiàn)的信息，掌握求拋物線解析式需三個(gè)獨(dú)立的條件是解題關(guān)鍵．
11．已知拋物線與軸交于點(diǎn)，它的頂點(diǎn)為，對(duì)稱軸是直線．
（1）求此拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）將上述拋物線向下平移個(gè)單位，所得新拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，設(shè)新拋物線的頂點(diǎn)為，請(qǐng)判斷的形狀，并說明理由．
【來源】專題19 二次函數(shù)（二）（考點(diǎn)）-備戰(zhàn)2021年中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)微專題（上海專用）
答案:（1），；（2）△MON是等腰直角三角形．
分析：
（1）根據(jù)對(duì)稱軸是直線，可求b，再代入點(diǎn)C，可求拋物線解析式，把，代入解析式，可求M點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）由原拋物線與y軸交點(diǎn)可知，拋物線向下平移2個(gè)單位，可求新頂點(diǎn)坐標(biāo)，再求出MO、ON、MN的長，可判斷三角形形狀．
【詳解】
解：（1）∵拋物線對(duì)稱軸是直線，
∴，
解得b=2，
把代入得，
，
∴拋物線解析式為：；
把代入得，
，
，
點(diǎn)M的坐標(biāo)為：．
（2）拋物線與y軸交點(diǎn)為，向下平移個(gè)單位后經(jīng)過原點(diǎn)，
∴m=2，
新拋物線的頂點(diǎn)N的坐標(biāo)為：，
∴，
，
MN=2，
∴，
∴△MON是等腰直角三角形．
【點(diǎn)睛】
本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式和函數(shù)的平移以及勾股定理逆定理，靈活運(yùn)用已知條件，準(zhǔn)確把握函數(shù)圖象平移特征，根據(jù)三邊長判斷三角形形狀是解題關(guān)鍵．
12．在平面直角坐標(biāo)系中，直線與直線相交于點(diǎn)，拋物線經(jīng)過點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）若拋物線向上平移兩個(gè)單位后，經(jīng)過點(diǎn)，求拋物線的表達(dá)式；
（3）若拋物線與 關(guān)于軸對(duì)稱，且這兩條拋物線的頂點(diǎn)分別是點(diǎn)與點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求拋物線 的表達(dá)式．
【來源】專題19 二次函數(shù)（二）（考點(diǎn)）-備戰(zhàn)2021年中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)微專題（上海專用）
答案:（1）點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）；（3）
分析：
（1）聯(lián)立兩直線解析式，解二元一次方程組即可得出答案；
（2）由拋物線經(jīng)過點(diǎn)A可得出b=-4a，由平移的性質(zhì)可得出答案；
（3）求出頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，-4a-1），由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得出P'的坐標(biāo)，求出PP'的長，根據(jù)三角形的面積公式可得出方程，解方程可得出答案．
【詳解】
解：（1）∵直線與直線相交于點(diǎn)A，
∴，
解得：；
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，-1）．
（2）∵拋物線y=ax2+bx-1（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)A（4，-1），
∴16a+4b-1=-1，
即b=-4a，
∴y=ax2-4ax-1，
∴平移后的拋物線的表達(dá)式是y=ax2-4ax+1，
∴-2=a-4a+1，
解得：a=1，
∴拋物線y=ax2+bx-1的表達(dá)式是：y=x2-4x-1．
（3）如圖，
∵y=ax2-4ax-1=a（x-2）2-4a-1，
∴P（2，-4a-1），
∵拋物線y=a'x2+b'x+c（a'＜0）與y=ax2-4ax-1關(guān)于x軸對(duì)稱，
∴P'（2，4a+1），
∵a'＜0，
∴a＞0，
∴P'P=8a+2，
又∵OD=2，S△OPP'=×OD×PP'，
∴×2×(8a+2)＝3，
解得：a=，
∴拋物線y=ax2+bx-1的表達(dá)式是．
【點(diǎn)睛】
本題屬于二次函數(shù)綜合題，主要考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)、二次函數(shù)與二元一次方程組的關(guān)系以及求函數(shù)解析式，其中靈活應(yīng)用二次函數(shù)的性質(zhì)成為解答本題的關(guān)鍵．
13．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，
（1）求該拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）將拋物線平移，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，點(diǎn)落在點(diǎn)處，求的面積；
（3）如果點(diǎn)在軸上，與相似，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
【來源】上海市寶山區(qū)2020-2021學(xué)年九年級(jí)下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題
答案:（1），；（2）；（3）
分析：
（1）由待定系數(shù)法可求出解析式，由拋物線解式可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）求出E點(diǎn)坐標(biāo)，畫出圖形，過作軸交于 由三角形面積公式可得出答案；
（3）由點(diǎn)的坐標(biāo)得出∠ABC=∠OCD=45°，若△PCD與△ABC相似，分兩種情況：①當(dāng)∠BAC=∠CDP時(shí)，△DCP∽△ABC；②當(dāng)∠BAC=∠DPC時(shí)，△PCD∽△ABC，得出比例線段，則可求出答案．
【詳解】
解：（1）∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（-2，0），B（1，0）和D（-3，n），
∴， 解得：，
∴拋物線解析式為：；
∴
∴D（-3，2）；
（2）
令 則

∵將拋物線平移，使點(diǎn)C落在點(diǎn)B處，點(diǎn)D落在點(diǎn)E處， ，
∴E（-2，3），
過作軸交于
設(shè)為 則
則為

∴
（3）如圖，連接CD，AC，CB，過點(diǎn)D作DE⊥y軸于點(diǎn)E，
∵A（-2，0），B（1，0），C（-1，0），D（-3，2），
∴OB=OC，DE=CE=3，AB=3，，
∴∠ABC=∠OCD=45°，
∵△PCD與△ABC相似，點(diǎn)P在y軸上，
∴分兩種情況討論：
①如圖，當(dāng)∠BAC=∠CDP時(shí)，△DCP∽△ABC，
∴ ，
∴，
∴PC=2， 經(jīng)檢驗(yàn)：符合題意，
∴P（0，1），
②如圖，當(dāng)∠BAC=∠DPC時(shí)，△PCD∽△ABC，
∴，
∴ ，
∴PC=9， 經(jīng)檢驗(yàn)：符合題意，
∴P（0，8）．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，8）或（0，1）時(shí)，△PCD與△ABC相似．
【點(diǎn)睛】
本題二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，三角形的面積，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些知識(shí)解決問題是解題的關(guān)鍵．
14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知B（0，2），C（1，﹣），點(diǎn)A在x軸正半軸上，且OA＝2OB，拋物線y＝ax2＋bx（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)A、C．
（1）求這條拋物線的表達(dá)式；
（2）將拋物線先向右平移m個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，此時(shí)點(diǎn)C恰好落在直線AB上的點(diǎn)C′處，求m的值；
（3）設(shè)點(diǎn)B關(guān)于原拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為B′，聯(lián)結(jié)AC，如果點(diǎn)F在直線AB′上，∠ACF＝∠BAO，求點(diǎn)F的坐標(biāo)．
【來源】2021年上海市奉賢區(qū)九年級(jí)下學(xué)期數(shù)學(xué)二模試題
答案:（1）y＝x2﹣2x；（2）4；（3）F坐標(biāo)為（4，）或（4，﹣1.5）．
分析：
（1）求出A坐標(biāo)，將A、C坐標(biāo)代入y＝ax2＋bx即可得答案；
（2）求出AB解析式，用m表示C′坐標(biāo)代入即可得答案；
（3）分F在A上方和下方兩種情況畫出圖形，構(gòu)造相似三角形利用對(duì)應(yīng)邊成比例可得答案．
【詳解】
解：（1）∵B（0，2），
∴OB＝2，
∵點(diǎn)A在x軸正半軸上，且OA＝2OB，
∴A（4，0），
∴將A（4，0），C（1，﹣）代入y＝ax2＋bx得：
，解得，
∴拋物線的表達(dá)式為y＝x2﹣2x；
（2）設(shè)直線AB的解析式是y＝mx＋n，
將A（4，0），B（0，2）代入得：
，解得，
∴直線AB的解析式是y＝﹣x＋2，
∵拋物線y＝x2﹣2x向右平移m個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，則其上的點(diǎn)C也向右平移m個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，而C（1，﹣），
∴C′（1＋m，﹣），
∵C′（1＋m，﹣）在直線AB上，
∴﹣＝﹣（1＋m）＋2，
∴m＝4；
（3）∵y＝x2﹣2x對(duì)稱軸為x＝2，B（0，2），點(diǎn)B關(guān)于原拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為B′，
∴B′（4，2），
∵A（4，0），
