考點一 一點一參數代入求二次函數的解析式 考點二 兩點兩參數代入求二次函數的解析式
考點三 三點三參數代入求二次函數的解析式 考點四 已知頂點式求二次函數的解析式
考點五 已知交點式求二次函數的解析式
典型例題

考點一 一點一參數代入求二次函數的解析式
例題：（2022·全國·九年級專題練習）已知拋物線y＝x2＋（3﹣m）x﹣2m＋2
(1)若拋物線經過坐標原點，求此時拋物線的解析式；
(2)該拋物線的頂點隨著m的變化而移動，當頂點移到最高處時，求該拋物線的頂點坐標；
【變式訓練】
1．（2022·湖南·長沙市長郡雙語實驗中學九年級開學考試）已知拋物線（）經過點（，0）．
(1)求拋物線的函數表達式和頂點坐標．
(2)直線l交拋物線于點A（，m），B（n，7），n為正數．若點P在拋物線上且在直線l下方（不與點A，B重合），求出點P縱坐標的取值范圍．
考點二 兩點兩參數代入求二次函數的解析式
例題：（2022·福建·莆田二中九年級階段練習）在平面直角坐標系中，拋物線圖像恰好經過A（2，﹣9），B（4，﹣5）兩點，求該拋物線解析式．
【變式訓練】
1．（2023·湖北·襄州七中九年級階段練習） 如圖，已知二次函數的圖象經過點A(2，0)，B(0，-6)兩點．
(1)求這個二次函數的解析式；
(2)設該二次函數的對稱軸與x軸交于點C，連接BA、BC，求△ABC的面積．
2．（2021·山東·嘉祥縣金屯鎮(zhèn)中學九年級階段練習）如圖，拋物線y＝ax2+bx+6（a≠0）與x軸交于點A（2，0）和點B（﹣6，0），與y軸交于點C．
(1)求拋物線的解析式；
(2)在拋物線上是否存在一點P，使△PAB的面積與△ABC的面積相等，若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
(3)設拋物線的對稱軸與x軸交于點M，在對稱軸上存在點Q，使△CMQ是以MC為腰的等腰三角形，請直接寫出所有符合條件的點Q的坐標．
考點三 三點三參數代入求二次函數的解析式
例題：（2021·四川·鄰水縣壇同鎮(zhèn)初級中學九年級階段練習）已知二次函數y＝c的圖象經過（0，﹣2），（﹣1，﹣1），（1，1）三點．
(1)求這個函數的解析式；
(2)寫出此拋物線的開口方向，對稱軸，頂點坐標，增減性，最值．
【變式訓練】
1．（2022·云南·會澤縣以禮中學校九年級階段練習）如圖，拋物線與x軸交于點A（-2，0）和點B（4，0），與y軸交于點C（0，4）
(1)求拋物線的解析式．
(2)點D在拋物線的對稱軸上，求AD+CD的最小值．
(3)點P是直線BC上方的點，連接CP，BP，若△BCP的面積等于3，求點P的坐標．
2．（2022·甘肅·武威第九中學九年級階段練習）如圖，已知拋物線與x軸的交點坐標A(﹣4，0)，B(2，0)，并過點C(﹣2，﹣2)，與y軸交于點D．
(1)求出拋物線的解析式；
(2)求出△ABD的面積；
(3)在拋物線對稱軸上是否存在一點E，使BE+DE的值最小，如果有，寫出點E的坐標；如果沒有，說明理由．
3．（2021·河南·睢縣第二中學九年級期中）如圖，拋物線經過A(﹣1，0)，B(3，0)，C(0，)三點．
(1)求拋物線的解析式；
(2)在拋物線的對稱軸上有一點P，使PA+PC的值最小，求點P的坐標；
(3)點M為x軸上一動點，在拋物線上是否存在一點N，使以A，C，M，N四點構成的四邊形為平行四邊形？若存在，求點的坐標；若不存在，請說明理由．
考點四 已知頂點式求二次函數的解析式
例題：（2020·浙江省義烏市廿三里初級中學九年級階段練習）已知拋物線經過點，，三點，求拋物線的解析式．
【變式訓練】
1．（2022·廣東·揭陽市實驗中學模擬預測）如圖，已知拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，拋物線的頂點為，連接．
(1)求此拋物線的解析式；
(2)拋物線對稱軸上是否存在一點，使得？若存在，求出點坐標；若不存在，請說明理由．
2．（2022·吉林·安圖縣第三中學九年級階段練習）已知關于x的二次函數的圖象與x軸交于（-1，0），(3，0)兩點，且圖象過點(0，3)，
(1)求這個二次函數的解析式；
(2)寫出它的開口方向、對稱軸
3．（2022·河南·開封市東信學校九年級階段練習）如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）經過A（﹣1，0），B（3，0）．C（0，﹣3）三點，直線l是拋物線的對稱軸．
(1)求拋物線的函數解析式；
(2)設點M是直線l上的一個動點，當點M到點A，點C的距離之和最短時，求點M的坐標．
考點五 已知交點式求二次函數的解析式
例題：（2021·寧夏·石嘴山市第九中學九年級期中）已知拋物線的頂點為P（﹣2，3），且過A（﹣3，0），求此二次函數的解析式．
【變式訓練】
1．（2022·湖北·浠水縣蘭溪鎮(zhèn)河口中學九年級階段練習）已知某二次函數的圖象經過點（2，-6），當x＝1時，函數的最大值為-4，求此二次函數的解析式．
2．（2020·天津市西青區(qū)當城中學九年級階段練習）拋物線的頂點坐標為（3，－1）且經過點（2，3），求該拋物線解析式．
3．（2020·天津市西青區(qū)張家窩中學九年級階段練習）已知二次函數圖像的頂點坐標（-1，-3），且經過點（1，5），求此二次函數的表達式．
4．（2022·湖北武漢·九年級期中）已知拋物線經過點(－1，0)，(3，0)，且函數有最小值－4．
(1)求拋物線的解析式；
(2)若0＜x＜4，求函數值y的取值范圍．
課后訓練
一、選擇題
1．（2022·江蘇·九年級專題練習）將拋物線y＝（x+2）2﹣3先向右平移1個單位長度，再向下平移2個單位長度后所得拋物線的解析式為（ ）
A．y＝（x+3）2﹣5B．y＝（x+3）2﹣1C．y＝（x+1）2﹣1D．y＝（x+1）2﹣5
2．（2022·江蘇·九年級專題練習）一個二次函數，當x＝0時，y＝﹣5；當x＝﹣1時，y＝﹣4；當x＝﹣2時，y＝5，則這個二次函數的關系式是（ ）
A．y＝4x2+3x﹣5B．y＝2x2+x+5C．y＝2x2﹣x+5D．y＝2x2+x﹣5
3．（2022·全國·九年級單元測試）已知拋物線經過點(0，5)，且頂點坐標為(2，1)，關于該拋物線，下列說法正確的是（ ）
A．表達式為B．圖象開口向下
C．圖象與軸有兩個交點D．當時，隨的增大而減小
二、填空題
4．（2022·吉林·安圖縣第三中學九年級階段練習）若二次函數的圖象經過原點，則a＝____．
5．（2021·湖北·黃梅縣晉梅中學九年級階段練習）已知一個二次函數的圖象頂點坐標為（2，3），過點（1，7），則這個二次函數的解析式為 _____．（用一般式表示）
6．（2022·寧夏·隆德縣第二中學九年級期末）拋物線上部分點的橫坐標x，縱坐標y的對應值如下表：
則拋物線的解析式是______________．
三、解答題
7．（2022·福建·莆田第二十五中學九年級階段練習）根據下列條件分別求二次函數的表達式．
(1)已知二次函數的圖象經過點(﹣2，﹣1)，且當時，函數有最大值2．
(2)已知二次函數圖象的對稱軸是直線x＝1，與坐標軸交于點(0，﹣1)，(﹣1，0)．
8．（2022·陜西·西安工業(yè)大學附中九年級期中）拋物線 與x軸交于A（﹣2，0），B（6，0）兩點，與y軸交于點C（0，﹣3）．
(1)求拋物線的表達式；
(2)點D是拋物線上一點，且∠DBC的角平分線在x軸上，點M是y軸上一點，若△ADM是以AD為腰的等腰三角形，求出點M的坐標．
9．（2022·湖北·漢川市官備塘中學九年級階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線經過點和點.
