TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc21183" 【題型1 判定一次函數(shù)的圖像】 PAGEREF _Tc21183 \h 2
\l "_Tc19486" 【題型2 根據(jù)一次函數(shù)解析式判斷其經(jīng)過的象限】 PAGEREF _Tc19486 \h 5
\l "_Tc11149" 【題型3 根據(jù)函數(shù)經(jīng)過的象限判斷參數(shù)取值范圍】 PAGEREF _Tc11149 \h 6
\l "_Tc23826" 【題型4 一次函數(shù)的圖像與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問題】 PAGEREF _Tc23826 \h 9
\l "_Tc443" 【題型5 一次函數(shù)的平移問題】 PAGEREF _Tc443 \h 11
\l "_Tc11781" 【題型6 判斷一次函數(shù)的增減性】 PAGEREF _Tc11781 \h 14
\l "_Tc18566" 【題型7 根據(jù)一次函數(shù)的增減性求參數(shù)或最值】 PAGEREF _Tc18566 \h 15
\l "_Tc4182" 【題型8 根據(jù)一次函數(shù)的增減性判斷自變量的變化情況】 PAGEREF _Tc4182 \h 16
\l "_Tc21147" 【題型9 比較一次函數(shù)值的大小】 PAGEREF _Tc21147 \h 18
\l "_Tc24481" 【題型10 一次函數(shù)的規(guī)律探究問題】 PAGEREF _Tc24481 \h 20
【知識(shí)點(diǎn)1 一次函數(shù)與正比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)】
1、正比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)
2、一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)
3、截距
【題型1 判定一次函數(shù)的圖像】
【例1】（2022春?牡丹江期末）直線y1＝mx+n2+1和y2＝﹣mx﹣n的圖象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】對于y1＝mx+n2+1，n2+1＞0，所以直線一定與y軸正半軸相交，再根據(jù)m的符號判斷即可．
【解答】解：∵y1＝mx+n2+1，n2+1＞0，所以直線一定與y軸正半軸相交，
∴排除A和B；
對于C選項(xiàng)，可知m＜0，
∴﹣m＞0，
∴C選項(xiàng)可能成立；
對于D選項(xiàng)，可知m＞0，
∴﹣m＜0，另一條直線應(yīng)該是下降的，故不符合題意．
故選：C．
【變式1-1】（2022春?喀什地區(qū)期末）直線y＝kx+b的圖象如圖所示，則直線y＝bx﹣k的圖象是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)是一次函數(shù)y＝kx+b的圖象經(jīng)過一、二、四象限得出k，b的取值范圍解答即可．
【解答】解：因?yàn)橐淮魏瘮?shù)y＝kx+b的圖象經(jīng)過一、二、四象限，
可得：k＜0，b＞0，
所以直線y＝bx﹣k的圖象經(jīng)過一、二、三象限，
故選：A．
【變式1-2】（2022春?安陽縣期末）一次函數(shù)y＝mx+n的圖象如圖所示，則y＝﹣2mx+n的圖象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】先根據(jù)一次函數(shù)y＝mx+n的圖象得出m、n的范圍，再根據(jù)一次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系推知y＝﹣2mx+n的圖象所經(jīng)過的象限，此題得解．
【解答】解：一次函數(shù)y＝mx+n的圖象經(jīng)過第一、三象限，則m＞0．
該直線與y軸交于正半軸，則n＞0．
所以﹣2m＜0．
所以一次函數(shù)y＝mx+n的圖象經(jīng)過第二、四象限，且與y軸交于正半軸．
觀察選項(xiàng)，只有選項(xiàng)C符合題意．
故選：C．
【變式1-3】（2022?蕭山區(qū)模擬）若實(shí)數(shù)a，b，c滿足a+b+c＝0，且a＜b＜c，則函數(shù)y＝﹣cx﹣a的圖象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】先判斷出a是負(fù)數(shù)，c是正數(shù)，然后根據(jù)一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系確定圖象經(jīng)過的象限以及與y軸的交點(diǎn)的位置即可得解．
【解答】解：∵a+b+c＝0，且a＜b＜c，
∴a＜0，c＞0，（b的正負(fù)情況不能確定），
∴﹣a＞0，﹣c＜0，
∴函數(shù)y＝﹣cx﹣a的圖象經(jīng)過二、一、四象限．
故選：B．
【題型2 根據(jù)一次函數(shù)解析式判斷其經(jīng)過的象限】
