目錄
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc8142" 【典型例題】 PAGEREF _Tc8142 \h 1
\l "_Tc1876" 【模型一 一點一參數代入求二次函數的解析式】 PAGEREF _Tc1876 \h 1
\l "_Tc20913" 【模型二 兩點兩參數代入求二次函數的解析式】 PAGEREF _Tc20913 \h 5
\l "_Tc26240" 【模型三 三點三參數代入求二次函數的解析式】 PAGEREF _Tc26240 \h 10
\l "_Tc10319" 【模型四 一點一對稱軸求二次函數的解析式】 PAGEREF _Tc10319 \h 17
\l "_Tc3675" 【模型五 已知頂點式求二次函數的解析式】 PAGEREF _Tc3675 \h 28
\l "_Tc5440" 【模型六 已知交點式求二次函數的解析式】 PAGEREF _Tc5440 \h 33
【典型例題】
【模型一 一點一參數代入求二次函數的解析式】
例題：（2023·浙江湖州·統(tǒng)考二模）如圖，已知在平面直角坐標系中，拋物線經過點．

(1)求該拋物線的解析式；
(2)將該拋物線向下平移n個單位，使得平移后的拋物線經過點，求n的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）把點代入可求出b，從而得解；
（2）根據拋物線向下平移n個單位，得到新拋物線的解析式，再將點代入可求出n的值．
【詳解】（1）解：把點代入得：，
解得，
∴拋物線的解析式為：
（2）拋物線向下平移n個單位后得：，
把點代入得：
解得：
即n的值為1．
【點睛】本題考查待定系數法和拋物線的平移，掌握待定系數法和拋物線的平移是解題的關鍵．
【變式訓練】
1．（2023·上?！ぞ拍昙壖倨谧鳂I(yè)）已知一個二次函數的圖象經過點．
(1)求b的值；
(2)求拋物線關于x軸對稱的拋物線的解析式．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）把代入二次函數解析式即可求出b的值；
（2）根據軸對稱的性質可得拋物線關于x軸對稱的圖象橫坐標不變，縱坐標互為相反數，然后可得答案．
【詳解】（1）解：∵二次函數的圖象經過點，
∴把點代入得，
解得：；
（2）解：由（1）可知二次函數解析式為，
∵拋物線關于x軸對稱的圖象橫坐標不變，縱坐標互為相反數，
∴所得拋物線解析式為，即．
【點睛】本題考查了待定系數法，二次函數的圖象與幾何變換，熟練掌握軸對稱的性質是解題的關鍵．
2．（2023·浙江溫州·校聯(lián)考三模）已知拋物線經過點．
(1)求拋物線的函數表達式和頂點坐標．
(2)拋物線與軸的另一交點為，將線段向上平移個單位，平移后的線段與拋物線分別交于點（點在點左側），若，求的值．
【答案】(1)，頂點坐標為
(2)3
【分析】（1）將代入表達式，進行計算求出的值即可得到解析式，再根據求頂點坐標的公式進行求解即可；
（2）由對稱性可得到點的坐標，從而得到的長度，再由可得到的長度，最后根據對稱性即可求出點的橫坐標，代入表達式即可求出縱坐標，從而即可得到答案．
【詳解】（1）解：把代入表達式，
得：，
解得：，
函數表達式為，
當時，，
頂點坐標為；
（2）解：，對稱軸為直線，
由對稱性可知，
，
，
∴，
點在點左側，
由對稱性可得，點的橫坐標為：，
當時，，
．
【點睛】本題主要考查了待定系數法求二次函數的解析式、二次函數的頂點坐標、二次函數的對稱性，熟練掌握二次函數的圖象與性質，是解題的關鍵．
3．（2023·浙江溫州·溫州市第八中學?？既＃┤鐖D，拋物線，C為y軸正半軸上一點，過點C作軸交拋物線于點A，B（A在B的左側），且，．

