【典例1】一方有難，八方支援．“新冠肺炎”疫情來襲，除了醫(yī)務(wù)人員主動請纓走向抗疫前線，眾多企業(yè)也伸出援助之手，某公司用甲、乙兩種貨車向武漢運(yùn)送愛心物資，兩次滿載的運(yùn)輸情況如表：
（1）甲、乙兩種貨車每輛分別能裝貨多少噸？
（2）現(xiàn)有31噸物資需要再次運(yùn)往武漢，準(zhǔn)備同時租用這兩種貨車，每輛均全部裝滿貨物，問有哪幾種租車方案？
（3）在（2）的條件下，若1輛甲種貨車需租金100元/次，1輛乙種貨車需租金120元/次．請選出費(fèi)用最少的租車方案，并求出最少租車費(fèi)．
【思路點(diǎn)撥】
（1）根據(jù)題意和表格中的數(shù)據(jù)，可以列出相應(yīng)的二元一次方程組，然后求解即可；
（2）根據(jù)題意，可以列出相應(yīng)的二元一次方程，然后根據(jù)輛數(shù)為整數(shù)，即可寫出相應(yīng)的租車方案；
（3）根據(jù)（2）中的租車方案可以計(jì)算出相應(yīng)的費(fèi)用，然后比較大小即可．
【解題過程】
解：（1）設(shè)甲種貨車每輛能裝貨x噸，乙種貨車每輛能裝貨y噸，
依題意得：，
解得：，
答：甲種貨車每輛能裝貨3噸，乙種貨車每輛能裝貨4噸；
（2）設(shè)租用甲種貨車a輛，乙種貨車b輛，
依題意得：3a+4b＝31，
又∵a，b均為非負(fù)整數(shù)，
∴或或，
∴共有3種租車方案，
方案1：租用9輛甲種貨車，1輛乙種貨車；
方案2：租用5輛甲種貨車，4輛乙種貨車；
方案3：租用1輛甲種貨車，7輛乙種貨車．
（3）方案1所需租車費(fèi)為：100×9+120×1＝1020（元），
方案2所需租車費(fèi)為：100×5+120×4＝980（元），
方案3所需租車費(fèi)為：100×1+120×7＝940（元），
∵1020＞980＞940，
∴費(fèi)用最少的租車方案為：租用1輛甲種貨車，7輛乙種貨車，最少租車費(fèi)為940元，
答：費(fèi)用最少的租車方案為：租用1輛甲種貨車，7輛乙種貨車，最少租車費(fèi)為940元．
1．（2021春?思明區(qū)校級月考）在疫情防控期間，某中學(xué)為保障廣大師生生命健康安全，欲從商場購進(jìn)一批免洗手消毒液和84消毒液．已知如下購買情況：
（1）求每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的價格分別是多少元？
（2）若商場有兩種促銷方案：
方案一：所有購買商品均打九折；
方案二：每購買5瓶免洗手消毒液送2瓶84消毒液；
學(xué)校打算購進(jìn)免洗手消毒液100瓶，84消毒液60瓶，請問學(xué)校選用哪種方案更省錢？省多少錢？
【思路點(diǎn)撥】
（1）設(shè)每瓶免洗手消毒液的價格是x元，每瓶84消毒液的價格是y元，根據(jù)總價＝單價×數(shù)量，結(jié)合兩次購買的數(shù)量及總花費(fèi)，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；
（2）利用總價＝單價×數(shù)量，結(jié)合兩種促銷方案的優(yōu)惠政策，即可分別求出選擇兩個方案所需費(fèi)用，比較并做差后即可得出結(jié)論．
【解題過程】
解：（1）設(shè)每瓶免洗手消毒液的價格是x元，每瓶84消毒液的價格是y元，
依題意得：，
解得：．
答：每瓶免洗手消毒液的價格是15元，每瓶84消毒液的價格是8元．
（2）選擇方案一所需費(fèi)用為（15×100+8×60）×0.9＝1782（元），
選擇方案二所需費(fèi)用為15×100+8×（602）＝1660（元）．
∵1782＞1660，
∴選擇方案二更省錢，
1782﹣1660＝122（元）．
答：學(xué)校選用方案二更省錢，省122元錢．
2．（2022?渝中區(qū)校級開學(xué)）巴蜀中學(xué)兩江校區(qū)和魯能校區(qū)聯(lián)合準(zhǔn)備重慶市中學(xué)生新年文藝匯演，準(zhǔn)備參加匯演的學(xué)生共102人（其中魯能校區(qū)人數(shù)多于兩江校區(qū)人數(shù)，且魯能校區(qū)人數(shù)不足100人），按要求準(zhǔn)備統(tǒng)一購買服裝（一人買一套）參加演出，下面是服裝廠給出的演出服裝的價格表：
如果兩校區(qū)分別單獨(dú)購買服裝，一共應(yīng)付7500元．
（1）如果兩校區(qū)聯(lián)合起來購買服裝，那么比各自單獨(dú)購買服裝共可以節(jié)省多少錢？
（2）兩江校區(qū)和魯能校區(qū)各有多少學(xué)生準(zhǔn)備參加演出？
（3）如果魯能校區(qū)有7名參加演出的同學(xué)臨時接到通知將參加某大學(xué)的自主招生考試而不能參加演出，那么你認(rèn)為有幾種購買方案，通過比較，你該如何購買服裝才能最省錢？
【思路點(diǎn)撥】
（1）若兩校區(qū)聯(lián)合起來購買服裝，則每套是60元，計(jì)算出總價，即可求得比各自購買服裝共可以節(jié)省多少錢；
（2）設(shè)兩江校區(qū)和魯能校區(qū)各有x名、y名學(xué)生準(zhǔn)備參加演出．根據(jù)題意，顯然各自購買時，魯能校區(qū)每套服裝是70元，兩江校區(qū)每套服裝是80元．根據(jù)等量關(guān)系：①共102人；②兩校區(qū)分別單獨(dú)購買服裝，一共應(yīng)付7500元，列方程組即可求解；