(1)求這條拋物線所對應的函數解析式；
(2)點為該拋物線上一點（不與點重合），直線將的面積分成兩部分，求點的坐標.
10．（2022·吉林·安圖縣第三中學九年級階段練習）二次函數 中的x，y滿足如表
(1)該拋物線的頂點坐標為 ；
(2)①求m的值．
②當x＞1時，y隨值的x增大而 （填“增大”或“減小”）．
11．（2022·福建·莆田第二十五中學九年級階段練習）如圖是一個二次函數的圖象，頂點是原點O，且過點A(2，1)．
(1)求出二次函數的表達式；
(2)我們把橫、縱坐標都為整數的點稱為整點，請用整數n表示這條拋物線上所有的整點坐標．
(3)過y軸的正半軸上一點C(0，c)作AO的平行線交拋物線于點B，如果點B是整點，求證：OAB的面積是偶數．
12．（2021·江蘇·昆山市城北中學九年級階段練習）如圖，已知拋物線（a≠0）的對稱軸為直線x＝﹣1，且拋物線經過A（1，0），C（0，3）兩點，與x軸交于點B．
(1)若直線y＝mx+n經過B，C兩點，求直線BC和拋物線的解析式；
(2)在拋物線的對稱軸x＝﹣1上找一點M，使MA+MC的值最小，求點M的坐標；
(3)設P為拋物線的對稱軸x＝﹣1上的一個動點，求使△BPC為直角三角形的點P的坐標．
13．（2022·全國·九年級單元測試）如圖，拋物線交x軸于點A（1，0），交y軸交于點B，對稱軸是直線x＝2．
(1)求拋物線的解析式；
(2)若在拋物線上存在一點D，使△ACD的面積為8，請求出點D的坐標．
(3)點P是拋物線對稱軸上的一個動點，是否存在點P，使△PAB的周長最?。咳舸嬖?，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
14．（2022·甘肅·民勤縣第六中學九年級期末）如圖，拋物線經過點A(2，0)，B(-2，4)，(-4，0)，直線AB與拋物線的對稱軸交于點E．
(1)求拋物線的表達式；
(2)點M在直線AB上方的拋物線上運動，當ΔABM的面積最大時，求點M的坐標；
(3)若點F為平面內的一點，且以點為頂點的四邊形是平行四邊形，請寫出符合條件的點F的坐標．
15．（2022·黑龍江省新華農場中學九年級階段練習）如圖，已知拋物線的對稱軸是直線x=3，且與x軸相交于A、B兩點（B點在A點的右側），與y軸交于C點．
(1)A點的坐標是_____________；B點坐標是________________；
(2)求直線BC的解析式；
(3)點P是直線BC上方的拋物線上的一動點（不與B、C重合），是否存在點P，使△PBC的面積最大．若存在，請求出△PBC的最大面積，若不存在，試說明理由；
(4)若點M在x軸上，點N在拋物線上，以A、C、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形時，請直接寫出點M點坐標．
x
?
0
1
2
3
4
?
y
?
3
0
-1
0
3
?
x
…
﹣1
0
1
2
…
y
…
0
﹣3
m
﹣3
…
專題04 待定系數求二次函數的解析式壓軸題五種模型全攻略
考點一 一點一參數代入求二次函數的解析式 考點二 兩點兩參數代入求二次函數的解析式
考點三 三點三參數代入求二次函數的解析式 考點四 已知頂點式求二次函數的解析式
考點五 已知交點式求二次函數的解析式
典型例題

考點一 一點一參數代入求二次函數的解析式
例題：（2022·全國·九年級專題練習）已知拋物線y＝x2＋（3﹣m）x﹣2m＋2
(1)若拋物線經過坐標原點，求此時拋物線的解析式；
(2)該拋物線的頂點隨著m的變化而移動，當頂點移到最高處時，求該拋物線的頂點坐標；
【答案】(1)y＝x2+2x
(2)（﹣2，0）
【分析】（1）用待定系數法將（0，0）代入進行計算即可得；
（2）設拋物線的頂點坐標為（p，q），即可得，，頂點移到最高處，即是q取最大值，而進行計算，利用二次函數的性質即可得．
（1）
解：將（0，0）代入得：
，
解得m＝1，
∴拋物線的解析式為；
（2）
解：設拋物線的頂點坐標為（p，q），
則，，
頂點移到最高處，即是q取最大值，
而
＝
＝
＝，
∵，
∴當時，q最大值是0，
此時，
∴當頂點移到最高處時，拋物線的頂點坐標為（﹣2，0）．
【點睛】本題考查了二次函數的性質，解題的關鍵是作為待定系數法，二次函數的性質．
【變式訓練】
1．（2022·湖南·長沙市長郡雙語實驗中學九年級開學考試）已知拋物線（）經過點（，0）．
(1)求拋物線的函數表達式和頂點坐標．
(2)直線l交拋物線于點A（，m），B（n，7），n為正數．若點P在拋物線上且在直線l下方（不與點A，B重合），求出點P縱坐標的取值范圍．
【答案】(1)，頂點坐標為
(2)
【分析】（1）將點（-2，0）代入求解；
（2）分別求出點A、B坐標，根據圖像開口方向及頂點坐標求解．
（1）
解：把（-2，0）代入，
可得，
解得，
∴拋物線的函數表達式為，
∵，
∴拋物線頂點坐標為；
（2）
把代入，
可得，
∴，
把代入函數解析式得，
解得或，
∴或，
∵n為正數，
∴，
∴點A坐標為，點B坐標為，
∵拋物線開口向上，頂點坐標為，
∴拋物線頂點在下方，
∴，．
【點睛】本題主要考查了求二次函數解析式以及二次函數的性質，解題關鍵是熟練掌握二次函數的性質以及待定系數法求函數解析式．
考點二 兩點兩參數代入求二次函數的解析式
例題：（2022·福建·莆田二中九年級階段練習）在平面直角坐標系中，拋物線圖像恰好經過A（2，﹣9），B（4，﹣5）兩點，求該拋物線解析式．
【答案】
【分析】利用待定系數法解答，即可求解．
【詳解】解：把A（2，﹣9），B（4，﹣5）代入，得：
，
解得：，
所以該拋物線解析式為．
【點睛】本題主要考查了求二次函數的解析式，熟練掌握利用待定系數法求二次函數的解析式的方法是解題的關鍵．
【變式訓練】
1．（2023·湖北·襄州七中九年級階段練習） 如圖，已知二次函數的圖象經過點A(2，0)，B(0，-6)兩點．
(1)求這個二次函數的解析式；
(2)設該二次函數的對稱軸與x軸交于點C，連接BA、BC，求△ABC的面積．
【答案】(1)
(2)6
【分析】（1）將點A及點B的坐標代入即可得出b、c的值，繼而可得出二次函數解析式；
（2）根據（1）求得的解析式，可得出對稱軸，也可得出AC的長度，根據 可得出答案．
（1）
