【典例1】已知平面直角坐標系中有一點M（m﹣1，2m+3）．
（1）點M在象限的角平分線上，求點M的坐標；
（2）點M到x軸的距離為1時，求點M的坐標．
【思路點撥】
（1）分點M在一、三象限的角平分線上與在二、四象限的角平分線上兩種情況求解；
（2）根據(jù)題意可知2m+3的絕對值等于1，從而可以得到m的值，進而得到M的坐標．
【解題過程】
解：（1）當點M在一、三象限角平分線上時，
m﹣1＝2m+3，
∴m＝﹣4，
∴點M坐標為（﹣5，﹣5）；
當點M在二、四象限角平分線上時，
﹣（m﹣1）＝2m+3，
∴m，
∴點M坐標為（，）；
∴點M坐標為（，）或（﹣5，﹣5）；
（2）∵|2m+3|＝1，
∴2m+3＝1或2m+3＝﹣1，
解得：m＝﹣1或m＝﹣2，
∴點M坐標為（﹣2，1）或（﹣3，﹣1）．
1．（2021秋?高郵市期末）如圖，已知在平面直角坐標系中的一點P恰好被墨水遮住了，則P點的坐標不可能是（ ）
A．（﹣2，3）B．（﹣3，2）C．（﹣3，3）D．（﹣2，﹣3）
【思路點撥】
根據(jù)第二象限的特點判斷即可．
【解題過程】
解：∵被墨水遮住的點在第二象限，所以該點的橫坐標為負數(shù)，縱坐標為正數(shù)，
所以P點的坐標不可能是（﹣2，﹣3）．
故選：D．
2．（2021秋?萊陽市期末）如圖所示，在正方形網(wǎng)格中有A，B，C三個點，若建立平面直角坐標系后，點A的坐標為（2，1），點B的坐標為（1，﹣2），則點C的坐標為（ ）
A．（1，1）B．（﹣2，1）C．（﹣1，﹣2）D．（﹣2，﹣1）
【思路點撥】
根據(jù)點A和點B的坐標確定原點位置，進而得出點C的坐標．
【解題過程】
解：由題意可得：
故點C的坐標為（﹣2，﹣1）．
故選：D．
3．（2021秋?大觀區(qū)校級期末）如果P（a，b）在第三象限，那么點Q（a+b，ab）在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【思路點撥】
根據(jù)第三象限內(nèi)點的坐標特征求出a、b的正負情況，然后對點Q的坐標進行判斷即可．
【解題過程】
解：∵P（a，b）在第三象限，
∴a＜0，b＜0，
∴a+b＜0，ab＞0，
∴點Q（a+b，ab）在第二象限．
故選：B．
4．（2021秋?青島期末）與點P（a2+1，﹣a2﹣2）在同一個象限內(nèi)的點是（ ）
A．（3，2）B．（﹣3，2）C．（﹣3，﹣2）D．（3，﹣2）
【思路點撥】
根據(jù)平方數(shù)非負數(shù)的性質(zhì)求出點P的橫坐標與縱坐標的正負情況，再根據(jù)各象限內(nèi)點的坐標特征求出點P所在的象限，然后解答即可．
【解題過程】
解：∵a2≥0，
∴a2+1≥1，﹣a2﹣2≤﹣2，
∴點P在第四象限，
（3，2），（﹣3，2）（﹣3，﹣2）（3，﹣2）中只有（3，﹣2）在第四象限．
故選：D．
5．（2021秋?畢節(jié)市期末）已知點A（﹣3，2m﹣4）在x軸上，點B（n+5，4）在y軸上，則點C（n，m）位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【思路點撥】
根據(jù)x軸上的點的縱坐標為0；y軸上的點的橫坐標為0，分別求出m、n的值，再判斷點C所在象限即可．
【解題過程】
解：∵A（﹣3，2m﹣4）在x軸上，點B（n+5，4）在y軸上，