(1)求該拋物線的對稱軸及函數表達式．
(2)當，最大值與最小值的差是9，求t的取值范圍．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）根據拋物線的對稱軸公式直接求出對稱軸，再根據對稱軸求出點A的坐標，利用待定系數法即可求出函數的表達式；
（2）先求出拋物線的頂點坐標，根據二次函數圖形的性質，針對，和三種情況進行分析即可得到答案．
【詳解】（1）解：拋物線的對稱軸為：，即；
如下圖所示，設對稱軸交于點E，交x軸于點F，設拋物線頂點為D，

∵對稱軸，，，
∴
∴
∴
將代入拋物線的解析式得：，
解得，
∴拋物線的解析式為：；
（2）解： ∵，
∴拋物線的頂點為，
當時，，即為點，
∵頂點為，
∴當時，，
最大值與最小值的差是不等于9，
當時，
最大值為，最小值為點，最大值于最小值相差為9，
當時，最大值大于，
此時，最大值于最小值相差不等于9，
∴當，最大值與最小值的差是9，t的取值范圍為：
【點睛】本題考查拋物線的性質，解題的關鍵是熟練掌握對稱軸的公式和二次函數的圖像性質．
【模型二 兩點兩參數代入求二次函數的解析式】
例題：（2023·浙江寧波·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知二次函數圖象經過點和．

(1)求該二次函數的表達式及圖象的頂點坐標．
(2)當時，請根據圖象直接寫出x的取值范圍．
【答案】(1)，頂點坐標為；
(2)
【分析】（1）把和代入，建立方程組求解解析式即可，再把解析式化為頂點式，可得頂點坐標；
（2）把代入函數解析式求解的值，再利用函數圖象可得時的取值范圍．
【詳解】（1）解：∵二次函數圖象經過點和．
∴，解得：，
∴拋物線為，
∴頂點坐標為：；
（2）當時，，
∴
解得：，，

如圖，當時，
∴．
【點睛】本題考查的是利用待定系數法求解二次函數的解析式，二次函數的頂點坐標，利用圖象法解不等式，熟練的運用數形結合的方法解題是關鍵．
【變式訓練】
1．（2023春·廣西南寧·八年級南寧市天桃實驗學校?？计谀┤鐖D，二次函數的圖象與x軸交于點A、點B，與y軸交于點C．其中．
(1)求二次函數的解析式；
(2)若點P在二次函數圖象上，且，求點P的坐標．
【答案】(1)
(2)或或
【分析】（1）利用待定系數法求解即可；
（2）先求出點B的坐標，進而求出的面積，則由三角形面積公式可求出點P的縱坐標，進而求出點P的坐標即可．
【詳解】（1）解：把代入中得：，
∴，
∴二次函數解析式為；
（2）解：當時，則，解得或，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
當時，解得，即 ；
當時，解得或，即或；
綜上所述，點P的坐標為或或．
【點睛】本題主要考查了二次函數綜合，待定系數法求二次函數解析式，靈活運用所學知識是解題的關鍵．
2．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）已知拋物線與x軸交于，兩點，與y軸交于點C，頂點為D．

(1)求該拋物線的解析式；
(2)連接，，，P為的中點，連接，則線段的長是______．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據點的坐標，利用待定系數法即可得；
（2）先根據拋物線的解析式求出點的坐標，再利用中點坐標公式可得點的坐標，然后利用兩點之間的距離公式即可得．
【詳解】（1）解：將點，代入
得：，
解得，
則該拋物線的解析式為．
（2）解：拋物線的頂點坐標為，
當時，，即，
∵P為的中點，且，
∴即
∴，
故答案為：．
【點睛】本題考查了求二次函數的解析式、兩點之間的距離公式，熟練掌握待定系數法是解題關鍵．
3．（2023·河南駐馬店·統(tǒng)考三模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點和點，且經過點．

