TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc11269" 【題型1 一次函數(shù)與一元一次方程的解】 PAGEREF _Tc11269 \h 1
\l "_Tc21110" 【題型2 兩個(gè)一次函數(shù)與一元一次方程】 PAGEREF _Tc21110 \h 3
\l "_Tc29331" 【題型3 利用一次函數(shù)的變換求一元一次方程的解】 PAGEREF _Tc29331 \h 4
\l "_Tc2082" 【題型4 一次函數(shù)與二元一次方程（組）的解】 PAGEREF _Tc2082 \h 5
\l "_Tc5429" 【題型5 不解方程組判斷方程組解的情況】 PAGEREF _Tc5429 \h 7
\l "_Tc13930" 【題型6 一次函數(shù)與一元一次不等式的解集】 PAGEREF _Tc13930 \h 9
\l "_Tc9328" 【題型7 兩個(gè)一次函數(shù)與一元一次不等式】 PAGEREF _Tc9328 \h 11
\l "_Tc9371" 【題型8 絕對(duì)值函數(shù)與不等式】 PAGEREF _Tc9371 \h 14
\l "_Tc18385" 【題型9 一次函數(shù)與一元一次不等式組的解集】 PAGEREF _Tc18385 \h 19
\l "_Tc11196" 【題型10 一次函數(shù)與不等式組中的陰影區(qū)域問題】 PAGEREF _Tc11196 \h 21
【知識(shí)點(diǎn)1 一次函數(shù)與一元一次方程、不等式的關(guān)系】
1. 任何一個(gè)一元一次方程都可轉(zhuǎn)化為：kx+b=0（k、b為常數(shù)，k≠0）的形式．
而一次函數(shù)解析式形式正是y=kx+b（k、b為常數(shù)，k≠0）．當(dāng)函數(shù)值為0時(shí)，即kx+b=0就與一元一次方程完全相同．
結(jié)論：由于任何一元一次方程都可轉(zhuǎn)化為kx+b=0（k、b為常數(shù)，k≠0）的形式．所以解一元一次方程可以轉(zhuǎn)化為：當(dāng)一次函數(shù)值為0時(shí)，求相應(yīng)的自變量的值．
從圖象上看，這相當(dāng)于已知直線y=kx+b確定它與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)值．
2.解一元一次不等式可以看作：當(dāng)一次函數(shù)的函數(shù)值大（小）于0時(shí)，求自變量相應(yīng)的取值范圍.
【題型1 一次函數(shù)與一元一次方程的解】
【例1】（2022秋?白塔區(qū)校級(jí)月考）直線y＝3x﹣m﹣4經(jīng)過點(diǎn)A（m，0），則關(guān)于x的方程3x﹣m﹣4＝0的解是 x＝2 ．
【分析】根據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系進(jìn)行解答即可．
【解答】解：把x＝m，y＝0代入y＝3x﹣m﹣4中，可得：m＝2，
所以關(guān)于x的方程3x﹣m﹣4＝0的解是x＝2，
故答案為：x＝2
【變式1-1】（2022春?安陽縣期末）一次函數(shù)y＝kx+b的圖象如圖所示，則關(guān)于x的方程kx+b＝0的解為 x＝﹣2 ．
【分析】根據(jù)圖象得出一次函數(shù)y＝kx+b的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，即可得出方程的解．
【解答】解：∵從圖象可知：一次函數(shù)y＝kx+b的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（﹣2，0），
∴關(guān)于x的方程kx+b＝0的解為x＝﹣2，
故答案為：x＝﹣2．
【變式1-2】（2022春?雷州市校級(jí)期末）一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0，k，b是常數(shù)）的圖象如圖所示，則關(guān)于x的方程kx+b＝4的解是（ ）
A．x＝3B．x＝4C．x＝0D．x＝b
【分析】可利用函數(shù)圖象可直接得到答案．
【解答】解：由圖象知，一次函數(shù)的圖象過點(diǎn)（3，4），
所以有3k+b＝4，
所以x＝3是方程kx+b＝4的解，
故選：A．
【變式1-3】（2022秋?招遠(yuǎn)市期末）已知關(guān)于x的一次函數(shù)y＝3x+n的圖象如圖，則關(guān)于x的一次方程3x+n＝0的解是（ ）
A．x＝﹣2B．x＝﹣3C．D．
【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象得出一次函數(shù)y＝3x+n與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（0，2），把坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，求出n，再求出方程的解即可．
【解答】解：從圖象可知：一次函數(shù)y＝3x+n與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（0，2），
代入函數(shù)解析式得：2＝0+n，
解得：n＝2，
即y＝3x+2，