∴直線AB′為x＝4，
點(diǎn)F在直線AB′上，∠ACF＝∠BAO，分兩種情況：
①F在A上方，如圖：
過A作AG⊥CF于G，過G作GH//x軸交直線x＝4于H，過C作CM⊥x軸交直線GH于M，
∵B（0，2），A（4，0），
∴tan∠BAO＝，
∵∠ACF＝∠BAO，AG⊥CF，
∴tan∠ACF＝，即，
而∠MCG＝90°﹣∠MGC＝∠AGH，∠M＝∠AHG，
∴△MCG∽△HGA，
∴，
∴MC＝GH，MG＝2AH，
設(shè)G（m，n），則MC＝n＋1.5，MG＝m﹣1，GH＝4﹣m．AH＝n，
∴n＋1.5＝2（4﹣m），且m﹣1＝2n，
解得m＝2.8，n＝0.9，
∴G（2.8，0.9），
又C，
∴直線GC解析式為：y＝x﹣，
令x＝4得y＝
∴F（4，），
②F在A下方，
延長AC交y軸于D，過C作CF//x軸交直線x＝4于F，
∵A（4，0），C（1，﹣1.5），
∴直線AC解析式為y＝x﹣2，
∴D（0，﹣2），
∵B（0，2），
∴B，D關(guān)于x軸對(duì)稱，
∴∠BAO＝∠DAO，
若∠ACF＝∠BAO，
則∠ACF＝∠DAO，
∴CF//x軸，
∴F
綜上所述，∠ACF＝∠DAO，F(xiàn)坐標(biāo)為或或．
【點(diǎn)睛】
本題考查二次函數(shù)的綜合題，涉及待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的平移、相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．
15．如圖，在直角坐標(biāo)平面xOy內(nèi)，點(diǎn)A在x軸的正半軸上，點(diǎn)B在第一象限內(nèi)，且∠OAB＝90°，∠BOA＝30°，OB＝4.，二次函數(shù)y＝﹣x2＋bx的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，頂點(diǎn)為點(diǎn)C．
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式，并寫出頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）設(shè)這個(gè)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸l與OB相交于點(diǎn)D，與x軸相交于點(diǎn)E，求的值；
（3）設(shè)P是這個(gè)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸l上一點(diǎn)，如果△POA的面積與△OCE的面積相等，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【來源】2021年上海市寶山區(qū)中考數(shù)學(xué)三模試題
答案:（1）；（，3）；（2）；（3）（， ）或（，）
分析：
（1）由∠OAB=90°，在直角三角形OAB中求得點(diǎn)A，代入函數(shù)式解得．
（2）直角三角形OAB中求得AB的長度，由拋物線的對(duì)稱軸可知DE∥AB，OE=AE．求得DE，進(jìn)而求得CD，從而求得；
（3）利用三角形OCE和三角形POA的面積相等即求得．
【詳解】
解：（1）∵∠OAB＝90°，∠BOA＝30°，OB＝4，
∴AB=2
∴
∴A（，0）．
∵二次函數(shù)y＝﹣x2+bx的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，
∴．
解得，．
∴二次函數(shù)的解析式為．
∴
∴頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是（，3）．
（2）∵DE是二次函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸，
∴DE∥AB，OE＝AE．
∴．
∵AB=2，OE＝OA=
∴DE＝1．
又∵C（，3），
∴CE＝3．
即得CD＝2．
∴．
（3）根據(jù)題意，可設(shè)P（，n）．
∵，CE＝3，
∴．
∴．
解得,．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（， ）或（，）
【點(diǎn)睛】
本題考查二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，對(duì)稱軸，面積公式，平行線分線段成比例，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)．
16．已知：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（5，0）、B（-3，4），拋物線的對(duì)稱軸與x軸相交于點(diǎn)D．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）聯(lián)結(jié)OB、BD．求∠BDO的余切值；
（3）如果點(diǎn)P在線段BO的延長線上，且∠PAO =∠BAO，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【來源】專題09 函數(shù)之解答題《備戰(zhàn)2020年中考真題分類匯編》（上海）
答案:（1）；（2）；（3）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）.
解析：
分析：
（1）根據(jù)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出拋物線的表達(dá)式；
（2）利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得出拋物線的對(duì)稱軸，進(jìn)而可得出點(diǎn)D的坐標(biāo)，過點(diǎn)B作BC⊥x軸，垂足為點(diǎn)C，由點(diǎn)B，D的坐標(biāo)可得出CD，BC的長度，結(jié)合余切的定義可求出∠BDO的余切值；
（3）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，n），過點(diǎn)P作PQ⊥x軸，垂足為點(diǎn)Q，則PQ＝﹣n，OQ＝m，AQ＝5﹣m，在Rt△ABC中，可求出ct∠∠BAC＝2，結(jié)合∠PAO＝∠BAO可得出m﹣2n＝5①，由BC⊥x軸，PQ⊥x軸可得出BC∥PQ，進(jìn)而可得出4m＝﹣3n②，聯(lián)立①②可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【詳解】
解：（1）∵ 拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（5，0）、B（-3，4），
∴
解得
∴ 所求拋物線的表達(dá)式為．
（2）由，得拋物線的對(duì)稱軸為直線．
∴ 點(diǎn)D（，0）．
過點(diǎn)B作BC⊥x軸，垂足為點(diǎn)C．
由A（5，0）、B（-3，4），得 BC = 4，OC = 3，．
∴ ．
（3）設(shè)點(diǎn)P（m，n）．
過點(diǎn)P作PQ⊥x軸，垂足為點(diǎn)Q．則 PQ = -n，OQ = m，AQ = 5 – m．
在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，∴ ．
∵ ∠PAO =∠BAO，∴ ．
即得 ． ①
由 BC⊥x軸，PQ⊥x軸，得 ∠BCO =∠PQA = 90°．
∴ BC // PQ．
∴ ，即得 ．∴ 4 m = - 3 n． ②
由 ①、②解得 ，．
∴ 點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）．
【點(diǎn)睛】
本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、余切的定義、相似三角形的性質(zhì)以及解方程組，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)表達(dá)式；（2）通過構(gòu)造直角三角形，求出∠BDO的余切值；（3）利用角的余切值及相似三角形的性質(zhì)，找出關(guān)于m，n的二元一次方程組．
17．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，3），頂點(diǎn)為G．
（1）求拋物線和直線AC的解析式；
（2）如圖，設(shè)E（m，0）為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，若△CGE和△CGO的面積滿足S△CGE＝43S△CGO，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）如圖，設(shè)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度沿x軸向右運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts，點(diǎn)M為射線AC上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作MN∥x軸交拋物線對(duì)稱軸右側(cè)部分于點(diǎn)N．試探究點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在以P，M，N為頂點(diǎn)的三角形為等腰直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【來源】【市級(jí)聯(lián)考】上海市2019屆九年級(jí)中考第三次診斷性檢測數(shù)學(xué)測試題
答案:（1）拋物線解析式為：y＝﹣x2+2x+3；直線AC解析式為：y＝3x+3；（2）點(diǎn)E坐標(biāo)為（1，0）或（﹣7，0）；（3）存在以P，M，N為頂點(diǎn)的三角形為等腰直角三角形，t的值為10049或1316或134．
解析：
分析：
（1）用待定系數(shù)法即能求出拋物線和直線AC解析式．
（2）△CGE與△CGO雖然有公共底邊CG，但高不好求，故把△CGE構(gòu)造在比較好求的三角形內(nèi)計(jì)算．延長GC交x軸于點(diǎn)F，則△FGE與△FCE的差即為△CGE．
（3）設(shè)M的坐標(biāo)（e，3e+3），分別以M、N、P為直角頂點(diǎn)作分類討論，利用等腰直角三角形的特殊線段長度關(guān)系，用e表示相關(guān)線段并列方程求解，再根據(jù)e與AP的關(guān)系求t的值．
【詳解】
（1）∵拋物線y=ax2+bx+c過點(diǎn)A（-1，0），B（3，0），C（0，3），
a?b+c＝09a+3b+c＝00+0+c＝3, 解得：a＝?1b＝2c＝3，
∴拋物線解析式為：y=-x2+2x+3，
設(shè)直線AC解析式為y=kx+3，
∴-k+3=0，得：k=3，
∴直線AC解析式為：y=3x+3.
