注意事項(xiàng)：
本試卷滿分100分，試題共22題，選擇10道、填空6道、解答6道．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)等信息填寫(xiě)在試卷規(guī)定的位置．
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．（2022秋?九龍坡區(qū)校級(jí)月考）如圖，在直角坐標(biāo)系中，△OAB的頂點(diǎn)為O（0，0），A（4，3），B（3，0）．以點(diǎn)O為位似中心，在第三象限內(nèi)作與△OAB的位似比為的位似圖形△OCD，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（ ）
A．（﹣1，﹣1）B．C．D．（﹣2，﹣1）
【分析】作AH⊥x軸于H，CG⊥x軸于G，由△OCG∽△OAH，得，從而得出OG，CG的長(zhǎng)．
【解答】解：作AH⊥x軸于H，CG⊥x軸于G，
∴△OCG∽△OAH，
∴，
∵A（4，3），
∴OH＝4，AH＝3，
∵△BOA∽△DOC，且OA：OC＝3，
∴OG＝，CG＝1，
∴C（﹣，﹣1），
故選：B．
2．（2022秋?沙坪壩區(qū)校級(jí)期中）如圖，△ABC與△DEF位似，點(diǎn)O為位似中心，位似比為2：3，若△DEF的周長(zhǎng)為6，則△ABC的周長(zhǎng)是（ ）
A．16B．9C．6D．4
【分析】根據(jù)位似變換的定義、相似三角形的性質(zhì)計(jì)算即可．
【解答】解：∵△DEF和△ABC是位似圖形，位似比為2：3，
∴△DEF和△ABC的相似比為2：3，
∴△ABC的周長(zhǎng)＝×△DEF的周長(zhǎng)＝9，
故選：B．
3．（2022秋?二道區(qū)校級(jí)期中）如圖，以點(diǎn)O為位似中心，把△ABC放大到原來(lái)的2倍得到△A'B'C'．以下說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（ ）
A．△ABC∽△A'B'C'
B．點(diǎn)A、O、A'三點(diǎn)在同一條直線上
C．AO：AA'＝1：2
D．S△ABC：S△A'B'C′＝1：4
【分析】根據(jù)位似的性質(zhì)對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．
【解答】解：∵點(diǎn)O為位似中心，把△ABC中放大到原來(lái)的2倍得到△A'B'C'，
∴△ABC∽△A'B'C'，OA：OA′＝1：2，AB∥A′B′，點(diǎn)A、O、A'三點(diǎn)在同一條直線上，S△ABC：S△A′B′C′＝（）2＝．
故選：C．
4．（2022秋?雁塔區(qū)校級(jí)月考）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（﹣4，2），B（﹣6，﹣4），以原點(diǎn)O為位似中心，相似比為2，把△ABO放大，則點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B'的坐標(biāo)是（ ）
A．（﹣3，﹣2）B．（﹣3，﹣2）或（3，2）
C．（﹣12，﹣8）D．（﹣12，﹣8）或（12，8）
【分析】根據(jù)位似變換的性質(zhì)計(jì)算，得到答案．
【解答】解：∵以原點(diǎn)O為位似中心，相似比為2，把△ABO放大，B（﹣6，﹣4），
點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A'的坐標(biāo)為（﹣6×2，﹣4×2）或（﹣6×（﹣2），﹣4×（﹣2）），即點(diǎn)A'的坐標(biāo)為（﹣12，﹣8）或（12，8），
故選：D．
5．（2022秋?碑林區(qū)校級(jí)月考）如圖，△ABO三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（4，﹣6）、B（6，0）、O（0，0），以原點(diǎn)O為位似中心畫(huà)一個(gè)三角形△A'B'O'，使它與△ABO位似，且位似比是2：1，則點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A'的坐標(biāo)是（ ）
A．（2，﹣3）B．（8，﹣12）或（﹣8，12）
C．（2，﹣3）或（﹣2，3）D．（8，﹣12）
【分析】根據(jù)位似變換的性質(zhì)計(jì)算即可．
【解答】解：∵以原點(diǎn)O為位似中心，△A'B'O'與△ABO位似，且位似比是2：1，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，﹣6），
