考點(diǎn)一 因式分解法解一元二次方程 考點(diǎn)二 十字相乘法解一元二次方程
考點(diǎn)三 換元法解一元二次方程 考點(diǎn)四 已知一元二次方程的解求另一個解
考點(diǎn)五 根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系求參數(shù)與代數(shù)式的值
考點(diǎn)六 一元二次方程根的判別式與根與系數(shù)的綜合問題
考點(diǎn)一 因式分解法解一元二次方程
例題：（2022·四川成都·九年級期末）解下列一元二次方程．
(1)x2﹣4x＝5； (2)2（x+1）2＝x（x+1）．
【變式訓(xùn)練】
1.（2022·江蘇·蘇州草橋中學(xué)八年級期中）解方程：
(1) ；
(2)（
2.（2022·黑龍江·哈爾濱市第六十九中學(xué)校八年級期中）解下列方程：
(1)
(2)
考點(diǎn)二 十字相乘法解一元二次方程
例題：（2022·江蘇·蘇州草橋中學(xué)八年級期中）解方程：
(1)． (2)
【變式訓(xùn)練】
1.（2022·全國·九年級）解一元二次方程：．
2．（2021·江蘇·揚(yáng)州市江都區(qū)實驗初級中學(xué)一模）解方程：；
3．（2022·全國·九年級）用因式分解法解方程：x2-10x+16=0
考點(diǎn)三 換元法解一元二次方程
例題：（2022·江蘇南京·二模）若關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0的解是x1=3，x2=?5，則關(guān)于y的方程a(y+1)2+b(y+1)+c=0的解是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·湖南邵陽·九年級期末）請你先認(rèn)真閱讀下列材料，再參照例子解答問題：
已知，求的值．
解：設(shè)，則原方程變形為，
即
∴
得t1＝﹣2，t2＝1
∴或
已知，求的值．
2．（2022·四川瀘州·一模）請閱讀下列材料：
解方程：（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0．
解法如下：
將x2﹣1視為一個整體，然后設(shè)x2﹣1＝y(tǒng)，則（x2﹣1）2＝y(tǒng)2，
原方程可化為y2﹣5y+4＝0，
解得y1＝1，y2＝4．
（1）當(dāng)y＝1時，x2﹣1＝1，解得x＝±；
（2）當(dāng)y＝4時，x2﹣1＝4，解得x＝±．
綜合（1）（2），可得原方程的解為x1＝，x2＝﹣，x3＝，x4＝﹣．
參照以上解法，方程x4﹣x2﹣6＝0的解為 _____．
考點(diǎn)四 已知一元二次方程的解求另一個解
例題：（2022·陜西·西安鐵一中分校三模）若關(guān)于x的方程有一個根是2，則另一個根是（ ）
A．6B．3C．D．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·江蘇南京·二模）關(guān)于x的方程x2+bx?2=0有一個根是1，則方程的另一個根是______．
2．（2022·四川成都·二模）已知關(guān)于x的方程x2+3x+m＝0的一個根是1，則此方程的另一個根為 _____．
考點(diǎn)五 根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系求參數(shù)與代數(shù)式的值
例題1：（2022·江蘇南京·模擬預(yù)測）已知關(guān)于x的方程x2+2（m﹣1）x﹣4m＝0的兩個實數(shù)根是x1，x2，且x1+x2＝4，則m的值為__．
例題2：（2022·江西南昌·二模）若一元二次方程的兩個實數(shù)根為a，b，則的值為_______．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·四川瀘州·中考真題）已知關(guān)于的方程的兩實數(shù)根為，，若，則的值為（ ）
A．B．C．或3D．或3
2．（2022·貴州六盤水·九年級期末）若a，b是關(guān)于x的方程的兩個實數(shù)根，則___．
3．（2022·四川瀘州·二模）已知是關(guān)于x的一元二次方程兩個實數(shù)根，且，則a＝______．
考點(diǎn)六 一元二次方程根的判別式與根與系數(shù)的綜合問題
例題：（2022年四川省南充市中考數(shù)學(xué)試卷）已知關(guān)于x的一元二次方程有實數(shù)根．
(1)求實數(shù)k的取值范圍．
(2)設(shè)方程的兩個實數(shù)根分別為，若，求k的值．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·湖南·雙牌縣教育研究室模擬預(yù)測）已知關(guān)于的一元二次方程有，兩個實數(shù)根．
(1)求的取值范圍；
(2)若，求及的值；
(3)是否存在實數(shù)，滿足？若存在，求出實數(shù)的值？若不存在，請說明理由．
2．（2022·湖北荊門·一模）已知關(guān)于的一元二次方程．
