【典例1】閱讀下列內(nèi)容：因?yàn)?＜3＜9，所以13，所以的整數(shù)部分是1，小數(shù)部分是1．試解決下列問題：
（1）求的整數(shù)部分和小數(shù)部分；
（2）若已知8的小數(shù)部分是a，8的整數(shù)部分是b，求ab﹣3a+4b的值．
【思路點(diǎn)撥】
（1）根據(jù)閱讀方法，直接估算無理數(shù)的大小即可；
（2）估算無理數(shù)，8，8的大小，確定a、b的值，代入計算即可．
【解題過程】
解：（1）∵，
∴34，
∴的整數(shù)部分是3，小數(shù)部分為3；
（2）∵34，
∴11＜812，
∴8的小數(shù)部分a＝8113，
∵34，
∴﹣43，
∴4＜85，
∴8的整數(shù)部分是b＝4，
∴ab﹣3a+4b
＝（3）×4﹣3×（3）+4×4
＝412﹣39+16
13，
答：ab﹣3a+4b的值為13．
1．（2021秋?溧水區(qū)期末）估計的值在（ ）
A．3與4之間B．4與5之間C．5與6之間D．6與7之間
【思路點(diǎn)撥】
依據(jù)被開放數(shù)越大對應(yīng)的算術(shù)平方根越大進(jìn)行比較即可．
【解題過程】
解：∵，
∴67，
∴的值在6和7之間；
故選：D．
2．（2021?綿陽）下列數(shù)中，在與之間的是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【思路點(diǎn)撥】
根據(jù)，4，，6，即可進(jìn)行解答．
【解題過程】
解：因?yàn)椋?，，
4，5，6，
所以46．
故選：C．
3．（2021秋?灤州市期中）如圖，數(shù)軸上的點(diǎn)A，B，O，C，D分別表示數(shù)﹣2，﹣1，0，1，2，則表示數(shù)3的點(diǎn)P應(yīng)落在（ ）
A．線段AB上B．線段BO上C．線段OC上D．線段CD上
【思路點(diǎn)撥】
估算無理數(shù)的大小，進(jìn)而確定3的大小，再根據(jù)數(shù)軸表示數(shù)的定義進(jìn)行判斷即可．
【解題過程】
解：∵，即34，
∴﹣43，
∴﹣1＜30，
而點(diǎn)B所表示的數(shù)是﹣1，點(diǎn)O所表示的數(shù)為0，
∴表示數(shù)3的點(diǎn)P應(yīng)落在線段BO上，
故選：B．
4．（2021秋?新邵縣期末）一個邊長為acm的正方形，它的面積與長為8cm、寬為5cm的長方形面積相等，則a的值（ ）
A．在3與4之間B．在4與5之間C．在5與6之間D．在6與7之間
【思路點(diǎn)撥】
根據(jù)題意列出關(guān)于a的方程，求出a，估算出的值即可．
【解題過程】
解：由題意得：a2＝8×5，
∴a2＝40，
∴a，
∵36＜40＜49，
∴67，
∴a的值在6與7之間，
故選：D．
5．（2021秋?張店區(qū)期末）介于兩個連續(xù)（相鄰）的整數(shù)a與b之間，則a+b＝（ ）
A．1B．3C．5D．7
【思路點(diǎn)撥】
先估算出的值，然后進(jìn)行計算即可解答．
【解題過程】
解：∵4＜5＜9，
∴23，
∴11＜2，
∴1，
∵介于兩個連續(xù)（相鄰）的整數(shù)a與b之間，
∴a＝0，b＝1，
∴a+b＝1，
故選：A．
6．（2021秋?南京期末）下列整數(shù)中，與1最接近的是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【思路點(diǎn)撥】
估算出的值即可解答．
【解題過程】
解：∵9＜10＜16，
∴，
∴34，
∴21＜3，
∵3.52＝12.25，
∴最接近的整數(shù)是3，
∴1最接近的整數(shù)是2，
故選：A．
7．（2021秋?昌平區(qū)期末）已知432＝1849，442＝1936，452＝2025，462＝2116．若n為整數(shù)且nn+1，則n的值是 ．
【思路點(diǎn)撥】
估算出的值即可解答．
【解題過程】
