北師大版數(shù)學(xué)九上期末重難點(diǎn)培優(yōu)訓(xùn)練專題08 用列舉法、樹(shù)狀圖或列表法求概率及概率的應(yīng)用(解析版)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

考點(diǎn)一已知概率求數(shù)量考點(diǎn)二幾何概率
考點(diǎn)三列舉法求概率考點(diǎn)四列表法、樹(shù)狀圖求概率
考點(diǎn)五用概率判斷游戲的公平性考點(diǎn)六概率在轉(zhuǎn)盤抽獎(jiǎng)中的應(yīng)用
考點(diǎn)七用頻率估計(jì)概率及應(yīng)用
考點(diǎn)一已知概率求數(shù)量
例題：（2021·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)期末）春節(jié)前夕，小麗的奶奶給孩子們準(zhǔn)備了一些紅包，這些紅包的外觀相同，其中有個(gè)紅包裝的是元，有個(gè)紅包裝的是元，剩下的紅包裝的是元．若小麗從中隨機(jī)拿出一個(gè)紅包，里面裝的是元的紅包的概率是，則裝有元紅包的個(gè)數(shù)是______________．
【答案】
【分析】根據(jù)概率的大小列出方程求解即可．
【詳解】解：設(shè)有20元的紅包x個(gè)，根據(jù)題意得：，
解得：x=16，
經(jīng)檢驗(yàn)，x=16是原方程的解，
所以，裝有元紅包的個(gè)數(shù)是16個(gè)，
故答案為：16．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的求法與運(yùn)用，一般方法：如果一個(gè)事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事件A的概率P（A）=，難度適中．
【變式訓(xùn)練】（2022·山東淄博·七年級(jí)期末）在一個(gè)不透明的盒子里裝有除顏色外完全相同的紅、白、黑三種顏色的球．其中紅球3個(gè)，白球5個(gè)，黑球若干個(gè)，若從中任意摸出一個(gè)白球的概率是．
(1)求盒子中球的個(gè)數(shù)；
(2)求任意摸出一個(gè)球是黑球的概率；
(3)能否通過(guò)只改變盒子中白球的數(shù)量，使得任意摸出一個(gè)球是紅球的概率為．若能，請(qǐng)寫出如何調(diào)整白球數(shù)量；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)15
(2)
(3)能，白球需要減少3個(gè)
【分析】（1）利用白球5個(gè)即可求出總數(shù)；
（2）求出黑球個(gè)數(shù)后，直接利用概率公式得出答案；
（3）利用概率公式計(jì)算得出符合題意的方法．
（1）
解：盒子中球的個(gè)數(shù)為：（個(gè)），
答：盒子中球的個(gè)數(shù)為15個(gè)；
（2）
黑球個(gè)數(shù)為：；
∴任意摸出一個(gè)球是黑球的概率為：；
（3）
能，方案如下：
從盒子中拿走3個(gè)白球，也就是白球需要減少3個(gè)．
任意摸出一個(gè)球共出現(xiàn)12種等可能的結(jié)果，其中摸到紅球的有4種．
．
∴白球需要減少3個(gè)．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了概率公式，正確掌握概率求法是解題關(guān)鍵．如果一個(gè)事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事件A的概率．
考點(diǎn)二幾何概率
例題：（2022·山東威?！て吣昙?jí)期末）如圖，數(shù)學(xué)活動(dòng)小組自制了一個(gè)飛鏢盤．若向飛鏢盤內(nèi)投擲飛鏢（落在邊界線重新投擲），則飛鏢落在陰影區(qū)域的概率是_____．
【答案】
【分析】利用陰影部分面積除以總面積=投擲在陰影區(qū)域的概率，進(jìn)而得出答案．
【詳解】解：由題意可得，投擲在陰影區(qū)域的概率是：．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了幾何概率，求出陰影部分面積與總面積的比值是解題關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】（2022·山東青島·七年級(jí)期末）如圖，飛鏢游戲中的每一塊正方形除顏色外都相同，若某人向游戲板投擲飛鏢一次（假設(shè)飛鏢落在游戲板上），則飛鏢落在陰影區(qū)域的概率是______．
【答案】##
【分析】求出整個(gè)圖形的面積和陰影三角形的面積，根據(jù)幾何概率的定義進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】解：設(shè)每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度，則整體的面積為4×4=16（平方單位），
陰影三角形的面積為：4×3-×2×1-×2×3-×2×4=4（平方單位），
所以飛鏢落在陰影區(qū)域的概率是，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查幾何概率，求出整個(gè)圖形的面積和陰影三角形的面積是正確解答的關(guān)鍵．
考點(diǎn)三列舉法求概率
例題：（2022·廣東深圳·八年級(jí)期末）從3、5、6、9四個(gè)數(shù)中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，不放回，再隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，把第一個(gè)數(shù)作為十位數(shù)字，第二個(gè)數(shù)作為個(gè)位數(shù)字，組成一個(gè)兩位數(shù)，則這個(gè)兩位數(shù)是奇數(shù)的概率是______．
【答案】
【分析】從4個(gè)數(shù)中取兩個(gè)數(shù)組成兩位數(shù)，把所有情況全部列出來(lái)，找出其中的奇數(shù)，用奇數(shù)的個(gè)數(shù)除以兩位數(shù)的總個(gè)數(shù)就是這個(gè)兩位數(shù)是奇數(shù)的概率．
【詳解】從3、5、6、9這四個(gè)數(shù)中取兩個(gè)數(shù)組成兩位數(shù)有下列情況：35、36、39、53、56、59、63、65、69、93、95、96，共12種結(jié)果，其中奇數(shù)有9種結(jié)果，
∴P(這個(gè)兩位數(shù)是奇數(shù))=