∴2m﹣4＝0，n+5＝0，
解得m＝2，n＝﹣5，
∴點C（n，m）在第二象限，
故選：B．
6．（2021秋?姜堰區(qū)期末）若點P（x，y）到x軸的距離為2，且xy＝﹣8，則點P的坐標為（ ）
A．（2，﹣4）B．（﹣2，4）或（2，﹣4）
C．（﹣2，4）D．（﹣4，2）或（4，﹣2）
【思路點撥】
根據(jù)有理數(shù)的乘法判斷出x、y異號，根據(jù)點到x軸的距離等于縱坐標的絕對值，可得縱坐標為±2，進而得出橫坐標．
【解題過程】
解：∵點P（x，y）到x軸的距離為2，
∴點P的得縱坐標為±2，
又∵且xy＝﹣8，
∴y＝﹣4或4，
∴點P的坐標為（﹣4，2）或（4，﹣2）．
故選：D．
7．（2021秋?凌海市期中）下列說法不正確的是（ ）
A．若x+y＝0，則點P（x，y）一定在第二、第四象限角平分線上
B．點P（﹣2，3）到y(tǒng)軸的距離為2
C．若P（x，y）中xy＝0，則P點在x軸上
D．點A（﹣a2﹣1，|b|+1）一定在第二象限
【思路點撥】
根據(jù)各象限角平分線上點的坐標特征，坐標軸上點的坐標特征以及點到y(tǒng)軸的距離等于橫坐標的長度對各選項分析判斷即可得解．
【解題過程】
解：A、若x+y＝0，則x、y互為相反數(shù)，點P（x，y）一定在第二、四象限角平分線上，原說法正確，故此選項不符合題意；
B、點P（﹣2，3）到y(tǒng)軸的距離是2，原說法正確，故此選項不符合題意；
C、若P（x，y）中xy＝0，則P點在x軸或y軸上，原說法不正確，故此選項符合題意；
D、因為﹣a2﹣1＜0，|b|+1＞0，所以點A（﹣a2﹣1，|b|+1）一定在第二象限，原說法正確，故此選項不符合題意．
故選：C．
8．（2021春?額爾古納市期末）已知Q（2x﹣4，x2﹣1）在x軸上，則點Q的坐標為 ．
【思路點撥】
根據(jù)x軸上的點的縱坐標為0可得x的值，進而得出2x﹣4的值，從而得出點Q的坐標．
【解題過程】
解：∵Q（2x﹣4，x2﹣1）在x軸上，
∴x2﹣1＝0，
解得x＝±1，
當x＝1時，2x﹣4＝﹣2，
當x＝﹣1時，2x﹣4＝﹣6，
故點Q的坐標為（﹣2，0）或（﹣6，0）．
故答案為：（﹣2，0）或（﹣6，0）．
9．（2020秋?岳西縣期末）已知點P（3x﹣1，4﹣2x）在第四象限，且到坐標軸的距離和為10，則點P的坐標為 ．
【思路點撥】
根據(jù)點P（3x﹣1，4﹣2x）在第四象限內(nèi)，且到兩坐標軸的距離之和為10列方程求解即可．
【解題過程】
解：∵點P（3x﹣1，4﹣2x）在第四象限，且到兩坐標軸的距離之和為10，
∴3x﹣1+2x﹣4＝10，
解得x＝3，
∴3x﹣1＝8，4﹣2x＝﹣2，
∴點P的坐標為（8，﹣2）．
故答案為：（8，﹣2）．
10．（2021春?欒城區(qū)期中）已知點P、Q的坐標分別為（2m﹣5，m﹣1）、（n+2，2n﹣1），若點P在第二、四象限的角平分線上，點Q在第一、三象限的角平分線上，則mn的值為 ．
【思路點撥】
根據(jù)一、三象限的角平分線上各點的橫縱坐標相；第二、四象限的角平分線上個點的橫縱坐標互為相反數(shù)求解即可．
【解題過程】
解：∵點P（2m﹣5，m﹣1）在第二、四象限的角平分線上，
∴2m﹣5+m﹣1＝0．
解得：m＝2．
∵點Q（n+2，2n﹣1）在第一、三象限的角平分線上，
∴n+2＝2n﹣1．
解得：n＝3．
∴mn＝23＝8．
故答案為：8．
