TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc4772" 【題型1 全等三角形的判定條件】 PAGEREF _Tc4772 \h 1
\l "_Tc23075" 【題型2 證明兩個三角形全等】 PAGEREF _Tc23075 \h 3
\l "_Tc16043" 【題型3 全等三角形的判定與性質(zhì)（證兩次全等）】 PAGEREF _Tc16043 \h 6
\l "_Tc14647" 【題型4 全等三角形的判定與性質(zhì)（證垂直）】 PAGEREF _Tc14647 \h 9
\l "_Tc1436" 【題型5 全等三角形的判定與性質(zhì)（多結(jié)論）】 PAGEREF _Tc1436 \h 13
\l "_Tc3840" 【題型6 全等三角形的判定與性質(zhì)（探究角度之間的關(guān)系）】 PAGEREF _Tc3840 \h 20
\l "_Tc32517" 【題型7 全等三角形的判定與性質(zhì)（探究線段之間的關(guān)系）】 PAGEREF _Tc32517 \h 26
\l "_Tc7888" 【題型8 全等三角形的應(yīng)用】 PAGEREF _Tc7888 \h 34
【知識點(diǎn) 全等圖形的判定】
【題型1 全等三角形的判定條件】
【例1】（2022春?順德區(qū)期末）如圖，∠A＝∠D＝90°，給出下列條件：①AB＝DC，②OB＝OC，③∠ABC＝∠DCB，④∠ABO＝∠DCO，從中添加一個條件后，能證明△ABC≌△DCB的是（ ）
A．①②③B．②③④C．①②④D．①③④
【分析】由題意可得∠A＝∠D＝90°，BC＝BC，即有一組對應(yīng)角相等，一組對應(yīng)邊相等，結(jié)合全等三角形的判定條件進(jìn)行分析即可．
【解答】解：∵∠A＝∠D＝90°，BC＝BC，
∴①當(dāng)AB＝DC時，由HL可得△ABC≌△DCB，故①符合題意；
②當(dāng)OB＝OC時，可得∠BCO＝∠CBO，利用AAS可得△ABC≌△DCB，故②符合題意；
③當(dāng)∠ABC＝∠DCB時，利用AAS可得△ABC≌△DCB，故③符合題意；
④當(dāng)∠ABO＝∠DCO時，不能得△ABC≌△DCB，故④不符合題意；
故符合題意的有①②③．
故選：A．
【變式1-1】（2021秋?廬陽區(qū)期末）如圖，點(diǎn)B、E在線段CD上，若∠A＝∠DEF，則添加下列條件，不一定能使△ABC≌△EFD的是（ ）
A．∠C＝∠D，AC＝DEB．BC＝DF，AC＝DE
C．∠ABC＝∠DFE，AC＝DED．AC＝DE，AB＝EF
【分析】利用三角形全等的判定方法進(jìn)行分析即可．
【解答】解：A、添加∠C＝∠D，AC＝DE可利用ASA判定△ABC≌△EFD，故此選項(xiàng)不合題意；
B、添加BC＝FD，AC＝ED不能判定△ABC≌△EFD，故此選項(xiàng)符合題意；
C、添加∠ABC＝∠DFE，AC＝DE可利用AAS判定△ABC≌△EFD，故此選項(xiàng)不合題意；
D、添加AC＝DE，AB＝EF可利用SAS判定△ABC≌△EFD，故此選項(xiàng)不合題意；
故選：B．
【變式1-2】（2021秋?源匯區(qū)校級期末）如圖，已知∠1＝∠2，AC＝AD，增加下列條件之一：①AB＝AE；②BC＝ED；③∠C＝∠D；④∠B＝∠E．其中能使△ABC≌△AED的條件有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【分析】先由∠1＝∠2得到∠CAB＝∠DAE，然后分別利用“SAS”、“ASA”和“AAS”對各添加的條件進(jìn)行判斷．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴∠CAB＝∠DAE，
∵AC＝AD，
∴當(dāng)AB＝AE時，可根據(jù)“SAS”判斷△ABC≌△AED；
當(dāng)BC＝ED時，不能判斷△ABC≌△AED；
當(dāng)∠C＝∠D時，可根據(jù)“ASA”判斷△ABC≌△AED；
當(dāng)∠B＝∠E時，可根據(jù)“AAS”判斷△ABC≌△AED．
故選：C．
【變式1-3】（2022秋?佳木斯期末）在△ABC和△DEF中，其中∠C＝∠F，則下列條件：①AC＝DF，∠A＝∠D；②AC＝DF，BC＝EF；③∠A＝∠D，∠B＝∠E；④AB＝DE，∠B＝∠E；⑤AC＝DF，AB＝DE．其中能夠判定這兩個三角形全等的是（ ）
A．①②④B．①②⑤C．②③④D．③④⑤
【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法：SAS，ASA，AAS，SSS，如果是兩個直角三角形，除了前面四種方法以外，還可以用HL來判定．
【解答】解：①AC＝DF，∠A＝∠D，再加上已知∠C＝∠F，符合ASA，故符合題意；
②AC＝DF，BC＝EF，再加上已知∠C＝∠F，符合SAS，故符合題意；
③∠A＝∠D，∠B＝∠E，再加上已知∠C＝∠F，不能判定兩個三角形全等，故不符合題意；
④AB＝DE，∠B＝∠E，再加上已知∠C＝∠F，符合AAS，故符合題意；
⑤AC＝DF，AB＝DE，再加上已知∠C＝∠F，不能判定兩個三角形全等，故不符合題意；
故選：A．
【題型2 證明兩個三角形全等】
【例2】（2022春?鼓樓區(qū)校級期末）如圖，點(diǎn)A，E，F(xiàn)，B在同一直線上，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分別為E，F(xiàn)，AE＝BF，∠A＝∠B．求證：△ADF≌△BCE．
【分析】根據(jù)ASA證明△ADF≌△BCE即可．
【解答】證明：∵AE＝BF，
∴AF＝BE，
∵CE⊥AB，DF⊥AB，
∴∠AFD＝∠BEC＝90°，
在△ADF和△BCE中，
，
∴△ADF≌△BCE（ASA）．
【變式2-1】（2021秋?肥西縣期末）已知，如圖，AB＝AE，AB∥DE，∠ECB＝65°，∠D＝115°，求證：△ABC≌△EAD．
【分析】由∠ECB＝65°得∠ACB＝115°，再由AB∥DE，證得∠CAB＝∠E，再結(jié)合已知條件AB＝AE，可利用AAS證得△ABC≌△EAD．
【解答】證明：∵∠ECB＝65°，
∴∠ACB＝180°﹣∠ECB＝115°．
又∵∠D＝115°，
∴∠ACB＝∠D．
∵AB∥DE，
∴∠CAB＝∠E．
在△ABC和△EAD中，
，
∴△ABC≌△EAD（AAS）．
【變式2-2】（2021秋?信州區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，分別過點(diǎn)B、C作BE⊥AD于點(diǎn)E，CF⊥AD交AD的延長線于點(diǎn)F，求證：△BDE≌△CDF．