解：∵442＝1936，452＝2025，
∴1936＜2022＜2025，
∴4445，
∵n為整數(shù)且nn+1，
∴n＝44，
故答案為：44．
8．（2021秋?重慶期末）已知M是滿足不等式的所有整數(shù)的和，N是的整數(shù)部分，則M+N的平方根為 ．
【思路點(diǎn)撥】
估算得出整數(shù)a的值，求出之和確定出M，求出不等式的最大整數(shù)確定出N，進(jìn)而確定出M+N的平方根．
【解題過程】
解：∵a，
∴整數(shù)a＝﹣1，0，1，2，之和M＝﹣1+0+1+2＝2，
∵，
∴N＝7，
∴M+N＝2+7＝9，
∴M+N的平方根為±3．
故答案為：±3．
9．（2021秋?梁溪區(qū)期中）我們知道，若一個面積為2的正方形的邊長為a，那么a是一個無理數(shù)，我們用“逼近法”可以逐步求出a的值的范圍是1.41＜a＜1.42（精確到2位小數(shù)）．類似的，若一個面積為7的正方形的邊長為b，請你逐步探求出b的值的范圍 （精確到2位小數(shù)即可）．
【思路點(diǎn)撥】
利用“逼近法”估算出近似值的千分位，再四舍五入即可求解此題．
【解題過程】
解：由題意得，b，
又∵23，
2.62.7，
，
∴b的值的范圍是，
故答案為：．
10．（2021秋?湘潭縣期末）若記[x]表示任意實(shí)數(shù)的整數(shù)部分例如：，?，則（其中“+”“﹣”依次相間）的值為 ．
【思路點(diǎn)撥】
根據(jù)[x]表示任意實(shí)數(shù)的整數(shù)部分，求出各個式子的值，然后進(jìn)行計算即可．
【解題過程】
解：∵442＝1936，452＝2025，
∴[2020]＝44，[2021]＝44，[2022]＝44，[2023]＝44，[2024]＝44，
∴+[2021]﹣[2022]+[2023]﹣[2024]
＝+44﹣44+44﹣44
＝0，
∴
＝1﹣1+1﹣2+2﹣2+2﹣2+3﹣3+3﹣3+3﹣3+3﹣4+...+44﹣44
＝1﹣2+3﹣4+...﹣44
＝﹣1﹣1﹣...﹣1
＝﹣22，
故答案為：﹣22．
11．（2021春?泗水縣期末）已知4a+3的立方根是3，3a﹣b的算術(shù)平方根是4，c是的整數(shù)部分，一個正數(shù)的兩個平方根分別是d+3和2d﹣12，求a+2b+c+d的平方根．
【思路點(diǎn)撥】
直接利用立方根以及算術(shù)平方根的定義得出a，b的值，估算的值可得c的值，根據(jù)平方根的定義可得d的值，最后將a，b，c，d的值代入a+2b+c+d．進(jìn)行計算，從而可解答．
【解題過程】
解：∵4a+3的立方根是3，3a﹣b的算術(shù)平方根是4，
∴4a+3＝27，3a﹣b＝16，
∴a＝6，b＝2，
∵c是的整數(shù)部分，且34，
∴c＝3，
∵一個正數(shù)的兩個平方根分別是d+3和2d﹣12，
∴d+3+2d﹣12＝0，
∴d＝3，
∴a+2b+c+d＝6+4+3+3＝16，
∴a+2b+c+d的平方根是±4．
12．（2021春?九龍坡區(qū)期中）已知|b+3|＝b+3，m為的整數(shù)部分，n為的小數(shù)部分，求2m﹣n的值．
【思路點(diǎn)撥】
由|b+3|＝b+3，可得a+b＝21，再根據(jù)m為的整數(shù)部分，n為的小數(shù)部分，確定m、n的值代入計算即可．
【解題過程】
解：由|b+3|＝b+3，可得a+b＝21，
∵45，m為的整數(shù)部分，n為的小數(shù)部分，
∴m＝4，n4，
∴2m﹣n＝84＝12，
答：2m﹣n的值為12．
13．（2021秋?高州市月考）已知：9小數(shù)部分是m，9小數(shù)部分是n，且（x+1）2＝m+n，請求出滿足條件的x的值．
【思路點(diǎn)撥】
根據(jù)m和n的條件得出m+n的值，即可確定x+1的值，從而求出x的值．
【解題過程】
解：∵9小數(shù)部分是m，9小數(shù)部分是n，
∴m＝94＝5，n＝913＝﹣4，
∴m+n＝5（﹣4）＝1，