∴點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A'的坐標(biāo)為（4×2，﹣6×2）或（4×（﹣2），﹣6×（﹣2）），即（8，﹣12）或（﹣8，12），
故選：B．
6．（2022春?巴東縣期中）如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中，△ABC與△DEF是位似圖形，則△ABC與△DEF的相似比為（ ）
A．B．C．D．2
【分析】利用勾股定理求出AB，DE，再利用相似三角形的性質(zhì)求解，
【解答】解：∵△ABC與△DEF是位似圖形，AB，DE是對(duì)應(yīng)邊，AB＝2，DE＝，
∴相似比＝＝2，
故選：D．
7．（2022春?平原縣期末）在平面直角坐標(biāo)系中，橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)．如圖，由里向外數(shù)第2個(gè)正方形開(kāi)始，分別是由第1個(gè)正方形各頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都乘2，3，…得到的，請(qǐng)你觀察圖形，猜想由里向外第2022個(gè)正方形四條邊上的整點(diǎn)個(gè)數(shù)共有（ ）
A．2022個(gè)B．4044個(gè)C．6066個(gè)D．8088個(gè)
【分析】依次找到從內(nèi)到外的幾個(gè)正方形上的整數(shù)點(diǎn)，得到規(guī)律，由規(guī)律求得第n個(gè)正方形的整點(diǎn)個(gè)數(shù)．
【解答】解：由內(nèi)到外規(guī)律，第1個(gè)正方形邊上整點(diǎn)個(gè)數(shù)為4×1＝4（個(gè)），
第2個(gè)正方形邊上整點(diǎn)個(gè)數(shù)為4×2＝8（個(gè)），
第3個(gè)正方形邊上整點(diǎn)個(gè)數(shù)為4×3＝12（個(gè)），
第4個(gè)正方形邊上整點(diǎn)個(gè)數(shù)為4×4＝16（個(gè)），
???
故第n個(gè)正方形邊上的整點(diǎn)個(gè)數(shù)為4n個(gè)．
由此可得，由里向外第2022個(gè)正方形四條邊上的整點(diǎn)個(gè)數(shù)為：4×2022＝8088．
故選：D．
8．（2022春?萊蕪區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OEFG與矩形ABCD是位似圖形，其中對(duì)應(yīng)點(diǎn)C和F的坐標(biāo)分別為（4，4），（﹣2，1），則位似中心的坐標(biāo)是（ ）
A．（0，1.5）B．（0，2）C．D．（0，2.5）
【分析】根據(jù)位似圖形的概念得到FG∥BC，得到△PGF∽△PCD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出PC，得到答案．
【解答】解：根據(jù)題意得P為位似中心，
由題意得，CD＝4，GF＝2，DG＝3，OG＝1，
∵矩形OEFG與矩形ABCD是位似圖形，
∴CD∥GF，
∴△CDP∽△FGP，
∴＝，即 ＝，
解得，GP＝1，
∴OP＝2，
∴位似中心P的坐標(biāo)為（0，2）．
故選：B．
9．（2021秋?陵城區(qū)期末）如圖，已知△ABC和△EDC是以點(diǎn)C為位似中心的位似圖形，且△ABC和△EDC的位似比為1：2，△EDC的周長(zhǎng)為8，則△ABC的周長(zhǎng)是（ ）
A．2B．4C．8D．16
【分析】根據(jù)位似變換的性質(zhì)得到△ABC∽△EDC，根據(jù)相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比計(jì)算即可．
【解答】解：∵△ABC和△EDC是以點(diǎn)C為位似中心的位似圖形，
∴△ABC∽△EDC，
∵△ABC和△EDC的位似比為1：2，
∴△ABC和△EDC的相似比為1：2，
則△ABC與△EDC的周長(zhǎng)比為1：2，
∵△DEC周長(zhǎng)為8，
∴△ABC的周長(zhǎng)是：4．
故選：B．