（3）此題中主要是應(yīng)注意聯(lián)合購買時，仍然達(dá)不到100人，因此可以考慮買100套，計(jì)算其價錢和聯(lián)合購買的價錢進(jìn)行比較．
【解題過程】
解：（1）由題意，得：7500﹣102×60＝1380（元）．
即兩校區(qū)聯(lián)合起來購買服裝比各自購買服裝共可以節(jié)省1380元．
（2）設(shè)兩江校區(qū)各有x名、魯能校區(qū)有y名學(xué)生準(zhǔn)備參加演出．
由題意，得：
，
解得：．
答：兩江校區(qū)各有36名、魯能校區(qū)有66名學(xué)生準(zhǔn)備參加演出．
（3）∵魯能校區(qū)有7人不能參加演出，
∴魯能校區(qū)有66﹣7＝59（人）參加演出．
若兩校聯(lián)合購買服裝，則需要70×（59+36）＝6650（元），
此時比各自購買服裝可以節(jié)約59×70+36×80﹣6650＝360（元），
但如果兩校聯(lián)合購買100套服裝，只需60×100＝6000（元），
此時又比各自購買每套50元可節(jié)約59×70+36×80﹣6000＝1010（元），
∴最省錢的購買服裝方案是兩校聯(lián)合購買100套服裝（即比實(shí)際人數(shù)多購5套）．
3．（2021春?兗州區(qū)期末）某儲運(yùn)公司現(xiàn)有貨物35噸，要全部運(yùn)往災(zāi)區(qū)支援災(zāi)區(qū)重建工作．計(jì)劃要同時租用A、B兩種型號的貨車，一次運(yùn)送完全部貨物，且每輛車均為滿載．已知在貨車滿載的情況下，2輛A型貨車和3輛B型貨車一次共運(yùn)貨18噸；3輛A型貨車和2輛B型貨車一次共運(yùn)貨17噸．根據(jù)以上信息回答下列問題：
（1）一輛A型車和一輛B型車各能滿載貨物多少噸？
（2）按計(jì)劃完成本次貨物運(yùn)送，儲運(yùn)公司要同時租用A、B兩種型號的貨車各幾輛？請求出所有的租車方案．
【思路點(diǎn)撥】
（1）設(shè)一輛A型車和一輛B型車分別能滿載貨物x噸、y噸．即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)儲運(yùn)公司要同時租用A、B兩種型號的貨車分別為m輛和n輛．根據(jù)題意得3m+4n＝35，求出m，n的正整數(shù)解即可得出答案．
【解題過程】
解：（1）設(shè)一輛A型車和一輛B型車分別能滿載貨物x噸、y噸．
根據(jù)題意，得，
解得，
經(jīng)檢驗(yàn)，方程組的解符合題意．
答：一輛A型車能滿載貨物3噸，一輛B型車能滿載貨物4噸．
（2）設(shè)儲運(yùn)公司要同時租用A、B兩種型號的貨車分別為m輛和n輛．
根據(jù)題意，得3m+4n＝35，
∵m、n均為正整數(shù)，
∴正整數(shù)解為，，，
租車方案1：1輛A型車和8輛B型車；方案2：5輛A型車和5輛B型車；方案3：9輛A型車和2輛B型車．
4．（2021?港南區(qū)四模）甲、乙兩家單位組織員工開展捐款活動，已知甲、乙兩單位共捐款24000元，甲單位有員工150人，乙單位有員工180人，乙單位的人均捐款數(shù)是甲單位的．
（1）甲、乙單位員工人均捐款數(shù)分別為多少元？
（2）現(xiàn)兩家單位共同使用這筆捐款購買A、B兩種防疫物資，A種防疫物資每箱1500元，B種防疫物資每箱1200元，若購買B種防疫物資不少于10箱，并恰好將捐款用完，有哪幾種購買方案？（兩種防疫物資均按整箱配送）
【思路點(diǎn)撥】
（1）設(shè)甲單位人均捐款為x元，則乙單位人均捐款為y元，由題意：甲、乙兩單位共捐款24000元，甲單位有員工150人，乙單位有員工180人，乙單位的人均捐款數(shù)是甲單位的．列出方程組，解方程組即可；
（2）設(shè)A種物資a箱，B種物資b箱，由題意：兩家單位共同使用這筆捐款購買A、B兩種防疫物資，A種防疫物資每箱1500元，B種防疫物資每箱1200元，列出二元一次方程，求出正整數(shù)解即可．
【解題過程】
解：（1）設(shè)甲單位人均捐款為x元，則乙單位人均捐款為y元，
由題意得：，
解得：，
答：甲單位人均捐款為100元，乙單位人均捐款為50元；
（2）設(shè)A種物資a箱，B種物資b箱，
由題意可得1500a+1200b＝24000，
∴5a+4b＝80，
∴，
又∵購買B種物資不少于10箱，且a、b為正整數(shù)，
∴a＝8，b＝10或a＝4，b＝15．
∴有兩種方案：①A種物資8箱，B種物資10箱；
②A種物資4箱，B種物資15箱．
5．（2021?霍邱縣一模）某商店決定購進(jìn)A、B兩種紀(jì)念品出售，若購進(jìn)A種紀(jì)念品10件，B種紀(jì)念品5件，則需要215元；若購進(jìn)A種紀(jì)念品5件，B種紀(jì)念品10件，則需要205元．
（1）求A、B兩種紀(jì)念品的購進(jìn)單價；
（2）已知商店購進(jìn)兩種紀(jì)念品（A、B都要有）共花費(fèi)450元，那么該商店購進(jìn)這兩種紀(jì)念品有幾種可能的方案，請直接寫出所有的具體購買方案．
【思路點(diǎn)撥】
（1）設(shè)A種紀(jì)念品的購進(jìn)單價為x元，B種紀(jì)念品的購進(jìn)單價為y元，根據(jù)購進(jìn)A種紀(jì)念品10件，B種紀(jì)念品5件，則需要215元；若購進(jìn)A種紀(jì)念品5件，B種紀(jì)念品10件，則需要205元，列出方程組即可；