（2）延長GC交x軸于點(diǎn)F，過G作GH⊥x軸于點(diǎn)H，
∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
∴G（1，4），GH=4，
∴S△CGO=12OC?xG=12×3×1=32，
∴S△CGE=43S△CGO=43×32=2，
①若點(diǎn)E在x軸正半軸上，
設(shè)直線CG：y=k1x+3，
∴k1+3=4 得：k1=1，
∴直線CG解析式：y=x+3，
∴F（-3，0），
∵E（m，0），
∴EF=m-（-3）=m+3，
∴S△CGE=S△FGE-S△FCE=12EF?GH-12EF?OC=12EF?（GH-OC）=12（m+3）?（4-3）=m+32，
∴m+32=2，解得：m=1，
∴E的坐標(biāo)為（1，0）.
②若點(diǎn)E在x軸負(fù)半軸上，則點(diǎn)E到直線CG的距離與點(diǎn)（1，0）到直線CG距離相等，
即點(diǎn)E到F的距離等于點(diǎn)（1，0）到F的距離，
∴EF=-3-m=1-（-3）=4，
解得：m=-7 即E（-7，0），
綜上所述，點(diǎn)E坐標(biāo)為（1，0）或（-7，0）.
（3）存在以P，M，N為頂點(diǎn)的三角形為等腰直角三角形，
設(shè)M（e，3e+3），則yN=yM=3e+3，
①若∠MPN=90°，PM=PN，如圖2，過點(diǎn)M作MQ⊥x軸于點(diǎn)Q，過點(diǎn)N作NR⊥x軸于點(diǎn)R，
∵M(jìn)N∥x軸，
∴MQ=NR=3e+3，
∴Rt△MQP≌Rt△NRP（HL），
∴PQ=PR，∠MPQ=∠NPR=45°，
∴MQ=PQ=PR=NR=3e+3，
∴xN=xM+3e+3+3e+3=7e+6，即N（7e+6，3e+3），
∵N在拋物線上，
∴-（7e+6）2+2（7e+6）+3=3e+3，
解得：e1=-1（舍去），e2=?2449，
∵AP=t，OP=t-1，OP+OQ=PQ，
∴t-1-e=3e+3，
∴t=4e+4=10049，
②若∠PMN=90°，PM=MN，如圖3，
∴MN=PM=3e+3，
∴xN=xM+3e+3=4e+3，即N（4e+3，3e+3），
∴-（4e+3）2+2（4e+3）+3=3e+3，
解得：e1=-1（舍去），e2=?316，
∴t=AP=e-（-1）=?316+1＝1316，
③若∠PNM=90°，PN=MN，如圖4，
∴MN=PN=3e+3，N（4e+3，3e+3），
解得：e=?316，
∴t=AP=OA+OP=1+4e+3=134，
綜上所述，存在以P，M，N為頂點(diǎn)的三角形為等腰直角三角形，t的值為10049或1316或134．
【點(diǎn)睛】
本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，坐標(biāo)系中三角形面積計(jì)算，等腰直角三角形的性質(zhì)，解一元二次方程，考查了分類討論和方程思想．第（3）題根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)找到相關(guān)線段長的關(guān)系是解題關(guān)鍵，靈活運(yùn)用因式分解法解一元二次方程能簡便運(yùn)算．
18．如圖，已知拋物線y＝ax2+4（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B（2，0），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是拋物線在第一象限的點(diǎn)．
（1）當(dāng)△ABD的面積為4時(shí)，
①求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
②聯(lián)結(jié)OD，點(diǎn)M是拋物線上的點(diǎn)，且∠MDO＝∠BOD，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）直線BD、AD分別與y軸交于點(diǎn)E、F，那么OE+OF的值是否變化，請(qǐng)說明理由．
【來源】2017年上海市徐匯區(qū)中考數(shù)學(xué)二模試題
答案:（1）①；②；（2）不變化，值為8，理由見解析
分析：
（1）先將已知點(diǎn)B坐標(biāo)代入解析式求出a，再根據(jù)△ABD的面積，求出D的縱坐標(biāo)，將其代入拋物線求出D點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)∠MDO=∠BOD分兩種情況討論，并求出M坐標(biāo)
（2）設(shè)出點(diǎn)D的坐標(biāo)，利用平行線分線段成比例定理表示出OE、OF求和即可得出結(jié)論
【詳解】
（1）∵拋物線y＝ax2+4（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B（2，0），
∴A（﹣2，0），4a+4＝0，
∴a＝﹣1，AB＝4，
∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+4，
①設(shè)D（m，﹣m2+4），
∵△ABD的面積為4，
∴
∴，
∵點(diǎn)D在第一象限，
∴，
∴，
②如圖1，點(diǎn)M在OD上方時(shí)，
∵∠MDO＝∠BOD，∴DM∥AB，
∴，當(dāng)M在OD下方時(shí)，
設(shè)DM交x軸于G，設(shè)G（n，0），
∴OG＝n，
∵，
∴，
∵∠MDO＝∠BOD，
∴OG＝DG，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴直線DG的解析式為①，
∵拋物線的解析式為y＝﹣x2+4②，
聯(lián)立①②得， ，此時(shí)交點(diǎn)剛好是D點(diǎn)，
所以在OD下方不存在點(diǎn)M．
（2）OE+OF的值不發(fā)生變化，
理由：如圖2，過點(diǎn)D作DH⊥AB于H，
∴OF∥DH，
∴，
設(shè)D（b，﹣b2+4），
∴AH＝b+2，DH＝﹣b2+4，
∵OA＝2，
∴，
∴，
同理：OE＝2（2+b），
∴OE+OF＝2（2﹣b）+2（2+b）＝8．
【點(diǎn)睛】
本題（1）的關(guān)鍵是求出拋物線解析式，難點(diǎn)是分情況求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，（2）的關(guān)鍵是做出輔助線
19．如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣3經(jīng)過點(diǎn)A（2，﹣3），與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，且OC＝3OB．
（1）求拋物線的解析式；
（2）拋物線的對(duì)稱軸上有一點(diǎn)P，使PB+PC的值最小，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)M在拋物線上，點(diǎn)N在拋物線的對(duì)稱軸上，是否存在以點(diǎn)A，B，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【來源】專題19 二次函數(shù)（二）（考點(diǎn)專練）-備戰(zhàn)2021年中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)微專題（上海專用）
答案:（1） （2）點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）M
分析：
（1）待定系數(shù)法即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等，可得M在對(duì)稱軸上，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，可得M點(diǎn)在線段AB上，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得答案；
（3）設(shè)M（a，a2-2a-3），N（1，n），①以AB為邊，則AB∥MN，AB=MN，如圖2，過M作ME⊥對(duì)稱軸于E，AF⊥x軸于F，于是得到△ABF≌△NME，證得NE=AF=3，ME=BF=3，得到M（4，5）或（-2，5）；②以AB為對(duì)角線，BN=AM，BN∥AM，如圖3，則N在x軸上，M與C重合，于是得到結(jié)論．
【詳解】
（1）由得，
把代入，
得，
，
拋物線的解析式為；
（2）連接AB與對(duì)稱軸直線x=1的交點(diǎn)即為P點(diǎn)的坐標(biāo)（對(duì)稱取最值），
設(shè)直線AB的解析式為,
將A（2，-3），B（-1，0）代入，得y=-x-1，
將x=1代入，得x=-2，
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，-2）；
（3）設(shè)M（）
①以AB為邊，則AB∥MN，如圖2，
過M作對(duì)稱軸y于E，AF軸于F，
則
或,
或
∥AM，
如圖3，
則N在x軸上，M與C重合，
綜上所述，存在以點(diǎn)ABMN為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，
或或
【點(diǎn)睛】
本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．
20．在平面直角坐標(biāo)系xOy中（如圖），已知拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)B （4，0）、D （5，3），設(shè)它與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），且△ABD的面積是3．
（1）求該拋物線的表達(dá)式；
（2）求∠ADB的正切值；
（3）若拋物線與y軸交于點(diǎn)C，直線CD交x軸于點(diǎn)E，點(diǎn)P在射線AD上，當(dāng)△APE與△ABD相似時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【來源】2020年安徽省豪州渦陽縣九年級(jí)第二次調(diào)研模擬數(shù)學(xué)試題
答案:（1）y＝x2﹣6x+8；（2）；（3）P（11，9）或（4，2）．
分析：
（1）先根據(jù)的面積求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）先根據(jù)的坐標(biāo)求出的值，再過點(diǎn)B作于E，可求出的值，從而可得的正切值；
（3）根據(jù)的坐標(biāo)分別求出直線的解析式，再分和兩種情況討論，分別根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)角相等，然后利用平行線的性質(zhì)和解直角三角形求解即可.