(1)求拋物線的解析式；
(2)結合函數圖象當時，求自變量的取值范圍；
(3)點為拋物線上一點且到軸距離小于，結合函數的圖象求點縱坐標的取值范圍．
【答案】(1)；
(2)或；
(3)．
【分析】（1）待定系數法求解析式即可求解；
（2）令，解方程求得的坐標，進而結合圖象即可求解；
（3）根據解析式可得，拋物線的頂點坐標為，對稱軸為直線，根據，且，根據增減性，結合函數圖象即可求解．
【詳解】（1）解：將和代入
得，解得，
拋物線的解析式為；
（2）由(1)可知拋物線的解析式為，
令，則，得，，
，，
結合函數圖象可得，當時，自變量的取值范圍為或；
（3），
拋物線的頂點坐標為，對稱軸為直線，
，且，
當時，取得最大值，最大值是，
當時，；
當時，；
．
【點睛】本題考查了二次函數綜合問題，待定系數法求解析式解析式，求與坐標軸的交點坐標，根據圖象求不等式的解集，熟練掌握二次函數的性質，數形結合是解題的關鍵．
【模型三 三點三參數代入求二次函數的解析式】
例題：（2023秋·江蘇南京·九年級校聯(lián)考期末）已知二次函數的圖像經過（－1，0），（0，2），（1，0）三點．
(1)求該二次函數的表達式；
(2)當時，y的取值范圍是______．
(3)將該函數的圖像沿直線x＝1翻折，直接寫出翻折后的圖像所對應的函數表達式．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根據（－1，0），（1，0）兩點可得頂點坐標為（0，2），設頂點式代入點坐標即可；
（2）求出對稱軸，判斷出對稱軸在內，故在對稱軸處取最大值，端點處取最小值；
（3）圖像沿直線x＝1翻折，不變，頂點坐標變?yōu)?，代入頂點式即可．
【詳解】（1）解：根據題意，可得圖像頂點坐標為（0，2），設二次函數的表達式為．
將（1，0）代入，求得，
∴．
（2）解：對稱軸為軸，且開口向下
當時，有最大值2（能取到）
當時，有最小值（取不到）
y的取值范圍是：
（3）解：頂點坐標變?yōu)?br>所以表達式為：
（或，）
【點睛】本題考查了二次函數的性質，主要知識點有：求最值、待定系數法求表達式、點的軸對稱等，熟記二次函數的相關性質是解題關鍵．
【變式訓練】
1．（2023·上海·九年級假期作業(yè)）已知拋物線經過點，、，、，．
(1)求該拋物線的解析式；
(2)當為何值時，？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）待定系數法求解析式即可求解．
（2）當時，當拋物線與直線交于點，根據拋物線的開口向下，結合函數圖象即可求解．
【詳解】（1）把，、，、，代入二次函數解析式，可得：
，解得．
所以拋物線的解析式為：；
（2）解：由，當時，
解得：
∴當拋物線與直線交于點，
根據二次函數的圖象可得，時，．
【點睛】本題考查了待定系數法求解析式，二次函數圖象和性質，熟練掌握二次函數圖象和性質是解題的關鍵．
2．（2023·上海·九年級假期作業(yè)）已知二次函數的圖象經過點，）、（，）、（，），且與軸交于、兩點．
(1)試確定該二次函數的解析式；
(2)判定點，是否在這個圖象上，并說明理由；
(3)求的面積．
【答案】(1)
(2)在，理由見解析
(3)6
【分析】（1）待定系數法求解析式即可求解；
（2）將代入解析式，得，即可得出結論；
（3）令，求得的坐標，進而根據三角形的面積公式即可求解．
【詳解】（1）設二次函數為，把，、，、，代入二次函數解析式，
得：，
解得．
∴二次函數的解析式為：；
（2）把代入解析式，可得：，所以點，在函數圖象上．
（3）當，，
解得：，
∴，
又，，
∴．
【點睛】本題考查了待定系數法求二次函數解析式，二次函數的性質，二次函數圖象與軸的交點問題，熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵．
3．（2023秋·江西宜春·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在直角坐標系中，二次函數經過，，三個點．
(1)求該二次函數的解析式；
(2)若在該函數圖象的對稱軸上有個動點D，求當點D坐標為何值時，的周長最?。?br>【答案】(1)拋物線的解析式為；
(2)當點D的坐標為時，的周長最小
【分析】（1）設這個二次函數的解析式為，利用待定系數法求拋物線解析式；
（2）與對稱軸的交點即為點D，此時的周長最小．
【詳解】（1）解：設二次函數的解析式為，將A、B、C三點代入，
得，
解得：，，
∴拋物線的解析式為：；
（2）解：拋物線的對稱軸為，
如圖，連接與對稱軸交于點D，
∵，，
∴B、C關于對稱軸對稱，
∴，
∴，
∵為定值，
此時的周長取得最小值，點D即為所求；
設直線解析式為，
將A、C兩點代入得，
解得：，
直線的解析式為：，
當時，，
∴當點D的坐標為時，的周長最?。?br>【點睛】本題考查了待定系數法求二次函數解析式，最短路徑問題，掌握兩直線交點求法是求出點D的關鍵．
4．（2023·全國·九年級專題練習）如圖，拋物線過點．