（2）該商店共有2種進(jìn)貨方案，方案1：購進(jìn)17件A種紀(jì)念品，15件B種紀(jì)念品；方案2：購進(jìn)4件A種紀(jì)念品，30件B種紀(jì)念品．
【解題過程】
解：（1）設(shè)A種紀(jì)念品的購進(jìn)單價為x元，B種紀(jì)念品的購進(jìn)單價為y元，
依題意，得：，
解得：，
答：A種紀(jì)念品的購進(jìn)單價為15元，B種紀(jì)念品的購進(jìn)單價為13元；
（2）設(shè)購進(jìn)A種紀(jì)念品m件，B種紀(jì)念品n件，
依題意，得：15m+13n＝450，
∴m＝30n．
∵m，n均為正整數(shù)，
∴n為15的倍數(shù)，
∴或，
∴該商店共有2種進(jìn)貨方案，方案1：購進(jìn)17件A種紀(jì)念品，15件B種紀(jì)念品；方案2：購進(jìn)4件A種紀(jì)念品，30件B種紀(jì)念品．
6．（2021?黃石模擬）學(xué)校準(zhǔn)備組織同學(xué)參加研學(xué)活動，需要租用客車，如果單獨(dú)租用45座客車若干輛，剛好坐滿；如果單獨(dú)租用60座客車，可少租1輛，且余15個座位．
（1）求參加活動的同學(xué)人數(shù)．
（2）已知租用45座客車的租金為每輛500元，60座客車的租金為每輛600元．公司經(jīng)理問：“你們準(zhǔn)備怎樣租車？”甲同學(xué)說：“我的方案是只租用45座的客車，這樣沒有空座位，不會浪費(fèi)”；乙同學(xué)說：“我的方案是只租用60座的客車，因?yàn)?0座的客車每個座位單價少，雖然有空位，但總體可以更省錢”，如果是你，從經(jīng)濟(jì)角度考慮，你會如何設(shè)計(jì)租車方案，并說明理由．
【思路點(diǎn)撥】
（1）設(shè)單獨(dú)租用45座客車為x輛，單獨(dú)租用60座客車為y輛，由題意：單獨(dú)租用45座客車若干輛，剛好坐滿；單獨(dú)租用60座客車，可少租1輛，且余15個座位，列出方程組，解方程組即可；
（2）先求出60座的客車合到每個座位的錢數(shù)少，再求出只租用45座的客車費(fèi)用與只租用60座的客車費(fèi)用以及租3輛60座的客車和1輛45座的客車費(fèi)用進(jìn)行比較即可得出結(jié)果．
【解題過程】
解：（1）設(shè)單獨(dú)租用45座客車為x輛，單獨(dú)租用60座客車為y輛，
根據(jù)題意得：，
解得：，
∴45x＝225，
答：參加活動的同學(xué)人數(shù)為225人；
（2）設(shè)計(jì)租車方案為：租3輛60座的客車和1輛45座的客車，理由如下：
∵租用45座客車的租金為每輛500元，60座客車的租金為每輛600元，
∴500÷45（元/人），600÷60＝10（元/人），
∵10，
∴60座的客車合到每個座位的錢數(shù)少，
只租用45座的客車，費(fèi)用為：5×500＝2500（元），
只租用60座的客車，費(fèi)用為：4×600＝2400（元），
又∵60×3+45＝225，且600×3+500＝2300＜2400，
∴租3輛60座的客車和1輛45座的客車時，總費(fèi)用最低．
7．（2021春?朝陽縣期末）小麗在某商店購買A，B兩種商品若干次（每次A，B兩種商品都購買），其中，前兩次購買時，A，B兩種商品都未打折，第三次購買時，A，B兩種商品同時打折，三次購買A，B兩種商品的數(shù)量和費(fèi)用如下表所示：
（1）求A，B兩種商品的售價；
（2）若第三次購買時，A，B兩種商品的折扣相同，問商店是打幾折出售這兩種商品的；
（3）在（2）的條件下，若小麗第四次購物共花去了480元，則小麗有哪幾種購買方案？
【思路點(diǎn)撥】
（1）設(shè)A商品的售價為x元/個，B商品的售價為y元/個，根據(jù)總價＝單價×數(shù)量，結(jié)合前兩次購買的數(shù)量及總費(fèi)用，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出A，B兩種商品的售價；
（2）設(shè)商店是打a折出售這兩種商品的，利用實(shí)際付款金額＝單價×數(shù)量×折扣率，即可得出關(guān)于a的一元一次方程，解之即可得出第三次購物時的折扣率；
（3）設(shè)購買A商品m個，B商品n個，利用總價＝單價×數(shù)量，即可得出關(guān)于m，n的二元一次方程，結(jié)合m，n均為正整數(shù)，即可得出小麗的購買方案．
【解題過程】
解：（1）設(shè)A商品的售價為x元/個，B商品的售價為y元/個，
依題意得：，
解得：．
答：A商品的售價為80元/個，B商品的售價為100元/個．
（2）設(shè)商店是打a折出售這兩種商品的，
依題意得：（80×9+100×8）912，
解得：a＝6．
答：商店是打六折出售這兩種商品的．
（3）設(shè)購買A商品m個，B商品n個，
依題意得：80×0.6m+100×0.6n＝480，
∴m＝10n．
又∵m，n均為正整數(shù)，
∴．
答：小麗只有一種購買方案，購買5個A商品，4個B商品．
8．（2020春?廣寧縣期末）某商場計(jì)劃從一廠家購進(jìn)若干部新型手機(jī)以滿足市場需求．已知該廠家生產(chǎn)三種不同型號的手機(jī)，出廠價分別是甲種型號手機(jī)1800元/部，乙種型號手機(jī)600元/部，丙種型號手機(jī)1200元/部．商場在經(jīng)銷中，甲種型號手機(jī)可賺200元/部，乙種型號手機(jī)可賺100元/部，丙種型號手機(jī)可賺120元/部．