解：（1）將點A（2，0）、B（0，?6）代入得：
，
解得：，
故這個二次函數的解析式為：．
（2）
∵二次函數的解析式為：，
∴二次函數的對稱軸為x＝4，
∴（4，0），B（0，?6）
∴OC＝4，，
∵點A（2，0），
∴AC＝2，
故．
【點睛】此題考查了二次函數綜合題，涉及了待定系數法求函數解析式、三角形的面積，要注意掌握點的坐標與線段長度之間的轉換．
2．（2021·山東·嘉祥縣金屯鎮(zhèn)中學九年級階段練習）如圖，拋物線y＝ax2+bx+6（a≠0）與x軸交于點A（2，0）和點B（﹣6，0），與y軸交于點C．
(1)求拋物線的解析式；
(2)在拋物線上是否存在一點P，使△PAB的面積與△ABC的面積相等，若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
(3)設拋物線的對稱軸與x軸交于點M，在對稱軸上存在點Q，使△CMQ是以MC為腰的等腰三角形，請直接寫出所有符合條件的點Q的坐標．
【答案】(1)y＝
(2)存在，點P的坐標為：（﹣2+，﹣6）或（﹣2﹣，﹣6）或（﹣4，6）
(3)點Q的坐標為（﹣2，2）或（﹣2，﹣2）或（﹣2，12）
【分析】（1）把A（2，0）和B（﹣6，0）代入解方程組即可；
（2）先假設存點P，設出P點坐標，利用△PAB的面積與△ABC的面積相等建立方程求解即可；
（3）如圖1中，分三種情形①當時，②當時，③當時，分別求解即可．
（1）
解：（1）把A（2，0）和B（﹣6，0）代入，得：
，
解得：，
∴拋物線的解析式為；
（2）
存在，P（﹣2+，﹣6）或（﹣2﹣，﹣6）或（﹣4，6），
理由如下：
∵A（2，0）、B（﹣6，0）、，
∴AB＝8，C（0，6），OC＝6，
設點P的縱坐標為，由△PAB的面積與△ABC的面積相等，得：
，
∴．
解得：或．
當時，＝﹣6，
解得，
當時，＝6，
解得：（此時與點C重合，舍去），，
綜上所述，點P的坐標為：（﹣2+，﹣6）或（﹣2﹣，﹣6）或（﹣4，6）；
（3）
解：如圖
∵拋物線的解析式為：，
∴它的對稱軸為直線x＝﹣2，
∴M（﹣2，0），
設點Q坐標為（﹣2，t）．
∵中，當x＝0時，y＝6，
∴C（0，6），
∵M（﹣2，0），
∴，，．
①當CQ＝QM時，，
解得，
∴點Q的坐標為，此時，MC不是腰，不符合題意，舍去；
②當CM＝QM時，，
解得：，
∴點Q的坐標為或，
③當CM＝CQ時，，
解得：t＝0（舍去），或t＝12，
∴Q點坐標為
綜上所述，符合條件的點Q的坐標為（﹣2，2）或（﹣2，﹣2）或（﹣2，12）
【點睛】本題考查二次函數綜合題、待定系數法、等腰三角形的判定和性質、三角形面積問題等知識，解題的關鍵是分類討論思想的運用，屬于中考壓軸題．
考點三 三點三參數代入求二次函數的解析式
例題：（2021·四川·鄰水縣壇同鎮(zhèn)初級中學九年級階段練習）已知二次函數y＝c的圖象經過（0，﹣2），（﹣1，﹣1），（1，1）三點．
(1)求這個函數的解析式；
(2)寫出此拋物線的開口方向，對稱軸，頂點坐標，增減性，最值．
【答案】(1)y＝
(2)拋物線的開口象上，對稱軸為直線x＝﹣，頂點坐標為（﹣，﹣），當x≤﹣時，y隨x的增大而減小，當x＞時，y隨x的增大增大，當x＝時，y取最小值﹣．
【分析】（1）用待定系數法直接可得函數的解析式；
（2）配成頂點式，根據二次函數性質可得答案．
（1）
解：把（0，﹣2），（﹣1，﹣1），（1，1）代入y＝得：
解得，
∴這個函數的解析式為y＝；
（2）
∵y＝2+x﹣2＝2﹣，
∴拋物線的開口象上，對稱軸為直線x＝﹣，頂點坐標為（﹣，﹣），
當x≤﹣時，y隨x的增大而減小，當x＞時，y隨x的增大增大，
當x＝時，y取最小值﹣．
【點睛】本題考查二次函數的性質，解題的關鍵是掌握待定系數法，求出二次函數解析式．
【變式訓練】
1．（2022·云南·會澤縣以禮中學校九年級階段練習）如圖，拋物線與x軸交于點A（-2，0）和點B（4，0），與y軸交于點C（0，4）
(1)求拋物線的解析式．
(2)點D在拋物線的對稱軸上，求AD+CD的最小值．
(3)點P是直線BC上方的點，連接CP，BP，若△BCP的面積等于3，求點P的坐標．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）利用待定系數法解答，即可求解；
（2）連接BD，根據二次函數的的對稱性可得AD=BD，可得到當點B，D，C三點共線時，AD+CD的值最小，最小值等于BC的長，利用勾股定理求出BC，即可求解；
（3）過點P作PF⊥x軸于點F，交BC于點E，先求出直線BC的解析式，設點，則點，可得，再根據△BCP的面積等于3，列出方程，即可求解．
（1）
解：把點A（-2，0），點B（4，0），點C（0，4）代入得：
，
解得：，
∴拋物線的解析式為；
（2）
如圖，連接BD，
∵點D在拋物線的對稱軸上，
∴AD=BD，
∴AD+CD=BD+CD≥BC，
∴當點B，D，C三點共線時，AD+CD的值最小，最小值等于BC的長，
∵點B（4，0），點C（0，4），
∴OB=OC=4，
∴；
（3）
解：如圖，過點P作PF⊥x軸于點F，交BC于點E，
設直線BC的解析式為，
把點B（4，0），點C（0，4）代入得：
，
解得：，
∴直線BC的解析式為，
設點，則點，
∴，
∵△BCP的面積等于3，
∴，
解得：m=1或3，
∴點P的坐標為或．
【點睛】本題主要考查了求二次函數的解析式，二次函數的圖象和性質，熟練掌握二次函數的圖象和性質，利用數形結合思想解答是解題的關鍵．
2．（2022·甘肅·武威第九中學九年級階段練習）如圖，已知拋物線與x軸的交點坐標A(﹣4，0)，B(2，0)，并過點C(﹣2，﹣2)，與y軸交于點D．
(1)求出拋物線的解析式；
(2)求出△ABD的面積；
(3)在拋物線對稱軸上是否存在一點E，使BE+DE的值最小，如果有，寫出點E的坐標；如果沒有，說明理由．
【答案】(1)y＝
(2)△ABD的面積為6
(3)存在，點E的坐標為(﹣1，﹣)
【分析】（1）利用待定系數法將A，B，C三點坐標代入拋物線解析式，解方程組即可求得結論；
（2）利用拋物線解析式求得點D坐標，利用點的坐標表示出線段OA，OB，OD的長度，根據三角形的面積公式即可求得結論；