(1)求證：無論為任何非零實數(shù)，此方程總有兩個實數(shù)根；
(2)若該方程的兩個實數(shù)根分別為、，且，求的值．
一、選擇題
1．（2022·山西·孝義市教育科技局教學(xué)研究室三模）一元二次方程的根為（ ）
A．，B．，
C．，D．，
2．（2022·重慶實驗外國語學(xué)校八年級期中）若一元二次方程的一個根是，則另一個根是（ ）
A．6B．5C．-3D．2
3．（2022·江西吉安·九年級期末）已知矩形的長和寬是方程的兩個實數(shù)根，則矩形的對角線的長為（ ）
A．6B．7C．20D．
4．（2022·內(nèi)蒙古北方重工業(yè)集團(tuán)有限公司第一中學(xué)三模）若是一元二次方程的兩個根，則的值為( )
A．3B．2C．1D．
5．（2022年貴州省黔東南州中考數(shù)學(xué)真題）已知關(guān)于的一元二次方程的兩根分別記為，，若，則的值為（ ）
A．7B．C．6D．
6．（2022·山東·招遠(yuǎn)市教學(xué)研究室八年級期中）關(guān)于x的一元二次方程有一個根為x＝5，則關(guān)于x的一元二次方程必有一個根為（ ）
A．3B．4C．5D．6
二、填空題
7．（2022·全國·九年級）方程的根是__．
8．（2022·青海海東·九年級期末）關(guān)于x的方程的一個根是，則它的另一個根________．
9．（2022·全國·九年級）一元二次方程x2﹣3x+1＝0的兩個實數(shù)根為α、β，則αβ﹣α﹣β的值為 __．
10．（2022·山東·陵城區(qū)教學(xué)研究室一模）若直角三角形的兩邊長分別是一元二次方程x2－7x＋12＝0的兩個實數(shù)根，則該直角三角形的面積是_______．
11．（2022·湖南·吉首市教育科學(xué)研究所模擬預(yù)測）對于實數(shù)，定義運(yùn)算“※”：※=．例如，4※2=4×2×（4+2）=48．若是關(guān)于的一元二次方程的兩個實數(shù)根，則※=_____．
12．（2022·安徽·舒城縣仁峰實驗學(xué)校八年級階段練習(xí)）對于實數(shù)a，b，先定義一種新運(yùn)算“”如下：ab＝
（1）計算：＝_____；
（2）若2m＝36，則實數(shù)m等于_____．
三、解答題
13．（2022·山東德州·九年級期末）解方程：
(1)
(2)
14．（2022·河南信陽·九年級期末）解方程：
(1)x2－2x－3＝0
(2)（x﹣3）2＝2x﹣6
15．（2022·浙江·樂清市樂成第一中學(xué)八年級期中）用適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋?br>(1)．
(2)．
16．（2022·北京門頭溝·二模）已知關(guān)于x的二次方程有兩個不相等的實數(shù)根．
(1)求m的取值范圍；
(2)如果m為正整數(shù)，求此方程的根．
17．（2022·全國·九年級）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣3＝0有實數(shù)根．
(1)求實數(shù)m的取值范圍；
(2)當(dāng)m＝2時，方程的根為x1，x2，求代數(shù)式（x12+2x1）（x22+4x2+2）的值．
18．（2022·山東煙臺·八年級期中）已知關(guān)于的一元二次方程．
(1)求證：無論為何實數(shù)，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；
(2)若該方程的兩個實數(shù)根滿足，求的值．
19．（2022·湖北十堰·中考真題）已知關(guān)于的一元二次方程．
(1)求證：方程總有兩個不相等的實數(shù)根；
(2)若方程的兩個實數(shù)根分別為，，且，求的值．
20．（2022·四川涼山·中考真題）閱讀材料：
材料1：若關(guān)于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的兩個根為x1，x2，則x1＋x2＝，x1x2＝
材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的兩個實數(shù)根分別為m，n，求m2n＋mn2的值．
解：∵一元二次方程x2－x－1＝0的兩個實數(shù)根分別為m，n，
∴m＋n＝1，mn＝－1，
則m2n＋mn2＝mn（m＋n）＝－1×1＝－1
根據(jù)上述材料，結(jié)合你所學(xué)的知識，完成下列問題：
(1)材料理解：一元二次方程2x2－3x－1＝0的兩個根為x1，x2，則x1＋x2＝ ；x1x2＝ ．
(2)類比應(yīng)用：已知一元二次方程2x2－3x－1＝0的兩根分別為m、n，求的值．
(3)思維拓展：已知實數(shù)s、t滿足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，且s≠t，求的值．

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