（1）若商場用6萬元同時購進(jìn)兩種不同型號的手機(jī)共40部，并恰好將錢用完，請你通過計(jì)算分析進(jìn)貨方案；（2）在（1）的條件下，求盈利最多的進(jìn)貨方案．
【思路點(diǎn)撥】
（1）根據(jù)題意，利用分類討論的方法可以列出相應(yīng)的二元一次方程組，然后計(jì)算即可，注意解出的結(jié)果要符合實(shí)際；
（2）根據(jù)（1）中的方案，可以分別計(jì)算出相應(yīng)的盈利，然后比較大小即可解答本題．
【解題過程】
解：（1）設(shè)購進(jìn)甲種型號手機(jī)x部，乙種型號手機(jī)y部，丙種型號手機(jī)z部，
當(dāng)購進(jìn)甲種和乙種手機(jī)時，
，
解得，
即購進(jìn)甲種型號的手機(jī)30部，乙種型號的手機(jī)10部；
當(dāng)購進(jìn)甲種和丙種手機(jī)時，
，
解得，
即購進(jìn)甲種型號的手機(jī)20部，丙種型號的手機(jī)20部；
當(dāng)購進(jìn)乙種和丙種手機(jī)時，
，
解得（舍去）；
由上可得，有兩種進(jìn)貨方案：方案一，甲種型號手機(jī)購進(jìn)30部，乙種型號手機(jī)購進(jìn)10部；方案二，甲種型號手機(jī)購進(jìn)20部，丙種型號手機(jī)購進(jìn)20部；
（2）方案一盈利：200×30+100×10＝7000（元），
方案二盈利：200×20+120×20＝6400（元），
∵7000＞6400，
∴購進(jìn)甲種型號手機(jī)30部，乙種型號手機(jī)10部盈利最多．
9．（2020秋?西城區(qū)期末）某環(huán)衛(wèi)公司通過政府采購的方式計(jì)劃購進(jìn)一批A，B兩種型號的新能源汽車．據(jù)了解，2輛A型汽車和3輛B型汽車的進(jìn)價共計(jì)80萬元；3輛A型汽車和2輛B型汽車的進(jìn)價共計(jì)95萬元．
（1）求A，B兩種型號的汽車每輛進(jìn)價分別為多少萬元；
（2）該公司計(jì)劃恰好用200萬元購進(jìn)以上兩種型號的新能源汽車（兩種型號的汽車均購買），并使得購進(jìn)的B種型號的新能源汽車數(shù)量多于A種型號的新能源汽車數(shù)量，請直接寫出該公司的采購方案．
【思路點(diǎn)撥】
（1）設(shè)A型汽車每輛的進(jìn)價為x萬元，B型汽車每輛的進(jìn)價為y萬元，根據(jù)“2輛A型汽車、3輛B型汽車的進(jìn)價共計(jì)80萬元；3輛A型汽車、2輛B型汽車的進(jìn)價共計(jì)95萬元”，列出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)購進(jìn)A型汽車m輛，購進(jìn)B型汽車n輛，根據(jù)總價＝單價×數(shù)量，即可得出關(guān)于m，n的二元一次方程，結(jié)合m，n均為正整數(shù)即可得出各購買方案．
【解題過程】
解：（1）設(shè)A型汽車每輛的進(jìn)價為x萬元，B型汽車每輛的進(jìn)價為y萬元，
依題意，得：，
解得：，
答：A型汽車每輛的進(jìn)價為25萬元，B型汽車每輛的進(jìn)價為10萬元．
（2）設(shè)購進(jìn)A型汽車m輛，購進(jìn)B型汽車n輛，m＜n，
依題意，得：25m+10n＝200，
∴m＝8n．
∵m，n均為正整數(shù)，
∴n為5的倍數(shù)，
∴或或，
∵m＜n，
∴不合題意舍去，
∴共2種購買方案，
方案一：購進(jìn)A型車4輛，B型車10輛；
方案二：購進(jìn)A型車2輛，B型車15輛．
10．（2020春?南召縣期中）小明家需要用鋼管做防盜窗，按設(shè)計(jì)要求，其中需要長為0.8米的鋼管100根，還需要長為2.5米的鋼管32根，兩種長度的鋼管粗細(xì)必須相同；并要求這些用料不能是焊接而成的．經(jīng)市場調(diào)查，鋼材市場中符合這種規(guī)格的鋼管每根長均為6米．
（1）試問：把一根長為6米的鋼管進(jìn)行裁剪，有下面幾種方法，請完成填空（余料作廢）．
方法①：只裁成為0.8米的用料時，最多可裁7根；
方法②：先裁下1根2.5米長的用料，余下部分最多能裁成為0.8米長的用料 4 根；
方法③：先裁下2根2.5米長的用料，余下部分最多能裁成為0.8米長的用料1根．
（2）分別用（1）中的方法②和方法③各裁剪多少根6米長的鋼管，才能剛好得到所需要的相應(yīng)數(shù)量的材料？
（3）試探究：除（2）中方案外，在（1）中還有哪兩種方法聯(lián)合，所需要6米長的鋼管與（2）中根數(shù)相同？
【思路點(diǎn)撥】
（1）由總數(shù)÷每份數(shù)＝分?jǐn)?shù)就可以直接得出結(jié)論；
（2）設(shè)用方法二剪x根，方法三裁剪y根6m長的鋼管，就有x+2y＝32，4x+y＝100，由此方程構(gòu)成方程組求出其解即可．
（3）設(shè)方法一裁剪m根，方法三裁剪n根6m長的鋼管，建立方程組求出其解即可．
【解題過程】
解：（1）（6﹣2.5）÷0.8＝4…0.3，
因此當(dāng)先剪下1根2.5m的用料時，余下部分最多能剪0.8m長的用料4根；
故答案為：4；
（2）設(shè)用方法②剪x根，方法③裁剪 y 根6m長的鋼管，
由題意，得