∴（x+1）2＝1，
∴x+1＝1或x+1＝﹣1，
∴x＝0或x＝﹣2．
14．（2020秋?江干區(qū)期末）如果一個正方形ABCD的面積為69．
（1）求正方形ABCD的邊長a．
（2）正方形ABCD的邊長滿足m＜a＜n，m，n表示兩個連續(xù)的正整數(shù)，求m，n的值．
（3）m，n在滿足（2）的條件下，求的值．
【思路點(diǎn)撥】
（1）根據(jù)正方形的面積是69即可得出答案；
（2）故選的范圍即可求出m，n的值；
（3）把m，n的值代入求值即可．
【解題過程】
解：（1）∵正方形ABCD的面積為69，
∴正方形ABCD的邊長a；
（2）∵64＜69＜81，
∴89，
∴m＝8，n＝9；
（3）當(dāng)m＝8，n＝9時，
原式
＝﹣2﹣3
＝﹣5．
15．（2021春?濮陽期末）根據(jù)下表回答問題：
（1）265.69的平方根是 ；
（2） ， ， ；
（3）設(shè)的整數(shù)部分為a，求﹣4a的立方根．
【思路點(diǎn)撥】
（1）根據(jù)平方根的定義：如果一個數(shù)的平方等于a，這個數(shù)就叫做a的平方根，即可求出結(jié)果；
（2）根據(jù)圖表和算術(shù)平均數(shù)的定義即可得出答案；
（3）根據(jù)題意先求出a的值，再求出﹣4a的值，然后根據(jù)立方根的定義即可得出答案．
【解題過程】
解：（1）265.69的平方根是：±16.3；
故答案為：±16.3；
（2）16.2；168；1.61；
故答案為：16.2，168，1.61；
（3）∵，
∴1617，
∴a＝16，﹣4a＝﹣64，
∴﹣4a的立方根為﹣4．
16．（2021春?西城區(qū)校級期中）任何實(shí)數(shù)a，可用[a]表示不超過a的最大整數(shù)，如[4]＝4，[]＝1，現(xiàn)對72進(jìn)行如下操作：
72[]＝8[]＝2[]＝1，這樣對72只需進(jìn)行3次操作后變?yōu)?．
（1）對10進(jìn)行1次操作后變?yōu)? ，對200進(jìn)行3次操作后變?yōu)? ；
（2）對實(shí)數(shù)m恰進(jìn)行2次操作后變成1，則m的取值范圍是 ．
（3）恰需要進(jìn)行3次操作后變?yōu)?的所有正整數(shù)中，最大的是 ．
【思路點(diǎn)撥】
（1）根據(jù)[a]的含義和無理數(shù)的估計可求．
（2）根據(jù)[a]的含義倒推m的范圍．
（3）根據(jù)[a]的含義求出這個數(shù)的范圍，再求最大值．
【解題過程】
解：（1）[]＝3．
200進(jìn)行第一次操作：[]＝14，
第二次操作后：[]＝3．
第三次操作后：[]＝1．
故答案為：3，1．
（2）∵[x]＝1
.∴1≤x＜2．
∴14．
∴1≤m＜16．
∵操作兩次．
∴2．
∴m≥4．
∴4≤m＜16．
故答案為：4≤m＜16．
（3）設(shè)這個數(shù)是p，
∵[x]＝1
.∴1≤x＜2．
∴12．
∴1≤m＜4．
∴116．
∴1≤p＜256．
∵3次操作，故p≥16．
∴16≤p＜256．
∵p是整數(shù)．
∴p的最大值為255．
故答案為：255．
17．（2021春?恩施市月考）閱讀下列信息材料：
信息1：因?yàn)闊o理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，因此無理數(shù)的小數(shù)部分我們不可能全部地寫出來比如：π、等，而常用的“…”或者“≈”的表示方法都不夠百分百準(zhǔn)確．
信息2：2.5的整數(shù)部分是2，小數(shù)部分是0.5，可以看成2.5﹣2得來的；
信息3：任何一個無理數(shù)，都可以夾在兩個相鄰的整數(shù)之間，如23，是因?yàn)椋焊鶕?jù)上述信息，回答下列問題：
（1）的整數(shù)部分是 ，小數(shù)部分是 ．
（2）10也是夾在相鄰兩個整數(shù)之間的，可以表示為a＜10b則a+b＝ ．
（3）若3＝x+y，其中x是整數(shù)，且0＜y＜1，請求x﹣y的相反數(shù)．