(1)求拋物線的解析式；
(2)設點是直線上方拋物線上一點，求出的最大面積及此時點的坐標；
(3)若點是拋物線對稱軸上一動點，點為坐標平面內一點，是否存在以為邊，點為頂點的四邊形是菱形，若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)的最大面積為，
(3)存在，或或，，見解析
【分析】（1）利用待定系數法代入求解即可；
（2）利用待定系數法先確定直線的解析式為，設點，過點P作軸于點D，交于點E，得出，然后得出三角形面積的函數即可得出結果；
（3）分兩種情況進行分析：若為菱形的邊長，利用菱形的性質求解即可．
【詳解】（1）解：將點代入解析式得：
，
解得：，
∴拋物線的解析式為；
（2）設直線的解析式為，將點B、C代入得：
，
解得：，
∴直線的解析式為，
∵，
∴，
設點，過點P作軸于點D，交于點E，如圖所示：

∴，
∴，
∴，
∴當時，的最大面積為，
，
∴
（3）存在，或或或，，證明如下：
∵，
∵拋物線的解析式為，
∴對稱軸為：，
設點，
若為菱形的邊長，菱形，
則，即，
解得：，，
∵，
∴，
∴，；
若為菱形的邊長，菱形，
則，即，
解得：，，
∵，
∴，
∴，；
綜上可得：
或或，．
【點睛】題目主要考查二次函數的綜合應用，包括待定系數法確定函數解析式，三角形面積問題及特殊四邊形問題，全等三角形的判定和性質等，理解題意，綜合運用這些知識點是解題關鍵．
【模型四 一點一對稱軸求二次函數的解析式】
例題：（2023·寧夏中衛(wèi)·統(tǒng)考二模）如圖，拋物線的對稱軸為直線，與x軸交于A，B兩點，與y軸交于C點，且A點坐標為．

(1)求拋物線的解析式及頂點D的坐標；
(2)點是x軸上的一個動點，當的值最小時，求a的值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根據對稱軸為直線，可得，即可求出b的值，再將點A的坐標代入，求出c的值，即可得出拋物線解析式，將其化為頂點式，即可得出點D坐標；
（2）作點C關于x軸的對稱點E，連接，交x軸于點M，此時的值最小，求出所在直線的表達式，即可求出點M的坐標．
【詳解】（1）解：∵拋物線的對稱軸為直線，
∴，解得：，
把代入得：，
解得：，
∴拋物線的解析式為：，
∴點D的坐標為．
（2）解：作點C關于x軸的對稱點E，連接，交x軸于點M，
把代入得：，
∴，
∴，
設所在直線為，
把，代入得：
，解得： ，
∴所在直線的表達式為：為，
把代入得：，
解得：，
∴，．

【點睛】本題主要考查了用待定系數法求解二次函數表達式，根據軸對稱的性質確定最短路徑，解題的關鍵是熟練掌握用待定系數法求解函數表達式的方法和步驟．
【變式訓練】
1．（2023·黑龍江佳木斯·校聯(lián)考二模）如圖，拋物線交軸于點，，交軸于點，對稱軸是直線．