解得：
答：用方法②剪24根，方法③裁剪4 根6m長的鋼管；
（3）設(shè)方法①裁剪m根，方法③裁剪n根6m長的鋼管，
由題意，得解得
：，
∴m+n＝28，
∵x+y＝24+4＝28，
∴m+n＝x+y，
設(shè)方法①裁剪 a 根，方法②裁剪 b 根6m長的鋼管，
由題意，得解得：無意義，
∴方法①與方法③聯(lián)合，所需要6m長的鋼管與（2）中根數(shù)相同．
11．（2021?羅湖區(qū)模擬）五一節(jié)前，某商店擬用1000元的總價購進(jìn)A、B兩種品牌的電風(fēng)扇進(jìn)行銷售，為更好的銷售，每種品牌電風(fēng)扇都至少購進(jìn)1臺．已知購進(jìn)3臺A種品牌電風(fēng)扇所需費(fèi)用與購進(jìn)2臺B種品牌電風(fēng)扇所需費(fèi)用相同，購進(jìn)1臺A種品牌電風(fēng)扇與2臺B種品牌電風(fēng)扇共需費(fèi)用400元．
（1）求A、B兩種品牌電風(fēng)扇每臺的進(jìn)價分別是多少元？
（2）銷售時，該商店將A種品牌電風(fēng)扇定價為180元/臺，B種品牌電風(fēng)扇定價為250元/臺，為能在銷售完這兩種電風(fēng)扇后獲得最大的利潤，該商店應(yīng)采用哪種進(jìn)貨方案？
【思路點(diǎn)撥】
（1）根據(jù)題意和題目中的數(shù)據(jù)，可以列出相應(yīng)的二元一次方程組，從而可以計(jì)算出A、B兩種品牌電風(fēng)扇每臺的進(jìn)價分別是多少元；
（2）根據(jù)題意和（1）中的結(jié)果，可以寫出利潤與購進(jìn)A和B兩種品牌的電風(fēng)扇數(shù)量的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)某商店擬用1000元的總價購進(jìn)A、B兩種品牌的電風(fēng)扇進(jìn)行銷售，為更好的銷售，每種品牌電風(fēng)扇都至少購進(jìn)1臺，可以寫出相應(yīng)的方案，再分別計(jì)算出各種方案下的利潤，即可得到獲得最大利潤的方案．
【解題過程】
解：（1）設(shè)A、B兩種品牌電風(fēng)扇每臺的進(jìn)價分別是x元、y元，
，
解得，
答：A、B兩種品牌電風(fēng)扇每臺的進(jìn)價分別是100元、150元；
（2）設(shè)購進(jìn)A種品牌的電風(fēng)扇a臺，購進(jìn)B種品牌的電風(fēng)扇b臺，利潤為w元，
w＝（180﹣100）a+（250﹣150）b＝80a+100b，
∵某商店擬用1000元的總價購進(jìn)A、B兩種品牌的電風(fēng)扇進(jìn)行銷售，為更好的銷售，每種品牌電風(fēng)扇都至少購進(jìn)1臺，
∴100a+150b＝1000且a≥1，b≥1，
∴2a+3b＝20（a≥1，b≥1），
∴或或，
∴當(dāng)a＝1，b＝6時，w＝80×1+100×6＝680，
當(dāng)a＝4，b＝4時，w＝80×4+100×4＝720，
當(dāng)a＝7，b＝2時，w＝80×7+100×2＝760，
由上可得，當(dāng)a＝7，b＝2時，w取得最大值，
答：為能在銷售完這兩種電風(fēng)扇后獲得最大的利潤，該商店應(yīng)采用購進(jìn)A種品牌的電風(fēng)扇7臺，購進(jìn)B種品牌的電風(fēng)2臺．
12．（2021?吳興區(qū)二模）織里童裝城某拉鏈專賣店出售甲、乙兩種拉鏈，已知該店進(jìn)貨甲種拉鏈100條和乙種拉鏈60條共需280元，進(jìn)貨甲種拉鏈160條和乙種拉鏈100條共需456元．
（1）求出甲、乙兩種拉鏈的進(jìn)價；
（2）已知專賣店將甲種拉鏈提價0.4元出售，乙種拉鏈提價25%出售．小明在該專賣店購買甲、乙兩種拉鏈，共花費(fèi)45元，求有哪幾種購買方案；
（3）在（2）條件下，不同方案專賣店獲利是否發(fā)生變化，如果變化，請求出最大值；如果不變，請說明理由．
【思路點(diǎn)撥】
（1）甲種拉鏈的進(jìn)價為每條x元，乙種拉鏈的進(jìn)價為每條y元，由題意：該店進(jìn)貨甲種拉鏈100條和乙種拉鏈60條共需280元，進(jìn)貨甲種拉鏈160條和乙種拉鏈100條共需456元．列出方程組，解方程組即可；
（2）設(shè)購買甲種拉鏈m條，乙種拉鏈n條，由題意：專賣店將甲種拉鏈提價0.4元出售，乙種拉鏈提價25%出售．小明在該專賣店購買甲、乙兩種拉鏈，共花費(fèi)45元，列出二元一次方程，求出正整數(shù)解即可；
（3）求出利潤是恒值，即可得出結(jié)論．
【解題過程】
解：（1）設(shè)甲種拉鏈的進(jìn)價為每條x元，乙種拉鏈的進(jìn)價為每條y元，
由題意得：，
解得：，
答：甲種拉鏈的進(jìn)價為1.6元，乙種拉鏈的進(jìn)價為2元；
（2）設(shè)購買甲種拉鏈m條，乙種拉鏈n條，
由題意得：（1.6+0.4）m+2（1+25%）n＝45，
整理得：n＝18m，
∵m、n為正整數(shù)，
∴或或或，
即有4種購買方案：
①甲種拉鏈5條，乙種拉鏈14條；②甲種拉鏈10條，乙種拉鏈10條；③甲種拉鏈15條，乙種拉鏈6條；④甲種拉鏈20條，乙種拉鏈2條；
（3）不發(fā)生變化，理由如下：
∵利潤w＝0.4m+2×25%×（18m）＝9（元），
∴不同方案專賣店獲利不發(fā)生變化．