【分析】由“AAS”可證△BDE≌△CDF．
【解答】證明：∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠BED＝∠CFD＝90°，
∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，
∴BD＝CD，
在△BDE和△CDF中，
，
∴△BDE≌△CDF（AAS）．
【變式2-3】（2022?河源模擬）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)M為對角線AC上一點(diǎn)，連接BM，若AC＝BC，∠AMB＝∠BCD，求證：△ADC≌△CMB．
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠DAC＝∠MCB，求出∠CBM＝∠ACD，根據(jù)全等三角形的判定定理求出即可．
【解答】證明：∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠MCB，
∵∠AMB＝∠BCD，∠CBM+∠ACB＝∠AMB，∠ACB+∠ACD＝∠BCD，
∴∠CBM＝∠ACD，
在△ADC和△CMB中，
，
∴△ADC≌△CMB（ASA）．
【題型3 全等三角形的判定與性質(zhì)（證兩次全等）】
【例3】（2022春?徐匯區(qū)校級期末）如圖，已知AE∥DF，OE＝OF，∠B＝∠C，求證：AB＝CD．
【分析】首先根據(jù)全等三角形的判定定理ASA推知△AOE≌△DOF，則OB＝OC；然后再根據(jù)全等三角形的判定定理ASA證得△AOB≌△DOC，則AB＝CD．
【解答】證明：如圖，∵AE∥DF，
∴∠AEO＝∠DFO．
在△AOE與△DOF中，
．
∴△AOE≌△DOF（ASA）．
∴OD＝OA．
在△AOB與△DOC中，
．
∴△AOB≌△DOC（ASA）．
∴AB＝CD．
【變式3-1】（2021春?橫山區(qū)期中）如圖，AB＝BC，∠BAD＝∠BCD＝90°，點(diǎn)D是EF上一點(diǎn)，AE⊥EF于E，CF⊥EF于F，AE＝CF，連接BD，求證：Rt△ADE≌Rt△CDF．
【分析】由直角三角形全等的“HL“判定定理證得Rt△ABD≌Rt△CBD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AD＝CD，再由直角三角形全等的“HL“判定定理即可證得Rt△ADE≌Rt△CDF．
【解答】證明：∵∠BAD＝∠BCD＝90°，
在Rt△ABD和Rt△CBD中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△CBD（HL），
∴AD＝CD，
∵AE⊥EF于E，CF⊥EF于F，
∴∠E＝∠F＝90°，
在Rt△ADE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL）．
【變式3-2】（2021秋?石阡縣期末）如圖，AB＝AC，E、D分別是AB、AC的中點(diǎn)，AF⊥BD，垂足為點(diǎn)F，AG⊥CE，垂足為點(diǎn)G，試判斷AF與AG的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
【分析】結(jié)論：AF＝AG．先證明△ABD≌△ACE（SAS），推出∠ABD＝∠ACE，再證明△ABF≌△ACG（AAS）即可解決問題．
【解答】解：結(jié)論：AF＝AG．
理由：∵AB＝AC，E、D分別是AB、AC的中點(diǎn)，
∴ADACAB＝AE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
∵AF⊥BD，AG⊥CE，
∴∠AFB＝∠AGC＝90°．
在△ABF和△ACG中，
，
∴△ABF≌△ACG（AAS），
∴AF＝AG．
【變式3-3】（2021秋?沂源縣期末）如圖，AD＝AC，AB＝AE，∠DAB＝∠CAE．
（1）△ADE與△ACB全等嗎？說明理由；
（2）判斷線段DF與CF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
【分析】（1）由∠DAB＝∠CAE得出∠DAE＝∠CAB，再根據(jù)SAS判斷△ADE與△ACB全等即可；
（2）由△ADB與△ACE全等得出DB＝EC，∠FDB＝∠FCE，判斷△DBF與△ECF全等，最后利用全等三角形的性質(zhì)可得．
【解答】解：（1）全等，理由如下：
∵∠DAB＝∠CAE，
∴∠DAE＝∠CAB，
在△ADE與△ACB中

∴△ADE≌△ACB（SAS）
（2）DF＝CF，理由如下：
在△ADB與△ACE中
，
∴△ADB≌△ACE（SAS），
∴∠DBA＝∠CEA，
∵△ADE≌△ACB，
∴∠ABC＝∠AED，
∴∠DBF＝∠CEF，
在△DBF與△CEF中
，
∴△DBF≌△CEF（AAS），
∴DF＝CF．
【題型4 全等三角形的判定與性質(zhì)（證垂直）】
【例4】（2022秋?孟津縣期末）如圖，BM，CN分別是鈍角△ABC的高，點(diǎn)Q是射線CN上的點(diǎn)，點(diǎn)P在線段BM上，且BP＝AC，CQ＝AB，請問AP與AQ有什么樣的關(guān)系？請說明理由．
【分析】根據(jù)同角的余角相等得出∠ABP＝∠ACQ，即可利用SAS證明△ACQ≌△PBA，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得解．
【解答】解：AP＝AQ且AP⊥AQ．
理由如下：
∵BM⊥AC，CN⊥AB，
∴∠ABP+∠BAM＝90°，∠ACQ+∠CAN＝90°．
∴∠ABP＝∠ACQ．
在△ACQ和△PBA中，

∴△ACQ≌△PBA（SAS）．
∴AP＝AQ，∠Q＝∠PAB．
∵∠Q+∠NAQ＝90°．
∴∠PAB+∠NAQ＝90°．
∴∠QAP＝90°．
∴AP⊥AQ．
即AP＝AQ，AP⊥AQ．
【變式4-1】（2022春?金牛區(qū)校級期中）如圖：在△ABC中，BE、CF分別是AC、AB兩邊上的高，在BE上截取BD＝AC，在CF的延長線上截取CG＝AB，連結(jié)AD、AG．
（1）求證：∠ABE＝∠ACG；
（2）試判：AG與AD的關(guān)系？并說明理由．
【分析】（1）易證∠HFB＝∠HEC＝90°，又∠BHF＝∠CHE，由三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論；