11．（2020秋?會寧縣期末）如果點P（x，y）的坐標滿足x+y＝xy，那么稱點P為“和諧點”，若某個“和諧點”到x軸的距離為3，則P點的坐標為 ．
【思路點撥】
直接利用某個“和諧點”到x軸的距離為3，得出y的值，進而求出x的值求出答案．
【解題過程】
解：∵某個“和諧點”到x軸的距離為3，
∴y＝±3，
∵x+y＝xy，
∴x±3＝±3x，
解得：x或x．
則P點的坐標為：（，3）或（，﹣3）．
故答案為：（，3）或（，﹣3）．
12．（2021春?饒平縣校級期中）（1）寫出圖中點A、B、C、D、E、F的坐標．
（2）在上圖中描出下列各點：L（﹣5，﹣3），M（4，0），N（0，5），P（6，2）．
【思路點撥】
（1）根據(jù)題意寫出各點的坐標即可；
（2）根據(jù)題意描出各點即可．
【解題過程】
解：（1）A（﹣3，﹣2）、B（﹣5，4）、C（5，﹣4）、D（0，﹣3）、E（2，5），F(xiàn)（﹣3，0）；
（2）如圖所示，
13．（2021春?長白縣期中）在平面直角坐標系中，分別根據(jù)下列條件，求出各點的坐標．
（1）點A在y軸上，位于原點上方，距離原點2個單位長度；
（2）點B在x軸上，位于原點右側(cè)，距離原點1個單位長度；
（3）點C在x軸上方，y軸右側(cè)，距離每條坐標軸都是2個單位長度；
（4）點D在x軸下方，y軸左側(cè)，距離每條坐標軸都是3個單位長度；
（5）點E在x軸下方，y軸右側(cè)，距離x軸2個單位長度，距離y軸4個單位長度．
【思路點撥】
（1）根據(jù)點A在y軸上得出點A的橫坐標是0，根據(jù)點A位于原點上方，距離原點2個單位長度得出點A的縱坐標是2，再得出答案即可；
（2）根據(jù)x軸上的點的縱坐標等于0得出答案；
（3）由題意可知點C在第一象限，再根據(jù)距離每條坐標軸都是2個單位長度即可求出其坐標；
（4）由題意可知點D在第三象限，再根據(jù)距離每條坐標軸都是2個單位長度即可求出其坐標；
（5）由題意可知點E在第四象限，再根據(jù)距離x軸2個單位長度，距離y軸4個單位長度即可求出其坐標．
【解題過程】
解：（1）∵點A在y軸上，
∴點A的橫坐標為0，
而點A位于原點上方，距離原點2個單位長度，
∴點A的縱坐標為2，
∴點A的坐標為（0，2）；
（2）點B在x軸上，
∴點B的縱坐標為0，
而點A位于原點右側(cè)，距離原點1個單位長度，
∴點B的橫坐標為1，
∴點B的縱坐標為（1，0）；
（3）∵點C在x軸上方，y軸右側(cè)，距離每條坐標軸都是2個單位長度，
∴點C的坐標為（2，2）；
（4）∵點D在下軸上方，y軸左側(cè)，距離每條坐標軸都是3個單位長度，
∴點D的坐標為（﹣3，﹣3）；
（5）∵點E在x軸下方，y軸右側(cè)，距離x軸2個單位長度，距離y軸4個單位長度，
∴點E的坐標為（4，﹣2）．
14．（2021春?大武口區(qū)校級月考）已知點P（2a﹣2，a+5），回答下列問題：
（1）點P在y軸上，求出點P的坐標．
（2）點P在第二象限，且它到x軸，y軸的距離相等，求a2020+2020的值．
【思路點撥】
（1）根據(jù)題意列出方程即可解決問題；
（2）根據(jù)題意列出方程得出a的值代入即可．
【解題過程】
解：（1）因為P在y軸上，
所以a+5＝0，
所以a＝﹣5．
所以P（﹣12，0）．
（2）根據(jù)題意可得：2﹣2a＝a+5，
解得：a＝﹣1，