【思路點(diǎn)撥】
（1）先估算在哪兩個整數(shù)之間，即可確定的整數(shù)部分和小數(shù)部分；
（2）先估算出的整數(shù)部分，再利用不等式的性質(zhì)即可確定答案；
（3）先求出的整數(shù)部分，得到3的整數(shù)部分即為x的值，從而表示出y的結(jié)果，再求x﹣y的相反數(shù)即可．
【解題過程】
解：（1）∵9＜13＜16，
∴34，
∴的整數(shù)部分為3，小數(shù)部分為3．
故答案為：3，3；
（2）∵1＜3＜4，
∴12，
∴10+1＜1010+2，
即11＜1012，
∴a＝11，b＝12，
∴a+b＝23．
故答案為：23；
（3）∵25＜30＜36，
∴56，
∴5﹣33＜6﹣3，
即23＜3，
∴3的整數(shù)部分為2，小數(shù)部分為3﹣25，
∴x＝2，y5，
∴x﹣y＝2﹣（5）＝7，
∴x﹣y的相反數(shù)為7．
18．（2021春?滿洲里市期末）閱讀下面的文字，解答問題
大家知道是無理數(shù)，而無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，因此的小數(shù)部分我們不可能全部地寫出來，但是由于12，所以的整數(shù)部分為1，將減去其整數(shù)部分1，所得的差就是其小數(shù)部分1，根據(jù)以上的內(nèi)容，解答下面的問題：
（1）的整數(shù)部分是 ，小數(shù)部分是 ；
（2）1的整數(shù)部分是 ，小數(shù)部分是 ；
（3）1整數(shù)部分是 ，小數(shù)部分是 ；
（4）若設(shè)2整數(shù)部分是x，小數(shù)部分是y，求xy的值．
【思路點(diǎn)撥】
（1）先估算出的范圍，即可得出答案；
（2）先估算出的范圍，即可得出答案；
（3）先求出1的范圍，即可得出答案；
（4）先求出2的范圍，求出x、y，即可得出答案．
【解題過程】
解：（1）∵23，
∴的整數(shù)部分是2，小數(shù)部分為2，
故答案為：2，2；
（2）∵12，
∴2＜13，
∴1的整數(shù)部分是2，小數(shù)部分是121，
故答案為：2，1；
（3）∵2.4＜13，1.7，
∴4.1＜15，
∴1，的整數(shù)部分是4，小數(shù)部分是3，
故答案為：4，3；
（4）∵12，
∴3＜24，
∴x＝3，y1，
∴xy＝3（1）．
19．（2021春?重慶期中）如圖，數(shù)軸的正半軸上有A，B，C三點(diǎn)，點(diǎn)A，B表示數(shù)1和．點(diǎn)B到點(diǎn)A的距離與點(diǎn)C到點(diǎn)O的距離相等，設(shè)點(diǎn)C所表示的數(shù)為c．
（1）請你求出數(shù)c的值．
（2）若m為的相反數(shù)，n為（c﹣3）的絕對值，求6m+n的整數(shù)部分的立方根．
【思路點(diǎn)撥】
（1）根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離求出AB之間的距離即為c的值；
（2）根據(jù)題意及c的值求出m和n的值，再把m，n代入所求代數(shù)式進(jìn)行計算即可．
【解題過程】
解：（1）∵點(diǎn)A．B分別表示1，，
∴AB1，
∴c1；
（2）∵c1，
∴m＝﹣（1）＝1，n＝|1﹣3|＝4，
6m+n＝6×1+（4）＝10，
∵12，
∴﹣21，
∴8＜109，
∴6m+n的整數(shù)部分是8，
∴2．
20．（2020春?思明區(qū)校級期末）下面是小李探索的近似值的過程：
我們知道面積是2的正方形的邊長是，易知1，因此可設(shè)1+x，可畫出如圖示意圖．由圖中面積計算，S正方形＝x2+2×1?x+1，另一方面由題意知S正方形＝2，所以x2+2×1?x+1＝2．
略去x2，得方程2x+1＝2，解得x＝0.5，即1.5．
仿照上述方法，探究的近似值．（畫出示意圖，標(biāo)明數(shù)據(jù)，并寫出求解過程）