當(dāng)y＝0時(shí)，3x+2＝0，
解得：x＝﹣，
即關(guān)于x的一次方程3x+n＝0的解是x＝﹣，
故選：D．
【題型2 兩個(gè)一次函數(shù)與一元一次方程】
【例2】（2022秋?雙流區(qū)期末）已知一次函數(shù)y＝5x+m的圖象與正比例函數(shù)y＝kx的圖象交于點(diǎn)（﹣2，4）（k，m是常數(shù)），則關(guān)于x的方程5x＝kx﹣m的解是 x＝﹣2 ．
【分析】由題意可知當(dāng)x＝﹣2時(shí)，一次函數(shù)y＝5x+m與正比例函數(shù)y＝kx的函數(shù)值相同，從而可得到方程的解．
【解答】解：一次函數(shù)y＝5x+m圖象與正比例函數(shù)y＝kx圖象交于點(diǎn)（﹣2，4），
當(dāng)x＝﹣2時(shí)，5x+m＝kx，即5x＝kx﹣m，
方程5x＝kx﹣m的解是x＝﹣2，
故答案為：x＝﹣2．
【變式2-1】（2022秋?龍崗區(qū)期末）如圖，函數(shù)y＝2x+b與函數(shù)y＝kx﹣1的圖象交于點(diǎn)P，則關(guān)于x的方程kx﹣1＝2x+b的解是 x＝1 ．
【分析】方程kx﹣1＝2x+b的解，就是兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，觀察圖象即可解決問題；
【解答】解：方程kx﹣1＝2x+b的解，就是兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
觀察圖象可知方程的解為x＝1，
故答案為x＝1
【變式2-2】（2022秋?蘇州期末）已知一次函數(shù)y＝kx+1與的圖象相交于點(diǎn)（2，5），求關(guān)于x的方程kx+b＝0的解．
【分析】首先將（2，5）點(diǎn)代入一次函數(shù)解析式求出k，b的值，進(jìn)而解方程得出答案．
【解答】解：∵一次函數(shù)y＝kx+1與的圖象相交于點(diǎn)（2，5），
∴5＝2k+1，5＝﹣×2+b，
解得：k＝2，b＝6，
則kx+b＝0為：2x+6＝0，
解得：x＝﹣3．
【變式2-3】（2022秋?包河區(qū)期末）已知直線y＝x+b和y＝ax+2交于點(diǎn)P（3，﹣1），則關(guān)于x的方程（a﹣1）x＝b﹣2的解為 x＝3 ．
【分析】利用函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)為兩函數(shù)解析式組成的方程組的解解決問題．
【解答】解：由（a﹣1）x＝b﹣2知，x+b＝ax+2．
∵直線y＝x+b和ax+2交于點(diǎn)P（3，﹣1），
∴當(dāng)x＝3時(shí)，x+b＝ax+2＝﹣1，
即關(guān)于x的方程（a﹣1）x＝b﹣2的解為x＝3．
故答案為：x＝3．
【題型3 利用一次函數(shù)的變換求一元一次方程的解】
【例3】（2022春?江都區(qū)校級(jí)月考）若一次函數(shù)y＝kx+b（k為常數(shù)且k≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（﹣2，0），則關(guān)于x的方程k（x﹣5）+b＝0的解為 x＝3 ．
【分析】由y＝k（x﹣5）+b與y＝kx+b可得直線y＝kx+b向右平移5個(gè)單位得到直線y＝k（x﹣5）+b，從而可得直線y＝k（x﹣5）+b與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求解．
【解答】解：直線y＝k（x﹣5）+b是由直線y＝kx+b向右平移5個(gè)單位所得，
∵y＝kx+b與x軸交點(diǎn)為（﹣2，0），
∴直線y＝k（x﹣5）+b與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），
∴k（x﹣5）+b＝0的解為x＝3，
故答案為：x＝3．
【變式3-1】（2022?姜堰區(qū)一模）若一次函數(shù)y＝ax+b（a、b為常數(shù)，且a≠0）的圖象過點(diǎn)（2，0），則關(guān)于x的方程a（x+1）+b＝0的解是 x＝1 ．
【分析】首先根據(jù)函數(shù)解析式可得一次函數(shù)y＝ax+b的圖象向左平移1個(gè)單位可得y＝a（x+1）+b的圖象，進(jìn)而可得一次函數(shù)y＝a（x+1）+b的圖象與x軸交于點(diǎn)（1，0），然后可得答案．
【解答】解：一次函數(shù)y＝ax+b的圖象向左平移1個(gè)單位可得y＝a（x+1）+b的圖象，
∵一次函數(shù)y＝ax+b（a、b為常數(shù)，且a≠0）的圖象過點(diǎn)（2，0），
∴一次函數(shù)y＝a（x+1）+b的圖象與x軸交于點(diǎn)（1，0），
∴關(guān)于x的方程a（x+1）+b＝0的解是：x＝1，
故答案為：x＝1．
【變式3-2】（2022秋?廬陽區(qū)校級(jí)期中）若關(guān)于x的一次函數(shù)y＝kx+b的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0），則方程k（x+2）+b＝0的解為 ﹣3 ．
【分析】把點(diǎn)A（﹣1，0）代入y＝kx+b，求得b＝k，所以方程變?yōu)閗（x+2）+k＝0，即可求得方程的解．
【解答】解：∵關(guān)于x的一次函數(shù)y＝kx+b的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0），