13．（2021春?紅谷灘區(qū)校級期中）某商場計(jì)劃用56000元從廠家購進(jìn)60臺新型電子產(chǎn)品，已知該廠家生產(chǎn)甲、乙、丙三種不同型號的電子產(chǎn)品，設(shè)甲、乙型設(shè)備應(yīng)各買入x，y臺，其中每臺的價格、銷售獲利如下表：
（1）購買丙型設(shè)備 （60﹣x﹣y） 臺（用含x，y的代數(shù)式表示）；
（2）若商場同時購進(jìn)三種不同型號的電子產(chǎn)品（每種型號至少有一臺），恰好用了56000元，則商場有哪幾種購進(jìn)方案？
（3）在第（2）題的基礎(chǔ)上，為了使銷售時獲利最多，應(yīng)選擇哪種購進(jìn)方案？此時獲利為多少？
【思路點(diǎn)撥】
（1）根據(jù)購買丙型設(shè)備的數(shù)量＝60﹣購買甲型設(shè)備的數(shù)量﹣購買乙型設(shè)備的數(shù)量，即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)總價＝單價×數(shù)量，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程，結(jié)合x，y，（60﹣x﹣y）均為正整數(shù)，即可得出各購進(jìn)方案；
（3）根據(jù)總利潤＝單臺利潤×銷售數(shù)量，即可分別求出選擇3種購進(jìn)方案可獲得的銷售利潤，比較后即可得出結(jié)論．
【解題過程】
解：（1）購買丙型設(shè)備（60﹣x﹣y）臺．
故答案為：（60﹣x﹣y）．
（2）依題意，得：1000x+800y+500（60﹣x﹣y）＝56000，
整理得：5x+3y＝260，
∴x＝52y．
又∵x，y，（60﹣x﹣y）均為正整數(shù)，
∴y為5的倍數(shù)，
當(dāng)y＝5時，x＝49，60﹣x﹣y＝6；
當(dāng)y＝10時，x＝46，60﹣x﹣y＝4；
當(dāng)y＝15時，x＝43，60﹣x﹣y＝2；
當(dāng)y＝20時，x＝40，60﹣x﹣y＝0，不合題意，舍去．
∴共有3種購進(jìn)方案，方案1：購進(jìn)甲型設(shè)備49臺，乙型設(shè)備5臺，丙型設(shè)備6臺；方案2：購進(jìn)甲型設(shè)備46臺，乙型設(shè)備10臺，丙型設(shè)備4臺；方案3：購進(jìn)甲型設(shè)備43臺，乙型設(shè)備15臺，丙型設(shè)備2臺．
（3）選擇方案1的銷售利潤為260×49+190×5+120×6＝14410（元）；
選擇方案2的銷售利潤為260×46+190×10+120×4＝14340（元）；
選擇方案3的銷售利潤為260×43+190×15+120×2＝14270（元）．
∵14410＞14340＞14270，
∴購進(jìn)甲型設(shè)備49臺，乙型設(shè)備5臺，丙型設(shè)備6臺，獲利最多，此時利潤為14410元．
14．（2021春?下城區(qū)校級期中）小明媽媽開了一家網(wǎng)店，專門銷售女式鞋子．一次，小明發(fā)現(xiàn)一張進(jìn)貨單上的一條信息：A款鞋的進(jìn)價比B款鞋進(jìn)價多40元，B款鞋的進(jìn)價為每雙160元．
（1）小明在銷售單上記錄了兩天的數(shù)據(jù)如下表：
請問兩種鞋的銷售價分別是多少？
（2）小明媽媽說：“兩款鞋的利潤率相同．”結(jié)合所給的信息，判斷小明媽媽的說法是否正確，如果正確，請說明理由；如果錯誤，請給出一種調(diào)整售價的方案，使得兩款鞋的利潤率相同．
【思路點(diǎn)撥】
（1）設(shè)A款女鞋的銷售價為x元/雙，B款女鞋的銷售價為y元/雙，根據(jù)5月1日和5月2日兩天的銷售數(shù)量及銷售總額，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；
（2）分別求出兩款鞋的利潤率，比較后可得出媽媽的說法錯誤，方案一：A款女鞋的銷售價增加m元，根據(jù)A款女鞋的利潤率為25%，即可得出關(guān)于m的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論；方案二：B款女鞋的銷售價降低n元，根據(jù)B款女鞋的利潤率為20%，即可得出關(guān)于n的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．
【解題過程】
解：（1）設(shè)A款女鞋的銷售價為x元/雙，B款女鞋的銷售價為y元/雙，
依題意得：，
解得：．
答：A款女鞋的銷售價為240元/雙，B款女鞋的銷售價為200元/雙．
（2）A款女鞋的進(jìn)價為160+40＝200（元/雙），
A款女鞋的利潤率為100%＝20%，
B款女鞋的利潤率為100%＝25%．
∵20%≠25%，
∴媽媽的說法錯誤．
方案一：A款女鞋的銷售價增加m元，
依題意得：100%＝25%，
解得：m＝10；
方案二：B款女鞋的銷售價降低n元，
依題意得：100%＝20%，
解得：n＝8．
答：媽媽的說法錯誤，調(diào)整售價的方案為：A款女鞋的銷售價增加10元或B款女鞋的銷售價降低8元．
15．（2021春?鹿城區(qū)校級期中）某公司后勤部準(zhǔn)備去超市采購牛奶和咖啡若干箱，現(xiàn)有兩種不同的購買方案，如下表：
（1）采購人員不慎將污漬弄到表格上，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，判斷污漬蓋住地方對應(yīng)金額是 1650 元；