【例2】 （2022?海門市校級模擬）已知關(guān)于x的一次函數(shù)為y＝mx+4m+3，那么這個(gè)函數(shù)的圖象一定經(jīng)過（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【分析】當(dāng)x＝﹣4時(shí)，可求出y＝3，由此即可得出答案．
【解答】解：當(dāng)x＝﹣4時(shí)，y＝﹣4m+4m+3＝3，
即此一次函數(shù)的圖象經(jīng)過定點(diǎn)（﹣4，3），
因?yàn)辄c(diǎn)（﹣4，3）位于第二象限，所以這個(gè)函數(shù)的圖象一定經(jīng)過第二象限．
故選：B．
【變式2-1】（2022春?集賢縣期末）一次函數(shù)y＝2（x+1）﹣1不經(jīng)過第（ ）象限．
A．一B．二C．三D．四
【分析】先將解析式化簡，然后通過一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)符號進(jìn)行判斷．
【解答】解：y＝2（x+1）﹣1＝2x+1，
∴直線y＝2x+1經(jīng)過一，二，三象限，
故選：D．
【變式2-2】（2022秋?九龍坡區(qū)校級期末）如圖，點(diǎn)A，B在數(shù)軸上分別表示數(shù)﹣2a+3，1，則一次函數(shù)y＝（1﹣a）x+a﹣2的圖象一定不經(jīng)過（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【分析】根據(jù)數(shù)軸得出a的范圍，進(jìn)而利用象限特點(diǎn)解答即可．
【解答】解：由數(shù)軸可得：0＜﹣2a+3＜1，
可得：，
∴1﹣a＜0，a﹣2＜0，
所以一次函數(shù)y＝（1﹣a）x+a﹣2的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，不經(jīng)過第一象限，
故選：A．
【變式2-3】（2022?蕭山區(qū)一模）已知y﹣3與x+5成正比例，且當(dāng)x＝﹣2時(shí)，y＜0，則y關(guān)于x的函數(shù)圖象經(jīng)過（ ）
A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限D(zhuǎn)．第二、三、四象限
【分析】由y﹣3與x+5成正比例，可設(shè)y﹣3＝k（x+5），整理得：y＝kx+5k+3．把x＝﹣2代入得不等式，可解得k＜﹣1，再判斷5k+3的符號即可．
【解答】解：∵y﹣3與x+5成正比例，
∴設(shè)y﹣3＝k（x+5），整理得：y＝kx+5k+3．
當(dāng)x＝﹣2時(shí)，y＜0，
即﹣2k+5k+3＜0，整理得3k+3＜0，
解得：k＜﹣1．
∵k＜﹣1，
∴5k+3＜﹣2，
∴y＝kx+5k+3的圖象經(jīng)過第二、三、四象限．
故選：D．
【題型3 根據(jù)函數(shù)經(jīng)過的象限判斷參數(shù)取值范圍】
【例3】（2022?黃州區(qū)校級自主招生）已知過點(diǎn)（2，3）的直線y＝ax+b（a≠0）不經(jīng)過第四象限，設(shè)s＝a﹣2b，則s的取值范圍是（ ）
A．B．﹣3＜s≤3C．﹣6＜sD．
【分析】根據(jù)題意得出a＞0，b≥0，即可推出得，從而求得s的取值范圍．
【解答】解：∵過點(diǎn)（2，3）的直線y＝ax+b（a≠0）不經(jīng)過第四象限，
∴a＞0，b≥0，
將（2，3）代入直線y＝ax+b，
3＝2a+b，
b＝3﹣2a
∴，
解得，
s＝a﹣2b＝a﹣2×（3﹣2a）＝5a﹣6，
a＝0時(shí)，s＝﹣6，
a，s，
故﹣6＜s．
故選：C．
【變式3-1】（2022春?豐都縣期末）若關(guān)于x的不等式組有且只有四個(gè)整數(shù)解，且一次函數(shù)y＝（k+2）x+k+3的圖象不經(jīng)過第一象限，則符合題意的整數(shù)k的和為（ ）
A．﹣12B．﹣14C．﹣9D．﹣15
【分析】由一元一次不等式組的整數(shù)解求出k的一個(gè)取值范圍，再利用一次函數(shù)的性質(zhì)求k的取值范圍，從而確定k的值，再求它們的和．
【解答】解：∵關(guān)于x的不等式組 有且只有四個(gè)整數(shù)解，
∴0.2k＜x≤3，
∴x的4個(gè)整數(shù)解為0，1，2，3．
∴﹣1≤0.2k＜0，
∴﹣5≤k＜0；
又∵一次函數(shù)y＝（k+2）x+k+3的圖象不經(jīng)過第一象限，
∴k+2＜0且k+3≤0，
∴k≤﹣3，
∴﹣5≤k≤﹣3，
∴k的整數(shù)解為：﹣5；﹣4；﹣3．
∴它們的和為：﹣12．
故選：A．
【變式3-2】（2022?泰興市一模）過點(diǎn)（﹣1，2）的直線y＝mx+n（m≠0）不經(jīng)過第三象限，若p＝3m﹣n，則p的范圍是（ ）
A．﹣10≤p≤﹣2B．p≥﹣10C．﹣6≤p≤﹣2D．﹣6≤p＜﹣2
【分析】根據(jù)過點(diǎn)（﹣1，2）的直線y＝mx+n（m≠0）不經(jīng)過第三象限，可以得到m和n的關(guān)系，m、n的正負(fù)情況，再根據(jù)p＝3m﹣n，即可用含m的式子表示p和用含n的式子表示p，然后即可得到相應(yīng)的不等式組，再解不等式組即可．
【解答】解：∵過點(diǎn)（﹣1，2）的直線y＝mx+n（m≠0）不經(jīng)過第三象限，