10．（2018秋?越秀區(qū)校級(jí)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)正方形ABCD及其內(nèi)部的每個(gè)點(diǎn)進(jìn)行如下操作：把每個(gè)點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)都乘以同一個(gè)實(shí)數(shù)a，將得到的點(diǎn)先向右平移m個(gè)單位，再向上平移n個(gè)單位（m＞0，n＞0），得到正方形A'B'C'D'及其內(nèi)部的點(diǎn)，其中點(diǎn)A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A'，B'．已知正方形ABCD內(nèi)部的一個(gè)點(diǎn)F經(jīng)過(guò)上述操作后得到的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F'與點(diǎn)F重合，則點(diǎn)F的坐標(biāo)是（ ）
A．（1，4）B．（1，5）C．（﹣1，4）D．（4，1）
【分析】首先根據(jù)點(diǎn)A到A′，B到B′的點(diǎn)的坐標(biāo)可得方程組；，解可得a、m、n的值，設(shè)F點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），點(diǎn)F′點(diǎn)F重合可列出方程組，再解可得F點(diǎn)坐標(biāo)．
【解答】解：由點(diǎn)A到A′，可得方程組；
由B到B′，可得方程組，
解得，
設(shè)F點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），點(diǎn)F′點(diǎn)F重合得到方程組，
解得，
即F（1，4）．
故選：A．
二．填空題（共6小題）
11．（2022?鐘樓區(qū)校級(jí)模擬）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在x軸正半軸上，且OA＝4，∠BOA＝30°，∠B＝90°，以點(diǎn)O為位似中心，在第一象限內(nèi)將△AOB放大，使相似比為2：1，則點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′的坐標(biāo)為 （6，2） ．
【分析】作BE⊥OA于E，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的定義求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，再根據(jù)位似變換的性質(zhì)解答即可．
【解答】解：作BE⊥OA于E，
則∠BEO＝90°，
∵∠ABO＝90°，∠BOA＝30°，
∴OB＝OA?cs30°＝4×＝2，
∴BE＝OB＝，OE＝OB?cs30°＝2×＝3，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為：（3，），
∵以點(diǎn)O為位似中心，在第一象限內(nèi)將△AOB放大，使相似比為2：1，
∴點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B'的坐標(biāo)為：（3×2，×2），即（6，2），
故答案為：（6，2）．
12．（2022?朝陽(yáng)區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（﹣1，2）、B（0，2），C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為C（0，﹣1）、D（2，﹣1）．若線段AB和線段CD是位似圖形，且位似中心在y軸上，則位似中心的坐標(biāo)為 （0，1） ．
【分析】連接AD交BC于E，根據(jù)坐標(biāo)與圖形性質(zhì)分別求出AB、CD、BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)列出比例式，求出BE，進(jìn)而求出OE，得到答案．
【解答】解：連接AD交BC于E，則點(diǎn)E為位似中心，
∵A（﹣1，2）、B（0，2），C（0，﹣1）、D（2，﹣1）．
∴AB＝1，CD＝2，BC＝3，
∵線段AB和CD是位似圖形，
∴AB∥CD，
∴＝，即＝，
解得BE＝1，
∴OE＝OB﹣BE＝1，
∴位似中心點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，1），
故答案為：（0，1）．
13．（2022?濰坊）《墨子?天文志》記載：“執(zhí)規(guī)矩，以度天下之方圓．”度方知圓，感悟數(shù)學(xué)之美．如圖，正方形ABCD的面積為4，以它的對(duì)角線的交點(diǎn)為位似中心，作它的位似圖形A'B'C'D'，若A'B'：AB＝2：1，則四邊形A'B'C'D'的外接圓的周長(zhǎng)為 4π ．