（2）先證△ABD≌△GCA（SAS），得出AD＝GA，∠ADB＝∠GAC，再由∠ADB＝∠AED+∠DAE，∠GAC＝∠GAD+∠DAE，則∠AED＝∠GAD＝90°，即可得出結(jié)果．
【解答】（1）證明：∵BE⊥AC，CF⊥AB，
∴∠HFB＝∠HEC＝90°，
∴∠ABE＝90°﹣∠BHF，∠ACG＝90°﹣∠CHE，
∵∠BHF＝∠CHE，
∴∠ABE＝∠ACG；
（2）解：AG與AD的關(guān)系為：AG＝AD，AG⊥AD，理由如下：
∵BE⊥AC，
∴∠AED＝90°，
由（1）得：∠ABD＝∠ACG，
在△ABD和△GCA中，
，
∴△ABD≌△GCA（SAS），
∴AD＝GA，∠ADB＝∠GAC，
又∵∠ADB＝∠AED+∠DAE，∠GAC＝∠GAD+∠DAE，
∴∠AED＝∠GAD＝90°，
∴AD⊥GA．
【變式4-2】（2021春?亭湖區(qū)校級期末）如圖，△ABC中，CD⊥AB，垂足為D．BE⊥AC，垂足為G，AB＝CF，BE＝AC．
（1）求證：AE＝AF；
（2）AE與AF有何位置關(guān)系．請說明理由．
【分析】（1）利用SAS證明△AEB≌△FAC可證明結(jié)論；
（2）由全等三角形的性質(zhì)可得∠E＝∠CAF，由余角的定義可求得∠EAF的度數(shù)即可得解．
【解答】（1）證明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠ADC＝∠AGB＝90°，
∴∠CAD+∠ACD＝∠CAD+∠EBA＝90°，
∴∠ACD＝∠EBA，
在△AEB和△FAC中，
，
∴△AEB≌△FAC（SAS），
∴AE＝AF；
（2）解：AE⊥AF，理由如下：
由（1）知△AEB≌△FAC，
∴∠E＝∠CAF，
∵BE⊥AC，垂足為G，
∴∠AGE＝90°，
∵∠E+∠EAG＝90°，
∴∠CAF+∠EAG＝90°，
即∠EAF＝90°，
∴AE⊥AF．
【變式4-3】（2021春?泰興市期末）如圖，在銳角△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E在AD上，DE＝DC，BD＝AD，點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)，連接EF并延長至點(diǎn)M，使FM＝EF，連接CM．
（1）求證：BE＝AC；
（2）試判斷線段AC與線段MC的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
【分析】（1）根據(jù)SAS證明△BDE≌△ADC，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得解；
（2）根據(jù)SAS證明△BFE≌△CFM，得到∠CBE＝∠BCM，BE＝MC，由（1）得∠CBE＝∠CAD，BE＝AC，即得AC＝MC，再利用直角三角形的兩銳角互余得出AC⊥MC．
【解答】（1）證明；∵AD⊥BC，
∴∠BDE＝∠ADC＝90°，
在△BDE與△ADC中，
，
∴△BDE≌△ADC（SAS），
∴BE＝AC；
（2）解：AC⊥MC且AC＝MC，理由如下：
∵F為BC中點(diǎn)，
∴BF＝CF，
在△BFE與△CFM中，
，
∴△BFE≌△CFM（SAS），
∴∠CBE＝∠BCM，BE＝MC，
由（1）得：∠CBE＝∠CAD，BE＝AC，
∴∠CAD＝∠BCM，AC＝MC，
∵∠CAD+∠ACD＝90°，
∴∠BCM+∠ACD＝90°，
即∠ACM＝90°，
∴AC⊥MC，
∴AC⊥MC且AC＝MC．
【題型5 全等三角形的判定與性質(zhì)（多結(jié)論）】
【例5】（2022春?九龍坡區(qū)校級期末）如圖，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)A作AF∥BC且AF＝AD，點(diǎn)E是AC上一點(diǎn)且AE＝AB，連接EF，DE．連接FD交BE于點(diǎn)G．下列結(jié)論中正確的有（ ）個．
①∠FAE＝∠DAB；②BD＝EF；③FD平分∠AFE；④S四邊形ABDE＝S四邊形ADEF；⑤BG＝GE．
A．2B．3C．4D．5
【分析】由“SAS”可證△ABD≌△AEF，利用全等三角形的性質(zhì)依次判斷可求解．
【解答】解：∵AD⊥BC，AF∥BC，
∴AF⊥AD，
∴∠FAD＝90°＝∠BAC，
∴∠FAE＝∠BAD，故①正確；
在△ABD和△AEF中，
，
∴△ABD≌△AEF（SAS），
∴BD＝EF，∠ADB＝∠AFE＝90°，故②正確；
∵AF＝AD，∠DAF＝90°，
∴∠AFD＝45°＝∠EFD，
∴FD平分∠AFE，故③正確；
∵△ABD≌△AEF，
∴S△ABD＝S△AEF，
∴S四邊形ABDE＝S四邊形ADEF，故④正確；
如圖，過點(diǎn)E作EN⊥EF，交DF于N，
∴∠FEN＝90°，
∴∠EFN＝∠ENF＝45°，
∴EF＝EN＝BD，∠END＝∠BDF＝135°，
在△BGD和△EGN中，
，
∴△BDG≌△ENG（AAS），
∴BG＝GE，故⑤正確，
故選：D．
【變式5-1】（2021秋?墾利區(qū)期末）如圖，在△ABC中，BD、CE分別是∠ABC和∠ACB的平分線，AM⊥CE于P，交BC于M，AN⊥BD于Q，交BC于N，∠BAC＝110°，AB＝6，AC＝5，MN＝2，結(jié)論：①AP＝MP；②BC＝9；③∠MAN＝30°；④AM＝AN．其中正確的有（ ）
A．4個B．3個C．2個D．1個
【分析】證明△ACP≌△MCP，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AP＝MP，判斷①；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CM＝AC＝5，BN＝AB＝6，結(jié)合圖形計(jì)算，判斷②；根據(jù)三角形內(nèi)角和定理判斷③；根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)判斷④．
【解答】解：∵CE是∠ACB的平分線，
∴∠ACP＝∠NCP，
在△ACP和△MCP中，
，
∴△ACP≌△MCP（ASA），
∴AP＝MP，①結(jié)論正確；
∵△ACP≌△MCP，
∴CM＝AC＝5，
同理可得：BN＝AB＝6，
∴BC＝BN+CM﹣MN＝5+6﹣2＝9，②結(jié)論正確；
∵∠BAC＝110°，
∴∠MAC+∠BAN﹣∠MAN＝110°，
由①知：∠CMA＝∠CAM，∠BNA＝∠BAN，
在△AMN中，∠CMA+∠BNA＝180°﹣∠MAN＝∠BAN+∠MAC，
∴180°﹣∠MAN﹣∠MAN＝110°，