∴﹣m+n＝2，m＜0，n≥0，
∴n＝2+m，m＝n﹣2，
∵p＝3m﹣n，
∴p＝3m﹣（2+m）＝3m﹣2﹣m＝2m﹣2，
p＝3m﹣n＝3（n﹣2）﹣n＝3n﹣6﹣n＝2n﹣6，
∴m，n，
∴，
解得﹣6≤p＜﹣2，
故選：D．
【變式3-3】（2022?遼寧）如圖，在同一平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝k1x+b1與y＝k2x+b2的圖象分別為直線l1和直線l2，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．k1?k2＜0B．k1+k2＜0C．b1﹣b2＜0D．b1?b2＜0
【分析】根據(jù)一次函數(shù)y＝k1x+b1與y＝k2x+b2的圖象位置，可得k1＞0，b1＞0，k2＞0，b2＜0，然后逐一判斷即可解答．
【解答】解：∵一次函數(shù)y＝k1x+b1的圖象過一、二、三象限，
∴k1＞0，b1＞0，
∵一次函數(shù)y＝k2x+b2的圖象過一、三、四象限，
∴k2＞0，b2＜0，
∴A、k1?k2＞0，故A不符合題意；
B、k1+k2＞0，故B不符合題意；
C、b1﹣b2＞0，故C不符合題意；
D、b1?b2＜0，故D符合題意；
故選：D．
【題型4 一次函數(shù)的圖像與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問題】
【例4】（2022春?鎮(zhèn)巴縣期末）已知直線l1：y＝﹣x+b與x軸交于點(diǎn)（1，0），直線l2與直線l1關(guān)于y軸對稱，則關(guān)于直線l2，下列說法正確的是（ ）
A．y的值隨著x的增大而減小
B．函數(shù)圖象經(jīng)過第二、三、四象限
C．函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）
D．函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，b）
【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)求得直線l2經(jīng)過點(diǎn)（﹣1，0），從而求得直線l2為y＝x+b，利用一次函數(shù)的性質(zhì)和圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征判斷即可．
【解答】解：∵直線l1：y＝﹣x+b與x軸交于點(diǎn)（1，0），直線l2與直線l1關(guān)于y軸對稱，
∴直線l2經(jīng)過點(diǎn)（﹣1，0），故C錯(cuò)誤；
∴直線l2為y＝x+b，
∵k＝1＞0，
∴y的值隨著x的增大而增大，故A錯(cuò)誤；
∵y的值隨著x的增大而增大，
∴函數(shù)圖象不經(jīng)過第二、三、四象限，故B錯(cuò)誤；
令x＝0，則y＝b，
∴函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，b），故D正確；
故選：D．
【變式4-1】（2022春?雙陽區(qū)月考）若直線y＝kx﹣k（k＞0）與兩個(gè)坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為4，則k＝ 8 ．
【分析】先令x＝0，求出y的值；再令y＝0求出x的值即可得出直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，再根據(jù)三角形的面積公式即可得出結(jié)論．
【解答】解：∵先令x＝0，則y＝﹣k；
令y＝0，則x＝1，
∴直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為（0，﹣k），（1，0），
∴S|﹣k|×1＝4，
解得k＝﹣8（舍去），或k＝8．
故答案為：8．
【變式4-2】（2022春?臥龍區(qū)期中）若一次函數(shù)y＝（k+2）x﹣k﹣3與y軸的交點(diǎn)在x軸的下方，則k的取值范圍是 k＞﹣3且k≠﹣2 ．
【分析】根據(jù)一次函數(shù)的圖象的性質(zhì)知，一次函數(shù)y＝（k+2）x﹣k﹣3與y軸的交點(diǎn)在x軸的下方．則應(yīng)有﹣k﹣3＜0，求解即可．
【解答】解：一次函數(shù)y＝（k+2）x﹣k﹣3中，令x＝0，解得：y＝﹣k﹣3，
與y軸的交點(diǎn)在x軸的下方，則有﹣k﹣3＜0，
解得：k＞﹣3．
又∵k≠﹣2
則k的取值范圍是：k＞﹣3且k≠﹣2．
故答案為：k＞﹣3且k≠﹣2．
【變式4-3】（2022?遵義模擬）平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3m，﹣4m+4），一次函數(shù)yx+12的圖象與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)A、B，若點(diǎn)P在△AOB的內(nèi)部，則m的取值范圍為（ ）
A．m＞一1或m＜0B．﹣3＜m＜1C．﹣1＜m＜0D．﹣1≤m≤1
【分析】先求得點(diǎn)A與點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后令x＝3m，求得對應(yīng)的y的值，再結(jié)合點(diǎn)P在△AOB的內(nèi)部列出關(guān)于m的不等式，最后求得m的取值范圍．