【分析】如圖，連接B′D′．利用相似多邊形的性質(zhì)求出正方形A′B′C′D′的面積，求出邊長(zhǎng)，再求出B′D′可得結(jié)論．
【解答】解：如圖，連接B′D′．設(shè)B′D′的中點(diǎn)為O．
∵正方形ABCD∽正方形A′B′C′D′，相似比為1：2，
又∵正方形ABCD的面積為4，
∴正方形A′B′C′D′的面積為16，
∴A′B′＝A′D′＝4，
∵∠B′A′D′＝90°，
∴B′D′＝A′B′＝4，
∴正方形A′B′C′D′的外接圓的周長(zhǎng)＝4π，
故答案為：4π．
14．（2022?青羊區(qū)校級(jí)模擬）如圖，小“魚(yú)”與大“魚(yú)”是位似圖形，如果小“魚(yú)”上一個(gè)“頂點(diǎn)”的坐標(biāo)為（a，﹣b），那么大“魚(yú)”上對(duì)應(yīng)“頂點(diǎn)”的坐標(biāo)為 （﹣2a，2b） ．
【分析】先找一對(duì)應(yīng)點(diǎn)是如何變化，那么所求點(diǎn)也符合這個(gè)變化規(guī)律．
【解答】解：小魚(yú)最大魚(yú)翅的頂端坐標(biāo)為（5，3），大魚(yú)對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣10，﹣6）；
小“魚(yú)”上一個(gè)“頂點(diǎn)”的坐標(biāo)為（a，﹣b），那么大“魚(yú)”上對(duì)應(yīng)“頂點(diǎn)”的坐標(biāo)為（﹣2a，2b）．
故答案為：（﹣2a，2b）．
15．（2015秋?樂(lè)亭縣期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC和△A′B′C′是以坐標(biāo)原點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，且點(diǎn)B（3，1），B′（6，2）．
（1）若點(diǎn)A（，3），則A′的坐標(biāo)為 （5，6） ；
（2）△ABC與△A′B′C′的相似比等于 1：2 ；
（3）若△ABC的面積為m，則△A′B′C′的面積＝ 4m ．
【分析】（1）利用點(diǎn)B（3，1），B′（6，2）即可得出位似比進(jìn)而得出A′的坐標(biāo)；
（2）利用對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)的變化即可得出相似比；
（3）利用位似圖形面積比等于相似比的平方進(jìn)而得出答案．
【解答】解：（1）∵△ABC和△A′B′C′是以坐標(biāo)原點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，且點(diǎn)B（3，1），B′（6，2），
∴若點(diǎn)A（，3），則A′的坐標(biāo)為：（5，6）；
故答案為：（5，6）；
（2）∵△ABC和△A′B′C′是以坐標(biāo)原點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，且點(diǎn)B（3，1），B′（6，2），
∴△ABC與△A′B′C′的相似比等于：1：2；
故答案為：1：2；
（3）∵△ABC與△A′B′C′的相似比等于：1：2，
∴若△ABC的面積為m，則△A′B′C′的面積＝4m．
故答案為：4m．
16．（2019?本溪二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形A1B1C1A2與正方形A2B2C2A3是以原點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，且相似比為，點(diǎn)A1，A2，A3，…在x軸上，延長(zhǎng)A3C2交射線OB1于點(diǎn)B3，以A3B3為邊長(zhǎng)作正方形A3B3C3A4；延長(zhǎng)A4C3交射線OB1于點(diǎn)B4，以A4B4為邊長(zhǎng)作正方形A4B4C4A5…，分別連接B1C2，B2C3，B3C4，…，得到△B1B2C2，△B2B3C3，△B3B4C4，…按照此規(guī)律繼續(xù)下去，若OA1＝2，則△B2018B2019C2019的面積為 42018 ．
【分析】根據(jù)已知條件得到OA1B1∽△OA2B2，求得＝＝，得到OA2＝4求得B1B2＝B1C1＝2，得到OA2＝A2B2＝B2C2＝4，過(guò)C2作C2H⊥B2B3，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到C2H＝B2C2＝2，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論．