【詳解】
（1）設(shè)
，AB邊上的高為3
則由的面積是3可得：
解得
設(shè)拋物線解析式為
將代入得：，解得
故該拋物線的表達(dá)式為；
（2）如圖1，過點(diǎn)D作軸于點(diǎn)F
則
過點(diǎn)B作于E
在等腰中，
則
故的正切值為；
（3）如圖2，設(shè)直線AD解析式為
將代入得，解得
則直線AD解析式為
同理，由可得直線BD解析式為
由可得直線CD解析式為
當(dāng)時(shí)，，解得
①若，則
則可設(shè)PE所在直線解析式為
將點(diǎn)代入得，解得
則直線PE解析式為
由，解得
故此時(shí)點(diǎn)
②若，則
過點(diǎn)P作于點(diǎn)G
由直線AD的解析式可設(shè)P的坐標(biāo)為
則
，解得
綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或.
【點(diǎn)睛】
本題考查了利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式、解直角三角形、相似三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，讀懂題意，根據(jù)已求出的函數(shù)解析式畫出圖象是解題關(guān)鍵，屬于中考?jí)狠S題.
21．在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，對(duì)稱軸是直線．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）直線平行于軸，與拋物線交于、兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），且，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，求線段的長；
（3）點(diǎn)是該拋物線上一點(diǎn)，且在第一象限內(nèi)，聯(lián)結(jié)、，交線段于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
【來源】重難點(diǎn)04 二次函數(shù)綜合題-2021年中考數(shù)學(xué)【熱點(diǎn)?重點(diǎn)?難點(diǎn)】專練（上海專用）
答案:（1）y=-x2+2x+3；（2）；（3）（，）或（，)．
分析：
（1）根據(jù)拋物線與軸交于點(diǎn)可得出c的值，然后由對(duì)稱軸是直線可得出b的值，從而可求出拋物線的解析式；
（2）令y=0得出關(guān)于x的一元二次方程，求出x，可得出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，從而得到AB的長，再求出MN的長，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性求出點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，再代入拋物線解析式求出點(diǎn)M的縱坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)的對(duì)稱可求出OE的長；
（3）過點(diǎn)E作x軸的平行線EH，分別過點(diǎn)F，P作EH的垂線，垂足分別為G，Q，則FG∥PQ，先證明△EGF∽△EQP，可得，設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（a，-a+3），則EG=a，F(xiàn)G=-a+3-=-a+，可用含a的式子表示P點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)P在拋物線的圖象上，可得關(guān)于a的方程，把a(bǔ)的值代入P點(diǎn)坐標(biāo)，可得答案．
【詳解】
解：（1）將點(diǎn)C（0，3）代入得c=3，
又拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1，
∴-=1，解得b=2，
∴拋物線的表達(dá)式為y=-x2+2x+3；
（2）如圖，
令y=0，則-x2+2x+3=0，解得x1=-1，x2=3，
∴點(diǎn)A（-1，0），B（3，0），∴AB=3-（-1）=4，
∵，∴MN=×4=3，
根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為，
代入二次函數(shù)表達(dá)式得，y=，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為，
又點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），點(diǎn)C與點(diǎn)E關(guān)于直線MN對(duì)稱，
∴CE=2×（3-）=，
∴OE=OC-CE=；
（3）如圖，過點(diǎn)E作x軸的平行線EH，分別過點(diǎn)F，P作EH的垂線，垂足分別為G，Q，則FG∥PQ，
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0），
則，解得，
∴直線BC的解析式為y=-x+3，
設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（a，-a+3），則EG=a，F(xiàn)G=-a+3-=-a+．
∵FG∥PQ，∴△EGF∽△EQP，
∴．
∵，∴FP:EF=1:2，∴EF:EP=2:3．
∴，
∴EQ=EG=a，PQ=FG=（-a+）=-a+，
∴xP=a，yP=-a++=-a+，即點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，-a+），
又點(diǎn)P在拋物線y=-x2+2x+3上，
∴-a+=-a2+3a+3，化簡得9a2-18a+5=0，
解得a=或a=，符合題意，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）或（，)．
【點(diǎn)睛】
本題是二次函數(shù)綜合題，考查了利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)以及解一元二次方程等知識(shí)，綜合運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
22．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)，對(duì)稱軸是直線，頂點(diǎn)為點(diǎn)，拋物線與軸交于點(diǎn)．
（1）求拋物線的表達(dá)式和點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）將上述拋物線向下平移個(gè)單位，平移后的拋物線與軸正半軸交于點(diǎn)，求的面積；
（3）如果點(diǎn)在原拋物線上，且在對(duì)稱軸的右側(cè)，聯(lián)結(jié)交線段于點(diǎn)，，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
【來源】2020年上海市長寧區(qū)九年級(jí)下學(xué)數(shù)學(xué)二模試題
答案:（1）拋物線的表達(dá)式為，
（2）
（3）
分析：
（1）由題意知二次函數(shù)對(duì)稱軸x=-，點(diǎn)，對(duì)稱軸是直線，拋物線的表達(dá)式為，代入頂點(diǎn)公式即可求出；
（2）根據(jù)題意分別找到B，C，D三點(diǎn)求三角形面積即可；
（3）根據(jù)平行線分線段成比例，組圖利用平行線來求P點(diǎn)坐標(biāo)．
【詳解】
（1）根據(jù)二次函數(shù)，對(duì)稱軸x=-，
系數(shù)a=1，b=m，c=n，
又∵點(diǎn)，對(duì)稱軸是直線，代入得：
x=-=--=1，-2=4+2m+n，
則m=-2，n=-2，
∴函數(shù)解析式為；
頂點(diǎn)坐標(biāo)為，代入a=1，b=-2，c=-2得：
頂點(diǎn)；
（2）由平移知識(shí)知平移后解析式為：，
則與x正半軸交點(diǎn)為y=0，帶入函數(shù)式求得x=3，
即D（3，0），
根據(jù)求得坐標(biāo)作圖，作BM⊥x軸，
則=+-，
∴=+ - ，
代入數(shù)值解得：=，
即的面積為；
（3）
作OP平行于AB交拋物線于點(diǎn)P，由題意設(shè)P(x，)，
∵，
∴AB：OP=1：5，
由點(diǎn)，，
得：AB=，
∴OP=5AB=5，
OP= ，
∴=5，
解得：x=4，或x=-3，
∵P 在對(duì)稱軸右側(cè)，
∴x>0，
∴x=4，
把x=4代入原函數(shù)表達(dá)式得：y=6；
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為P(4，6)．
【點(diǎn)睛】
本題屬于二次函數(shù)類綜合題，知識(shí)面覆蓋較廣泛，難度較大，同時(shí)考查作圖及利用數(shù)形結(jié)合求解的能力．
23．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線yx+4m（m＞0）與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，如圖所示，點(diǎn)C在線段AB的延長線上，且AB＝2BC．
（1）用含字母m的代數(shù)式表示點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）拋物線ybx+10經(jīng)過點(diǎn)A、C，求此拋物線的表達(dá)式；
（3）在位于第四象限的拋物線上，是否存在這樣的點(diǎn)P：使S△PAB＝2S△OBC，如果存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，如果不存在，試說明理由．
【來源】專題09 函數(shù)之解答題《備戰(zhàn)2020年中考真題分類匯編》（上海）
答案:（1）C（﹣3m，6m）；（2）yx+10；（3）P坐標(biāo)為（，）．
分析：
（1）如圖（見解析），過點(diǎn)C作軸交于點(diǎn)H，先由可求出OA和OB的長，再由相似三角形的判定定理得，最后利用相似三角形的性質(zhì)求解即可；
（2）利用待定系數(shù)法求解即可；
（3）如圖（見解析），設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，由點(diǎn)B和P的坐標(biāo)求出直線BP的解析式，先根據(jù)點(diǎn)G在直線BP上可得其坐標(biāo)，再結(jié)合面積等式可得一個(gè)s，t的等式，又由點(diǎn)P在拋物線上可得另一個(gè)s，t的等式，兩者聯(lián)立求解即可.