把a＝﹣1代入a2020+2020，得1+2020＝2021．
15．（2022?長興縣開學）已知平面直角坐標系中有一點M（m﹣1，2m+3）．
（1）點M在二、四象限的角平分線上，求點M的坐標；
（2）點M到y(tǒng)軸的距離為1時，求點M的坐標．
【思路點撥】
（1）根據(jù)第二、四象限的角平分線上的橫坐標，縱坐標互為相反數(shù)求解；
（2）根據(jù)題意可知m﹣1的絕對值等于1，從而可以得到m的值，進而得到M的坐標．
【解題過程】
解：（1）∵點M在二、四象限的角平分線上，
﹣（m﹣1）＝2m+3，
∴m，
∴點M坐標為（，）；
（2）∵點M到y(tǒng)軸的距離為1，
∴|m﹣1|＝1，
∴m﹣1＝1或m﹣1＝﹣1，
解得：m＝2或m＝0，
∴點M坐標為（1，7）或（﹣1，3）．
16．（2021秋?舒城縣校級月考）點P坐標為（x，2x﹣4），點P到x軸、y軸的距離分別為d1，d2．
（1）當點P在坐標軸上時，求d1+d2的值；
（2）當d1+d2＝3時，求點P的坐標；
（3）點P不可能在哪個象限內(nèi)？
【思路點撥】
（1）分點P在x軸和y軸兩種情況討論即可；
（2）將d1+d2用含x的式子表示出來，根據(jù)x的范圍化簡即可；
（3）根據(jù)x和2x﹣4的范圍即可得出答案．
【解題過程】
解：（1）若點P在x軸上，則x＝0，2x﹣4＝﹣4，
∴點P的坐標為（0，﹣4），此時d1+d2＝4，
若點P在y軸上，則2x﹣4＝0，得x＝2，
∴點P的坐標為（2，0），此時d1+d2＝2．
（2）若x≤0，則d1+d2＝﹣x﹣2x+4＝3，
解得x（舍），
若0＜x＜2，則d1+d2＝x﹣2x+4＝3，
解得x＝1，
∴P（1，﹣2），
若x≥2，則d1+d2＝x+2x﹣4＝3，
解得x，
∴P（，）；
（3）∵當x＜0時，2x﹣4＜0，
∴點P不可能在第二象限．
17．（2021秋?漳州期末）在平面直角坐標系xOy中，給出如下定義：點A到x軸、y軸距離的較大值稱為點A的“長距”，當點P的“長距”等于點Q的“長距”時，稱P，Q兩點為“等距點”．
（1）求點A（﹣5，2）的“長距”；
（2）若C（﹣1，k+3），D（4，4k﹣3）兩點為“等距點”，求k的值．
【思路點撥】
（1）即可“長距”的定義解答即可；
（2）由等距點的定義求出不同情況下的k值即可．
【解題過程】
解：（1）點A（﹣5，2）的“長距”為|﹣5|＝5；
（2）由題意可知，|k+3|＝4或4k﹣3＝±（k+3），
解得k＝1或k＝﹣7（不合題意，舍去）或k＝2或k＝0（不合題意，舍去），
∴k＝1或k＝2．
18．（2021秋?安徽期中）已知a，b都是實數(shù)，設(shè)點P（a+2，），且滿足3a＝2+b，我們稱點P為“夢之點”．
（1）判斷點A（3，2）是否為“夢之點”，并說明理由．
（2）若點M（m﹣1，3m+2）是“夢之點”，請判斷點M在第幾象限，并說明理由．
【思路點撥】
（1）直接利用“夢之點”的定義得出a，b的值，進而得出答案；
（2）直接利用“夢之點”的定義得出m的值進而得出答案．
【解題過程】
解：（1）當A（3，2）時，a+2＝3，，
解得a＝1，b＝1，
則3a＝3，2+b＝3，
所以3a＝2+b，
所以A（3，2），是“夢之點”；
（2）點M在第三象限，
理由如下：
∵點M（m﹣1，3m+2）是“夢之點”，
∴a+2＝m﹣1，，
∴a＝m﹣3，b＝6m+1，