【解答】解：∵正方形A1B1C1A2與正方形A2B2C2A3是以原點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，且相似比為，
∴＝，
∵A1B1⊥x軸，A2B2⊥x軸，
∴A1B1∥A2B2，
∴OA1B1∽△OA2B2，
∴＝＝，
∵OA1＝2，
∴OA2＝4，
∴A1A2＝2，
∴B1C1＝A1A2＝2，
∴B1B2＝B1C1＝2，
∵OA1＝A1A2＝A1B1＝2，
∴∠B1OA1＝45°，
∴OA2＝A2B2＝B2C2＝4，
過(guò)C2作C2H⊥B2B3于H，
∴C2H＝B2C2＝2，
∴△B1B2C2的面積＝B1B2?C2H＝×＝4＝41，
同理，△B2B3C3的面積＝×4×4＝16＝42，
△B3B4C4的面積＝88＝64＝43…，
∴△B2018B2019C2019的面積＝42018，
故答案為：42018．
三．解答題（共6小題）
17．（2022秋?天橋區(qū)校級(jí)月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，以點(diǎn)O為位似中心，△A1B1C1和△ABC相似比為2：1，在網(wǎng)格中畫(huà)出新圖象△A1B1C1，若每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)均為1，請(qǐng)寫(xiě)出A1，B1，C1的坐標(biāo)．
【分析】利用位似變換的性質(zhì)分別作出A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A1，B1，C1即可．
【解答】解：如圖，△A1B1C1即為所求，A1（0，8），B1（6，6），C1（6，2）．
18．（2022?興慶區(qū)校級(jí)三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC和△A1B1C1關(guān)于點(diǎn)E成中心對(duì)稱，
（1）在圖中標(biāo)出點(diǎn)E，且點(diǎn)E的坐標(biāo)為 （0，﹣1） ；
（2）點(diǎn)P（a，b）是△ABC邊AB上一點(diǎn)，△ABC經(jīng)過(guò)平移后點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P′的坐標(biāo)為（a﹣6，b+2），請(qǐng)畫(huà)出上述平移后的△A2B2C2，此時(shí)A2的坐標(biāo)為 （﹣3，4） ，C2的坐標(biāo)為 （﹣2，2） ；
（3）若△A1B1C1和△A2B2C2關(guān)于點(diǎn)F成位似三角形，則點(diǎn)F的坐標(biāo)為 （﹣3，0） ．
【分析】（1）根據(jù)中心對(duì)稱的性質(zhì)，任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的中點(diǎn)即為對(duì)稱中心E；
（2）將△ABC向左平移6個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，即可得到△A2B2C2，根據(jù)平移的規(guī)律，可分別寫(xiě)出點(diǎn)A2和C2的坐標(biāo)；
（3）根據(jù)位似三角形的定義求出點(diǎn)F的坐標(biāo)．
【解答】解：（1）如圖，線段BB1的中點(diǎn)即為點(diǎn)E，
∵B（1，1），B1（﹣1，﹣3）
∴E（0，﹣1）；
（2）如圖，
∵點(diǎn)P（a，b）是△ABC邊AB上一點(diǎn)，△ABC經(jīng)過(guò)平移后點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P′的坐標(biāo)為（a﹣6，b+2），
又∵A（3，2），C（4，0），
∴A2（﹣3，4），C2（﹣2，2）；
（3）∵對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)A1A2與B1B2的連線交于點(diǎn)（﹣3，0），
∴F（﹣3，0）．