∴﹣k+b＝0，
∴b＝k，
∴方程k（x+2）+b＝0化為方程k（x+2）+k＝0，
∴k（x+3）＝0，
∴x＝﹣3．
故答案為﹣3．
【變式3-3】（2022秋?廬陽區(qū)校級(jí)期中）將直線y＝kx﹣2向下平移4個(gè)單位長度得直線y＝kx+m，已知方程kx+m＝0的解為x＝3，則k＝ 2 ，m＝ ﹣6 ．
【分析】利用直線平移的規(guī)律得到m＝﹣6，然后把x＝3代入kx﹣6＝0可求出k的值．
【解答】解：∵直線y＝kx﹣2向下平移4個(gè)單位長度得直線解析式為y＝kx﹣2﹣4，即y＝kx﹣6，
∴m＝﹣6，
∵程kx+m＝0的解為x＝3，
∴3k﹣6＝0，解得k＝2．
故答案為2，﹣6．
【題型4 一次函數(shù)與二元一次方程（組）的解】
【例4】（2022春?夏津縣期末）如圖，根據(jù)函數(shù)圖象回答問題：方程組的解為 ．
【分析】首先觀察函數(shù)的圖象y＝kx+3經(jīng)過點(diǎn)（﹣3，0），然后求得k值確定函數(shù)的解析式，最后求得兩圖象的交點(diǎn)求方程組的解即可；
【解答】解：根據(jù)圖象知：y＝kx+3經(jīng)過點(diǎn)（﹣3，0），
所以﹣3k+3＝0，
解得：k＝1，
所以解析式為y＝x+3，
當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝2，
所以兩個(gè)函數(shù)圖象均經(jīng)過（﹣1，2）
所以方程組的解為，
故答案為：．
【變式4-1】（2022?貴陽）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，一次函數(shù)y＝k1x+b1與y＝k2x+b2的圖象如圖所示，則關(guān)于x，y的方程組的解是 ．
【分析】利用方程組的解就是兩個(gè)相應(yīng)的一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)求解．
【解答】解：∵一次函數(shù)y＝k1x+b1與y＝k2x+b2的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1），
∴關(guān)于x，y的方程組的解是．
故答案為．
【變式4-2】（2022秋?西鄉(xiāng)縣期末）已知二元一次方程組的解為，則在同一平面直角坐標(biāo)系中，直線l1：y＝x+5與直線l2：yx﹣1的交點(diǎn)坐標(biāo)為（ ）
A．（4，1）B．（1，﹣4）C．（﹣1，﹣4）D．（﹣4，1）
【分析】根據(jù)函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)為兩函數(shù)解析式組成的方程組的解解答即可．
【解答】解：∵二元一次方程組的解為，
∴直線l1：y＝x+5與直線l2：yx﹣1的交點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣4，1）．
故選：D．
【變式4-3】（2022?德城區(qū)二模）若以關(guān)于x、y的二元一次方程x+2y﹣b＝0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)（x，y）都在直線yx+b﹣1上，則常數(shù)b的值為（ ）
A．B．1C．﹣1D．2
【分析】直線解析式乘以2后和方程聯(lián)立解答即可．
【解答】解：因?yàn)橐躁P(guān)于x、y的二元一次方程x+2y﹣b＝0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)（x，y）都在直線yx+b﹣1上，
直線解析式乘以2得2y＝﹣x+2b﹣2，變形為：x+2y﹣2b+2＝0，
所以b﹣2b+2＝0，
解得：b＝2，
故選：D．
【題型5 不解方程組判斷方程組解的情況】
【例5】（2022秋?泰興市校級(jí)期末）已知關(guān)于x，y的方程組
（1）當(dāng)k，b為何值時(shí)，方程組有唯一一組解；
（2）當(dāng)k，b為何值時(shí)，方程組有無數(shù)組解；
（3）當(dāng)k，b為何值時(shí)，方程組無解．
【分析】（1）利用兩直線的位置關(guān)系得到當(dāng)k≠3k﹣1時(shí)，直線y＝kx+b與y＝（3k﹣1）x+2只有一個(gè)交點(diǎn)，于是可得到k的取值范圍；
（2）利用兩直線的位置關(guān)系得到當(dāng)k＝3k﹣1，b＝2時(shí)，直線y＝kx+b與y＝（3k﹣1）x+2重合，于是可得到k、b的值；
（3）利用兩直線的位置關(guān)系得到當(dāng)k＝3k﹣1，b≠2時(shí)，直線y＝kx+b與y＝（3k﹣1）x+2沒有一個(gè)交點(diǎn)，于是可得到k的值和b的取值范圍．
【解答】解：（1）當(dāng)k≠3k﹣1時(shí)，即k，直線y＝kx+b與y＝（3k﹣1）x+2只有一個(gè)交點(diǎn)，
所以當(dāng)k，b為任意數(shù)時(shí)，方程組有唯一一組解；
（2）當(dāng)k＝3k﹣1，b＝2時(shí)，即k，b＝2，直線y＝kx+b與y＝（3k﹣1）x+2重合，
所以k，b＝2時(shí)，方程組有無數(shù)組解；