(1)求拋物線的解析式；
(2)點在拋物線上，若直線平分的面積，請直接寫出點的坐標．
【答案】(1)拋物線的解析式為
(2)，
【分析】（1）先根據對稱性求出與x軸的另一個交點，再根據交點式可直接出結果；
（2）由直線平分的面積推出直線經過的中點，求出這個中點，從而求出直線的解析式，將直線的解析式與拋物線的解析式聯(lián)立方程組可求出點P的坐標．
【詳解】（1）解：點關于直線的對稱點是，點在拋物線上，
∴的兩根是，
又∵二次項系數，
∴由交點式可得拋物線的解析式為：，即；
（2）點的坐標：，．
補充求解過程如下：
令得：
∴
∵直線平分的面積，
∴直線經過的中點，設為點D，
∵，
∴

設直線的解析式為，
將點D代入得：
解得：，
∴直線的解析式為．
將直線的解析式與拋物線的解析式聯(lián)立得：
將①代入②得：
解得：，
當時，，
當時，，
∴直線與拋物線的公共點即點的坐標：，
【點睛】本題考查待定系數法求二次函數的解析式，二次函數的圖象與性質，直線與二次函數的交點問題，掌握待定系數法和求拋物線與直線的交點的方法是解題的關鍵．
2．（2023·安徽合肥·統(tǒng)考三模）已知拋物線交軸于C，D兩點，其中點C的坐標為，對稱軸為．點A，B為坐標平面內兩點，其坐標為，．
(1)求拋物線的解析式及頂點坐標；
(2)連接，若拋物線向下平移個單位時，與線段只有一個公共點，求k的取值范圍．
【答案】(1)；
(2)或
【分析】（1）根據拋物線的對稱軸為，求出b的值，將代入求出c的值即可得出拋物線的解析式，將拋物線化為頂點式，即可求出拋物線的頂點坐標；
（2）先求出拋物線向下平移個單位后解析式為，得出頂點坐標為，再分別求出當拋物線頂點落在上時，當拋物線經過點當拋物線經過時，k的值，即可得出結果．
【詳解】（1）解：∵拋物線對稱軸為直線，
∴，
∴，
將代入得，
解得，
∴，
∴拋物線頂點坐標為．
（2）解：拋物線向下平移個單位后解析式為，
∴拋物線頂點坐標為，
①當拋物線頂點落在上時，，
解得，此時拋物線與只有1個交點；
②當拋物線經過點時，，
解得，
當拋物線經過時，，
解得，

根據圖象可知，當拋物線經過點A時，拋物線與有2個交點，再向下平移拋物線與有1個交點，當拋物線經過點B時，拋物線與有1個交點，再向下平移拋物線與無交點，
∴時，滿足題意；
綜上所述，或．
【點睛】本題主要考查了二次函數的綜合應用，求二次函數解析式，二次函數的平移，解題的關鍵是數形結合，準確計算．
3．（2023·青海海東·統(tǒng)考二模）拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，其中點A的坐標為，點C的坐標為，對稱軸為直線．
(1)求該拋物線的表達式；
(2)若點P在拋物線上，且，求點P的坐標；
(3)設點Q是線段上的動點，作軸交拋物線于點D，求線段長度的最大值．
【答案】(1)
(2)，
(3)
【分析】（1）利用待定系數法求解即可；
（2）根據拋物線的解析式得出，，從而求得三角形的面積，設點P的坐標為，根據即可求得的值，從而得出點P的坐標；
（3）利用待定系數法可求得直線AC的解析式為，設點，再根據兩點間的距離可表示，然后利用二次函數的最值即可得出答案．
【詳解】（1）已知拋物線的對稱軸為直線，
可設拋物線的表達式為，
將點，點代入，
得，
解得，
∴拋物線的表達式為；
（2）由（1）知拋物線表達式為，
令，解得或，
∴點B的坐標為，
∵點C坐標為，
∴，，
∴，
∵點P在拋物線上，
∴設點P的坐標為，
∴
∵，
∴，
解得或，
∴當時，，
當時，，
∴滿足條件的點P有兩個，分別為，；
（3）如解圖，設直線AC的解析式為，