19．（2019春?路北區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，長(zhǎng)方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)分別為（1，1），（1，2），（﹣2，2），（﹣2，1）．對(duì)該長(zhǎng)方形及其內(nèi)部的每一個(gè)點(diǎn)都進(jìn)行如下操作：把每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)都乘以同一個(gè)實(shí)數(shù)a，縱坐標(biāo)都乘以3，再將得到的點(diǎn)向右平移m（m＞0）個(gè)單位，向下平移2個(gè)單位，得到長(zhǎng)方形A′B′C′D′及其內(nèi)部的點(diǎn)，其中點(diǎn)A，B，C，D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A′，B′，C′，D′．
（1）點(diǎn)A′的橫坐標(biāo)為 a+m （用含a，m的式子表示）．
（2）點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（3，1），點(diǎn)C′的坐標(biāo)為（﹣3，4），
①求a，m的值；
②若對(duì)長(zhǎng)方形ABCD內(nèi)部（不包括邊界）的點(diǎn)E（0，y）進(jìn)行上述操作后，得到的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E′仍然在長(zhǎng)方形ABCD內(nèi)部（不包括邊界），求y的取值范圍．
【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)A′的坐標(biāo)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)填空；
（2）①根據(jù)平移規(guī)律得到：a+m＝3，﹣2a+m＝﹣3，聯(lián)立方程組，求解；
②可知無(wú)論y取何值，點(diǎn)E'一定落在AB上．
【解答】解：（1）點(diǎn)A′的橫坐標(biāo)為 a+m
故答案是：a+m．
（2）①由A（1，1），A′（3，1），可得a+m＝3．①
由C（﹣2，2），（﹣3，4），可得﹣2a+m＝﹣3．②
由①，②得
解得
∴a＝2，m＝1．
②根據(jù)題意，得E'（1，3y﹣2）．可知無(wú)論y取何值，點(diǎn)E'一定落在AB上．所以不存在滿足題意的y值．
20．（2021秋?樂(lè)平市校級(jí)月考）如圖所示，由位似的正△A1B1C1，正△A2B2C2，正△A3B3C3，…正△AnBn?n組成的相似圖形，其中第一個(gè)△A1B1C1的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)O是B1C1中點(diǎn)，A2是OA1的中點(diǎn)，A3是OA2的中點(diǎn)…An是OAn﹣1的中點(diǎn)，頂點(diǎn)B2，B3，…，Bn．C2，C3，…，?n都在B1C1邊上．
（1）試寫(xiě)出△A10B10C10和△A7B7C7的相似比和位似中心；
（2）求出第n個(gè)三角形△AnBn?n（n≥2）的周長(zhǎng)．
【分析】（1）由于點(diǎn)O是B1C1中點(diǎn)，A2是OA1的中點(diǎn)，則可得到正△A2B2C2的邊長(zhǎng)為，正△A3B3C3的邊長(zhǎng)為（）2，利用此規(guī)律可得第n個(gè)三角形△AnBn?n（n≥2）的邊長(zhǎng)為（）n﹣1，所以正△A10B10C10的邊長(zhǎng)為（）9，正△A7B7C7的邊長(zhǎng)為（）6，然后根據(jù)對(duì)應(yīng)邊的比等于相似比即可得到△A10B10C10和△A7B7C7的相似比，再根據(jù)位似的定義確定位似中心；
（2）利用第n個(gè)三角形△AnBn?n（n≥2）的邊長(zhǎng)為（）n﹣1易得第n個(gè)三角形△AnBn?n（n≥2）的周長(zhǎng)．
【解答】解：（1）∵△A1B1C1的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)O是B1C1中點(diǎn)，A2是OA1的中點(diǎn)，
∴正△A2B2C2的邊長(zhǎng)為，
正△A3B3C3的邊長(zhǎng)為（）2，
正△A10B10C10和的邊長(zhǎng)為（）9，正△A7B7C7的邊長(zhǎng)為（）6，
∴正△A10B10C10和正△A7B7C7的相似比＝＝；它們的位似中心為點(diǎn)O；
（2）∵第n個(gè)三角形△AnBn?n（n≥2）的邊長(zhǎng)為（）n﹣1，
∴第n個(gè)三角形△AnBn?n（n≥2）的周長(zhǎng)為．