（2）若后勤部購買牛奶25箱，咖啡20箱，則需支付金額1750元；
①求牛奶與咖啡每箱分別為多少元？
②超市中該款咖啡和牛奶有部分因保質(zhì)期臨近，進(jìn)行打六折的促銷活動，后勤部根據(jù)需要選擇原價或打折的咖啡和牛奶，此次采購共花費(fèi)了1200元，其中購買打折的牛奶箱數(shù)是所有牛奶、咖啡的總箱數(shù)的，則此次按原價采購的咖啡有 6 箱．（直接寫出答案）
【思路點(diǎn)撥】
（1）設(shè)牛奶一箱x元，咖啡一箱y元，由題意得：20x+10y＝1100，即可求解；
（2）①設(shè)牛奶一箱x元，咖啡一箱y元，由題意列出方程組，求解即可；
②設(shè)牛奶與咖啡總箱數(shù)為a，則打折的牛奶箱數(shù)為a，設(shè)原價咖啡為b箱，則打折咖啡與原價牛奶共有（a﹣b）箱，由題意列出方程，求出正整數(shù)解即可．
【解題過程】
解：（1）設(shè)牛奶一箱x元，咖啡一箱y元，
由題意得：20x+10y＝1100，
∴30x+15y＝1.5（20x+10y）＝1.5×1100＝1650（元），
故答案為：1650；
（2）①設(shè)牛奶一箱x元，咖啡一箱y元，
由題意得：，
解得：，
答：牛奶與咖啡每箱分別為30元、50元；
②設(shè)牛奶與咖啡總箱數(shù)為a，則打折的牛奶箱數(shù)為a，
打折牛奶價格為：30×0.6＝18（元），打折咖啡價格為：50×0.6＝30（元），
即打折咖啡價格與牛奶原價相同，
設(shè)原價咖啡為b箱，則打折咖啡與原價牛奶共有（a﹣b）箱，
由題意得：18a+30×（a﹣b）+50b＝1200，
整理得：27a+20b＝1200，
∵a、b均為正整數(shù)，
∴，或，
∵a＞b，
∴a＝40，b＝6，
即此次按原價采購的咖啡有6箱，
故答案為：6．
16．（2021秋?牡丹區(qū)期末）面對當(dāng)前疫情形勢，國家迅速反應(yīng)，果斷決策，全民積極行動，籌款為貧困地區(qū)捐贈了一批消毒液，現(xiàn)要將消毒液運(yùn)往該區(qū)．已知用3輛A型車和1輛B型車裝滿貨物一次可運(yùn)貨9噸；用1輛A型車和2輛B型車裝滿貨物一次可運(yùn)貨8噸．現(xiàn)有消毒液19噸，計(jì)劃同時租用A型車a輛，B型車b輛，一次運(yùn)完，且恰好每輛車都載滿消毒液．
根據(jù)以上信息，解答下列問題：
（1）1輛A型車和1輛B型車都載滿消毒液一次可分別運(yùn)送多少噸？
（2）請你幫我們設(shè)計(jì)租車方案；
（3）若1輛A型車需租金90元/次，1輛B型車需租金110元/次．請選出最省錢的租車方案，并求出最少租車費(fèi)．
【思路點(diǎn)撥】
（1）設(shè)1輛A型車載滿消毒液一次可運(yùn)送x噸，1輛B型車載滿消毒液一次可運(yùn)送y噸，根據(jù)“用3輛A型車和1輛B型車裝滿貨物一次可運(yùn)貨9噸；用1輛A型車和2輛B型車裝滿貨物一次可運(yùn)貨8噸”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)一次性運(yùn)完消毒液19噸且恰好每輛車都載滿消毒液，即可得出關(guān)于a，b的二元一次方程，結(jié)合a，b均為正整數(shù)，即可得出各租車方案；
（3）利用各方案所需租車費(fèi)用＝每輛A型車的租金×租用A型車的數(shù)量+每輛B型車的租金×租用B型車的數(shù)量，即可分別求出選擇各方案所需租車費(fèi)用，比較后即可得出結(jié)論．
【解題過程】
解：（1）設(shè)1輛A型車載滿消毒液一次可運(yùn)送x噸，1輛B型車載滿消毒液一次可運(yùn)送y噸，
依題意得：，
解得：．
答：1輛A型車載滿消毒液一次可運(yùn)送2噸，1輛B型車載滿消毒液一次可運(yùn)送3噸．
（2）依題意得：2a+3b＝19，
∴a．
又∵a，b均為正整數(shù)，
∴或或，
∴共有3種租車方案，
方案1：租用8輛A型車，1輛B型車；
方案2：租用5輛A型車，3輛B型車；
方案3：租用2輛A型車，5輛B型車．
（3）選擇方案1所需租車費(fèi)用為90×8+110×1＝830（元），
選擇方案2所需租車費(fèi)用為90×5+110×3＝780（元），
選擇方案3所需租車費(fèi)用為90×2+110×5＝730（元）．
∵830＞780＞730，
∴最省錢的租車方案為：租用2輛A型車，5輛B型車，最少租車費(fèi)為730元．
17．（2021春?鼓樓區(qū)校級期中）近幾年來，新能源汽車在中國已然成為汽車工業(yè)發(fā)展的主流趨勢，小鵬汽車制造廠開發(fā)了一款新式電動汽車，計(jì)劃一年生產(chǎn)安裝288輛．由于抽調(diào)不出足夠的熟練工來完成新式電動汽車的安裝，工廠決定招聘一些新工人．他們經(jīng)過培訓(xùn)后上崗，也能獨(dú)立進(jìn)行電動汽車的安裝．生產(chǎn)開始后，調(diào)研部門發(fā)現(xiàn)：2名熟練工和1名新工人每月可安裝10輛電動汽車；3名熟練工和2名新工人每月可安裝16輛電動汽車．
（1）每名熟練工和新工人每月分別可以安裝多少輛電動汽車？
（2）如果工廠抽調(diào)n（0＜n＜5）名熟練工，使得招聘的新工人和抽調(diào)的熟練工剛好能完成一年的安裝任務(wù)，那么工廠有哪幾種新工人的招聘方案？
（3）在（2）的條件下，工廠給安裝電動汽車的每名熟練工每月發(fā)10000元的工資，給每名新工人每月發(fā)5200元的工資，那么工廠應(yīng)招聘多少名新工人，使熟練工的數(shù)量少于新工人，同時工廠每月支出的工資總額盡可能的少？