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查了概率的計(jì)算，事件A發(fā)生的概率=，掌握概率的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】（2022·吉林大學(xué)附屬中學(xué)八年級(jí)期中）從，，3三個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)不同的數(shù)，作為點(diǎn)的坐標(biāo)，則該點(diǎn)在第三象限的概率等于______．
【答案】
【分析】根據(jù)題意可利用列舉法進(jìn)行求解．
【詳解】解：從，，3三個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)不同的數(shù)，作為點(diǎn)的坐標(biāo)，則所有的情況有：，，共有6種可能，符合該點(diǎn)在第三象限的有2種可能，所以其概率為；
故答案為．
【點(diǎn)睛】本題主要考查概率，熟練掌握利用列舉法求解概率是解題的關(guān)鍵．
考點(diǎn)四列表法、樹(shù)狀圖求概率
例題：（2022·遼寧鞍山·中考真題）2022年4月15日是第七個(gè)全民國(guó)家安全教育日，某校七、八年級(jí)舉行了一次國(guó)家安全知識(shí)競(jìng)賽，經(jīng)過(guò)評(píng)比后，七年級(jí)的兩名學(xué)生（用，表示）和八年級(jí)的兩名學(xué)生（用，表示）獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)．
(1)從獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的學(xué)生中隨機(jī)抽取一名分享經(jīng)驗(yàn)，恰好抽到七年級(jí)學(xué)生的概率是_________．
(2)從獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名分享經(jīng)驗(yàn)，請(qǐng)用列表法或畫樹(shù)狀圖法，求抽取的兩名學(xué)生恰好一名來(lái)自七年級(jí)、一名來(lái)自八年級(jí)的概率．
【答案】(1)；
(2)作圖見(jiàn)解析，．
【分析】（1）直接根據(jù)概率公式求解即可；
（2）畫樹(shù)狀圖得出所有等可能結(jié)果，從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可．
（1）
從獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的學(xué)生中隨機(jī)抽取一名分享經(jīng)驗(yàn)，恰好抽到七年級(jí)學(xué)生的概率是，
故答案為：；
（2）
樹(shù)狀圖如下：
由表知，共有12種等可能結(jié)果，其中抽取的兩名學(xué)生恰好一名來(lái)自七年級(jí)、一名來(lái)自八年級(jí)的有8種結(jié)果，
所以抽取的兩名學(xué)生恰好一名來(lái)自七年級(jí)、一名來(lái)自八年級(jí)的概率為．
【點(diǎn)睛】本題考查了列表法與樹(shù)狀圖法：利用列表法或樹(shù)狀圖法展示所有可能的結(jié)果求出n，再?gòu)闹羞x出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，然后根據(jù)概率公式計(jì)算事件A或事件B的概率．
【變式訓(xùn)練】（2022·遼寧朝陽(yáng)·中考真題）某社區(qū)組織A，B，C，D四個(gè)小區(qū)的居民進(jìn)行核酸檢測(cè)，有很多志愿者參與此項(xiàng)檢測(cè)工作，志愿者王明和李麗分別被隨機(jī)安排到這四個(gè)小區(qū)中的一個(gè)小區(qū)組織居民排隊(duì)等候．
(1)王明被安排到A小區(qū)進(jìn)行服務(wù)的概率是．
(2)請(qǐng)用列表法或畫樹(shù)狀圖法求出王明和李麗被安排到同一個(gè)小區(qū)工作的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)概率公式求解即可；
（2）列表得出所有等可能結(jié)果，從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可．
（1）
解：王明被安排到A小區(qū)進(jìn)行服務(wù)的概率是，
故答案為：；
（2）
列表如下：A，B，C，D表示四個(gè)小區(qū)，
由表知，共有16種等可能結(jié)果，其中王明和李麗被安排到同一個(gè)小區(qū)工作的有4種結(jié)果，
所以王明和李麗被安排到同一個(gè)小區(qū)工作的概率為．
【點(diǎn)睛】此題考查的是用列表法或樹(shù)狀圖法求概率．列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件；樹(shù)狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
考點(diǎn)五用概率判斷游戲的公平性
例題：（2022·黑龍江黑河·九年級(jí)期末）淘淘和明明玩骰子游戲，每人將一個(gè)各面分別標(biāo)有1，2，3，4，5，6的正方體骰子擲一次，把兩人擲得的點(diǎn)數(shù)相加，并約定：點(diǎn)數(shù)之和等于6，淘淘贏；點(diǎn)數(shù)之和等于7，明明贏；點(diǎn)數(shù)之和是其它數(shù)，兩人不分勝負(fù)．
(1)請(qǐng)你用“畫樹(shù)狀圖”或“列表”的方法分析說(shuō)明此游戲是否公平．
(2)請(qǐng)你基于（1）問(wèn)中得到的數(shù)據(jù)，設(shè)計(jì)出一種公平的游戲規(guī)則．(列出一種即可)
【答案】(1)此游戲不公平，見(jiàn)解析
(2)點(diǎn)數(shù)之和等于6，淘淘贏；點(diǎn)數(shù)之和等于8，明明贏
【分析】（1）畫樹(shù)狀圖求出淘淘和明明獲勝的概率，再比較概率即可判定游戲是否公平；
（2）設(shè)計(jì)一個(gè)兩人獲勝概率一樣的游戲規(guī)則即可．
（1）
解：畫樹(shù)狀圖：
由圖可知，點(diǎn)數(shù)之和共有36種可能的結(jié)果，其中6出現(xiàn)5次，7出現(xiàn)6次，
故P(和為6)，P(和為7)．
P(和為6)

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