∴∠MAN＝35°，③結(jié)論錯誤；
④當(dāng)∠AMN＝∠ANM時，AM＝AN，
∵AB＝6≠AC＝5
∴∠ABC≠∠ACB，
∴∠AMN≠∠ANM，則AM與AN不相等，④結(jié)論錯誤；
故選：C．
【變式5-2】（2021春?錦州期末）如圖，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD（OA＜OC），∠AOB＝∠COD＝α，直線AC，BD交于點(diǎn)M，連接OM．下列結(jié)論：①AC＝BD，②∠OAM＝∠OBM，③∠AMB＝α，④OM平分∠BOC，其中正確結(jié)論的個數(shù)是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【分析】由SAS證明△AOC≌△BOD得出∠OAM＝∠OBM，AC＝BD，①②正確；
由全等三角形的性質(zhì)得出∠OAC＝∠OBD，由三角形的外角性質(zhì)得：∠AMB+∠OBD＝∠OAC+∠AOB，得出∠AMB＝∠AOB＝α，③正確；
作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，則∠OGA＝∠OHB＝90°，即可判定△OAG≌△OBH，得出OG＝OH，由角平分線的判定方法得∠AMO＝∠DMO，假設(shè)OM平分∠BOC，則可求出∠AOM＝∠DOM，由全等三角形的判定定理可得△AMO≌△DMO，得AO＝OD，而OC＝OD，所以O(shè)A＝OC，而OA＜OC，故④錯誤；即可得出結(jié)論．
【解答】解：∵∠AOB＝∠COD＝α，
∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，
即∠AOC＝∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴∠OAC＝∠OBD，AC＝BD，
即∠OAM＝∠OBM，
故①②正確；
由三角形的外角性質(zhì)得：
∠AMB+∠OBD＝∠OAC+∠AOB，
∵∠OAC＝∠OBD，
∴∠AMB＝∠AOB＝α，
故③正確；
作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，如圖所示，
則∠OGA＝∠OHB＝90°，
在△OAG和△OBH中，
，
∴△OAG≌△OBH（AAS），
∴OG＝OH，
∵△AOC≌△BOD，
∴OG＝OH，
∴MO平分∠AMD，
∴∠AMO＝∠DMO，
假設(shè)OM平分∠BOC，則∠BOM＝∠COM，
∵∠AOB＝∠COD，
∴∠AOB+∠BOM＝∠COD+∠COM，
即∠AOM＝∠DOM，
在△AMO與△DMO中，
，
∴△AMO≌△DMO（ASA），
∴OA＝OD，
∵OC＝OD，
∴OA＝OC，
而OA＜OC，故④錯誤；
正確的個數(shù)有3個；
故選：B．
【變式5-3】（2021春?江北區(qū)校級期末）如圖，已知AB＝AC，點(diǎn)D、E分別在AC、AB上且AE＝AD，連接EC，BD，EC交BD于點(diǎn)M，連接AM，過點(diǎn)A分別作AF⊥CE，AG⊥BD，垂足分別為F、G，下列結(jié)論：①△EBM≌△DCM；②∠EMB＝∠FAG；③MA平分∠EMD；④若點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，則BM+AC＞EM+BD；⑤如果S△BEM＝S△ADM，則E是AB的中點(diǎn)；其中正確結(jié)論的個數(shù)為（ ）
A．2個B．3個C．4個D．5個
【分析】①先證明△ABD≌△ACE得出∠B＝∠C，即可證明△EBM≌△DCM，即可判斷①；
②根據(jù)垂直的定義和四邊形的內(nèi)角和可得結(jié)論，即可判斷②；
③證明△AEM≌△ADM，得∠AME＝∠AMD，即可判斷③；
④如圖，延長CE至N，使EN＝EM，連接AN，BN，證明△AEN≌△BEM（SAS），得AN＝BM，根據(jù)三角形三邊關(guān)系可判斷④；
⑤根據(jù)面積相等可知：S△ADM＝S△CDM，由同高可知底邊AD＝CD，從而判斷⑤．
【解答】解：①在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B＝∠C，
∵AB＝AC，AE＝AD，
∴AB﹣AE＝AC﹣AD，
即BE＝CD，
在△EBM和△DCM中，
，
∴△EBM≌△DCM（AAS），
故①正確；
②∵AF⊥CE，AG⊥BD，
∴∠AFM＝∠AGM＝90°，
∴∠FAG+∠FMG＝180°，
∵∠FMG+∠EMB＝180°，
∴∠EMB＝∠FAG，
故②正確；
③由①知：△EBM≌△DCM，
∴EM＝DM，
在△AEM和△ADM中，
，
∴△AEM≌△ADM（SSS），
∴∠AME＝∠AMD，
∴MA平分∠EMD；
故③正確；
④如圖，延長CE至N，使EN＝EM，連接AN，BN，
∵E是AB的中點(diǎn)，
∴AE＝BE，
在△AEN和△BEM中，
，
∴△AEN≌△BEM（SAS），
∴AN＝BM，
由①知：△ABD≌△ACE，
∴BD＝CE，
△ACN中，AC+AN＞CN，
∴BM+AC＞BD+EM，
故④正確；
⑤∵S△BEM＝S△ADM，S△EBM＝S△DCM，
∴S△ADM＝S△CDM，
∴AD＝CDAC，
∵AD＝AE，AB＝AC，
∴AEAB，
∴E是AB的中點(diǎn)；
故⑤正確；
本題正確的有5個；
故選：D．
【題型6 全等三角形的判定與性質(zhì)（探究角度之間的關(guān)系）】
【例6】（2022春?杏花嶺區(qū)校級期中）已知AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在BC上時，求證：BD＝CE；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D、E、C在同一直線上，且∠BAC＝α，∠BAE＝β時，求∠DBC的度數(shù)（用含α和β的式子表示）．
【分析】（1）證出△ABD≌△ACE即可；
（2）由（1）的結(jié)論以及四邊形的內(nèi)角和定理可得答案．
【解答】（1）證明：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，
即∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）解：∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝α，
∴∠ABC＝∠ACB90°α＝∠ADE＝∠AED，
由（1）得△ABD≌△ACE，
∴∠ADB＝∠AEC＝180°﹣∠AED＝90°α，