（3）當(dāng)k＝3k﹣1，b≠2時(shí)，即k，b≠2，直線y＝kx+b與y＝（3k﹣1）x+2沒有交點(diǎn)，
所以k，b≠2時(shí)，方程組無解．
【變式5-1】（2022秋?蘇州期末）若二元一次方程組有唯一的一組解，那么應(yīng)滿足的條件是（ ）
A．B．C．D．
【分析】由已知可以把方程組x的系數(shù)轉(zhuǎn)化為它們的最小公倍數(shù)，分析轉(zhuǎn)化后的方程組得到滿足的條件．
【解答】解：原方程組化為：，
∵﹣2≠﹣24，
∴要使方程組有唯一的一組解，
則3m≠2，
所以m．
故選：B．
【變式5-2】（2022春?覃塘區(qū)期中）如果關(guān)于x，y的方程組有唯一的一組解，那么a，b，c的值應(yīng)滿足的條件是（ ）
A．a(chǎn)≠bB．b≠cC．a(chǎn)≠cD．a(chǎn)≠c且c≠1
【分析】此題的解法在于將兩式的y用x來代替然后列出y關(guān)于x的方程，因?yàn)橛形ㄒ唤?，根?jù)方程可得出a，b，c的值的條件．
【解答】解：方程組變形得，
∴1﹣xx，
∴（a﹣b）x＝c﹣b，
∴x，
要使方程有唯一解，
則a≠b，
故選：A．
【變式5-3】（2022春?高明區(qū)期末）k為何值時(shí)，方程組有唯一一組解；無解；無窮多解？
【分析】先將方程組整理成二元一次方程組的一般形式，再根據(jù)二元一次方程組的解的三種情況進(jìn)行分析，從而得出結(jié)果．
【解答】解：原方程組可化為，
①當(dāng)，即k≠﹣2時(shí)，原方程組有唯一一組解；
②當(dāng)，即k無論取什么值，都不能使原方程組無解；
③當(dāng)，即k＝﹣2時(shí)，原方程組有無窮多解．
【題型6 一次函數(shù)與一元一次不等式的解集】
【例6】（2022?海淀區(qū)校級(jí)自主招生）已知一次函數(shù)y＝kx+b中x取不同值時(shí)，y對(duì)應(yīng)的值列表如下：
則不等式kx+b＞0（其中k，b，m，n為常數(shù)）的解集為（ ）
A．x＞1B．x＞2C．x＜1D．無法確定
【分析】首先根據(jù)函數(shù)的值確定一次函數(shù)的增減性，然后根據(jù)函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)（1，0），即可進(jìn)行判斷．
【解答】解：∵﹣m2﹣1＜2，﹣2＜n2+1，
∴函數(shù)y＝kx+b中y隨x的增大而增大，
又∵函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)（1，0），
∴kx+b＞0（其中k，b，m，n為常數(shù)）的解集為：x＞1．
故選：A．
【變式6-1】（2022春?龍崗區(qū)期末）如圖，已知一次函數(shù)y＝kx+b的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（﹣3，2），B（1，0），則關(guān)于x的不等式kx+b＜2解集為 x＞﹣3 ．
【分析】一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系從函數(shù)的角度看，就是尋求使一次函數(shù)y＝kx+b的值小于2的自變量x的取值范圍．
【解答】解：由圖中可以看出，當(dāng)x＞﹣3時(shí)，kx+b＜2，
故答案為：x＞﹣3．
【變式6-2】（2022春?湖南期中）已知關(guān)于x的不等式ax+1＞0（a≠0）的解集是x＜1，則直線y＝ax+1與x軸的交點(diǎn)是（ ）
A．（0，1）B．（﹣1，0）C．（0，﹣1）D．（1，0）
【分析】由于關(guān)于x的不等式ax+1＞0（a≠0）的解集是x＜1，得到a小于0，表示出不等式的解集，列出關(guān)于a的方程，求出方程的解得到a的值，將a的值代入確定出直線y＝ax+1解析式，即可求出與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．
【解答】解：∵關(guān)于x的不等式ax+1＞0（a≠0）的解集是：x＜1，
∴a＜0，解得：x，
∴1，即a＝﹣1，即直線解析式為y＝﹣x+1，
令y＝0，解得：x＝1，
則直線y＝﹣x+1與x軸的交點(diǎn)是（1，0）．
故選：D．
【變式6-3】（2022春?高明區(qū)校級(jí)期末）如圖，直線y＝kx+b與直線y交于點(diǎn)A（m，2），則關(guān)于x的不等式kx+bx的解集是（ ）
A．x≤2B．x≥1C．x≤1D．x≥2
【分析】關(guān)于x的不等式kx+bx的解集，直線y＝kx+b的圖象在y的圖象的下邊的部分，對(duì)應(yīng)的自變量x的取值范圍．
【解答】解：把A（m，2）代入y，得2．
解得m＝1．
則A（1，2）．
根據(jù)圖象可得關(guān)于x的不等式kx+bx的解集是x≤1．
故選：C．
【題型7 兩個(gè)一次函數(shù)與一元一次不等式】
【例7】（2022?鐘山縣校級(jí)模擬）直線l1：y＝k1x+b與直線l2：y＝k2x在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象如圖所示，則關(guān)于x的不等式k2x＞k1x+b的解集為（ ）
A．x＞3B．x＜3C．x＞﹣1D．x＜﹣1
【分析】觀察函數(shù)圖象得到，當(dāng)x＜﹣1時(shí)，直線y＝k2x都在直線y＝k1x+b，的上方，于是可得到不等式k2x＞k1x+b的解集．