【詳解】
（1），令，則；令，則
即點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為、，
由題意可知，點(diǎn)C在第二象限
如圖，過點(diǎn)C作軸交于點(diǎn)H，設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為
則
，即
解得
故點(diǎn)C的坐標(biāo)為；
（2）將代入函數(shù)表達(dá)式得：
解得：或（不符題意，舍去）
故拋物線的表達(dá)式為：；
（3）由題（2）知，，則點(diǎn)A、B的坐標(biāo)為、
如圖，連接AP、BP，過點(diǎn)A作軸交BP于點(diǎn)G
設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為，則
再設(shè)直線BP的表達(dá)式為
將點(diǎn)B、P代入得，解得
則直線BP的表達(dá)式為
由此可得，點(diǎn)G的坐標(biāo)為
聯(lián)立①②解得：或（負(fù)值不符題意，舍去）
故點(diǎn)P坐標(biāo)為.
【點(diǎn)睛】
本題考查了一次函數(shù)的幾何應(yīng)用、相似三角形的判定定理與性質(zhì)、利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，較難的題（3），求出直線BP的解析式，從而用s，t表示的面積是解題關(guān)鍵.
24．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝x2+bx經(jīng)過點(diǎn)A（2，0）．直線y＝x﹣2與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求這條拋物線的表達(dá)式和頂點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）將拋物線y＝x2+bx向右平移，使平移后的拋物線經(jīng)過點(diǎn)B，求平移后拋物線的表達(dá)式；
（3）將拋物線y＝x2+bx向下平移，使平移后的拋物線交y軸于點(diǎn)D，交線段BC于點(diǎn)P、Q，（點(diǎn)P在點(diǎn)Q右側(cè)），平移后拋物線的頂點(diǎn)為M，如果DP∥x軸，求∠MCP的正弦值．
【來源】2021年上海市浦東新區(qū)中考數(shù)學(xué)調(diào)研試卷（4月份）
答案:（1）y＝x2﹣2x，頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是（1，﹣1）；（2）y＝（x﹣3）2﹣1或y＝（x﹣5）2﹣1；（3）
分析：
（1）根據(jù)待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式，化成頂點(diǎn)式即可求得頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）根據(jù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求得B（4，0），然后分兩種情況討論求得即可；
（3）設(shè)向下平移后的拋物線表達(dá)式是：y＝x2﹣2x+n，得點(diǎn)D（0，n），即可求得P（2，n），代入y＝x﹣2求得n＝﹣1，即可求得平移后的解析式為y＝x2﹣2x﹣1．求得頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后解直角三角形即可求得結(jié)論．
【詳解】
（1）由題意，拋物線y＝x2+bx經(jīng)過點(diǎn)A（2，0），
得0＝4+2b，解得 b＝﹣2，
∴拋物線的表達(dá)式是y＝x2﹣2x．
∵y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，
∴它的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是（1，﹣1）．
（2）∵直線與x軸交于點(diǎn)B，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是（4，0）．
①將拋物線y＝x2﹣2x向右平移2個(gè)單位，使得點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，
此時(shí)平移后的拋物線表達(dá)式是y＝（x﹣3）2﹣1．
②將拋物線y＝x2﹣2x向右平移4個(gè)單位，使得點(diǎn)O與點(diǎn)B重合，
此時(shí)平移后的拋物線表達(dá)式是y＝（x﹣5）2﹣1．
（3）設(shè)向下平移后的拋物線表達(dá)式是：y＝x2﹣2x+n，得點(diǎn)D（0，n）．
∵DP∥x軸，
∴點(diǎn)D、P關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸直線x＝1對(duì)稱，
∴P（2，n）．
∵點(diǎn)P在直線BC上，
∴．
∴平移后的拋物線表達(dá)式是：y＝x2﹣2x﹣1．
∴新拋物線的頂點(diǎn)M的坐標(biāo)是（1，﹣2）．
∴MC∥OB，
∴∠MCP＝∠OBC．
在Rt△OBC中，，
由題意得：OC＝2，，
∴．
即∠MCP的正弦值是．
【點(diǎn)睛】
本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的圖象與幾何變換，待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式以及二次函數(shù)的性質(zhì)，三角函數(shù)的定義等，正確求得平移后的解析式是解題的關(guān)鍵．
25．如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+4經(jīng)過點(diǎn)A（﹣3，0）和點(diǎn)B（3，2），與y軸相交于點(diǎn)C．
（1）求這條拋物線的表達(dá)式；
（2）點(diǎn)P是拋物線在第一象限內(nèi)一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)AP，如果點(diǎn)C關(guān)于直線AP的對(duì)稱點(diǎn)D恰好落在x軸上，求直線AP的截距；
（3）在（2）小題的條件下，如果點(diǎn)E是y軸正半軸上一點(diǎn)，點(diǎn)F是直線AP上一點(diǎn)．當(dāng)△EAO與△EAF全等時(shí)，求點(diǎn)E的縱坐標(biāo)．
【來源】熱點(diǎn)06 二次函數(shù)綜合題-2021年《三步?jīng)_刺中考?數(shù)學(xué)》（上海專用）之第2步大題奪高分
答案:（1）；（2）；（3）或3﹣6
分析：
（1）把和點(diǎn)代入拋物線的解析式，列方程組，可得結(jié)論；
（2）如圖1，根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)得，可得，設(shè)，則，在中，根據(jù)勾股定理得，列方程可得結(jié)論；
（3）分兩種情況：先說明是直角三角形，所以也是直角三角形，根據(jù)，畫圖，由勾股定理列方程可解答．
【詳解】
解：（1）拋物線過點(diǎn)和點(diǎn)，
，
解得，
；
（2）如圖1，連接，，
點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，
，
與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，
，
，
點(diǎn)，
設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，則，
設(shè)，則，
在中，，
，
，
直線的截距為；
（3）點(diǎn)是軸正半軸上一點(diǎn)，
是直角三角形，且
當(dāng)與全等時(shí)，存在兩種情況：
①如圖2，當(dāng)，，
，
，，
，
，
由（2）知：，
，
中，，
，
解得：或（舍，
點(diǎn)的縱坐標(biāo)是；
②如圖3，當(dāng)，，
，，
中，，
，，
中，由勾股定理得：，
，
解得：，
點(diǎn)的縱坐標(biāo)是；
綜上，點(diǎn)的縱坐標(biāo)是或．
【點(diǎn)睛】
本題是一道二次函數(shù)綜合題，解答本題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)稱的性質(zhì)：對(duì)稱軸是對(duì)稱點(diǎn)連接的垂直平分線，三角形全等的性質(zhì)和判定，當(dāng)三角形全等不確定邊的對(duì)應(yīng)關(guān)系時(shí)，先確定三角形的特殊性，如直角三角形或等腰三角形等條件，再進(jìn)一步分情況討論．
26．下表中給出了變量x與ax2，ax2+bx+c之間的部分對(duì)應(yīng)值(表格中的符號(hào)“…”表示該項(xiàng)數(shù)據(jù)已經(jīng)丟失)
（1）寫出這條拋物線的開口方向，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；并說明它的變化情況；
（2）拋物線的頂點(diǎn)為D，與y軸的交點(diǎn)為A，點(diǎn)M是拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，直線AM交對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線于點(diǎn)B，當(dāng)△ADM與△BDM的面積比為2：3時(shí)，求點(diǎn)B的坐標(biāo)：
（3）在（2）的條件下，設(shè)線段BD交x軸于點(diǎn)C，試寫出∠BAD與∠DCO的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
【來源】上海市新竹園中學(xué)2019-2020學(xué)年九上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)試題
答案:（1），開口向上，,變化情況見解析；（2）；（3），理由見解析
分析：
（1）根據(jù)（1，1）在拋物線y=ax2上可求出a值，再由（-1，7）、（0，2）在拋物線y=x2+bx+c上可求出b、c的值，即可得到答案；