∴∠DBC＝360°﹣∠BCA﹣∠CAD﹣∠ADB
＝360°﹣（90°α）﹣（2α﹣β）﹣（90°α）
＝180°﹣2α+β．
【變式6-1】（2022?南京模擬）在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D是射線CB上的一動點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），以AD為一邊在AD的右側(cè)作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，連接CE．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段CB上，且∠BAC＝90°時，那么∠DCE＝ 90 度；
（2）設(shè)∠BAC＝α，∠DCE＝β．
①如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段CB上，∠BAC≠90°時，請你探究α與β之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
②如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在線段CB的延長線上，∠BAC≠90°時，請將圖3補(bǔ)充完整，并直接寫出此時α與β之間的數(shù)量關(guān)系（不需證明）．
【分析】（1）易證∠BAD＝∠CAE，即可證明△BAD≌△CAE，可得∠ACE＝∠B，即可解題；
（2）易證∠BAD＝∠CAE，即可證明△BAD≌△CAE，可得∠ACE＝∠B，根據(jù)∠B+∠ACB＝180°﹣α即可解題；
（3）易證∠BAD＝∠CAE，即可證明△BAD≌△CAE，可得∠ACE＝∠B，根據(jù)∠ADE+∠AED+α＝180°，∠CDE+∠CED+β＝180°即可解題；
【解答】解：（1）∵∠BAD+∠DAC＝90°，∠DAC+∠CAE＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ACE＝∠B，
∵∠B+∠ACB＝90°，
∴∠DCE＝∠ACE+∠ACB＝90°；
故答案為 90．
（2）∵∠BAD+∠DAC＝α，∠DAC+∠CAE＝α，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ACE＝∠B，
∵∠B+∠ACB＝180°﹣α，
∴∠DCE＝∠ACE+∠ACB＝180°﹣α＝β，
∴α+β＝180°；
（3）作出圖形，
∵∠BAD+∠BAE＝α，∠BAE+∠CAE＝α，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠AEC＝∠ADB，
∵∠ADE+∠AED+α＝180°，∠CDE+∠CED+β＝180°，
∠CED＝∠AEC+∠AED，
∴α＝β．
【變式6-2】（2022秋?江夏區(qū)期末）已知△ABC，分別以AB、AC為邊作△ABD和△ACE，且AD＝AB，AC＝AE，∠DAB＝∠CAE，連接DC與BE，G、F分別是DC與BE的中點(diǎn)．
（1）如圖1，若∠DAB＝60°，則∠AFG＝ ；
（2）如圖2，若∠DAB＝90°，則∠AFG＝ ；
（3）如圖3，若∠DAB＝α，試探究∠AFG與α的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．
【分析】（1）連接AG．易證△ADC≌△ABE，可得DC＝BE，∠ADC＝∠ABE，AD＝AB，根據(jù)G、F分別是DC與BE的中點(diǎn)，可得DG＝BF，即可證明△ADG≌△ABF，可得AG＝AF，∠DAG＝∠BAF，即可求得∠DAB＝∠GAF，即可解題．
（2）根據(jù)（1）中結(jié)論即可求得∠AFG的值，即可解題；
（3）根據(jù)（1）中結(jié)論即可求得∠AFG的值，即可解題．
【解答】解：（1）連接AG．
∵∠DAB＝∠CAE，
∴∠DAB+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，
∴∠DAC＝∠BAE．
在△ADC和△ABE中，，
∴△ADC≌△ABE（SAS），
∴DC＝BE，∠ADC＝∠ABE．AD＝AB．
∵G、F分別是DC與BE的中點(diǎn)，
∴DGDC，BFBE，
∴DG＝BF．
在△ADG和△ABF中，，
∴△ADG≌△ABF（SAS），
∴AG＝AF，∠DAG＝∠BAF，
∴∠AGF＝∠AFG，∠DAG﹣∠BAG＝∠BAF﹣∠BAG，
∴∠DAB＝∠GAF．
∵∠DAB＝60°，
∴∠GAF＝60°．
∵∠GAF+∠AFG+∠AGF＝180°，
∴∠AFG＝60°；
（2）∵∠DAB＝90°，∠DAB＝∠GAF，（已證）
∴∠GAF＝90°，
∵AG＝AF，
∴∠AFG（180°﹣90°）＝45°；
（3）∵∠DAB＝α，∠DAB＝∠GAF，（已證）
∴∠GAF＝α，
∵AG＝AF，
∴∠AFG（180°﹣α）；
故答案為 60°，45°，（180°﹣α）．
【變式6-3】（2021秋?肥西縣期末）在△ABC中，AB＝AC，D是直線BC上一點(diǎn)，連接AD，以AD為一條邊在AD的右側(cè)作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，連接CE．
（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)D在BC延長線上移動時，若∠BAC＝26°，則∠DCE＝ ．
（2）設(shè)∠BAC＝α，∠DCE＝β．
①當(dāng)點(diǎn)D在BC延長線上移動時，α與β之間有什么數(shù)量關(guān)系？請說明理由；
②當(dāng)點(diǎn)D在直線BC上（不與B，C兩點(diǎn)重合）移動時，α與β之間有什么數(shù)量關(guān)系？請直接寫出你的結(jié)論．
【分析】（1）證△BAD≌△CAE，推出∠B＝∠ACE，根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出即可；
（2）①證△BAD≌△CAE，推出∠B＝∠ACE，根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出即可；
②分三種情況：（Ⅰ）當(dāng)D在線段BC上時，證明△ABD≌△ACE（SAS），則∠ADB＝∠AEC，∠ABC＝∠ACE，推出∠DAE+∠DCE＝180°，即α+β＝180°；