【解答】解：當(dāng)x＜﹣1時(shí)，k2x＞k1x+b，
所以不等式k2x＞k1x+b的解集為x＜﹣1．
故選：D．
【變式7-1】（2022?煙臺(tái)）如圖，直線y＝x+2與直線y＝ax+c相交于點(diǎn)P（m，3），則關(guān)于x的不等式x+2≤ax+c的解集為 x≤1 ．
【分析】將點(diǎn)P（m，3）代入y＝x+2，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；結(jié)合函數(shù)圖象可知當(dāng)x≤1時(shí)x+2≤ax+c，即可求解；
【解答】解：點(diǎn)P（m，3）代入y＝x+2，
∴m＝1，
∴P（1，3），
結(jié)合圖象可知x+2≤ax+c的解集為x≤1；
故答案為x≤1；
【變式7-2】（2022春?楚雄州期末）已知關(guān)于x的一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的圖象過點(diǎn)A（2，4）、B（0，3）．
（1）求一次函數(shù)y＝kx+b的解析式；
（2）若關(guān)于x的一次函數(shù)y＝mx+n（m＜0）的圖象也經(jīng)過點(diǎn)A，則關(guān)于x的不等式mx+n≥kx+b的解集為 x≤2 ．
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式解答即可；
（2）根據(jù)圖形，找出點(diǎn)A及其左邊的部分的x的取值范圍即可．
【解答】解：（1）∵直線y＝kx+b經(jīng)過點(diǎn)A（2，4）、B（0，3），
∴，
解方程組得，
∴直線AB的解析式為yx+3；
（2）∵直線y＝mx+n（m＜0）與直線AB相交于點(diǎn)A（2，4），
∴不等式mx+n≥kx+b的解集是x≤2．
故答案為：x≤2．
【變式7-3】（2022春?潮安區(qū)期末）已知直線y＝kx+5交x軸于A，交y軸于B且A坐標(biāo)為（5，0），直線y＝2x﹣4與x軸于D，與直線AB相交于點(diǎn)C．
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)圖象，寫出關(guān)于x的不等式2x﹣4＞kx+5的解集；
（3）求△ADC的面積．
【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法可求出直線AB的解析式，聯(lián)立直線AB、CD的解析式成方程組，通過解方程組即可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)直線AB、CD的上下位置關(guān)系結(jié)合點(diǎn)C的坐標(biāo)，即可得出不等式2x﹣4＞kx+5的解集；
（3）利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，再根據(jù)三角形的面積公式即可求出△ADC的面積．
【解答】解：（1）∵直線y＝kx+5經(jīng)過點(diǎn)A（5，0），
∴5k+5＝0，
解得：k＝﹣1，
∴直線AB的解析式為y＝﹣x+5．
聯(lián)立直線AB、CD的解析式成方程組，
，解得：，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，2）．
（2）觀察函數(shù)圖象可知：當(dāng)x＞3時(shí)，直線y＝2x﹣4在直線y＝﹣x+5的上方，
∴不等式2x﹣4＞kx+5的解集為x＞3．
（3）當(dāng)y＝2x﹣4＝0時(shí)，x＝2，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，0），
∴S△ACD（xA﹣xD）?yC（5﹣2）×2＝3．
【題型8 絕對(duì)值函數(shù)與不等式】
【例8】（2022秋?臨海市校級(jí)月考）小敏學(xué)習(xí)了一次函數(shù)后，嘗試著用相同的方法研究函數(shù)y＝a|x﹣b|+c的圖象和性質(zhì)．
（1）在給出的平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y＝|x﹣2|和y＝|x﹣2|+1的圖象；
（2）猜想函數(shù)y＝﹣|x+1|和y＝﹣|x+1|﹣3的圖象關(guān)系；
（3）嘗試歸納函數(shù)y＝a|x﹣b|+c的圖象和性質(zhì)；
（4）當(dāng)﹣2≤x≤5時(shí)，求y＝﹣2|x﹣3|+4的函數(shù)值范圍．
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖象的作圖步驟畫出圖象；
（2）根據(jù)圖象得出兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)系即可；
（3）根據(jù)圖象得出幾條信息即可；
（4）根據(jù)據(jù)一次函數(shù)圖象的增減性寫出若﹣2≤x≤5，函數(shù)值范圍．
【解答】解：（1）圖象如圖
（2）y＝﹣|x+1|﹣3的圖象可以由y＝﹣|x+1|的圖象向下平移3個(gè)單位得到；