將點，代入，
得，
解得，
∴直線AC的解析式為，
由于點Q在AC上，可設點，
則點，其中，
∴
∴當時，DQ長度有最大值．
【點睛】本題考查了待定系數法求解析式、二次函數的性質及最值，熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵．
4．（2023·河南鶴壁·統(tǒng)考一模）如圖所示，已知拋物線交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，其中點A的坐標為，對稱軸為直線．

(1)求拋物線的解析式及頂點坐標；
(2)當直線經過點C時，結合圖象直接寫出不等式的解集；
(3)已知點，，連接，若拋物線向下平移個單位長度時，與線段只有一個公共點，請直接寫出k的取值范圍．
【答案】(1)，頂點坐標；
(2)或；
(3)或．
【分析】（1）由待定系數法即可求解；
（2）觀察函數圖象即可求解；
（3）①拋物線向下平移1個單位時，拋物線和有一個交點，即；②當時， ，當時，，當拋物線向下平移個單位時，拋物線和恰好有2個交點，當拋物線向下平移10個單位時，拋物線和恰好有1個交點，之后再沒有交點，即可得解．
【詳解】（1）∵拋物線過點,且對稱軸為直線，
∴
∴
∴；
（2）由（1）知，令得，
∴
∴
令得
∴
∴
∴
∴當直線過點C時，直線的表達式為：，該直線恰好過點B，
觀察函數圖象知，不等式的解集為：或；

（3）①由拋物線的表達式知，其頂點坐標為：，
則拋物線向下平移1個單位時，拋物線和有一個交點，即；
②當時， ，當時，，
當拋物線向下平移個單位時，拋物線和恰好有2個交點，

當拋物線向下平移個單位時，拋物線和恰好有1個交點，之后再沒有交點，
故，
綜上，或．
【點睛】本題是二次函數綜合題，主要考查了一次函數的性質、圖形的平移等，其中（3），要注意分類求解，避免遺漏．
5．（2023·云南曲靖·統(tǒng)考二模）如圖，拋物線與軸交于兩點，對稱軸為，直線的解析式為．

(1)當直線與拋物線有且只有一個交點時，求的值；
(2)若直線經過拋物線的頂點時，與軸交于點，把拋物線沿線段方向向右下平移，使拋物線的頂點移動到點處，在平移過程中，設拋物線上兩點之間這一段曲線掃過的面積為，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由拋物線對稱軸為可得，聯(lián)立，因直線與拋物線有且只有一個交點，所以該方程根的判別式為0，即，即可求解；
（2）可求得拋物線的頂點坐標為，與軸交點為，把代入直線得，設點平移后的對應點為點，連接，由平移性質可知四邊形為平行四邊形連接，．
【詳解】（1）解：由拋物線對稱軸為可得
所以拋物線的解析式為聯(lián)立拋物線與直線的解析式
得
因直線與拋物線有且只有一個交點，所以該方程根的判別式為0，即
解得
（2）解：由
∴頂點坐標為，
令，即，
解得：
∴拋物線與軸交點為
把代入直線得
所以直線，進而得
設點平移后的對應點為點，連接，由平移性質可知四邊形為平行四邊形