【思路點(diǎn)撥】
（1）設(shè)每名熟練工每月可以安裝x輛電動汽車，每名新工人每月可以安裝y輛電動汽車，根據(jù)“2名熟練工和1名新工人每月可安裝10輛電動汽車；3名熟練工和2名新工人每月可安裝16輛電動汽車”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)招聘y名新工人，根據(jù)招聘的新工人和抽調(diào)的熟練工剛好能完成一年的安裝任務(wù)，即可得出關(guān)于y，n的二元一次方程，結(jié)合0＜n＜5且n，y均為正整數(shù)，即可得出各招聘方案；
（3）由熟練工的數(shù)量少于新工人，可得出前三個方案符合題意，分別求出三個方案工廠每月支出的工資總額，比較后即可得出結(jié)論．
【解題過程】
解：（1）設(shè)每名熟練工每月可以安裝x輛電動汽車，每名新工人每月可以安裝y輛電動汽車，
依題意得：，
解得：．
答：每名熟練工每月可以安裝4輛電動汽車，每名新工人每月可以安裝2輛電動汽車．
（2）設(shè)招聘y名新工人，
依題意得：12×（2y+4n）＝288，
∴y＝12﹣2n．
∵0＜n＜5，且n，y均為正整數(shù)，
∴或或或，
∴工廠有4種新工人的招聘方案，
方案1：招聘10名新員工，抽調(diào)1名熟練工；
方案2：招聘8名新員工，抽調(diào)2名熟練工；
方案3：招聘6名新員工，抽調(diào)3名熟練工；
方案4：招聘4名新員工，抽調(diào)4名熟練工．
（3）∵n＜y，
∴或或．
方案1每月支出的工資總額為10000+5200×10＝62000（元）；
方案2每月支出的工資總額為10000×2+5200×8＝61600（元）；
方案3每月支出的工資總額為10000×3+5200×6＝61200（元）．
∵62000＞61600＞61200，
∴工廠應(yīng)招聘6名新工人，才能使工廠每月支出的工資總額最少．
18．（2021春?長沙期末）某班有部分同學(xué)準(zhǔn)備統(tǒng)一購買新的足球和跳繩．經(jīng)班長統(tǒng)計(jì)共需要購買足球的有12名同學(xué)，需要購買跳繩的有10名同學(xué)．
（1）請根據(jù)圖中班長和售貨員阿姨的對話信息，分別求出足球和跳繩的單價；
（2）由于足球和跳繩的需求量增大，該體育用品商店老板計(jì)劃再次購進(jìn)足球a個和跳繩b根（其中a＞15），恰好用了1800元，其中足球每個進(jìn)價為80元，跳繩每根的進(jìn)價為15元，則有哪幾種購進(jìn)方案？
（3）假如（2）中所購進(jìn)的足球和跳繩全部售出，且單價與（1）中的售價相同，為了使銷售獲利最多，應(yīng)選擇哪種購進(jìn)方案？
【思路點(diǎn)撥】
（1）設(shè)足球的單價為x元，跳繩的單價為y元，由題意列出方程組，解方程組解可；
（2）由題意得80a+15b＝1800（a＞15），當(dāng)全買足球時，可買足球的數(shù)量為22.5，對a、b的值進(jìn)行討論得兩種方案即可；
（3）求出方案一利潤和方案二利潤，即可得出結(jié)論．
【解題過程】
解：（1）設(shè)足球的單價為x元，跳繩的單價為y元，
由題意得：，
解得：，
∴足球的單價為100元，跳繩的單價為20元，
答：足球的單價為100元，跳繩的單價為20元；
（2）由題意得：80a+15b＝1800，（a＞15），
當(dāng)全買足球時，可買足球的數(shù)量為：22.5，
∴15＜a＜22.5，
當(dāng)a＝16時，b（舍去）；
當(dāng)a＝17時，b（舍去）；
當(dāng)a＝18時，b＝24；
當(dāng)a＝19時，b（舍去）；
當(dāng)a＝20時，b（舍去）；
當(dāng)a＝21時，b＝8；
當(dāng)a＝22時，b（舍去）；
∴有兩種方案：方案一，購進(jìn)足球18個，跳繩24根；
方案二，購進(jìn)足球21個，跳繩8根；
答：有兩種方案：方案一，購進(jìn)足球18個，跳繩24根；方案二，購進(jìn)足球21個，跳繩8根；
（3）方案一利潤：（100﹣80）×18+（20﹣15）×24＝480（元），
方案二利潤：（100﹣80）×21+（20﹣15）×8＝460（元），
∵480元＞460元，
∴選方案一，購進(jìn)足球18個，跳繩24根． 甲種貨車（輛）
乙種貨車（輛）
總量（噸）
第一次
2
1
10
第二次
1
2
11
免洗手消毒液
84消毒液
總花費(fèi)
第一次購買
40瓶
90瓶
1320
第二次購買
60瓶
120瓶
1860
購買服裝的套數(shù)
1套至50套
50套至100套
100套及以上
每套服裝的價格
80元
70元
60元
次數(shù)
購買A商品的數(shù)量/個
購買B商品的數(shù)量/個
購買總費(fèi)用/元
第一次
6
5
980
第二次
3
7
940
第三次
9
8
912
甲型
乙型
丙型
價格（元/臺）
1000
800
500
銷售獲利（元/臺）
260
190
120
日期
A款女鞋銷量
B款女鞋銷量
銷售總額
5月1日
12雙
8雙
4480元
5月2日
8雙
10雙
3920元
牛奶（箱）
咖啡（箱）
金額（元）
方案一
20
10
1100
方案二
30
15

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