（3）連接AD交對稱軸于點E，則此時BD+BE最?。环謩e求得對稱軸方程和直線AD的解析式，聯立后解方程組即可求得點E坐標．
（1）
∵物線y＝ax2+bx+c經過點A（﹣4，0），B（2，0），C（﹣2，﹣2），
∴，
解得：．
∴拋物線的解析式為y＝．
（2）
令x＝0，則y＝﹣2，
∴D（0，﹣2）．
∴OD＝2．
∵A（﹣4，0），B（2，0），
∴OA＝4，OB＝2，
∴AB＝OA+OB＝6．
∴AB?AD＝×6×2＝6．
∴△ABD的面積為6．
（3）
在拋物線對稱軸上存在一點E，使BE+DE的值最小，理由：
∵y＝＝＝，
∴拋物線y＝的對稱軸為直線x＝﹣1．
連接AD交對稱軸于點E，則此時BD+BE最小，如圖，
設直線AD的解析式為y＝kx+m，由題意得：
，
解得：．
∴直線AD的解析式為y＝﹣x﹣2．
∴．
解得：．
∴E（﹣1，﹣）．
∴拋物線對稱軸上存在一點E，使BE+DE的值最小，點E的坐標為（﹣1，﹣）
【點睛】本題是二次函數的綜合題，主要考查了待定系數法確定函數的解析式，二次函數圖象的性質，二次函數圖象上點的坐標的特征，一次函數圖象的性質，軸對稱的性質，利用點的坐標表示出相應線段的長度是解題的關鍵．
3．（2021·河南·睢縣第二中學九年級期中）如圖，拋物線經過A(﹣1，0)，B(3，0)，C(0，)三點．
(1)求拋物線的解析式；
(2)在拋物線的對稱軸上有一點P，使PA+PC的值最小，求點P的坐標；
(3)點M為x軸上一動點，在拋物線上是否存在一點N，使以A，C，M，N四點構成的四邊形為平行四邊形？若存在，求點的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)（1，1）
(3)存在，，，，，
【分析】（1）根據待定系數法，可得函數解析式；
（2）因為點A關于對稱軸對稱的點B的坐標為（3，0），連接BC交對稱軸直線于點P，求出P點坐標即可；
（3）分點N在x軸下方或上方兩種情況進行討論．
（1）
解：設拋物線的解析式為，
，，三點在拋物線上，
，
解得．
拋物線的解析式為：．
（2）
拋物線的解析式為，
其對稱軸為直線：．
連接，設直線的解析式為，
，，
解得．
直線的解析式為．
當時，．
；
（3）
存在．如圖2所示．
①當點在軸上方時，
拋物線的對稱軸為直線，，
；
②當點在軸下方時，
如圖，過點作軸于點，
△△．
，即點的縱坐標為．
．解得或，
，，，．
綜上所述，點的坐標為，，，，．
【點睛】本題考查的是二次函數綜合知識，涉及到用待定系數法求一次函數與二次函數的解析式、平行四邊的判定與性質、全等三角形等知識，在解答（3）時要注意進行分類討論．
考點四 已知頂點式求二次函數的解析式
例題：（2020·浙江省義烏市廿三里初級中學九年級階段練習）已知拋物線經過點，，三點，求拋物線的解析式．
【答案】
【分析】解法一：根據A（﹣2，0），B（，0），可設交點式，代入C點坐標即可求得二次函數的解析式；
解法二：可設一般式，代入A、B、C點坐標即可求二次函數的解析式．
【詳解】解：解法一：設
代入C（0，2）得
解得：
，
∴，
解法二：設
代入A（﹣2，0），B（，0），C（0，2）三點，得
，解得：
，
【點睛】本題考查了待定系數法求二次函數的解析式：在利用待定系數法求二次函數關系式時，要根據題目給定的條件，選擇恰當的方法設出關系式，從而代入數值求解．一般地，當已知拋物線上三點時，常選擇一般式，用待定系數法列三元一次方程組來求解；當已知拋物線的頂點或對稱軸時，常設其解析式為頂點式來求解；當已知拋物線與x軸有兩個交點時，可選擇設其解析式為交點式來求解．
【變式訓練】
1．（2022·廣東·揭陽市實驗中學模擬預測）如圖，已知拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，拋物線的頂點為，連接．
(1)求此拋物線的解析式；
(2)拋物線對稱軸上是否存在一點，使得？若存在，求出點坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)存在，，
【分析】（1）設拋物線的解析式為，再把代入求出的值即可；
（2）根據（1）中拋物線的解析式，求出拋物線的對稱軸及頂點坐標，設出點的坐標，利用待定系數法求出直線的解析式，求出點的坐標，所以可得出的面積，進而得出點的坐標．
（1）
解：∵拋物線與x軸交于，兩點，
∴設拋物線的解析式為，
∵過點，
∴，解得，
∴拋物線的解析式為，即；
（2）
解：∵拋物線的解析式為；
∴其對稱軸，頂點的坐標為，
∵點在拋物線的對稱軸上，
∴設，
∵，，
∴設過點、的直線解析式為，
∴，解得，
∴直線的解析式為，
∴直線與軸的交點的坐標為，
∴，
∴，
∵，
∴，解得，
當點在點上方時，，解得，
∴此時；
當點在點下方時，，解得，
∴此時，
綜上所述，可得：，．
【點睛】本題考查了待定系數法求一次函數解析式、求二次函數解析式、三角形的面積公式，解本題的關鍵在明確題意，利用二次函數性質和數形結合思想解答問題．
2．（2022·吉林·安圖縣第三中學九年級階段練習）已知關于x的二次函數的圖象與x軸交于（-1，0），(3，0)兩點，且圖象過點(0，3)，
(1)求這個二次函數的解析式；
(2)寫出它的開口方向、對稱軸
【答案】(1)
(2)開口向下，對稱軸為直線
【分析】（1）設這個二次函數的解析式為，然后把點(0，3)代入，即可求解；
（2）把二次函數的解析式化為頂點式，即可求解．
（1）
解：設這個二次函數的解析式為，
把點(0，3)代入得：，
解得：，
∴這個二次函數的解析式為；
（2）
解：∵，
∴二次函數開口向下，
∵，
∴二次函數的對稱軸為直線．
【點睛】本題考查了用待定系數法求二次函數的解析式：在利用待定系數法求二次函數關系式時，要根據題目給定的條件，選擇恰當的方法設出關系式，從而代入數值求解．一般地，當已知拋物線上三點時，常選擇一般式，用待定系數法列三元一次方程組來求解；當已知拋物線的頂點或對稱軸時，常設其解析式為頂點式來求解；當已知拋物線與x軸有兩個交點時，可選擇設其解析式為交點式來求解．也考查了二次函數的性質．
3．（2022·河南·開封市東信學校九年級階段練習）如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）經過A（﹣1，0），B（3，0）．C（0，﹣3）三點，直線l是拋物線的對稱軸．