連接，
所以
對拋物線上兩點之間這一段曲線掃過的圖形進行割補，可得
【點睛】本題考查了二次函數與直線的交點問題，二次函數的平移，熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵．
【模型五 已知頂點式求二次函數的解析式】
例題：（2023春·河北保定·九年級專題練習）已知拋物線頂點坐標為，且過點．
(1)求其解析式；
(2)把該拋物線向右平移_______個單位，則它過原點．
【答案】(1)
(2)1或3
【分析】（1）根據拋物線頂點坐標可設該拋物線解析式為，再將點代入，求出a的值，即得出該拋物線解析式；
（2）根據（1）所求解析式可求出其圖象與x軸交點坐標，進而即可解答．
【詳解】（1）∵拋物線頂點坐標為，
∴可設該拋物線解析式為．
∵拋物線過點，
∴，
解得：，
∴拋物線解析式為；
（2）對于，
令，則，
∴，
解得：，
∴該拋物線與x軸的兩個交點分別為，，
∴把該拋物線向右平移1個單位或3個單位，則它過原點．
故答案為：1或3．
【點睛】本題考查利用待定系數法求函數解析式，求拋物線與x軸的交點坐標，二次函數圖象的平移．根據題意設出為頂點式的拋物線解析式，再根據待定系數法求出該解析式是解題關鍵．
【變式訓練】
1．（2023·上?！ぞ拍昙壖倨谧鳂I(yè)）已知二次函數的圖像過點，且當時，函數有最小值3，求該二次函數的解析式．
【答案】
【分析】根據題意可知二次函數的頂點坐標為，則可把解析式設為頂點式，利用待定系數法求解即可．
【詳解】解：∵當時，函數有最小值3，
∴可設二次函數解析式為，
把代入函數解析式可得．
∴
∴二次函數的解析式為：，即．
【點睛】本題主要考查了待定系數法求二次函數解析式，正確把函數解析式設為頂點式是解題的關鍵．
2．（2023秋·江西南昌·九年級統(tǒng)考期末）已知拋物線的頂點坐標為，且經過點．
(1)求該拋物線的解析式；
(2)若點在該拋物線上，求m的值．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）設出二次函數的頂點式，然后將頂點坐標為，點直接代入即可．
（2）將代入（1）中求出的表達式，解方程即可．
【詳解】（1）解：設拋物線的解析式為，
得
解得，
所以此函數的解析式為
（2）解：把代入
得，
解得 或．
【點睛】本題考查了待定系數法求函數表達式，以及求坐標的值，準確設出表達式是解題關鍵．
3．（2023秋·河北廊坊·九年級統(tǒng)考期末）如圖所示，二次函數的圖象經過點、頂點坐標為．
(1)求二次函數的解析式；
(2)①當函數值時，直接寫出x的取值范圍；
②當時，直接寫出函數的最大值．
【答案】(1)
(2)①；②3
【分析】(1)設函數的解析式為，將代入解析式，即可求解；
(2)①首先可求得與x軸的另一個交點的坐標為，再根據函數圖象，即可解答；②令，則，再根據在此范圍內，y隨x的增大而減小，據此即可解答．
【詳解】（1）解：設函數的解析式為，
將代入解析式，解得，
∴函數的解析式為；
（2）解：①二次函數的圖象經過點、頂點坐標為，
對稱軸為直線，與x軸的另一個交點的坐標為，
當函數值時，；
②在中，令，則，
當時，由圖象可知：y隨x的增大而減小，
故當時，函數的最大值為3．
【點睛】本題考查了利用待定系數法求二次函數的解析式，二次函數的圖象和性質，采用數形結合的思想是解決此類題的關鍵．
4．（2023·江蘇南京·校聯(lián)考三模）已知二次函數的圖像經過、、三點．
(1)若點為該函數圖像的頂點，求二次函數的表達式；
(2)若該函數圖像的對稱軸為直線，求的值；
(3)若二次函數解析式中二次項系數，當時，隨的增大而減?。Y合圖像，直接寫出的取值范圍．
【答案】(1)
(2)或
(3)或
【分析】（1）利用頂點公式設解析式后代入另一已知點即可求出；
（2）利用對稱軸設解析式為頂點式，代入兩個已知點求出解析式，再代入點C即可求出m；
（3）設解析式并代入點A、B化簡，通過題意得到對稱軸范圍，計算范圍，由點C坐標得到其所在一次函數直線，再畫圖通過開口大小找到交點的橫坐標范圍．
【詳解】（1）解：頂點，
設解析式為，代入點得：
，
，
二次函數的表達式為；
（2）對稱軸為直線，
設解析式為，代入點、得：
，
解得，
二次函數的表達式為；
代入得：，
解得：或；
（3）設解析式為，
代入點、解得：
，，
，
，當時，隨的增大而減小，
得到圖像對稱軸在點右側，位置如下：