21．（2020?如皋市一模）如圖，△ABC中，P′是邊AB上一點(diǎn)，四邊形P'Q'M'N'是正方形，點(diǎn)Q'，M'在邊BC上，點(diǎn)N′在△ABC內(nèi)．連接BN′，并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)N作NM⊥BC于點(diǎn)M，NP⊥MN交AB于點(diǎn)P，PQ⊥BC于點(diǎn)Q．
（1）求證：四邊形PQMN為正方形；
（2）若∠A＝90°，AC＝1.5m，△ABC的面積＝1.5m2．求PN的長(zhǎng)．
【分析】（1）易得四邊形PQMN為矩形，再利用平行線分線段成比例得到＝＝，加上P′N′＝M′N′，所以PN＝MN，從而可判斷四邊形PQMN為正方形；
（2）解：作AD⊥BC于D，AD交PN于E，如圖，利用三角形面積公式先計(jì)算出AB＝2，再利用勾股定理計(jì)算出BC＝2.5，接著利用面積法求出AD＝，設(shè)PN＝x，則PQ＝DE＝x，AE＝﹣x，證明△APN∽△ABC，然后利用相似比得到＝，最后利用相似比求出x即可．
【解答】（1）證明：∵NM⊥BC，NP⊥MN，PQ⊥BC，
∴四邊形PQMN為矩形，
∵四邊形P'Q'M'N'是正方形，
∴PN∥P′N′，
∴＝，
∵M(jìn)N∥M′N′，
∴＝，
∴＝，
而P′N′＝M′N′，
∴PN＝MN，
∴四邊形PQMN為正方形；
（2）解：作AD⊥BC于D，AD交PN于E，如圖，
∵△ABC的面積＝1.5，
∴AB?AC＝1.5，
∴AB＝2，
∴BC＝＝2.5，
∵BC?AD＝1.5，
∴AD＝＝，
設(shè)PN＝x，則PQ＝DE＝x，AE＝﹣x，
∵PN∥BC，
∴△APN∽△ABC，
∴＝，即＝，解得x＝，
即PN的長(zhǎng)為m．
22．（2014秋?北京校級(jí)月考）如圖1，給定銳角三角形ABC，小明希望畫(huà)正方形DEFG，使D，E位于邊BC上，F(xiàn)，G分別位于邊AC，AB上，他發(fā)現(xiàn)直接畫(huà)圖比較困難，于是他先畫(huà)了一個(gè)正方形HIJK，使得點(diǎn)H，I位于射線BC上，K位于射線BA上，而不要求J必須位于AC上．這時(shí)他發(fā)現(xiàn)可以將正方形HIJK通過(guò)放大或縮小得到滿足要求的正方形DEFG．
閱讀以上材料，回答小明接下來(lái)研究的以下問(wèn)題：
（1）如圖2，給定銳角三角形ABC，畫(huà)出所有長(zhǎng)寬比為2：1的長(zhǎng)方形DEFG，使D，E位于邊BC上，F(xiàn)，G分別位于邊AC，AB上．
（2）已知三角形ABC的面積為36，BC＝12，在第（1）問(wèn)的條件下，求長(zhǎng)方形DEFG的面積．
【分析】（1）如圖2，先畫(huà)長(zhǎng)方形HIJK，使得HI＝2HK，并且H，I位于射線BC上，K位于射線BA上，連接BJ并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)F，再將長(zhǎng)方形HIJK通過(guò)放大可得到滿足要求的長(zhǎng)方形DEFG；如備用圖，先畫(huà)長(zhǎng)方形HIJK，使得HK＝2HI，并且H，I位于射線BC上，K位于射線BA上，連接BJ并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)F，再將長(zhǎng)方形HIJK通過(guò)放大可得到滿足要求的長(zhǎng)方形DEFG；
（2）作△ABC的高AM，交GF于N．由三角形ABC的面積為36，求出AM＝6．再設(shè)AN＝x，由GF∥BC，得出△AGF∽△ABC，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比列出比例式＝，由此求出x的值，進(jìn)而求解即可．
【解答】解：（1）如圖2與備用圖1，長(zhǎng)方形DEFG即為所求作的圖形；
（2）在長(zhǎng)方形DEFG中，如果DE＝2DG，如備用圖2，作△ABC的高AM，交GF于N．
∵三角形ABC的面積＝BC?AM＝×12AM＝36，
∴AM＝6．
設(shè)AN＝x，則MN＝6﹣x，DG＝MN＝6﹣x，DE＝GF＝2（6﹣x）＝12﹣2x．
∵GF∥BC，
∴△AGF∽△ABC，
∴＝，
∴＝，
解得x＝3，
∴DG＝6﹣x＝3，DE＝2DG＝6，
∴長(zhǎng)方形DEFG的面積＝6×3＝18；
在長(zhǎng)方形DEFG中，如果DG＝2DE，同理求出x＝，
∴DG＝6﹣x＝，DE＝DG＝，
∴長(zhǎng)方形DEFG的面積＝×＝．
故長(zhǎng)方形DEFG的面積為18或．

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