（3）①y＝a|x﹣b|+c的圖象是一條折線；②該圖象關(guān)于x＝b對(duì)稱；③當(dāng)a＞0時(shí)，當(dāng)x＜b時(shí)，y隨x的增大而減少；當(dāng)x＞b時(shí)，y隨x的增大而增大；④當(dāng)a＜0時(shí)，當(dāng)x＜b時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)x＞b時(shí)，y隨x的增大而減少；⑤y＝a|x﹣b|+c可以由y＝a|x﹣b|平移得到，
⑥當(dāng)a＞0時(shí)，x＝b時(shí)，y的值最小，最小為c；當(dāng)a＜0時(shí)，x＝b時(shí)，y的值最大，最大為c；
（4）根據(jù)圖象知，y隨x的增大而減小，所以當(dāng)﹣2≤x≤5時(shí)，函數(shù)值范圍是﹣6≤y≤4．
【變式8-1】（2022秋?玄武區(qū)期末）請(qǐng)你用學(xué)習(xí)“一次函數(shù)”時(shí)積累的經(jīng)驗(yàn)和方法研究函數(shù)y＝|x|的圖象和性質(zhì)，并解決問題．
（1）完成下列步驟，畫出函數(shù)y＝|x|的圖象；
①列表、填空；
②描點(diǎn)；
③連線．
（2）觀察圖象，當(dāng)x ＞0 時(shí)，y隨x的增大而增大；
（3）根據(jù)圖象，不等式|x|x的解集為 ﹣1＜x＜3 ．
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)值填表即可；
（2）根據(jù)圖象得出函數(shù)性質(zhì)即可；
（3）根據(jù)圖象得出不等式的解集即可．
【解答】解：（1）①填表正確
②③畫函數(shù)圖象如圖所示：
（2）由圖象可得：x＞0時(shí)，y隨x的增大而增大；
（3）由圖象可得：不等式|x|x的解集為﹣1＜x＜3；
故答案為：＞0；﹣1＜x＜3
【變式8-2】（2022春?確山縣期末）畫出函數(shù)y＝|x|﹣2的圖象，利用圖象回答下列問題：
（1）寫出函數(shù)圖象上最低點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出函數(shù)y的最小值；
（2）利用圖象直接寫出不等式|x|﹣2＞0的解集；
（3）若直線y＝kx+b（k，b為常數(shù)，且k≠0）與y＝|x|﹣2的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)A（m，1），B（，），直接寫出關(guān)于x的方程|x|﹣2＝kx+b的解．
【分析】當(dāng)x＞0，畫出函數(shù)y＝x﹣2的圖象；當(dāng)x＜0，畫出函數(shù)y＝﹣x﹣2的圖象，從而得到函數(shù)y＝|x|﹣2的圖象；
（1）根據(jù)所畫圖象易得最低點(diǎn)的坐標(biāo)和函數(shù)y的最小值；
（2）利用函數(shù)圖象，寫出圖象在x軸上方所對(duì)應(yīng)的自變量的范圍即可；
（3）先利用y＝|x|﹣2確定A點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)兩直線的交點(diǎn)問題可確定關(guān)于x的方程|x|﹣2＝kx+b的解．
【解答】解：函數(shù)y＝|x|﹣2的圖象如圖，
（1）最低點(diǎn)坐標(biāo)是（0，﹣2），函數(shù)y的最小值是﹣2；
（2）x＞2或x＜﹣2；
（3）當(dāng)y＝1時(shí)，|x|﹣2＝1，解得x＝﹣3或x＝3（舍去），
所以交點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣3，1），
而交點(diǎn)B的坐標(biāo)為（，），
所以關(guān)于x的方程|x|﹣2＝kx+b的解為x＝﹣3或x．
【變式8-3】（2022春?重慶期末）在初中階段的函數(shù)學(xué)習(xí)中，我們經(jīng)歷了列表、描點(diǎn)、連線畫函數(shù)圖象，并結(jié)合圖象研究函數(shù)性質(zhì)的過程．以下是我們研究函數(shù)y＝|2x+4|+x+m性質(zhì)及其應(yīng)用的部分過程，請(qǐng)按要求完成下列各小題．
（1）如表是部分x，y的對(duì)應(yīng)值：
根據(jù)表中的數(shù)據(jù)可以求得m＝ ﹣2 ，n＝ ﹣1 ；
（2）請(qǐng)?jiān)诮o出的平面直角坐標(biāo)系中，描出以如表中各組對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn)，再根據(jù)描出的點(diǎn)畫出該函數(shù)的圖象；
（3）結(jié)合你所畫的函數(shù)圖象，寫出該函數(shù)的一條性質(zhì) ①x＜﹣2時(shí)，y隨x的增大而減小；②x≥﹣2時(shí)，y隨x的增大而增大；性質(zhì)不唯一，合理即可． ；
（4）若一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（﹣4，﹣2）和點(diǎn)（1，5），結(jié)合你所畫的函數(shù)圖象，直接寫出不等式kx+b＜|2x+4|+x+m的解集．
【分析】（1）代入一個(gè)已知點(diǎn)坐標(biāo)求出m，得到解析式，再把x＝﹣5代入解析式，求出n；
（2）先描點(diǎn)，再連線；
（3）從增減性等方面入手分析；
（4）兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)為（﹣4，﹣2）和（1，5），可以寫出不等式的解集．