（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)D在線段BC反向延長線上時，α＝β，同理可證明△ABD≌△ACE（SAS），則∠ABD＝∠ACE，推出∠BAC＝∠DCE，即α＝β；
（Ⅲ）當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線上時，由①得α＝β．
【解答】解：（1）如圖1所示：∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAE+∠CAD＝∠BAC+∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ACE＝∠B（180°﹣26°）＝77°，BD＝CE，
∴BC+DC＝CE，
∵∠ACD＝∠B+∠BAC＝∠ACE+∠DCE，
∴∠BAC＝∠DCE，
∵∠BAC＝26°，
∴∠DCE＝26°，
故答案為：26°；
（2）①當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線上移動時，α與β之間的數(shù)量關(guān)系是α＝β，理由如下：
∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAE+∠CAD＝∠BAC+∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠B＝∠ACE，
∵∠ACD＝∠B+∠BAC＝∠ACE+∠DCE，
∴∠BAC＝∠DCE，
∵∠BAC＝α，∠DCE＝β，
∴α＝β；
②分三種情況：
（Ⅰ）當(dāng)D在線段BC上時，α+β＝180°，如圖2所示，理由如下：
同理可證明：△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ADB＝∠AEC，∠ABC＝∠ACE，
∵∠ADC+∠ADB＝180°，
∴∠ADC+∠AEC＝180°，
∴∠DAE+∠DCE＝180°，
∵∠BAC＝∠DAE＝α，∠DCE＝β，
∴α+β＝180°；
（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)D在線段BC反向延長線上時，α＝β，如圖3所示，理由如下：
同理可證明：△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠ACE＝∠ACD+∠DCE，∠ABD＝∠ACD+∠BAC，
∴∠ACD+∠DCE＝∠ACD+∠BAC，
∴∠BAC＝∠DCE，
∵∠BAC＝α，∠DCE＝β，
∴α＝β；
（Ⅲ）當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線上時，如圖1所示，α＝β；
綜上所述，當(dāng)點(diǎn)D在BC上移動時，α＝β或α+β＝180°．
【題型7 全等三角形的判定與性質(zhì)（探究線段之間的關(guān)系）】
【例7】（2022春?沙坪壩區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線交于點(diǎn)D，延長BD交AC于E，G、F分別在BD、BC上，連接DF、GF，其中∠A＝2∠BDF，GD＝DE．
（1）當(dāng)∠A＝80°時，求∠EDC的度數(shù)；
（2）求證：CF＝FG+CE．
【分析】（1）在BC上取點(diǎn)M，使CM＝CE，證明△CDE≌△CDM（SAS），可得DE＝DM，∠DEC＝∠DMC，∠EDC＝∠MDC，證明∠BDM＝180°ABC﹣∠DMB＝180°ABC﹣∠AEB＝∠A＝80°，進(jìn)而可以解決問題．
（2）結(jié)合（1）然后證明△DGF≌△DMF（SAS），可得GF＝MF，進(jìn)而可以解決問題．
【解答】（1）解：如圖，在BC上取點(diǎn)M，使CM＝CE，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
在△CDE和△CDM中，
，
∴△CDE≌△CDM（SAS），
∴DE＝DM，∠DEC＝∠DMC，∠EDC＝∠MDC，
∵GD＝DE，
∴GD＝MD，
∵∠DEC+∠AEB＝180°，∠DMC+∠DMF＝180°，
∴∠AEB＝∠DMF，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBEABC，
∴∠BDM＝180°ABC﹣∠DMB＝180°ABC﹣∠AEB＝∠A＝80°，
∴∠EDM＝100°，
∴∠EDC＝50°；
（2）證明：∵∠A＝2∠BDF，
∴∠BDM＝2∠BDF，
∴∠FDM＝∠BDF，
在△DGF和△DMF中，
，
∴△DGF≌△DMF（SAS），
∴GF＝MF，
∴CF＝CM+FM＝CE+GF．
∴CF＝FG+CE．
【變式7-1】（2022?黃州區(qū)校級模擬）如圖，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足為F．
（1）求證：△ABC≌△ADE；
（2）求∠FAE的度數(shù)；
（3）求證：CD＝2BF+DE．
【分析】（1）根據(jù)題意和題目中的條件可以找出△ABC≌△ADE的條件；
（2）根據(jù)（1）中的結(jié)論和等腰直角三角形的定義可以得到∠FAE的度數(shù)；
（3）根據(jù)題意和三角形全等的知識，作出合適的輔助線即可證明結(jié)論成立．
【解答】證明：（1）∵∠BAD＝∠CAE＝90°，
∴∠BAC+∠CAD＝90°，∠CAD+∠DAE＝90°，
∴∠BAC＝∠DAE，
在△BAC和△DAE中，
，
∴△BAC≌△DAE（SAS）；
（2）∵∠CAE＝90°，AC＝AE，
∴∠E＝45°，
由（1）知△BAC≌△DAE，
∴∠BCA＝∠E＝45°，
∵AF⊥BC，
∴∠CFA＝90°，
∴∠CAF＝45°，
∴∠FAE＝∠FAC+∠CAE＝45°+90°＝135°；
（3）延長BF到G，使得FG＝FB，
∵AF⊥BG，
∴∠AFG＝∠AFB＝90°，
在△AFB和△AFG中，
，
∴△AFB≌△AFG（SAS），
∴AB＝AG，∠ABF＝∠G，
∵△BAC≌△DAE，
∴AB＝AD，∠CBA＝∠EDA，CB＝ED，
∴AG＝AD，∠ABF＝∠CDA，
∴∠G＝∠CDA，
∵∠GCA＝∠DCA＝45°，
在△CGA和△CDA中，
，
∴△CGA≌△CDA（AAS），
∴CG＝CD，
∵CG＝CB+BF+FG＝CB+2BF＝DE+2BF，
∴CD＝2BF+DE．
【變式7-2】（2021秋?兩江新區(qū)期末）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，點(diǎn)D是CB延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)E是線段AB上一點(diǎn)，連接DE．AC＝DE，BC＝BE．