（2）根據(jù)△ADM和△BDM同底可得出兩三角形的面積比等于高的比，結(jié)合點(diǎn)A的坐標(biāo)即可求出點(diǎn)B的橫坐標(biāo)，再利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求出點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（3）利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出A、D的坐標(biāo)，過點(diǎn)A作AN∥x軸，交BD于點(diǎn)N，則∠AND=∠DCO，根據(jù)點(diǎn)B、D的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法可求出直線BD的解析式，利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式可求出BA、BD、BN的長度，由三者間的關(guān)系結(jié)合∠ABD=∠NBA，可證出△ABD∽△NBA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得出∠ANB=∠DAB，再由∠ANB+∠AND=180°可得出∠DAB+∠DCO=180°．
【詳解】
解：（1）當(dāng)x=1時(shí)，y=ax2=1，
解得：a=1；
將（-1，7）、（0，2）代入y=x2+bx+c，得：
，
解得： ，
∴拋物線的表達(dá)式為或，
∴該拋物線的開口向上，頂點(diǎn)D（2，-2），
變化情況：在對(duì)稱軸 的左邊y隨x的增大而減小，再對(duì)稱軸的右邊y隨x的增大而增大；
（2）∵△ADM和△BDM同底，且△ADM與△BDM的面積比為2：3，
∴點(diǎn)A到拋物線的距離與點(diǎn)B到拋物線的距離比為2：3．
∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為0，
∴點(diǎn)B到拋物線對(duì)稱軸的距離為3，
∴點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為3+2=5，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5，7）．
（3）∠BAD+∠DCO=180°，理由如下：
當(dāng)x=0時(shí)，，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，2），
∵，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，-2）．
過點(diǎn)A作AN∥x軸，交BD于點(diǎn)N，則∠AND=∠DCO，如圖所示．
設(shè)直線BD的表達(dá)式為y=mx+n（m≠0），
將B（5，7）、D（2，-2）代入y=mx+n，
得到： ，
解得： ，
∴直線BD的表達(dá)式為y=3x-8．
當(dāng)y=2時(shí)，有3x-8=2，
解得： ，
∵A（0，2），B（5，7），D（2，-2），
∴ ，
∴ ，
又∵∠ABD=∠NBA，
∴△ABD∽△NBA，
∴∠ANB=∠DAB．
∵∠ANB+∠AND=180°，
∴∠DAB+∠DCO=180°．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次（一次）函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、三角形的面積、相似三角形的判定與性質(zhì)、兩點(diǎn)間的距離公式以及平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)表達(dá)式；（2）根據(jù)同底三角形的面積比等于高的比找出點(diǎn)B的橫坐標(biāo)；（3）構(gòu)造相似三角形，找出∠BAD和∠DCO互補(bǔ)關(guān)系；
27．已知拋物線經(jīng)過 ，兩點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸與軸交于點(diǎn)，點(diǎn) 與點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，聯(lián)結(jié)、．
（1）求該拋物線的表達(dá)式以及對(duì)稱軸；
（2）點(diǎn)在線段上，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn) 的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)在對(duì)稱軸上，點(diǎn)在拋物線上，當(dāng)以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求這個(gè)平行四邊形的面積．
【來源】上海市寶山區(qū)2020-2021學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期末（一模）數(shù)學(xué)試題
答案:（1），對(duì)稱軸為；（2）；（3）當(dāng)為邊時(shí)，；當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，．
分析：
（1）將，代入拋物線，求解即可；
（2）過點(diǎn)作軸叫軸與點(diǎn)，過點(diǎn)作軸叫軸與點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)是，對(duì)稱軸為，易得是等腰直角三角形，也是等腰直角三角形，求出，根據(jù)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，可證得，，則，有，可得，即可得，據(jù)此求解即可；
（3）分兩種情況討論：當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，當(dāng)為邊時(shí)，分別求出點(diǎn)坐標(biāo)，然后求解即可．
【詳解】
解：（1）將，代入拋物線 ，
得：，解之得： ，
∴該拋物線的表達(dá)式是，
∵，
∴對(duì)稱軸為；
（2）如圖示：過點(diǎn)作軸叫軸與點(diǎn)，過點(diǎn)作 軸叫軸與點(diǎn)，
∵點(diǎn)坐標(biāo)是，對(duì)稱軸為，
∴，
∴是等腰直角三角形，則也是等腰直角三角形，
∴,
∵,
,
∴,
∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，則點(diǎn)坐標(biāo)是，
∴
∴
∴
∴,
∵,,
∴，即有，
∴,
∵是等腰直角三角形，
∴
∴
即點(diǎn)的坐標(biāo)是；
（3）∵
①當(dāng)是平行四邊形的邊長時(shí)，如圖2所示，
則必定在軸的上方，并有，
∵點(diǎn)在對(duì)稱軸上，
∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)是6或-2，
又∵點(diǎn)在拋物線上，
∴當(dāng)時(shí)，，
∴平行四邊形的面積；
當(dāng)時(shí)，，
同理可得平行四邊形的面積；
②當(dāng)是平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，如圖3所示，
∵點(diǎn)在對(duì)稱軸上，并
∴點(diǎn)也在對(duì)稱軸上，
∴當(dāng)時(shí)，，
∴
∴平行四邊形的面積．
綜上所述，平行四邊形的面積為或．
【點(diǎn)睛】
本題考查了用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)坐標(biāo)軸上的點(diǎn)，三角形的相似的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
28．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸正半軸交于點(diǎn)A（4，0），與y軸交于點(diǎn)B（0，2），點(diǎn)C在該拋物線上且在第一象限．
（1）求該拋物線的表達(dá)式；
（2）將該拋物線向下平移m個(gè)單位，使得點(diǎn)C落在線段AB上的點(diǎn)D處，當(dāng)AD＝3BD時(shí)，求m的值；
（3）聯(lián)結(jié)BC，當(dāng)∠CBA＝2∠BAO時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．
【來源】專題18 二次函數(shù)（一）（考點(diǎn)）-備戰(zhàn)2021年中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)微專題（上海專用）
答案:（1）y＝﹣x2+x+2；（2）；（3）C（2，3）
分析：
（1）利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式即可；
（2）如圖1，過點(diǎn)D作DG⊥x軸于G，利用平行證明△ADG∽△ABO，列比例式可以計(jì)算OG和DG的長，從而得D（1，），最后由平移的性質(zhì)可得m的值；
（3）如圖2，作輔助線，構(gòu)建等腰△ABF，確定點(diǎn)F的坐標(biāo)，計(jì)算BF的解析式，聯(lián)立拋物線和BF的解析式，方程組的一個(gè)解就是點(diǎn)C的坐標(biāo)．
【詳解】
解：（1）把點(diǎn)A（4，0）和點(diǎn)B（0，2）代入拋物線y＝﹣x2+bx+c中得：
，
解得：，
∴拋物線的解析式為：y＝﹣x2+x+2；
（2）如圖1，過點(diǎn)D作DG⊥x軸于G，
∴DG∥OB，
∴△ADG∽△ABO，
∴，
∵AD＝3BD，
∴AG＝3OG，
∵A（4，0），B（0，2），
∴OA＝4，OB＝2，
∴OG＝1，DG＝，
∵D（1，），
由平移得：點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為1，
當(dāng)x＝1時(shí)，y＝﹣×1+×1+2＝3，
∴m＝3﹣＝；
（3）∵∠CBA＝2∠BAO，點(diǎn)C在該拋物線上且在第一象限，
∴點(diǎn)C在AB的上方，
如圖2，過A作AF⊥x軸于A，交BC的延長線于點(diǎn)F，過B作BE⊥AF于點(diǎn)E，
∴BE∥OA，
∴∠BAO＝∠ABE，
∵∠CBA＝2∠BAO＝∠ABE+∠EBF，
∴∠FBE＝∠ABE，
∵∠BEF＝∠AEB＝90°，
∴∠F＝∠BAF，
∴AB＝BF，
∴AE＝EF＝OB＝2，
∴F（4，4），
設(shè)BF的解析式為：y＝kx+n，
則，
解得：，
∴BF的解析式為：y＝x+2，
∴，
解得或，
∴C（2，3）．
【點(diǎn)睛】