【思路點(diǎn)撥】
類比題中的方法，利用面積是5的正方形的邊長是，設(shè)2+x，如圖，利用正方形的面積相等得到x2+2×2?x+4＝5，略去x2得方程4x+4＝5，解方程求出x可確定的近似值．
【解題過程】
解：面積是5的正方形的邊長是，
設(shè)2+x，如圖，面積為5的正方形分成2個小正方形和2個矩形，
∵S正方形＝x2+2×2?x+4，
而S正方形＝5，
∴x2+2×2?x+4＝5，
略去x2，得方程4x+4＝5，解得x＝0.25，
即2.25．
21．（2021春?渝中區(qū)校級期中）閱讀材料：
材料一：∵，即23，
∴11＜2．
∴1的整數(shù)部分為1．
∴1的小數(shù)部分為2
解決問題：利用上面方法，求的小數(shù)部分．
材料二：我們還可以用以下方法求一個無理數(shù)的近似值．
如：求的近似值．
解：設(shè)10+x，其中0＜x＜1，則107＝（10+x）2，即107＝100+20x+x2．
因?yàn)?＜x＜1，所以0＜x2＜1，所以107≈100+20x，解之得x≈0.35，即的近似值為10.35．
理解應(yīng)用：利用上面的方法，求的近似值（結(jié)果精確到0.01）．
【思路點(diǎn)撥】
解決問題：先求出介于哪兩個連續(xù)的整數(shù)之間，再求解即可；
理解應(yīng)用：設(shè)9+x，其中0＜x＜1，得出97≈81+18x，求出x即可得出答案．
【解題過程】
解：解決問題：∵，
∴910，
∴的小數(shù)部分為：9．
理解應(yīng)用：設(shè)9+x，其中0＜x＜1，
則97＝（9+x）2，
即97＝81+18x+x2，
∵0＜x＜1，
∴0＜x2＜1，
∴97≈81+18x，
解得，x≈0.89，
即的近似數(shù)為9.89．
22．（2021秋?南安市期中）在數(shù)軸上點(diǎn)A表示a，點(diǎn)B表示b，且a，b滿足
（1）①a+b＝ ．
②x表示a+b的整數(shù)部分，y表示a+b的小數(shù)部分，則y＝ ；
（2）若b＜x＜a，則取最小整數(shù)值為 ；
（3）若點(diǎn)A與點(diǎn)C之間的距離表示AC，點(diǎn)B與點(diǎn)C之間的距離表示BC，請在數(shù)軸上找一點(diǎn)C，使得AC＝2BC，求點(diǎn)C在數(shù)軸上表示的數(shù)．
【思路點(diǎn)撥】
（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出a、b的值，即可求得a+b的值，進(jìn)而求得a+b整數(shù)部分，a+b的小數(shù)部分；
（2）根據(jù)題意的最小值為0，的最小值為，從而求得取最小整數(shù)值為；
（3）設(shè)C點(diǎn)表示的數(shù)為x，根據(jù)AC＝2BC列出方程，解方程即可；
【解題過程】
解：（1）∵a，b滿足．
∴a＝10，b，
①a+b＝10；
②∵x表示a+b的整數(shù)部分，y表示a+b的小數(shù)部分，
∴x＝11，y1
故答案為10；1；
（2）∵b＜x＜a，
∴x＜10，
∴的最小值為0，的最小值為，
∴取最小整數(shù)值為3，
故答案為3；
（3）設(shè)點(diǎn)C表示的數(shù)為x，
當(dāng)點(diǎn)C在AB之間時，AC＝10﹣x，BC＝x，
∵AC＝2BC，
∴10﹣x＝2（x），
解得：x，
當(dāng)點(diǎn)C在B的左邊時，AC＝10﹣x，BCx，
∵AC＝2BC，
∴10﹣x＝2（x），
解得：x＝210，
故點(diǎn)C表示的數(shù)為或210． x
16
16.1
16.2
16.3
16.4
16.5
16.6
16.7
16.8
x2
256
259.21
262.44
265.69
268.96
272.25
275.56
278.89
282.24

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