(1)求拋物線的函數解析式；
(2)設點M是直線l上的一個動點，當點M到點A，點C的距離之和最短時，求點M的坐標．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用兩點式和待定系數法求函數解析式即可；
（2）連接BC，BC與直線l的交點即為M．
（1）
解：設二次函數的解析式為：，
將點C（0，﹣3）代入得：，
解得：，
∴；
∴函數的解析式為：．
（2）
解：拋物線的對稱軸為：；
點A關于直線l的對稱點為點B，
連接BC，則BC是點M到點A，點C的距離之和的最小值，
設直線BC的解析式為：，則：
，解得：，
∴，
設，代入得：
，
∴．
【點睛】本題考查二次函數的綜合應用，準確求出函數的解析式，利用二次函數的性質進行解題是解題的關鍵．本題的動點問題是將軍飲馬問題，找到定點的對稱點，與另一個定點形成的線段即為最短距離．
考點五 已知交點式求二次函數的解析式
例題：（2021·寧夏·石嘴山市第九中學九年級期中）已知拋物線的頂點為P（﹣2，3），且過A（﹣3，0），求此二次函數的解析式．
【答案】
【分析】設拋物線的頂點式，將頂點P（﹣2，3）及點A（﹣3，0）代入即可解答．
【詳解】解：設二次函數解析式為：，
∵頂點坐標為P（﹣2，3），
∴，
將點A（﹣3，0）代入得，解得：，
∴．
【點睛】本題考查了待定系數法求二次函數解析式，根據題目給出的條件，正確設出二次函數解析式是解題的關鍵．
【變式訓練】
1．（2022·湖北·浠水縣蘭溪鎮(zhèn)河口中學九年級階段練習）已知某二次函數的圖象經過點（2，-6），當x＝1時，函數的最大值為-4，求此二次函數的解析式．
【答案】
【分析】根據題意得到拋物線的頂點坐標為（1，-4），于是可設頂點式，然后把（2，-6）代入求出a的值即可．
【詳解】解：∵當x=1時，函數的最大值為-4，
∴拋物線的頂點坐標為（1，-4），
設所求二次函數解析式為，
把（2，-6）代入得，解得a=-2，
∴此二次函數解析式為．
【點睛】本題考查了待定系數法求二次函數的解析式：在利用待定系數法求二次函數關系式時，要根據題目給定的條件，選擇恰當的方法設出關系式，從而代入數值求解．一般地，當已知拋物線上三點時，常選擇一般式，用待定系數法列三元一次方程組來求解；當已知拋物線的頂點或對稱軸時，常設其解析式為頂點式來求解；當已知拋物線與x軸有兩個交點時，可選擇設其解析式為交點式來求解．
2．（2020·天津市西青區(qū)當城中學九年級階段練習）拋物線的頂點坐標為（3，－1）且經過點（2，3），求該拋物線解析式．
【答案】
【分析】因為拋物線的頂點坐標為M（3，﹣1），所以設此二次函數的解析式為，把點（2，3）代入解析式即可解答．
【詳解】解：已知拋物線的頂點坐標為（3，﹣1），
設此二次函數的解析式為，
把點（2，3）代入解析式，得：
a﹣1＝3，即a＝4，
∴此函數的解析式為．
【點睛】本題考查了用待定系數法求函數解析式的方法．題目給出了二次函數的頂點坐標，則采用頂點式求解簡單．
3．（2020·天津市西青區(qū)張家窩中學九年級階段練習）已知二次函數圖像的頂點坐標（-1，-3），且經過點（1，5），求此二次函數的表達式．
【答案】
【分析】由于已知二次函數的頂點坐標，則可設頂點式，然后把（1，5）代入求出a即可．
【詳解】解：設二次函數的解析式為，
把（1，5）代入得a?4﹣3＝5，解得a＝2，
所以二次函數的解析式為．
即 ．
【點睛】本題考查了用待定系數法求二次函數的解析式：在利用待定系數法求二次函數關系式時，要根據題目給定的條件，選擇恰當的方法設出關系式，從而代入數值求解．一般地，當已知拋物線上三點時，常選擇一般式，用待定系數法列三元一次方程組來求解；當已知拋物線的頂點或對稱軸時，常設其解析式為頂點式來求解；當已知拋物線與x軸有兩個交點時，可選擇設其解析式為交點式來求解．
4．（2022·湖北武漢·九年級期中）已知拋物線經過點(－1，0)，(3，0)，且函數有最小值－4．
(1)求拋物線的解析式；
(2)若0＜x＜4，求函數值y的取值范圍．
【答案】(1)（或）
(2)
【分析】（1）利用二次函數的對稱性可由拋物線經過點(－1，0)，(3，0)，得到拋物線的對稱軸為直線，則拋物線的頂點坐標為，于是可設頂點式，然后把代入求出a的值即可；
（2）求得和的函數值，即可求得結論．
（1）
∵拋物線經過點(－1，0)，(3，0)，
∴拋物線的對稱軸為直線，
∵函數有最小值-4，
∴拋物線的頂點坐標為，
設拋物線解析式為，
把代入得，解得，
∴拋物線的解析式為（或）．
（2）
∵，
∴拋物線開口向上，函數有最小值為，
當時，，
∴當時，函數值y的取值范圍是．
【點睛】本題考查了待定系數法求二次函數的解析式，二次函數圖像上點的坐標特征，二次函數的性質，求得頂點坐標是解題的關鍵．
課后訓練
一、選擇題
1．（2022·江蘇·九年級專題練習）將拋物線y＝（x+2）2﹣3先向右平移1個單位長度，再向下平移2個單位長度后所得拋物線的解析式為（ ）
A．y＝（x+3）2﹣5B．y＝（x+3）2﹣1C．y＝（x+1）2﹣1D．y＝（x+1）2﹣5
【答案】D
【分析】先得到拋物線y＝（x+2）2﹣3的頂點坐標為（﹣2，﹣3），再利用點的平移規(guī)律得到點（-2，-3）平移后對應點的坐標為（-1，-5），然后根據頂點式寫出平移的拋物線解析式．
【詳解】解：拋物線y＝（x+2）2﹣3的頂點坐標為（﹣2，﹣3），把（﹣2，﹣3）向右平移1個單位長度，再向下平移2個單位長度后得到對應點的坐標為（﹣1，﹣5），所以平移后拋物線解析式為y＝（x+1）2﹣5．
故選：D．
【點睛】本題考查了二次函數圖象的平移與幾何變換，利用拋物線解析式的變化規(guī)律：左加右減，上加下減是解題關鍵．
2．（2022·江蘇·九年級專題練習）一個二次函數，當x＝0時，y＝﹣5；當x＝﹣1時，y＝﹣4；當x＝﹣2時，y＝5，則這個二次函數的關系式是（ ）
A．y＝4x2+3x﹣5B．y＝2x2+x+5C．y＝2x2﹣x+5D．y＝2x2+x﹣5
【答案】A
【分析】設二次函數的關系式是y＝ax2+bx+c（a≠0），然后由當x＝0時，y＝﹣5；當x＝﹣1時，y＝﹣4；當x＝﹣2時，y＝5，得到a，b，c的三元一次方程組，解方程組確定a，b，c的值即可．