∴代入3a＝2+b有3（m﹣3）＝2+（6m+1），
解得m＝﹣4，
∴m﹣1＝﹣5，3m+2＝﹣10，
∴點M在第三象限．
19．（2021春?綏棱縣期末）【閱讀材料】
平面直角坐標系中，點P（x，y）的橫坐標x的絕對值表示為|x|，縱坐標y的絕對值表示為|y|，我們把點P（x，y）的橫坐標與縱坐標的絕對值之和叫做點P（x，y）的勾股值，記為[P]，即[P]＝|x|+|y|（其中的“+“是四則運算中的加法），例如點P（1，2）的勾股值[P]＝|1|+|2|＝3
【解決問題】
（1）求點A（﹣2，4），B（，）的勾股值[A]，[B]；
（2）若點M在x軸的上方，其橫，縱坐標均為整數(shù)，且[M]＝3，請直接寫出點M的坐標．
【思路點撥】
（1）根據(jù)題意可以求得勾股值[A]，[B]；
（2）根據(jù)題意可知y＞0，然后根據(jù)[M]＝3，即可求得點M的坐標．
【解題過程】
解：（1）∵點A（﹣2，4），B（，），
∴[A]＝|﹣2|+|4|＝2+4＝6，[B]＝||+||2；
（2）∵點M在x軸的上方，其橫，縱坐標均為整數(shù)，且[M]＝3，
∴x＝±1時，y＝2或x＝±2，y＝1或x＝0時，y＝3，
∴點M的坐標為（﹣1，2）、（1，2）、（﹣2，1）、（2，1）、（0，3）．
20．（2020?朝陽區(qū)校級開學）我們規(guī)定：在平面直角坐標系xOy中，任意不重合的兩點M（x1，y1），N（x2，y2）之間的“折線距離”為d（M，N）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．例如圖1中，點M（﹣2，3）與點N（1，﹣1）之間的“折線距離”為d（M，N）＝|﹣2﹣1|+|3﹣（﹣1）|＝3+4＝7．
根據(jù)上述知識，解決下面問題：
（1）已知點P（3，﹣4），在點A（5，2），B（﹣1，0），C（﹣2，1），D（0，1）中，與點P之間的“折線距離”為8的點是 ；
（2）如圖2，已知點P（3，﹣4），若點Q的坐標為（t，2），且d（P，Q）＝10，求t的值；
（3）如圖2，已知點P（3，﹣4），若點Q的坐標為（t，t+1），且d（P，Q）＝8，直接寫出t的取值范圍．
【思路點撥】
（1）分別求出A，B，C，D與點P之間的“折線距離”求解．
（2）通過d（P，Q）＝|3﹣t|+|﹣4﹣（t+1）|＝8求解．
（3）d（P，Q）＝|3﹣t|+|﹣4﹣（t+1）|＝8，分類討論t的取值范圍去絕對值符號求解．
【解題過程】
解：（1）由題意得d（P，A）＝|3﹣5|+|﹣4﹣2|＝8，
d（P，B）＝|3﹣（﹣1）|+|﹣4﹣0|＝8，
d（P，C）＝|3﹣（﹣2）|+|﹣4﹣1|＝10，
d（P，D）＝|3﹣0|+|﹣4﹣1|＝8，
故答案為：A，B，D．
（2）d（P，Q）＝|3﹣t|+|﹣4﹣2|＝10，
解得t＝﹣1或t＝7．
（3）d（P，Q）＝|3﹣t|+|﹣4﹣（t+1）|，
化簡得d（P，Q）＝|3﹣t|+|5+t|，
當﹣5≤t≤3時，|3﹣t|+|5+t|＝3﹣t+5+t＝8，滿足題意．
當t＜﹣5時，|3﹣t|+|5+t|＝3﹣t﹣5﹣t＝﹣2﹣2t，不滿足題意．
當t＞3時，|3﹣t|+|5+t|＝t﹣3+5+t＝2+2t，不滿足題意．
∴﹣5≤t≤3．

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