【解答】解：當(dāng)x＝0時(shí)，y＝12，當(dāng)y＝0時(shí)，x＝﹣9，
∴A（﹣9，0），B（0，12），
當(dāng)x＝3m時(shí)，y3m+12＝4m+12，
∵點(diǎn)P在△AOB的內(nèi)部，
∴，
解得：﹣1＜m＜0，
故選：C．
【題型5 一次函數(shù)的平移問題】
【例5】（2022秋?宣州區(qū)校級期中）將直線y＝2x+3平移后經(jīng)過點(diǎn)（2，﹣1），求：
（1）平移后的直線解析式；
（2）沿x軸是如何平移的．
【分析】（1）可設(shè)平移后的直線解析式為y＝2x+b，把已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入可求得b的值，則可求得平移后的解析式；
（2）觀察x的變化情況即可求得答案．
【解答】解：
（1）設(shè)平移后的直線解析式為y＝2x+b，
把（2，﹣1）代入可得﹣1＝2×2+b，解得b＝﹣5，
∴平移后的直線解析式為y＝2x﹣5；
（2）∵y＝2x﹣5＝2x﹣8+3＝2（x﹣4）+3，
∴是沿x軸向右平移4個(gè)單位得到的．
【變式5-1】（2022秋?雁塔區(qū)校級月考）已知一次函數(shù)yx+1，它的圖象與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B．
（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)為 （2，0） ，點(diǎn)B的坐標(biāo)為 （0，1） ；
（2）畫出此函數(shù)圖象；
（3）畫出該函數(shù)圖象向下平移3個(gè)單位長度后得到的圖象；
（4）寫出一次函數(shù)yx+1圖象向下平移3個(gè)單位長度后所得圖象對應(yīng)的表達(dá)式．
【分析】（1）將y＝0代入yx+1，求出x的值，得到點(diǎn)A的坐標(biāo)，將x＝0代入yx+1，求出y的值，得到點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，過A，B兩點(diǎn)畫直線即可；
（3）結(jié)合（2）中的圖沿y軸向下平移3個(gè)單位畫出直線即可；
（4）根據(jù)直線平移的規(guī)律，將yx+1向下平移三個(gè)單位后得到y(tǒng)x﹣2．
【解答】解：（1）將y＝0代入yx+1，
得x+1＝0，解得x＝2，
則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0）．
將x＝0代入yx+1，
得y0+1＝1，
則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，1）．
故答案為A（2，0），B（0，1）；
（2）如下圖：
（3）將yx+1向下平移3個(gè)單位后得到的圖象如圖．
（4）將yx+1向下平移三個(gè)單位后得到y(tǒng)x﹣2．
【變式5-2】．（2022春?安岳縣期中）已知直線y＝（m+1）x|m|﹣1+（2m﹣1），當(dāng)x1＞x2時(shí)，y1＞y2，求該直線的解析式．并求該直線經(jīng)過怎么的上下平移就能過點(diǎn)（2，5）？
【分析】根據(jù)一次函數(shù)的圖象性質(zhì)作答；
先根據(jù)平移時(shí)k的值不變，只有b發(fā)生變化可設(shè)平移后的直線為y＝3x+b，將點(diǎn)（4，0）代入，求出b的值，然后根據(jù)“左加右減，上加下減”的平移規(guī)律即可求解．
【解答】解：由題意得
解得m＝2，
∴直線的解析式為y＝3x+3；
設(shè)平移后的直線為y＝3x+b，將點(diǎn)（2，5）代入得：b＝﹣1．
所以y＝3x﹣1．
∴將直線y＝3x+3向下平移4個(gè)單位，可得直線y＝3x+3﹣4，即y＝3x﹣1，經(jīng)過點(diǎn)（2，5）．
【變式5-3】（2022春?武昌區(qū)期末）已知一次函數(shù)y＝kx+b的圖象過點(diǎn)A（﹣4，﹣2）和點(diǎn)B（2，4）
（1）求直線AB的解析式；
（2）將直線AB平移，使其經(jīng)過原點(diǎn)O，則線段AB掃過的面積為 12 ．
【分析】（1）將A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入y＝kx+b，利用待定系數(shù)法即可求出直線AB的解析式；
（2）先利用平移規(guī)律求出直線AB平移后的解析式，進(jìn)而求出線段AB掃過的面積．
【解答】解：（1）∵一次函數(shù)y＝kx+b的圖象過點(diǎn)A（﹣4，﹣2）和點(diǎn)B（2，4），
∴，解得，
∴直線AB的解析式為y＝x+2；
（2）設(shè)直線AB平移后的解析式為y＝x+n，
將原點(diǎn)（0，0）代入，得n＝0，
∴直線AB平移后的解析式為y＝x，
∴將直線AB向下平移2個(gè)單位得到直線A′B′，
如圖，則A′（﹣4，﹣4），B′（2，2），
∴平行四邊形AA′B′B的面積＝2×（4+2）＝12．
即線段AB掃過的面積為12．
故答案為12．
【題型6 判斷一次函數(shù)的增減性】