本題考查了二次函數(shù)的綜合題，包括二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)；解題關(guān)鍵是會(huì)利用待定系數(shù)法求拋物線和一次函數(shù)的解析式；靈活應(yīng)用相似比表示線段之間的關(guān)系；理解坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)；會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想解決數(shù)學(xué)問題．
29．在平面直角坐標(biāo)系xOy中（如圖），已知拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（﹣2，0）、B（6，0），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是在第四象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線AD與直線BC交于點(diǎn)E．
（1）求b、c的值和直線BC的表達(dá)式；
（2）設(shè)∠CAD＝45°，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為d，用含d的代數(shù)式表示△ACE與△DCE的面積比．
【來源】2021年上海市普陀區(qū)中考數(shù)學(xué)二模試題
答案:（1），直線BC解析式為y＝x﹣6；（2）；（3）
分析：
（1）利用待定系數(shù)法可求解析式；
（2）通過證明△ACE∽△BCA，可得，即可求解；
（3）過點(diǎn)D作DF∥AB交BC于點(diǎn)F，由相似三角形的性質(zhì)可得，即可求解．
【詳解】
解：（1）∵拋物線y＝+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（﹣2，0）、B（6，0），
∴，解得，
∴拋物線解析式為y＝-2x﹣6，
當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣6，∴點(diǎn)C（0，﹣6），設(shè)直線BC解析式為y＝mx+n，
則，解得：，∴直線BC解析式為y＝x﹣6；
（2）如圖1，過點(diǎn)E作EH⊥OC于H，
∵點(diǎn)C（0，﹣6），點(diǎn)B（6，0），點(diǎn)A（﹣2，0），
∴OB＝OC＝6，OA＝2，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，BC＝6，AC＝=，
∵∠ABC＝∠CAD＝45°，∠ACE＝∠ACB，
∴△ACE∽△BCA，
∴，
∴，
∴CE＝，
∵EH⊥CO，∠ECH＝45°，
∴EH＝HC＝，
∴OH＝，
∴點(diǎn)E（，﹣）；
（3）∵點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為d，
∴點(diǎn)D（d，﹣2d﹣6），（0＜d＜6），
如圖2，過點(diǎn)D作DF∥AB交BC于點(diǎn)F，
∴△ABE∽△DFE，
∴，
∵，
∴．
∵點(diǎn)F在直線BC上，
∴點(diǎn)F（﹣2d，﹣2d﹣6），
∴DF＝3d﹣，
∴．
【點(diǎn)睛】
本題考查了待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)的解析式，用函數(shù)的解析式表示點(diǎn)的坐標(biāo)，三角形的相似，勾股定理，兩點(diǎn)間的距離公式，熟練掌握待定系數(shù)法，靈活運(yùn)用三角形相似的判定定理是解題的關(guān)鍵．
30．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸正半軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)在該拋物線上且在第一象限．
（1）求該拋物線的表達(dá)式；
（2）將該拋物線向下平移個(gè)單位，使得點(diǎn)落在線段上的點(diǎn)處，當(dāng)時(shí)，求的值；
（3）聯(lián)結(jié)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
【來源】專題19 二次函數(shù)（二）（考點(diǎn)）-備戰(zhàn)2021年中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)微專題（上海專用）
答案:（1）；（2）；（3）
【詳解】
（1）把A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式，解二元一次方程求出b、c即可；
（2）根據(jù)，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，把橫坐標(biāo)代入解析式，求出C點(diǎn)縱坐標(biāo)，求差即可；
（3）延長CB交x軸于點(diǎn)F因?yàn)?，所以，BA=BF可求F坐標(biāo)（-4，0），求出BC析式，再求它與拋物線交點(diǎn)即可．
解：（1）把、代入得
，
解得：
∴拋物線的解析式為；
（2）拋物線向下平移時(shí)，C點(diǎn)所在直線交x軸于點(diǎn)E，
由題意可得：DE⊥x
∴DE∥OB，
∴△ADE∽△ABO，
∴，
∵
∴
，
，
把x=3代入得
，
，
∴m=；
（3）∵點(diǎn)C在第一象限，連接CB并延長，交x軸于點(diǎn)F，
，，
∴∠BAO=∠BFO，
∴BA=BF，
∴F點(diǎn)于A點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，
∴F點(diǎn)的坐標(biāo)為F（-4，0），
由B（0，2）易求BC解析式為：，
與拋物線解析式聯(lián)立方程組，
，
解得或，，
．
【點(diǎn)睛】
本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)；會(huì)利用待定系數(shù)法求拋物線和一次函數(shù)的解析式；靈活應(yīng)用相似比表示線段之間的關(guān)系；理解坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)；會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想解決數(shù)學(xué)問題．
31．已知拋物線過點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)A在直線上且在第一象限內(nèi)，過A作軸于B，以為斜邊在其左側(cè)作等腰直角．
①若A與Q重合，求C到拋物線對(duì)稱軸的距離；
②若C落在拋物線上，求C的坐標(biāo)．
【來源】上海市2021年中考數(shù)學(xué)真題
答案:（1）；（2）①1；②點(diǎn)C的坐標(biāo)是
分析：
(1)將兩點(diǎn)分別代入，得,解方程組即可;
（2）①根據(jù)AB=4,斜邊上的高為2,Q的橫坐標(biāo)為1,計(jì)算點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為-1,即到y(tǒng)軸的距離為1；②根據(jù)直線PQ的解析式，設(shè)點(diǎn)A（m，-2m+6）,三角形ABC是等腰直角三角形，用含有m的代數(shù)式表示點(diǎn)C的坐標(biāo)，代入拋物線解析式求解即可.
【詳解】
解：（1）將兩點(diǎn)分別代入，得
解得．
所以拋物線的解析式是．
（2）①如圖2，拋物線的對(duì)稱軸是y軸，當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)重合時(shí)，，
作于H．
∵是等腰直角三角形，
∴和也是等腰直角三角形，
∴，
∴點(diǎn)C到拋物線的對(duì)稱軸的距離等于1．
②如圖3，設(shè)直線PQ的解析式為y=kx+b，由，得
解得
∴直線的解析式為，
設(shè)，
∴，
所以．
所以．
將點(diǎn)代入，
得．
整理，得．
因式分解，得．
解得，或（與點(diǎn)P重合，舍去）．
當(dāng)時(shí)，．
所以點(diǎn)C的坐標(biāo)是．
【點(diǎn)評(píng)】
本題考查了拋物線解析式的確定，一次函數(shù)解析式的確定，等腰直角三角形的性質(zhì)，一元二次方程的解法，熟練掌握待定系數(shù)法，靈活用解析式表示點(diǎn)的坐標(biāo)，熟練解一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
32．已知△OAB在直角坐標(biāo)系中的位置如圖，點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)B在x軸正半軸上，OA＝OB＝6，∠AOB＝30°．
（1）求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；
（2）開口向上的拋物線經(jīng)過原點(diǎn)O和點(diǎn)B，設(shè)其頂點(diǎn)為E，當(dāng)△OBE為等腰直角三角形時(shí)，求拋物線的解析式；
（3）設(shè)半徑為2的⊙P與直線OA交于M、N兩點(diǎn)，已知，P（m，2）（m＞0），求m的值．
【來源】2017年上海市長寧區(qū)金山區(qū)九年級(jí)下學(xué)期二模數(shù)學(xué)試題
答案:（1）A點(diǎn)坐標(biāo)為，B點(diǎn)坐標(biāo)為（6，0）；（2）；（3）m的值為或
分析：
（1）根據(jù)30°角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半，可得AC的長，再根據(jù)銳角三角函數(shù)，可得OC，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，可得答案；
（2）根據(jù)等腰直角三角形，可得E點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)待定系數(shù)法，可得答案；
（3）根據(jù)30°角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半，可得∠CNP=30°，再根據(jù)勾股定理求得OE的長，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，可得N點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)的左右平移，可得點(diǎn)P坐標(biāo).