得，

點在直線圖像上，
當時，與兩個交點為或，
當時，圖像開口變大，如圖所示，二次函數與直線的交點向外移動，故左交點，右交點，
但當時，二次函數，故二次函數圖像上點在直線上點的上方，故二次函數與直線的左交點在直線右側，
或．
【點睛】本題考查簡單的二次函數解析式求解及結合函數圖像計算直線與拋物線交點橫坐標的范圍，題目中含有結合圖像要求時，需要畫圖分析圖像交點情況，圖像的形狀和位置變化，畫出圖像的交點，并利用數形結合思想計算坐標范圍是解題的關鍵．
【模型六 已知交點式求二次函數的解析式】
例題：（2023·四川瀘州·四川省瀘縣第四中學?？家荒＃┮阎粋€拋物線經過點，和．
(1)求這個二次函數的解析式；
(2)求這個二次函數圖象的頂點坐標和對稱軸；
【答案】(1)
(2)頂點坐標為；對稱軸為直線
【分析】（1）用待定系數法求解即可；
（2）根據頂點坐標公式求解即可．
【詳解】（1）設
將代入，則
∴
（2）∵，
∴頂點坐標為；對稱軸為直線．
【點睛】本題考查了待定系數法求函數解析式，以及二次函數的圖象和性質，對于二次函數（a，b，c為常數，），其對稱軸是直線，其頂點坐標是 ．
【變式訓練】
1．（2023·全國·九年級假期作業(yè)）已知拋物線經過點，，，求該拋物線的函數關系式
【答案】
【分析】利用待定系數法設出拋物線的表達式為，將點代入求解即可．
【詳解】解：∵拋物線經過點，，，
∴設拋物線的表達式為，
將點代入得：，解得：，
∴．
∴該拋物線的函數關系式為．
【點睛】此題考查了待定系數法求二次函數表達式，解題的關鍵是熟練掌握待定系數法求二次函數表達式．
2．（2023秋·北京海淀·九年級期末）根據下列條件，選取你認為合適的方法求出二次函數的解析式．
(1)拋物線經過點三點．
(2)已知二次函數的圖象過兩點，并且以為對稱軸．
(3)已知二次函數的圖象經過一次函數x圖象與x軸、y軸的交點，且過．
【答案】(1)x
(2)
(3)
【分析】（1）根據題意設拋物線的表達式為：，代入求得a即可；
（2）利用對稱軸方程和把兩已知點的坐標代入中可得到關于a、b、c的方程組，然后解方程組求出a、b、c即可得到拋物線解析式；
（3）先求出直線與坐標軸的交點坐標，然后利用一般式求拋物線解析式．
【詳解】（1）解：設，
把代入得：，
解得：，
則拋物線的解析式為x；
（2）解：根據題意可知：，
解得，
則二次函數的解析式為；
（3）當時，，則直線與y軸的交點坐標為，
當時，，解得，則直線與x軸的交點坐標為，
設拋物線解析式為，
把代入得，解得，
所以拋物線解析式為．
【點睛】本題考查待定系數法求二次函數的解析式，要根據題目給定條件，選擇恰當方法設出關系式，再用待定系數法求解．
3．（2023春·浙江杭州·九年級專題練習）已知二次函數的圖象經過點，與軸交于點．
(1)求該二次函數的解析式；
(2)點在該二次函數上．
①當時，求的值；
②當時，的最小值為，求的取值范圍．
【答案】(1)該二次函數的解析式為.
(2)①的值為或；②
【分析】（1）利用待定系數法求得即可；
（2）①把代入，即可求得；②把二次函數解析式化為頂點式，求得函數的最小值為，所以，即．
【詳解】（1）設二次函數的解析式為，
把點代入得，
解得，
，
該二次函數的解析式為；
（2）①時，則，
解得，；
故的值為或；
，
當時，函數有最小值，
當時，即時，有最小值，
故的取值范圍是．
【點睛】本題考查了待定系數法求二次函數的解析式，二次函數的性質，二次函數圖象上點的坐標特征，熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵．

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