【例6】（2022秋?射陽縣期末）下列一次函數(shù)中，y隨x增大而增大的是（ ）
A．y＝﹣3xB．y＝x﹣2C．y＝﹣2x+3D．y＝3﹣x
【分析】根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)對各選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析即可．
【解答】解：A、∵一次函數(shù)y＝﹣3x中，k＝﹣3＜0，∴此函數(shù)中y隨x增大而減小，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、∵正比例函數(shù)y＝x﹣2中，k＝1＞0，∴此函數(shù)中y隨x增大而增大，故本選項(xiàng)正確；
C、∵正比例函數(shù)y＝﹣2x+3中，k＝﹣2＜0，∴此函數(shù)中y隨x增大而減小，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、正比例函數(shù)y＝3﹣x中，k＝﹣1＜0，∴此函數(shù)中y隨x增大而減小，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選：B．
【變式6-1】（2022春?巴州區(qū)校級期中）一次函數(shù)y＝4x﹣2的函數(shù)值y隨自變量x值的增大而 增大 （填“增大”或“減小”）．
【分析】根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)判斷出一次函數(shù)y＝4x﹣2中k的符號，再根據(jù)一次函數(shù)的增減性進(jìn)行解答即可．
【解答】解：∵一次函數(shù)y＝4x﹣2中，k＝4＞0，
∴函數(shù)值y隨自變量x值的增大而增大．
故答案為：增大．
【變式6-2】（2022春?柳南區(qū)校級期末）正比例函數(shù)y＝﹣k2x（k≠0），下列結(jié)論正確的是（ ）
A．y＞0B．y隨x的增大而增大
C．y＜0D．y隨x的增大而減小
【分析】根據(jù)正比例函數(shù)圖象的性質(zhì)可知．
【解答】解：因?yàn)閤的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，所以y的值不確定因?yàn)椹乲2＜0，所以：
A、不對；
B、不對；
C、不對；
D、根據(jù)正比例函數(shù)圖象的變化規(guī)律，知y隨x的增大而減小，D正確．
故選：D．
【變式6-3】（2022春?馬山縣期末）已知正比例函數(shù)y＝kx（k≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（﹣6，2），那么函數(shù)值y隨自變量x的值的增大而 減小 ．（填“增大”或“減小”）
【分析】把點(diǎn)（﹣6，2）代入函數(shù)解析式求得k的值，結(jié)合k的符號判定該函數(shù)圖象的增減性．
【解答】解：把點(diǎn)（﹣6，2）代入y＝kx，
得到：2＝﹣6k，
解得k0，
則函數(shù)值y隨自變量x的值的增大而減小，
故答案是：減小．
【題型7 根據(jù)一次函數(shù)的增減性求參數(shù)或最值】
【例7】（2022?潮南區(qū)模擬）已知一次函數(shù)y＝﹣0.5x+2，當(dāng)1≤x≤4時(shí)，y的最大值是（ ）
A．1.5B．2C．2.5D．﹣6
【分析】根據(jù)一次函數(shù)的系數(shù)k＝﹣0.5＜0，可得出y隨x值的增大而減小，將x＝1代入一次函數(shù)解析式中求出y值即可．
【解答】解：在一次函數(shù)y＝﹣0.5x+2中k＝﹣0.5＜0，
∴y隨x值的增大而減小，
∴當(dāng)x＝1時(shí)，y取最大值，最大值為﹣0.5×1+2＝1.5．
故選：A．
【變式7-1】（2022?蕭山區(qū)模擬）已知正比例函數(shù)y＝（m+1）x+m2﹣4，若y隨x的增大而減小，則m的值是 ﹣2 ．
【分析】先根據(jù)正比例函數(shù)的定義列出關(guān)于m的方程，求出m的值，再根據(jù)此正比例函數(shù)y隨x的增大而減小即可求出m的值．
【解答】解：∵函數(shù)y＝（m+1）x+m2﹣4是正比例函數(shù)，
∴m2﹣4＝0，
解得：m＝±2，
∵y隨x的增大而減小，
∴m+1＜0，
∴m＜1，
∴m＝﹣2，
故答案為：﹣2．
【變式7-2】（2022春?饒平縣校級期末）若正比例函數(shù)y＝（2﹣m）x|m﹣2|，y隨x的增大而減小，則m的值是 3 ．
【分析】先根據(jù)正比例函數(shù)的定義列出關(guān)于m的不等式組，求出m取值范圍，再根據(jù)此正比例函數(shù)y隨x的增大而減小即可求出m的值．
【解答】解：∵此函數(shù)是正比例函數(shù)，
∴，
解得m＝3，
故答案為：3．
【變式7-3】（2022秋?沭陽縣校級期末）一次函數(shù)y＝kx+b，當(dāng)1≤x≤4時(shí)，3≤y≤6，則k的值是 1或﹣1 ．
【分析】分k＞0和k＜0兩種情況，結(jié)合一次函數(shù)的增減性，可得到關(guān)于k、b的方程組，求解即可．
【解答】解：當(dāng)k＞0時(shí)，此函數(shù)是增函數(shù)，
∵當(dāng)1≤x≤4時(shí)，3≤y≤6，