【詳解】解：設二次函數的關系式是y＝ax2+bx+c（a≠0），
∵當x＝0時，y＝﹣5；當x＝﹣1時，y＝﹣4；當x＝﹣2時，y＝5，
∴c＝﹣5①，
a﹣b+c＝﹣4②，
4a﹣2b+c＝5③，
解由①②③組成的方程組得，a＝4，b＝3，c＝﹣5，
所以二次函數的關系式為：y＝4x2+3x﹣5．
故選：A．
【點睛】本題考查了用待定系數法確定二次函數的解析式．設二次函數的解析式為y＝ax2+bx+c（a≠0），通過解方程組確定a，b，c的值．
3．（2022·全國·九年級單元測試）已知拋物線經過點(0，5)，且頂點坐標為(2，1)，關于該拋物線，下列說法正確的是（ ）
A．表達式為B．圖象開口向下
C．圖象與軸有兩個交點D．當時，隨的增大而減小
【答案】D
【分析】由二次函數頂點坐標可設拋物線解析式為頂點式，將(0，5)代入解析式求解．
【詳解】解：∵拋物線頂點坐標為(2，1)，
∴，
將(0，5)代入得，
解得，
∴，故選項A不符合題意；
∵a=1>0，
∴圖象開口向上，故選項B不符合題意；
∵頂點坐標為(2，1)，且圖象開口向上，
∴圖象與軸沒有有兩個交點，故選項C不符合題意；
∵a=1>0，且對稱軸為直線x=2，
∴時，隨增大而減小，故選項D符合題意；
故選：D．
【點睛】本題考查二次函數的性質，解題關鍵是掌握二次函數與方程的關系，掌握二次函數圖象與系數的關系．
二、填空題
4．（2022·吉林·安圖縣第三中學九年級階段練習）若二次函數的圖象經過原點，則a＝____．
【答案】1
【分析】把點（0，0）代入，即可求解．
【詳解】解：∵二次函數的圖象經過原點，
∴且，
解得：．
故答案為：1
【點睛】本題主要考查了二次函數圖象上點的坐標特征，通過代入點的坐標即可求解，較為簡單．
5．（2021·湖北·黃梅縣晉梅中學九年級階段練習）已知一個二次函數的圖象頂點坐標為（2，3），過點（1，7），則這個二次函數的解析式為 _____．（用一般式表示）
【答案】
【分析】設頂點式，再把（1，7）代入求得a＝4，從而得到拋物線解析式，然后把頂點式化為一般式即可．
【詳解】解：∵二次函數的圖象頂點坐標為（2，3），
∴拋物線解析式可設為，
把（1，7）代入得，
解得a＝4，
所以二次函數解析式為，
即．
故答案為：．
【點睛】本題了待定系數法求二次函數的解析式：在利用待定系數法求二次函數關系式時，要根據題目給定的條件，選擇恰當的方法設出關系式，從而代入數值求解．也考查了二次函數的性質．
6．（2022·寧夏·隆德縣第二中學九年級期末）拋物線上部分點的橫坐標x，縱坐標y的對應值如下表：
則拋物線的解析式是______________．
【答案】
【分析】結合題意，根據二次函數的性質，通過列二元一次方程組并求解，即可得到答案．
【詳解】根據題意，得：

將代入到，得：
∴
∴
故答案為：．
【點睛】本題考查了二次函數、二元一次方程組的知識；解題的關鍵是熟練掌握二次函數、二元一次方程組的性質，從而完成求解．
三、解答題
7．（2022·福建·莆田第二十五中學九年級階段練習）根據下列條件分別求二次函數的表達式．
(1)已知二次函數的圖象經過點(﹣2，﹣1)，且當時，函數有最大值2．
(2)已知二次函數圖象的對稱軸是直線x＝1，與坐標軸交于點(0，﹣1)，(﹣1，0)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由二次函數當時，有最大值是2，得到二次函數的頂點坐標為（），設出二次函數的頂點式方程，將（）代入求出a的值，即可求出二次函數的解析式．
（2）已知拋物線的對稱軸，可以設出函數的解析式為，把（），（）代入函數解析式即可求得函數解析式．
（1）
解：由二次函數當時，有最大值是2，得到頂點坐標為（），
設二次函數解析式為（a≠0），
將點（）代入得：，
解得：，
則二次函數解析式為．
（2）
設函數的解析式是，根據題意得：
，
解得：．
則函數的解析式是．
【點睛】本題主要考查了待定系數法求二次函數的解析式，根據條件正確設出函數的解析式形式是解題的關鍵．
8．（2022·陜西·西安工業(yè)大學附中九年級期中）拋物線 與x軸交于A（﹣2，0），B（6，0）兩點，與y軸交于點C（0，﹣3）．
(1)求拋物線的表達式；
(2)點D是拋物線上一點，且∠DBC的角平分線在x軸上，點M是y軸上一點，若△ADM是以AD為腰的等腰三角形，求出點M的坐標．
【答案】(1)
(2)（0，5）或（0，）或（0，）
【分析】（1）將A、B、C三點坐標代入求出a、b、c即可；
（2）如圖，根據角平分線的定義得出∠DBA=∠CBA，可證明△≌△BOC，得出點坐標，利用待定系數法求解直線的解析式，與拋物線聯立方程組求出點D坐標，設M（0，t），分AM=AD和DM=AD兩種情況，利用兩點距離坐標公式列方程求解即可．
（1）
解：將A（﹣2，0）、B（6，0）、C（0，﹣3）代入中，
得，解得：
∴求拋物線的表達式為；
（2）
解：如圖，設BD交y軸于點，
∵∠DBC的角平分線在x軸上，
∴∠DBA=∠CBA，又∠=∠BOC=90°，OB=OB，
∴△≌△BOC（ASA），
∴=OC=3，
∴（0，3），
設直線的解析式為，
則，解得：，
∴直線的解析式為，
聯立方程組，解得或，
∴D（-4，5），
設M（0，t），
則，
，
，
∵△ADM是以AD為腰的等腰三角形，
∴AM=AD和DM=AD，
當AM=AD時，，則=29，
解得：t=±5，
當t=-5時，M（0，-5），
設直線DM的解析式為y=px+q，
則，解得：，
∴直線DM的解析式為，則點A（-2，0）在直線DM上，即A、D、M不能構成三角形，
∴（0，5）；
當DM=AD時，，則=29，
解得：，
∴（0，）或（0，），
綜上，滿足條件的點M坐標為（0，5）或（0，）或（0，）．
【點睛】本題考查待定系數法求函數的解析式、角平分線的定義、全等三角形的判定與性質、等腰三角形的性質、兩點距離坐標公式、解方程等知識，屬于二次函數與幾何圖形相結合的綜合題型，難度適中，熟練掌握相關知識的聯系與運用，利用數形結合和分類討論思想求解是解答的關鍵．
9．（2022·湖北·漢川市官備塘中學九年級階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線經過點和點.