（1）求證：AB＝BD；
（2）BF平分∠ABC交AC于點(diǎn)F，點(diǎn)G是線段FB延長線上一點(diǎn)，連接DG，點(diǎn)H是線段DG上一點(diǎn)，連接AH交BD于點(diǎn)K，連接KG．當(dāng)KB平分∠AKG時，求證：AK＝DG+KG．
【分析】（1）證明Rt△ACB≌Rt△DEB即可解決問題；
（2）作BM平分∠ABD交AK于點(diǎn)M，證明△BMK≌△BGK，△ABM≌△DBG，即可解決問題．
【解答】證明：（1）在Rt△ACB和Rt△DEB中，
，
∴Rt△ACB≌Rt△DEB（HL），
∴AB＝BD，
（2）如圖：作BM平分∠ABD交AK于點(diǎn)M，
∵BM平分∠ABD，KB平分∠AKG，
∴∠ABM＝∠MBD＝45°，∠AKB＝∠BKG，
∵∠ABF＝∠DBG＝45°
∴∠MBD＝∠GBD，
在△BMK和△BGK中，
，
∴△BMK≌△BGK（ASA），
∴BM＝BG，MK＝KG，
在△ABM和△DBG中，
，
∴△ABM≌△DBG（SAS），
∴AM＝DG，
∵AK＝AM+MK，
∴AK＝DG+KG．
【變式7-3】（2022春?濟(jì)南期中）把兩個全等的直角三角板的斜邊重合，組成一個四邊形ACBD以D為頂點(diǎn)作∠MDN，交邊AC、BC于M、N．
（1）若∠ACD＝30°，∠MDN＝60°，當(dāng)∠MDN繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)時，AM、MN、BN三條線段之間有何種數(shù)量關(guān)系？證明你的結(jié)論；
（2）當(dāng)∠ACD+∠MDN＝90°時，AM、MN、BN三條線段之間有何數(shù)量關(guān)系？證明你的結(jié)論；
（3）如圖③，在（2）的條件下，若將M、N改在CA、BC的延長線上，完成圖3，其余條件不變，則AM、MN、BN之間有何數(shù)量關(guān)系（直接寫出結(jié)論，不必證明）
【分析】（1）延長CB到E，使BE＝AM，證△DAM≌△DBE，推出∠BDE＝∠MDA，DM＝DE，證△MDN≌△EDN，推出MN＝NE即可；
（2）延長CB到E，使BE＝AM，證△DAM≌△DBE，推出∠BDE＝∠MDA，DM＝DE，證△MDN≌△EDN，推出MN＝NE即可；
（3）在CB截取BE＝AM，連接DE，證△DAM≌△DBE，推出∠BDE＝∠MDA，DM＝DE，證△MDN≌△EDN，推出MN＝NE即可．
【解答】
（1）AM+BN＝MN，
證明：延長CB到E，使BE＝AM，
∵∠A＝∠CBD＝90°，
∴∠A＝∠EBD＝90°，
在△DAM和△DBE中
，
∴△DAM≌△DBE，
∴∠BDE＝∠MDA，DM＝DE，
∵∠MDN＝∠ADC＝60°，
∴∠ADM＝∠NDC，
∴∠BDE＝∠NDC，
∴∠MDN＝∠NDE，
在△MDN和△EDN中
，
∴△MDN≌△EDN，
∴MN＝NE，
∵NE＝BE+BN＝AM+BN，
∴AM+BN＝MN．
（2）AM+BN＝MN，
證明：延長CB到E，使BE＝AM，連接DE，
∵∠A＝∠CBD＝90°，
∴∠A＝∠DBE＝90°，
∵∠CDA+∠ACD＝90°，∠MDN+∠ACD＝90°，
∴∠MDN＝∠CDA，
∵∠MDN＝∠BDC，
∴∠MDA＝∠CDN，∠CDM＝∠NDB，
在△DAM和△DBE中
，
∴△DAM≌△DBE，
∴∠BDE＝∠MDA＝∠CDN，DM＝DE，
∵∠MDN+∠ACD＝90°，∠ACD+∠ADC＝90°，
∴∠NDM＝∠ADC＝∠CDB，
∴∠ADM＝∠CDN＝∠BDE，
∵∠CDM＝∠NDB
∴∠MDN＝∠NDE，
在△MDN和△EDN中
，
∴△MDN≌△EDN，
∴MN＝NE，
∵NE＝BE+BN＝AM+BN，
∴AM+BN＝MN．
（3）BN﹣AM＝MN，
證明：在CB截取BE＝AM，連接DE，
∵∠CDA+∠ACD＝90°，∠MDN+∠ACD＝90°，
∴∠MDN＝∠CDA，
∵∠ADN＝∠ADN，
∴∠MDA＝∠CDN，
∵∠B＝∠CAD＝90°，
∴∠B＝∠DAM＝90°，
在△DAM和△DBE中
，
∴△DAM≌△DBE，
∴∠BDE＝∠ADM＝∠CDN，DM＝DE，
∵∠ADC＝∠BDC＝∠MDN，
∴∠MDN＝∠EDN，
在△MDN和△EDN中
，
∴△MDN≌△EDN，
∴MN＝NE，
∵NE＝BN﹣BE＝BN﹣AM，
∴BN﹣AM＝MN．
【題型8 全等三角形的應(yīng)用】
【例8】（2022春?二七區(qū)期末）為了測量一池塘的兩端A，B之間的距離，同學(xué)們想出了如下的兩種方案：
方案①如圖1，先在平地上取一個可直接到達(dá)A，B的點(diǎn)C，再連接AC，BC，并分別延長AC至點(diǎn)D，BC至點(diǎn)E，使DC＝AC，EC＝BC，最后量出DE的距離就是AB的長；
方案②如圖2，過點(diǎn)B作AB的垂線BF，在BF上取C，D兩點(diǎn)，使BC＝CD，接著過D作BD的垂線DE，在垂線上選一點(diǎn)E，使A、C、E三點(diǎn)在一條直線上，則測出DE的長即是AB的距離．
問：（1）方案①是否可行？請說明理由；
（2）方案②是否可行？請說明理由；
（3）小明說在方案②中，并不一定需要BF⊥AB，DE⊥BF，只需要 AB∥DE 就可以了，請把小明所說的條件補(bǔ)上．
【分析】（1）根據(jù)SAS證明△DCE≌△ACB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得證；
（2）根據(jù)ASA證明△ABC≌△EDC，進(jìn)一步即可得證；
（3）只需要AB∥DE，此時∠ABC＝∠EDC，證明△ABC≌△EDC（ASA）即可得證．
【解答】解：（1）方案①可行，理由如下：
在△DCE和△ACB中，
，
∴△DCE≌△ACB（SAS），
∴DE＝AB，
∴方案①可行；
（2）方案②可行，理由如下：
∵AB⊥BF，DE⊥BF，
∴∠ABC＝∠EDC＝90°，
在△ABC和△EDC中，
，
∴△ABC≌△EDC（ASA），
∴DE＝AB，
故方案②可行；
（3）只需要AB∥DE，此時∠ABC＝∠EDC，
證明步驟同（2），
故答案為：AB∥DE．
【變式8-1】（2021春?普寧市期末）學(xué)校為開展數(shù)學(xué)實(shí)踐活動，成立了以小明為首的戶外測量小組，測量小組帶有測量工具：繩子、拉尺、小紅旗、測角器（可測量兩個點(diǎn)分別到測量者連線之間的夾角大?。∶餍〗M的任務(wù)是測量某池塘不能直接到達(dá)的兩個端點(diǎn)A、B之間的距離．