【解答】解：（1）把x＝0代入解析式，得：4+m＝2，
得：m＝﹣2，
∴y＝|2x+4|+x﹣2，
∴x＝﹣5時(shí)，y＝﹣1，
∴n＝﹣1．
故答案為；﹣2，﹣1．
（2）圖象如右圖所示．
（3）①x＜﹣2時(shí)，y隨x的增大而減?。?br>②x≥﹣2時(shí)，y隨x的增大而增大；性質(zhì)不唯一，合理即可．
故答案為：①x＜﹣2時(shí)，y隨x的增大而減小；②x≥﹣2時(shí)，y隨x的增大而增大；性質(zhì)不唯一，合理即可．
∵一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（﹣4，﹣2）和點(diǎn)（1，5），
∴函數(shù)y＝kx+b（k≠0）與函數(shù)y＝|2x+4|+x+m的圖象交點(diǎn)為（﹣4，﹣2）和（1，5），
∴不等式kx+b＜|2x+4|+x+m的解集為：x＜﹣4或x＞1．
【題型9 一次函數(shù)與一元一次不等式組的解集】
【例9】（2022秋?青田縣月考）如圖，可以得出不等式組的解集是（ ）
A．x＜﹣1B．﹣1＜x＜0C．﹣1＜x＜4D．x＞4
【分析】根據(jù)直線y＝ax+b交x軸于點(diǎn)（4，0），直線y＝cx+d交x軸于點(diǎn)（﹣1，0），再結(jié)合圖象即可得出兩不等式的解集，進(jìn)而得出答案．
【解答】解：∵直線y＝ax+b交x軸于點(diǎn)（4，0），
∴ax+b＜0的解集為：x＞4，
∵直線y＝cx+d交x軸于點(diǎn)（﹣1，0），
∴cx+d＞0的解集為：x＞﹣1，
∴不等式組的解集是：x＞4．
故選：D．
【變式9-1】（2022春?南康區(qū)期末）如圖，直線y＝﹣x+m與直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為﹣2．則關(guān)于x的不等式組的解集為 ﹣6＜x＜﹣2 ．
【分析】利用圖象法即可解決問題．
【解答】解：∵直線y＝﹣x+m與直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為﹣2，
∴關(guān)于x的不等式﹣x+mx+3的解集為x＜﹣2，
∴yx+3＝0時(shí)，x＝﹣6，
∴關(guān)于x的不等式組的解集為﹣6＜x＜﹣2．
故答案為：﹣6＜x＜﹣2．
【變式9-2】（2022?富陽區(qū)二模）如圖，直線y＝kx+b經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，3），B（，0）兩點(diǎn)，則不等式組0＜kx+b＜﹣3x的解集為 x＜﹣1 ．
【分析】當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝﹣3x＝3，可知直線y＝kx+b與直線y＝﹣3x交于點(diǎn)A，根據(jù)圖象即可確定不等式組得取值范圍．
【解答】解：當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝﹣3x＝3，
∴直線y＝kx+b與直線y＝﹣3x交于點(diǎn)A（﹣1，3），
根據(jù)圖象可知，不等式組0＜kx+b＜﹣3x的解集為x＜﹣1，
故答案為：x＜﹣1．
【變式9-3】（2022?青羊區(qū)校級(jí)自主招生）如圖，直線y1＝ax+2與y2＝bx+4交于點(diǎn)N（1，a+2），將直線y1＝ax+2向下平移后得到y(tǒng)3＝ax﹣5，則能使得y3＜y2＜y1的x的所有整數(shù)值分別為（ ）
A．1，2，3B．2，3C．2，3，4D．3，4，5
【分析】先把N（1，a+2）代入y2＝bx+4得b＝a﹣2，再解不等式ax﹣5＜bx+4得x，接著利用函數(shù)圖象得到當(dāng)x＞1時(shí)，y2＜y1，從而得到x的范圍為1＜x，然后寫出此范圍內(nèi)的整數(shù)即可．
【解答】解：把N（1，a+2）代入y2＝bx+4得b+4＝a+2，b＝a﹣2，
解不等式ax﹣5＜bx+4，即ax﹣5＜（a﹣2）x+4得x，
因?yàn)楫?dāng)x＞1時(shí)，y2＜y1，
所以滿足y3＜y2＜y1的x的范圍為1＜x，
所以能使得y3＜y2＜y1的x的所有整數(shù)值分別為2、3、4．
故選：C．
【題型10 一次函數(shù)與不等式組中的陰影區(qū)域問題】
【例10】（2022?黃岡中學(xué)自主招生）如圖，表示陰影區(qū)域的不等式組為（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)圖形即可判斷陰影部分是由x＝0，y＝﹣2x+5，yx三條直線圍起來的區(qū)域，再根據(jù)一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系即可得出答案．
【解答】解：∵x≥0表示直線x＝0右側(cè)的部分，2x+y≤5表示直線y＝﹣2x+5左下方的部分，3x+4y≥9表示直線yx右上方的部分，
故根據(jù)圖形可知：滿足陰影部分的不等式組為：．
故選：D．
【變式10-1】（2022秋?包河區(qū)期中）圖中所示的陰影部分為哪一個(gè)不等式的解集（ ）
A．x﹣y≤﹣5B．x+y≥﹣5C．x+y≤5D．x﹣y≤5
【分析】陰影部分的邊緣可以看作是一條直線，可設(shè)其解析式并用待定系數(shù)法求之得y＝﹣x+5，即x+y＝5．因?yàn)殛幱安糠衷谥本€的下方，即可理解為陰影部分中任意一點(diǎn)（x，y）滿足x+y≤5．