(1)求這條拋物線所對應的函數解析式；
(2)點為該拋物線上一點（不與點重合），直線將的面積分成兩部分，求點的坐標.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）設拋物線的表達式為，待定系數法求解析式即可求解；
（2）當BH=AB=2時，CH將△ABC的面積分成2：1兩部分，即點H的坐標為（2，0），則CH和拋物線的交點即為點P，進而求解；
（1）
∵拋物線經過點和點.
∴設拋物線的表達式為，，
∵，
∴，
解得：，
∴；
（2）
由點A、B的坐標知，OB=2OA，
故CO將△ABC的面積分成2：1兩部分，此時，點P不在拋物線上；
如圖，設交軸于點
∵，
當BH=AB=2時，CH將△ABC的面積分成2：1兩部分，
∴，
∴
∴點H的坐標為（2，0），
由可得,
設過點C、H的直線解析式為，
∴，
解得，
直線CH的表達式為，
聯立，
解得：或（舍去），
故點P的坐標為（6，-8）．
【點睛】本題考查了待定系數法求解析式和與幾何圖形結合的綜合，數形結合是解題的關鍵．
10．（2022·吉林·安圖縣第三中學九年級階段練習）二次函數 中的x，y滿足如表
(1)該拋物線的頂點坐標為 ；
(2)①求m的值．
②當x＞1時，y隨值的x增大而 （填“增大”或“減小”）．
【答案】(1)（1，-4）；
(2)①m=-4；②增大
【分析】（1）設一般式，再取兩組對應值代入得到關于a、b的方程組，然后解方程組即可；
（2）①把x=1代入二次函數的解析式求解即可；
②根據二次函數的性質即可寫出答案．
（1）
解：設拋物線解析式為，
把（-1，0），（2，-3）代入得，
解得：，
∴解析式為：，
∴拋物線的對稱軸為直線x=1，
∴當x=1時，y=-4，
∴拋物線的頂點坐標為（1，-4）．
故答案為：（1，-4）；
（2）
解：①把x=1代入，可得y=1-2-3=-4，
所以m=-4；
②∵，
∴拋物線開口向上，對稱軸為直線x=1，
∴當x＞1時，y隨值的x增大而增大．
故答案為：增大．
【點睛】本題考查二次函數的性質，解題的關鍵是掌握待定系數法，求出二次函數的解析式．
11．（2022·福建·莆田第二十五中學九年級階段練習）如圖是一個二次函數的圖象，頂點是原點O，且過點A(2，1)．
(1)求出二次函數的表達式；
(2)我們把橫、縱坐標都為整數的點稱為整點，請用整數n表示這條拋物線上所有的整點坐標．
(3)過y軸的正半軸上一點C(0，c)作AO的平行線交拋物線于點B，如果點B是整點，求證：OAB的面積是偶數．
【答案】(1)
(2)，其中n為整數
(3)見解析
【分析】（1）可設拋物線的解析式為，然后只需把點A的坐標代入拋物線的解析式，就可解決問題；
（2）由拋物線的解析式可知，要使y是整數，只需x是偶數，故x可用2n表示（n為整數），由此就可解決問題；
（3）運用待定系數法求出直線OA的解析式，然后根據兩直線平行一次項的系數相同，可得到直線BC的函數表達式；由于點B是整點，點B的坐標可表示為，代入直線BC的解析式，即可得到a的值（用n表示），然后根據平行等積法可得，由于與是相鄰整數，必然一奇一偶，因而是偶數，問題得以解決．
（1）
解：∵二次函數的圖象，頂點是原點O，且過點A(2，1)，
設拋物線的解析式為，將點代入得，
，
解得，
∴二次函數的表達式為；
（2）
解：∵拋物線的解析式為，
∴拋物線上整點坐標可表示為，其中n為整數
（3）
證明：設直線OA的解析式為把點A（2，1）代入y=kx,得
1=2k,
解得k=，
∴直線OA的解析式為,
∴過點C（0，c）與直線OA平行的直線的解析式為；
∵點B是整點，
∴點B的坐標可表示為，其中n為整數，
把B代入,得
∴．
∵，
∴，
∵為整數，
∴與一奇一偶，
∴是偶數，
即△OAB的面積是偶數．
【點睛】本題主要考查了運用待定系數法求直線與拋物線的解析式、兩直線平行問題、直線上點的坐標特征、平行等積法、奇數與偶數等知識，運用平行等積法是解決第（3）小題的關鍵．
12．（2021·江蘇·昆山市城北中學九年級階段練習）如圖，已知拋物線（a≠0）的對稱軸為直線x＝﹣1，且拋物線經過A（1，0），C（0，3）兩點，與x軸交于點B．
(1)若直線y＝mx+n經過B，C兩點，求直線BC和拋物線的解析式；
(2)在拋物線的對稱軸x＝﹣1上找一點M，使MA+MC的值最小，求點M的坐標；
(3)設P為拋物線的對稱軸x＝﹣1上的一個動點，求使△BPC為直角三角形的點P的坐標．
【答案】(1)，y＝x+3
(2)M的坐標為（﹣1，2）
(3)點P的坐標為（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，）或（﹣1，）
【分析】（1）用待定系數法即可求解；
（2）設直線BC與對稱軸x＝﹣1的交點為M，則此時MA+MC的值最小，進而求解；
（3）分點B為直角頂點、點C為直角頂點、P為直角頂點三種情況，分別求解即可．
（1）
解：拋物線的對稱軸為直線x＝﹣1，且拋物線經過A（1，0），
故點B的坐標為（﹣3，0），
設拋物線的表達式為y＝＝，
將點C坐標代入上式得：3＝a（﹣3），解得a＝﹣1，
∴拋物線的解析式為：；
把B（﹣3，0），C（0，3）代入y＝mx+n得：
，解得，
∴直線的解析式為y＝x+3；
（2）
解：設直線BC與對稱軸x＝﹣1的交點為M，則此時MA+MC的值最小．
把x＝﹣1代入直線y＝x+3得y＝2，故M（﹣1，2），
即當點M到點A的距離與到點C的距離之和最小時M的坐標為（﹣1，2）；
（3）
解：設P（﹣1，t），B（﹣3，0），C（0，3），
則＝18，＝＝，，
若點B為直角頂點時，則，
即18+＝，
解得t＝﹣2；
若點C為直角頂點時，則BC2+PC2＝PB2，
即＝18+，
解得t＝4，
若P為直角頂點時，則，則+＝18，
解得t＝，
綜上，點P的坐標為（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，）或（﹣1，）．
【點睛】本題考查的是二次函數綜合運用，涉及到一次函數的性質、直角三角形的性質、點的對稱性等，其中（3），要注意分類求解，避免遺漏．
13．（2022·全國·九年級單元測試）如圖，拋物線交x軸于點A（1，0），交y軸交于點B，對稱軸是直線x＝2．
(1)求拋物線的解析式；
(2)若在拋物線上存在一點D，使△ACD的面積為8，請求出點D的坐標．