（1）小明小組提出了測量方案：在池塘南面的空地上（如圖），取一個可直接到達(dá)A、B的點(diǎn)C，用繩子連接AC和BC，并利用繩子分別延長AC至D、BC至E，使用拉尺丈量CD＝CA、CE＝CB，確定D、E兩個點(diǎn)后，最后用拉尺直接量出線段DE的長，則端點(diǎn)A、B之間的距離就是DE的長．你認(rèn)為小明小組測量方案正確嗎？請說明理由．
（2）你還有不同于小明小組的其他測量方法嗎？請寫出其中一個完整的測量方案（在備用圖1中畫出簡圖，但不必說明理由）．
（3）假設(shè)池塘南面（即點(diǎn)D、E附近區(qū)域）沒有足夠空地（或空地有障礙物或不可直達(dá)等不可測量情況），而點(diǎn)B的右側(cè)區(qū)域有足夠空地并可用于測量，請你設(shè)計(jì)一個可行的測量方案（在備用圖2中畫出圖形），并說明理由．
【分析】（1）根據(jù)SAS證明△ABC≌△DEC即可；
（2）先過點(diǎn)B作AB的垂線BF，再在BF上取C，D兩點(diǎn)，使BC＝CD，接著過點(diǎn)D作BD的垂線DE，交AC的延長線于點(diǎn)E，則測出DE的長即為A，B的距離；
（3）過點(diǎn)B作BD⊥AB，再由點(diǎn)D觀測，在AB的延長線上取一點(diǎn)C，使∠BDC＝∠BDA．這時只要測出BC的長即為A，B的距離．理由根據(jù)ASA證明△ABD≌△CBD即可．
【解答】解：（1）小明小組測量方案正確，理由如下：
連接AB，如圖所示：
在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（SAS），
∴DE＝AB．
（2）有其他方案，測量方案如下：
先過點(diǎn)B作AB的垂線BF，再在BF上取C，D兩點(diǎn)，使BC＝CD，接著過點(diǎn)D作BD的垂線DE，交AC的延長線于點(diǎn)E，則測出DE的長即為A，B的距離，如圖所示：
（3）測量方案：過點(diǎn)B作BD⊥AB，再由點(diǎn)D觀測，在AB的延長線上取一點(diǎn)C，使∠BDC＝∠BDA．這時只要測出BC的長即為A，B的距離，如圖所示：
理由如下：
∵BD⊥AB，
∴∠ABD＝∠CBD＝90°，
在△ABD和△CBD中，
，
∴△ABD≌△CBD（ASA），
∴BC＝AB．
【變式8-2】（2022春?金鄉(xiāng)縣期中）如圖，小明和小華住在同一個小區(qū)不同單元樓，他們想要測量小明家所在單元樓AB的高度，首先他們在兩棟單元樓之間選定一點(diǎn)E，然后小華在自己家陽臺C處測得E處的俯角為∠1，小明站在E處測得眼睛F到AB樓端點(diǎn)A的仰角為∠2，發(fā)現(xiàn)∠1與∠2互余，已知EF＝1米，BE＝CD＝20米，BD＝58米，試求單元樓AB的高．
【分析】過F作FG⊥AB于G，則四邊形BEFG是矩形，求得FG＝BE＝20米，BG＝EF＝1米，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【解答】解：過F作FG⊥AB于G，
則四邊形BEFG是矩形，
∴FG＝BE＝20米，BG＝EF＝1米，
∵∠1+∠2＝90°，∠1+∠3＝90°，
∴∠2＝∠3，
在△AFG與△ECD中，
，
∴△AFG≌△ECD（ASA），
∴AG＝DE＝BD﹣BE＝38（米），
∴AB＝AG+BG＝38+1＝39（米），
答：單元樓AB的高為39米．
【變式8-3】（2022春?鄭州期末）閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)．
如圖，小明站在堤岸涼亭A點(diǎn)處，正對他的B點(diǎn)（AB與堤岸垂直）停有一艘游艇，他想知道涼亭與這艘游艇之間的距離，于是制定了如下方案．
（1）任務(wù)一：根據(jù)題意將測量方案示意圖補(bǔ)充完整．
（2）任務(wù)二：①涼亭與游艇之間的距離是 米．
②請你說明小明方案正確的理由．
【分析】（1）任務(wù)一：根據(jù)題意可知，小華的方案中蘊(yùn)含著一對全等三角形，即△ABC≌△DEC，將圖形補(bǔ)充完整即可；
（2）任務(wù)二：①由補(bǔ)充完整的圖形可知，△ABC≌△DEC，且AB與DE是對應(yīng)邊，可知AB＝DE＝8米，得出答案為8；
②由題意可知AC＝CD＝20米，∠A＝∠D＝90°，∠ACB與∠DCE是對頂角，由“ASA”可判定△ABC≌△DEC，則AB＝DE＝8米，說明小明的方案是正確的．
【解答】解：（1）任務(wù)一：將測量方案示意圖補(bǔ)充完整如圖所示．
（2）任務(wù)二：①由△ABC≌△DEC得AB＝DE＝8（米），
故答案為：8．
②理由：如圖，
由題意可知，AC＝20米，CD＝20米，DE＝8米，∠A＝90°，∠D＝90°，
∴AC＝DC，∠A＝∠D，
在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（ASA），
∴AB＝DE＝8米，
∴小明的方案是正確的．
判定方法
解釋
圖形
邊邊邊
(SSS)
三條邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等

邊角邊
(SAS)
兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等

角邊角
(ASA)
兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等

角角邊
(AAS)
兩個角和其中一個角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等

斜邊、直角邊
(HL)
斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等

課題
測涼亭與游艇之間的距離
測量工具
皮尺等
測量方案示意圖（不完整）
測量步驟
①小明沿堤岸走到電線桿C旁（直線AC與堤岸平行）；
②再往前走相同的距離，到達(dá)D點(diǎn)；
③他到達(dá)D點(diǎn)后向左轉(zhuǎn)90度直行，當(dāng)自己，電線桿與游艇在一條直線上時停下來，此時小明位于點(diǎn)E處．
測量數(shù)據(jù)
AC＝20米，CD＝20米，DE＝8米

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初中數(shù)學(xué)浙教版（2024）八年級上冊電子課本

1.4 全等三角形

版本： 浙教版（2024）

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