∴當(dāng)x＝1時(shí)，y＝3；當(dāng)x＝4時(shí)，y＝6，
∴，解得；
當(dāng)k＜0時(shí)，此函數(shù)是減函數(shù)，
∵當(dāng)1≤x≤4時(shí)，3≤y≤6，
∴當(dāng)x＝1時(shí)，y＝6；當(dāng)x＝4時(shí)，y＝3，
∴，解得，
∴k的值是1或﹣1．
【題型8 根據(jù)一次函數(shù)的增減性判斷自變量的變化情況】
【例8】（2022?興平市模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，若一次函數(shù)y＝kx+3的y值隨x的增大而減小，則該一次函數(shù)的圖象可能經(jīng)過的點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ）
A．（1，1）B．（1，3）C．（1，4）D．（1，5）
【分析】將各選項(xiàng)的坐標(biāo)代入解析式中，求得k值為負(fù)數(shù)的選項(xiàng)為正確選項(xiàng)．
【解答】解：∵一次函數(shù)y＝kx+3的y值隨x的增大而減小，
∴k＜0．
如點(diǎn)（1，1）在一次函數(shù)y＝kx+3的圖象上，
∴1＝k+3，
∴k＝﹣2＜0，
∴A選項(xiàng)符合題意；
如點(diǎn)（1，3）在一次函數(shù)y＝kx+3的圖象上，
∴3＝k+3．
∴k＝0．
∴B選項(xiàng)不符合題意；
如點(diǎn)（1，4）在一次函數(shù)y＝kx+3的圖象上，
∴4＝k+3．
∴k＝1＞0，
∴C選項(xiàng)不符合題意；
如點(diǎn)（1，5）在一次函數(shù)y＝kx+3的圖象上，
∴5＝k+3．
∴k＝2＞0，
∴D選項(xiàng)不符合題意；
綜上，A選項(xiàng)符合題意．
故選：A．
【變式8-1】（2022?連山區(qū)一模）一次函數(shù)y＝kx+3（k≠0）的函數(shù)值y隨x的增大而減小，它的圖象不經(jīng)過的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【分析】根據(jù)一次函數(shù)y＝kx+3（k≠0）的函數(shù)值y隨x的增大而減大，可以得到k的正負(fù)，然后根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，即可得到該函數(shù)經(jīng)過哪幾個(gè)象限，不經(jīng)過哪個(gè)象限．
【解答】解：∵一次函數(shù)y＝kx+3（k≠0）的函數(shù)值y隨x的增大而減小，
∴k＜0，b＞0，
∴該函數(shù)經(jīng)過第一、二、四象限，不經(jīng)過第三象限，
故選：C．
【變式8-2】（2022?東坡區(qū)模擬）若一次函數(shù)y＝（2m+1）x﹣1的值隨x的增大而增大，則常數(shù)m的取值范圍 m ．
【分析】根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)求解．
【解答】解：∵一次函數(shù)y＝（2m+1）x﹣1的值隨x的增大而增大，
∴2m+1＞0，
∴m．
故答案為：m．
【變式8-3】（2022春?巨野縣期末）已知一次函數(shù)y＝（m+2）x﹣（m+3），y隨x的增大而減小，且圖象與y軸的交點(diǎn)在x軸下方，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 ﹣3＜m＜﹣2 ．
【分析】y隨x的增大而減小，則m+2＜0，圖象與y軸的交點(diǎn)在x軸上方，則﹣（m+3）＞0，則可以得到不等式組求解即可．
【解答】解：∵y隨x的增大而減小，
∴m+2＜0，解得m＜﹣2，
∵函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)在x軸下方，
∴﹣（m+3）＜0，解得m＞﹣3，
∴m的取值范圍為﹣3＜m＜﹣2．
故答案為：﹣3＜m＜﹣2．
【題型9 比較一次函數(shù)值的大小】
【例9】（2022春?蕪湖期末）已知直線y＝﹣2022x+2021經(jīng)過點(diǎn)（﹣2，y1），（﹣1，y2），（1，y3），則y1，y2，y3的大小關(guān)系是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y2＜y1D．y3＜y1＜y2
【分析】由k＝﹣2022＜0，利用一次函數(shù)的性質(zhì)可得出y隨x的增大而減小，結(jié)合﹣2＜﹣1＜1，可得出y3＜y2＜y1．
【解答】解：∵k＝﹣2022＜0，
∴y隨x的增大而減小，
又∵點(diǎn)（﹣2，y1），（﹣1，y2），（1，y3）均在直線y＝﹣2022x+2021上，﹣2＜﹣1＜1，
∴y3＜y2＜y1．
故選：C．
【變式9-1】（2022秋?南山區(qū)校級期中）在函數(shù)y＝kx（k＞0）的圖象上有點(diǎn)A1（x1，y1），A2（x2，y2），已知x1＜x2，則下列各式中正確的是（ ）
A．y1＜y2B．y2＜y1C．y2＝y(tǒng)1D．y1＝y(tǒng)2＝0
【分析】根據(jù)一次函數(shù)圖象的性質(zhì)求解．
【解答】解：∵k＞0，
∴在y＝kx圖象上，y隨x增大而增大，
∵x1＜x2，
∴y1＜y2．
故選：A．