(3)點P是拋物線對稱軸上的一個動點，是否存在點P，使△PAB的周長最小？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)D（5，8）或（﹣1，8）
(3)存在，（2，1）
【分析】（1）利用待定系數法解答，即可求解；
（2）先求出點C（0，3），可得AC=2，根據三角形的面積可得到n＝±8，再代入拋物線解析式，即可求解；
（3）根據拋物線的對稱性可得當點P與點B，C共線時，△PAB的周長最小，求出直線BC的解析式，即可求解．
（1）
解：由題意得∶，
解得，
∴拋物線的解析式為；
（2）
解：令y=0，則，
解得：，
∴點C（0，3），
∴AC=2，
設D（m，n），
∵△ACD的面積為8，
∴×2×|n|＝8，
∴n＝±8，
當n＝8時，，解得x＝5或﹣1，
∴D（5，8）或（﹣1，8），
當n＝﹣8時，，方程無解，
綜上所述，D（5，8）或（﹣1，8）；
（3）
解：連接BC與直線x＝2交于點P，
∵點A與點C關于x＝2對稱，
∴AP=CP，
∴△PAB的周長為PA+PB+AB=PC+PB+AB≤BC+AB，
∴當點P與點B，C共線時，△PAB的周長最小，為BC+AB，
當x=0時，y=3，
∴y＝x2﹣4x+3與y軸的交點為B（0，3），
設直線BC的解析式為：y＝kx+b′，
把點B（0，3），C（3，0）代入得：
，解得，
∴直線BC的解析式為：y＝﹣x+3，
當x=2時，y=1
∴直線BC與x＝2的交點坐標為：（2，1）
∴點P的坐標為：（2，1）．
【點睛】本題主要考查了二次函數的應用、待定系數法、一元二次方程等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會用轉化的思想思考問題．
14．（2022·甘肅·民勤縣第六中學九年級期末）如圖，拋物線經過點A(2，0)，B(-2，4)，(-4，0)，直線AB與拋物線的對稱軸交于點E．
(1)求拋物線的表達式；
(2)點M在直線AB上方的拋物線上運動，當ΔABM的面積最大時，求點M的坐標；
(3)若點F為平面內的一點，且以點為頂點的四邊形是平行四邊形，請寫出符合條件的點F的坐標．
【答案】(1)
(2)（0，4）
(3)（-5，1）或（1，7）或（-3，-1）
【分析】（1）已知拋物線上的三點用待定系數法求解析式；
（2）根據拋物線的解析式，設出點M的坐標，作一條豎線交AB于N，利用公式求△ABM的面積；
（3）求出點E坐標，利用平行四邊形的性質和平移求點F的坐標，注意分類討論．
（1）
解：將點A(2，0)，B(-2，4)，C(-4，0)分別代入得：
，
解得．
∴拋物線的表達式為y=．
（2）
如圖，作MNy軸交直線AB于點N，
設點M(m，)．
設直線AB的方程為，將代入解析式得：
，
解得，
∴直線AB的解析式為：，
∴， ，
∴，
∵-1＜0，且-2＜0＜2，
∴當m=0時，ΔABM的面積最大，此時，所以M的坐標為（0，4）．
（3）
∵拋物線的對稱軸為直線，
將代入得y=3，
∴E（-1，3），
當BC為對角線時，構成．
∵B(-2，4)，E（-1，3），
∴點E到點B向左一個單位長度，向上1個單位長度，
∴點C到點F也向左一個單位長度，向上1個單位長度，
∵C(-4，0)，
∴ F（-5，1）．
同理，當BE為對角線時，構成，可得F（1，7）；
當BF為對角線時，構成，可得F（-3，-1）．
綜上所述點F得坐標為（-5，1）或（1，7）或（-3，-1） ．
【點睛】本題考查了待定系數法求二次函數解析式，直角坐標系中三角形面積求法，與已知平行四邊形三個頂點求第四個點坐標的方法，記住面積公式和會分類討論是解題的關鍵．
15．（2022·黑龍江省新華農場中學九年級階段練習）如圖，已知拋物線的對稱軸是直線x=3，且與x軸相交于A、B兩點（B點在A點的右側），與y軸交于C點．
(1)A點的坐標是_____________；B點坐標是________________；
(2)求直線BC的解析式；
(3)點P是直線BC上方的拋物線上的一動點（不與B、C重合），是否存在點P，使△PBC的面積最大．若存在，請求出△PBC的最大面積，若不存在，試說明理由；
(4)若點M在x軸上，點N在拋物線上，以A、C、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形時，請直接寫出點M點坐標．
【答案】(1)，
(2)直線的解析式為
(3)存在點，使的面積最大，最大面積是16，理由見詳解
(4)滿足條件的點的坐標為，，，，，
【分析】（1）由拋物線的對稱軸為直線，利用二次函數的性質即可求出值，進而可得出拋物線的解析式，再利用二次函數圖象上點的坐標特征，即可求出點、的坐標；
（2）利用二次函數圖象上點的坐標特征可求出點的坐標，由點、的坐標，利用待定系數法即可求出直線的解析式，
（3）假設存在，設點的坐標為，過點作軸，交直線于點，則點的坐標為，，利用三角形的面積公式即可得出關于的函數關系式，再利用二次函數的性質即可解決最值問題；
（1）
解：拋物線的對稱軸是直線，
，解得：，
拋物線的解析式為．
當時，，
解得：，，
點的坐標為，點的坐標為．
故答案為，．
（2）
解：當時，，
點的坐標為．
設直線的解析式為．
將、代入，
，解得：，
直線的解析式為．
（3）
解：假設存在，設點的坐標為，過點作軸，交直線于點，則點的坐標為，如圖所示．
，
．
，
當時，的面積最大，最大面積是16．
，
存在點，使的面積最大，最大面積是16．
（4）
解：如圖，
當為平行四邊形的邊時，由點可知點的縱坐標的絕對值為4，
∴或，
解得：，
當，時，則有，
∴，
∴，
同理可得當，，，，可得，，，，
當為對角線時，則有，
∴，
∴，
綜上所述，滿足條件的點的坐標為，，，，，．
【點睛】本題考查了二次函數的性質、二次函數圖象上點的坐標特征、待定系數法求一次函數解析式以及三角形的面積，解題的關鍵是：（1）利用二次函數的性質求出的值；（2）根據三角形的面積公式找出關于的函數關系式；（3）根據的長度，找出關于的含絕對值符號的一元二次方程；（4）用分類討論的思想解決問題即可．
x
?
0
1
2
3
4
?
y
?
3
0
-1
0
3
?
x
…
﹣1
0
1
2
…
y
…
0
﹣3
m
﹣3
…

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