【詳解】
（1）如圖1，
作 AC⊥OB于C點(diǎn)，
由OB＝OA＝6，得B點(diǎn)坐標(biāo)為（6，0），
由OB＝OA＝6，∠AOB＝30°，得
，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為；
（2）如圖2，
由其頂點(diǎn)為E，當(dāng)△OBE為等腰直角三角形，得
，
即E點(diǎn)坐標(biāo)為（3，﹣3）．
設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x﹣3）2﹣3，將B點(diǎn)坐標(biāo)代入，解得，
拋物線的解析式為
化簡得；
（3）如圖3，
PN＝2， ，PC＝1，
∠CNP＝∠AOB＝30°，
NP∥OB，
NE＝2，得ON＝4，
由勾股定理，得
，即．
N向右平移2個(gè)單位得，
N向左平移2個(gè)單位，得，
m的值為或．
【點(diǎn)睛】
本題為二次函數(shù)綜合題，難度較大，考點(diǎn)涉及含30°角的直角三角形、銳角三角形函數(shù)、等腰直角三角形的性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握各個(gè)知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵.
33．在平面直角坐標(biāo)系中（如圖），已知二次函數(shù)（其中a、b、c是常數(shù)，且a≠0）的圖像經(jīng)過點(diǎn)A（0，-3）、B（1，0）、C（3，0），聯(lián)結(jié)AB、AC．
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；
（2）點(diǎn)D是線段AC上的一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)BD，如果，求tan∠DBC的值；
（3）如果點(diǎn)E在該二次函數(shù)圖像的對(duì)稱軸上，當(dāng)AC平分∠BAE時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．
【來源】專題19 二次函數(shù)（二）（考點(diǎn)專練）-備戰(zhàn)2021年中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)微專題（上海專用）
答案:（1）；（2）；（3）E（2，）
分析：
（1）直接利用待定系數(shù)法，把A、B、C三點(diǎn)代入解析式，即可得到答案；
（2）過點(diǎn)D作DH⊥BC于H，在△ABC中，設(shè)AC邊上的高為h，利用面積的比得到，然后求出DH和BH，即可得到答案；
（3）延長AE至x軸，與x軸交于點(diǎn)F，先證明△OAB∽△OFA，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，然后求出直線AF的方程，即可求出點(diǎn)E的坐標(biāo).
【詳解】
解：（1）將A（0，-3）、B（1，0）、C（3，0）代入得，
解得，
∴此拋物線的表達(dá)式是：．
（2）過點(diǎn)D作DH⊥BC于H，
在△ABC中，設(shè)AC邊上的高為h，則，
又∵DH//y軸，
∴．
∵OA=OC=3，則∠ACO=45°，
∴△CDH為等腰直角三角形，
∴．
∴．
∴tan∠DBC=.
（3）延長AE至x軸，與x軸交于點(diǎn)F，
∵OA=OC=3，
∴∠OAC=∠OCA=45°，
∵∠OAB=∠OAC∠BAC=45°∠BAC，∠OFA=∠OCA∠FAC=45°∠FAC，
∵∠BAC=∠FAC，
∴∠OAB=∠OFA．
∴△OAB∽△OFA，
∴．
∴OF=9，即F（9，0）；
設(shè)直線AF的解析式為y=kx+b（k≠0），
可得 ，解得，
∴直線AF的解析式為：，
將x=2代入直線AF的解析式得：，
∴E（2，）.
【點(diǎn)睛】
本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，求二次函數(shù)的解析式，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，求一次函數(shù)的解析式，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，以及正確作出輔助線構(gòu)造相似三角形.
34．已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是該拋物線上一點(diǎn)，且在第四象限內(nèi)，連接．
（1）求拋物線的函數(shù)解析式，并寫出對(duì)稱軸；
（2）當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，如果點(diǎn)是軸上一點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．
【來源】2020年上海市崇明區(qū)九年級(jí)中考二模數(shù)學(xué)試題
答案:（1），對(duì)稱軸為直線； （2）；（3）點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或．
分析：
（1）根據(jù)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出拋物線的解析式，即可寫出對(duì)稱軸；
（2）連接，求出C點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)A、B、C點(diǎn)坐標(biāo)求出，設(shè)，
根據(jù)，列出關(guān)于x的方程，解方程即可求出D點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）分兩種情形：如圖2中，當(dāng)AE為平行四邊形的邊時(shí)，根據(jù)DF=AE=1，求解即可．如圖3中，當(dāng)AE，DF是平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，根據(jù)點(diǎn)F的縱坐標(biāo)為6，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，再根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解即可．
【詳解】
（1）∵經(jīng)過點(diǎn)，
，
，
∴拋物線的解析式為，
對(duì)稱軸為直線．
（2）連接，
∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)，
，
，
，
又，
，
，
，
設(shè)，
∵點(diǎn)在第四象限，
，
=
=，
，
，
，
．
（3）如圖2中，當(dāng)AE為平行四邊形的邊時(shí)，

∵DF∥AE，D（2，-6）
∴F（1，-6），
∴DF=1，
∴AE=1，
∴E（0，0），或E′（-2，0）．
如圖3中，當(dāng)AE，DF是平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，

∵點(diǎn)D與點(diǎn)F到x軸的距離相等，
∴點(diǎn)F的縱坐標(biāo)為6，
當(dāng)y=6時(shí)，6=x2-3x-4，
解得x=-2或5，
∴F（-2，6）或（5，6），
設(shè)E（n，0），則有或，
解得n=1或8，
∴E（1，0）或（8，0），
綜上所述，滿足條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，0）或（1，0）或（8，0）或（-2，0）．
【點(diǎn)睛】
本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法，平行四邊形的判定和性質(zhì)，三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題，屬于中考?jí)狠S題．
二、填空題
35．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，等腰直角三角形OAB的斜邊OA在x軸上，且OA＝4，如果拋物線y＝ax2+bx+c向下平移4個(gè)單位后恰好能同時(shí)經(jīng)過O、A、B三點(diǎn)，那么a+b+c＝_____．
【來源】2021年上海市崇明區(qū)中考數(shù)學(xué)二模試題
答案:
分析：
根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求得A（4，0），B（2，﹣2），拋物線y＝ax2+bx+c向下平移4個(gè)單位后得到y(tǒng)＝ax2+bx+c﹣4，然后把O、A、B的坐標(biāo)代入，根據(jù)待定系數(shù)法即可求得a、b、c的值，進(jìn)而即可求得a+b+c的值．
【詳解】
解：∵等腰直角三角形OAB的斜邊OA在x軸上，且OA＝4，
∴A（4，0），B（2，﹣2），
拋物線y＝ax2+bx+c向下平移4個(gè)單位后得到y(tǒng)＝ax2+bx+c﹣4，
∵平移后恰好能同時(shí)經(jīng)過O、A、B三點(diǎn)，
∴，
解得，
∴a+b+c2+4，
故答案為．
【點(diǎn)睛】
本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象與幾何變換，待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，求得點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．
x
…
0
1
2
…
y
…
0
4
6
6
4
…
x
-1
0
1
ax2
…
…
1
ax2+ bx + c
7
2
…

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