【變式9-2】（2022春?同江市期末）若點(diǎn)A（x1，﹣1），B（x2，﹣2），C（x3，3）在一次函數(shù)y＝﹣2x+m（m是常數(shù)）的圖象上，則x1，x2，x3的大小關(guān)系是（ ）
A．x1＞x2＞x3B．x2＞x1＞x3C．x1＞x3＞x2D．x3＞x2＞x1
【分析】由一次函數(shù)的性質(zhì)可知k＝﹣2＜0時(shí)，y隨x的增大而減小，由A，B，C三點(diǎn)的縱坐標(biāo)可進(jìn)行比較，進(jìn)而求解．
【解答】解：一次函數(shù)y＝﹣2x+m（m是常數(shù)）中，k＝﹣2＜0，
∴y隨x的增大而減小，
∵A（x1，﹣1），B（x2，﹣2），C（x3，3），
∴﹣2＜﹣1＜3，
∴x2＞x1＞x3，
故選：B．
【變式9-3】（2022?紹興）已知（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）為直線y＝﹣2x+3上的三個(gè)點(diǎn)，且x1＜x2＜x3，則以下判斷正確的是（ ）
A．若x1x2＞0，則y1y3＞0B．若x1x3＜0，則y1y2＞0
C．若x2x3＞0，則y1y3＞0D．若x2x3＜0，則y1y2＞0
【分析】根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)和各個(gè)選項(xiàng)中的條件，可以判斷是否正確，從而可以解答本題．
【解答】解：∵直線y＝﹣2x+3，
∴y隨x的增大而減小，當(dāng)y＝0時(shí)，x＝1.5，
∵（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）為直線y＝﹣2x+3上的三個(gè)點(diǎn)，且x1＜x2＜x3，
∴若x1x2＞0，則x1，x2同號，但不能確定y1y3的正負(fù)，故選項(xiàng)A不符合題意；
若x1x3＜0，則x1，x3異號，但不能確定y1y2的正負(fù)，故選項(xiàng)B不符合題意；
若x2x3＞0，則x2，x3同號，但不能確定y1y3的正負(fù)，故選項(xiàng)C不符合題意；
若x2x3＜0，則x2，x3異號，則x1，x2同時(shí)為負(fù)，故y1，y2同時(shí)為正，故y1y2＞0，故選項(xiàng)D符合題意；
故選：D．
【題型10 一次函數(shù)的規(guī)律探究問題】
【例10】（2022秋?市南區(qū)期末）如圖，直線l1⊥x軸于點(diǎn)（1，0），直線l2⊥x軸于點(diǎn)（2，0），直線l3⊥x軸于點(diǎn)（3，0），…，直線ln⊥x軸于點(diǎn)（n，0）（其中n為正整數(shù)）．函數(shù)y＝x的圖象與直線l1，l2，l3，…，ln分別交于點(diǎn)A1，A2，A3，…An；函數(shù)y＝2x的圖象與直線l1，l2，l3，…，ln分別交于點(diǎn)B1，B2，B3，…，Bn，如果△OA1B1的面積記作S1，四邊形A1A2B2B1的面積記作S2，四邊形A2A3B3B2的面積記作S3，…，四邊形An﹣1AnBnBn﹣1的面積記作Sn，那么S2022＝ 2021.5 ．
【分析】根據(jù)直線解析式求出AnBn，An+1Bn+1的值，再根據(jù)直線ln﹣1與直線ln互相平行判斷出四邊形AnAn+1Bn+1Bn是梯形，然后根據(jù)梯形的面積公式求出Sn的表達(dá)式，然后把n＝2022代入表達(dá)式進(jìn)行計(jì)算即可得解．
【解答】解：根據(jù)題意得AnBn＝2n﹣n＝n，
An+1Bn+1＝2n+1﹣n＝n+1，
∵直線ln⊥x軸于點(diǎn)（n，0），直線ln+1⊥x軸于點(diǎn)（n+1，0），
∴AnBn∥An+1Bn+1，且ln與ln+1間的距離為1，
∴四邊形AnAn+1Bn+1Bn是梯形，
∴Sn（n+n+1）×1（2n﹣1），
當(dāng)n＝2022時(shí)，S2022（2×2022﹣1）＝2021.5．
故答案為：2021.5．
【變式10-1】（2022春?巴中期末）如圖，直線l1：y＝x+1與直線l2：相交于點(diǎn)P，直線l1與y軸交于點(diǎn)A，一動(dòng)點(diǎn)C從點(diǎn)A出發(fā)，先沿平行于x軸的方向運(yùn)動(dòng)，到達(dá)直線l2上的點(diǎn)B1處后，改為垂直于x軸的方向運(yùn)動(dòng)，到達(dá)直線l1上的點(diǎn)A1處后，再沿平行于x軸的方向運(yùn)動(dòng)，到達(dá)直線l2上的點(diǎn)B2處后，又改為垂直于x軸的方向運(yùn)動(dòng)，到達(dá)直線l1上的點(diǎn)A2處后，仍沿平行于x軸的方向運(yùn)動(dòng)…照此規(guī)律運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)C依次經(jīng)過點(diǎn)B1，A1，B2，A2，B3，A3，B2020，A2020……則A2022B2022的長度為（ ）
A．22021B．22022C．2022D．4044