【解答】解：如圖：
點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，5），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5，0）
則設(shè)直線AB的解析式為：y＝kx+b
∴，解之得：
∴直線AB的解析式為：y＝﹣x+5
則：x+y＝5，
即：直線上任意一點(diǎn)的橫坐標(biāo)x與縱坐標(biāo)y的和等于5
而陰影部分中任意一點(diǎn)（x，y）的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的和都小于5，
∴x+y≤5
故選：C．
【變式10-2】（2012春?南岸區(qū)期末）如圖，用不等式表示陰影區(qū)域?yàn)椋? ）
A．x+y≤0，且x﹣y≥0B．x+y≥0，且x﹣y≥0
C．x+y≥0，且x﹣y≤0D．x+y≤0，且x﹣y≤0
【分析】根據(jù)圖形即可判斷陰影部分是由y＝﹣x，y＝x圍起來的區(qū)域，再根據(jù)一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系即可得出答案．
【解答】解：∵陰影區(qū)域表示的點(diǎn)都在y＝x下方，
∴y≤x，即x﹣y≥0；
陰影區(qū)域表示的點(diǎn)都在y＝﹣x下方，
∴y≤﹣x，即x+y≤0．
故選：A．
【變式10-3】（2022春?廣水市期末）閱讀材料：在平面直角坐標(biāo)系中，二元一次方程x﹣y＝0的一個(gè)解可以用一個(gè)點(diǎn)（1，1）表示，二元一次方程有無數(shù)個(gè)解，以方程x﹣y＝0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)的全體叫作方程x﹣y＝0的圖象．一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，任何一個(gè)二元一次方程的圖象都是一條直線，我們可以把方程x﹣y＝0的圖象稱為直線x﹣y＝0．
直線x﹣y＝0把坐標(biāo)平面分成直線上方區(qū)域，直線上，直線下方區(qū)域三部分，如果點(diǎn)M（x0，y0）的坐標(biāo)滿足不等式x﹣y≤0，那么點(diǎn)M（x0，y0）就在直線x﹣y＝0的上方區(qū)域內(nèi)．特別地，x＝k（k常數(shù)）表示橫坐標(biāo)為k的點(diǎn)的全體組成的一條直線，y＝m（m為常數(shù)）表示縱坐標(biāo)為m的點(diǎn)的全體組成的一條直線．
請(qǐng)根據(jù)以上材料，探索完成以下問題：
（1）已知點(diǎn)A（2，1）、B（，）、C（，）、D（4，），其中在直線3x﹣2y＝4上的點(diǎn)有 A，C （只填字母）；請(qǐng)?jiān)賹懗鲋本€3x﹣2y＝4上一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo) （0，﹣2） ；
（2）已知點(diǎn)P（x，y）的坐標(biāo)滿足不等式組則所有的點(diǎn)P組成的圖形的面積是 12 ；
（3）已知點(diǎn)P（x，y）的坐標(biāo)滿足不等式組，請(qǐng)?jiān)谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中畫出所有的點(diǎn)P組成的圖形（涂上陰影），并求出上述圖形的面積．
【分析】（1）將四點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入3x﹣2y＝4中，如果等式左右兩邊相等，那么點(diǎn)在直線上，否則點(diǎn)不在直線上；
（2）首先畫出圖形，再根據(jù)矩形的面積公式計(jì)算即可；
（3）首先畫出圖形，再根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可．
【解答】解：（1）將點(diǎn)A（2，1）、B（，）、C（，）、D（4，），分別代入3x﹣2y＝4中，適合方程的有A，C，
當(dāng)x＝0時(shí)，﹣2y＝4，
∴y＝﹣2，
∴（0，﹣2）在直線3x﹣2y＝4上，
故答案為：A，C；（0，﹣2）；
（2）如圖，
面積為：4×3＝12；
故答案為：12；
（3）如圖，
面積為：1×1．x
…
﹣m2﹣1
1
2
…
y
…
﹣2
0
n2+1
…
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
3
1
1
2
3
…
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
3
2
1
0
1
2
3
…
x
…
﹣6
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
0
n
﹣2
﹣3
﹣4
﹣1
2
5
8
…

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初中數(shù)學(xué)浙教版（2024）八年級(jí)上冊電子課本

5.3 一次函數(shù)

版本： 浙教版（2024）

年級(jí)： 八年級(jí)上冊

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