【分析】由直線直線l1：y＝x+1可知，A（0，1），則B1縱坐標(biāo)為1，代入直線l2：中，得B1（1，1），又A1、B1橫坐標(biāo)相等，可得A1（1，2），則AB1＝1，A1B1＝2﹣1＝1，可判斷△AA1B1為等腰直角三角形，利用平行線的性質(zhì)，得△A1A2B2、△A2A3B3、…、都是等腰直角三角形，根據(jù)平行于x軸的直線上兩點(diǎn)縱坐標(biāo)相等，平行于y軸的直線上兩點(diǎn)橫坐標(biāo)相等，及直線l1、l2的解析式，分別求A1B1，A2B2的長，得出一般規(guī)律，即可得到A2022B2022長度．
【解答】解：由直線l1：y＝x+1可知，A（0，1），
∵平行于x軸的直線上兩點(diǎn)縱坐標(biāo)相等，平行于y軸的直線上兩點(diǎn)橫坐標(biāo)相等，直線l1：y＝x+1，直線l2：，
∴B1（1，1），A1（1，2），
AB1＝1，A1B1＝2﹣1＝1，
B2（3，2），A2（3，4），
A1B2＝3﹣1＝2，A2B2＝4﹣2＝2，
…，
A3B3＝7﹣3＝4＝23﹣1，
由此可得AnBn＝2n﹣1，
所以，A2022B2022的長度為22021，
故選：A．
【變式10-2】（2022春?石家莊期中）正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如圖所示方式放置，點(diǎn)A1，A2，A3，…和C1，C2，C3，…分別在直線y＝x+1和x軸上，則點(diǎn)B4的坐標(biāo)是 （15，8） ，B2020的縱坐標(biāo)是 22019 ．
【分析】利用一次函數(shù)，求得每個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)，即可求得橫坐標(biāo)．從而求得點(diǎn)的坐標(biāo)．
【解答】解：當(dāng)x＝0時(shí)，y＝x+1＝1，
∴點(diǎn)A1的坐標(biāo)為（0，1），
∵四邊形A1B1C1O為正方形，
∴點(diǎn)B1的坐標(biāo)為（1，1），點(diǎn)C1的坐標(biāo)為（1，0），
當(dāng)x＝1時(shí)，y＝x+1＝2，
∴點(diǎn)A2的坐標(biāo)為（1，2），
∵四邊形A2B2C2C1為正方形，
∴點(diǎn)B2的坐標(biāo)為（3，2），點(diǎn)C2的坐標(biāo)為（3，0），
同理可知，
點(diǎn)B3的坐標(biāo)為（7，4），
點(diǎn)B4的坐標(biāo)為（15，8），
點(diǎn)B5的坐標(biāo)為（31，16），
……，
∴點(diǎn)Bn的坐標(biāo)為（2n﹣1，2n﹣1）（n為正整數(shù)），
∴點(diǎn)B2020的縱坐標(biāo)為2n﹣1＝22019．
故答案為：（15，8）；22019．
【變式10-3】（2022春?慶云縣期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A1（1，1）在直線y＝x圖象上，過A1點(diǎn)作y軸平行線，交直線y＝﹣x于點(diǎn)B1，以線段A1B1為邊在右側(cè)作正方形A1B1C1D1，C1D1所在的直線交y＝x的圖象于點(diǎn)A2，交y＝﹣x的圖象于點(diǎn)B2，再以線段A2B2為邊在右側(cè)作正方形A2B2C2D2…依此類推．按照圖中反映的規(guī)律，則點(diǎn)An的坐標(biāo)是 （3n﹣1，3n﹣1） ；第2020個(gè)正方形的邊長是 2×32019 ．
【分析】探究規(guī)律，利用規(guī)律解決問題即可．
【解答】解：由題意，A1（1，1），B1（1，﹣1），
∴A1B1＝2，
∴第一個(gè)正方形的邊長為2，
∴A1D1＝2，
∴A2（3，3），B2（3，﹣3），
∴A2B2＝6，
∴第二個(gè)正方形的邊長為6，
∴A2D2＝6，
∴A3（9，9），B3（9，﹣9），
∴A3B3＝18，
∴第三個(gè)正方形的邊長為18，
∴A4（27，27），B4（27，﹣27），
…，
可得An（3n﹣1，3n﹣1），Bn（3n﹣1，﹣3n﹣1），
∴第2020個(gè)正方形的邊長為2×32019．
故答案為：（3n﹣1，3n﹣1），2×32019．解析式
自變量取值范圍
全體實(shí)數(shù)
圖象
形狀
過原點(diǎn)的一條直線
的取值
示意圖
位置
經(jīng)過一、三象限
經(jīng)過二、四象限
趨勢
從左向右上升
從左向右下降
函數(shù)增減性
隨的增大而增大，
即：當(dāng)時(shí)，
隨的增大而減小
即：當(dāng)時(shí)，
解析式
自變量取值范圍
全體實(shí)數(shù)
圖象
形狀
過和的一條直線
、的取值
示意圖
位置
經(jīng)過一、二、三象限
經(jīng)過一、三、四象限
經(jīng)過一、二、四象限
經(jīng)過二、三、四象限
趨勢
從左向右上升
從左向右下降
函數(shù)增減性
隨的增大而增大，
即：當(dāng)時(shí)，
隨的增大而減小
即：當(dāng)時(shí)，
定義
直線y軸相交于（0，b）,b叫做直線
舉例
直線的截距是

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初中數(shù)學(xué)浙教版（2024）八年級上冊電子課本

5.4 一次函數(shù)的圖象

版本： 浙教版（2024）

年級： 八年級上冊

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