01 模型概述
1．拉格朗日點：拉格朗日點指在兩大物體引力作用下，能使小物體穩(wěn)定的點.
①日地間的拉格朗日點：
②地月間的拉格朗日點
2．黑洞
黑洞是一種密度極大、引力極大的天體，以至于光都無法逃逸，科學(xué)家一般通過觀測繞黑洞運行的天體的運動規(guī)律間接研究黑洞。當(dāng)天體的逃逸速度(逃逸速度為其第一宇宙速度的倍)超過光速時，該天體就是黑洞。
3．潮汐
潮汐：海面在外力作用下產(chǎn)生的周期性的升降現(xiàn)象。
白天的海面上升為潮，晚上的海面上升為汐。
3. 星球的瓦解問題
當(dāng)星球自轉(zhuǎn)越來越快時，星球?qū)Α俺嗟馈鄙系奈矬w的引力不足以提供向心力時，物體將會“飄起來”，進(jìn)一步導(dǎo)致星球瓦解，瓦解的臨界條件是“赤道”上的物體所受星球的引力恰好提供向心力，即，得。當(dāng)時，星球瓦解，當(dāng)時，星球穩(wěn)定運行。
02 典題攻破
1. 拉格朗日點相關(guān)問題
【典型題1】（2024·寧夏銀川·模擬預(yù)測）2023年10月9日，先進(jìn)天基太陽天文臺，即“夸父一號”科學(xué)衛(wèi)星迎來一周歲生日。“夸父一號”已平穩(wěn)在軌運行365天。已知“夸父一號”位于日地連線、距地球約150萬公里的日地系統(tǒng)的拉格朗日點，在該點幾乎不消耗燃料就可以和地球一起以相同角速度繞太陽做勻速圓周運動，如圖所示。關(guān)于“夸父一號”和地球一起運行過程中，下列說法正確的是（ ）
A．“夸父一號”受力平衡
B．“夸父一號”繞太陽運行的周期是24小時
C．“夸父一號”繞太陽運行的加速度小于地球繞太陽運行的加速度
D．“夸父一號”繞太陽做圓周運動的向心力僅由太陽的引力提供
【答案】C
【詳解】A．“夸父一號”做勻速圓周運動，受力不平衡，故A錯誤；
B．“夸父一號”繞太陽運行的周期等于地球的公轉(zhuǎn)周期，不是24小時，故B錯誤；
C．“夸父一號”繞太陽運行的角速度等于地球繞太陽運行的角速度，根據(jù)
由于“夸父一號”的軌道半徑小于地球的軌道半徑，則“夸父一號”繞太陽運行的加速度小于地球繞太陽運行的加速度，故C正確；
D．“夸父一號”繞太陽做圓周運動的向心力由太陽引力和地球引力的合力提供，故D錯誤。
故選C。
2. 黑洞問題
【典型題2】（2024·安徽安慶·二模）史瓦西半徑是任何具有質(zhì)量的物質(zhì)都存在的一個臨界半徑特征值。該值的含義是：如果特定質(zhì)量的物質(zhì)被壓縮到此臨界半徑時，該物質(zhì)就被壓縮成一個黑洞，即此時它的逃逸速度等于光速。已知某星球的逃逸速度為其第一宇宙速度的倍，該星球半徑，表面重力加速度g取，不考慮星球的自轉(zhuǎn)，則該星球的史瓦西半徑約為（ ）
A．9納米B．9毫米C．9厘米D．9米
【答案】B
【詳解】地球表面附近有
臨界狀態(tài)光速恰好等于其逃逸速度，可得第一宇宙速度可表示為
根據(jù)萬有引力提供向心力可得
聯(lián)立解得
故選B。
3.潮汐問題
【典型題3】（2021·北京西城·一模）地球剛誕生時自轉(zhuǎn)周期約是8小時，因為受到月球潮汐的影響，自轉(zhuǎn)在持續(xù)減速，現(xiàn)在地球自轉(zhuǎn)周期是24小時。與此同時，在數(shù)年、數(shù)十年的時間內(nèi)，由于地球板塊的運動、地殼的收縮、海洋、大氣等一些復(fù)雜因素以及人類活動的影響，地球的自轉(zhuǎn)周期會發(fā)生毫秒級別的微小波動?？茖W(xué)研究指出，若不考慮月球的影響，在地球的總質(zhì)量不變的情況下，地球上的所有物質(zhì)滿足m1ωr12 + m2ωr22 + ….+ miωri2 = 常量，其中m1、m2、…… mi表示地球各部分的質(zhì)量，r1、r2、…… ri為地球各部分到地軸的距離，ω為地球自轉(zhuǎn)的角速度，如圖所示。根據(jù)以上信息，結(jié)合所學(xué)，判斷下列說法正確的是（ ）
A．月球潮汐的影響使地球自轉(zhuǎn)的角速度變大
B．若地球自轉(zhuǎn)變慢，地球赤道處的重力加速度會變小
C．若僅考慮A處的冰川融化，質(zhì)心下降，會使地球自轉(zhuǎn)周期變小
D．若僅考慮B處板塊向赤道漂移，會使地球自轉(zhuǎn)周期變小
【答案】C
【詳解】A．地球自轉(zhuǎn)周期與角速度的關(guān)系為
由題意知T變大，則自轉(zhuǎn)的角速度變小，選項A錯誤；
B．在赤道處萬有引力提供向心力和重力有
若地球自轉(zhuǎn)變慢，即角速度變小，則重力加速度會變大，選項B錯誤；
C．由m1ωr12 + m2ωr22 + ….+ miωri2 = 常量知，質(zhì)心下降，會使變大，T變小，選項C正確；
D．若B處板塊向赤道漂移，相當(dāng)于地球一部分半徑變大，角速度變小，則周期變大，選項D錯誤。
故選C。
4.星球瓦解問題
【典型題4】（2019·四川遂寧·模擬預(yù)測）假設(shè)某宇航員在地球上可以舉起m1=50kg的物體，他在某星球表面上可以舉起m2=100kg的物體，若該星球半徑為地球半徑的4倍，則（ ）
A．地球和該星球質(zhì)量之比為
B．地球和該星球第一宇宙速度之比為
C．地球和該星球瓦解的角速度之比為
D．地球和該星球近地衛(wèi)星的向心加速度之比為
【答案】C
【詳解】AD．人的作用力是固定的，則由：F=m1g地=m2g星
而近地衛(wèi)星的向心加速度和重力加速度近似相等；根據(jù)：
則：
AD錯誤；
B．第一宇宙速度
解得：
則：
B錯誤；
C．星球的自轉(zhuǎn)角速度足夠快，地表的重力為0時星球瓦解，根據(jù)：
得：
C正確。
故選C。
03 針對訓(xùn)練
一、單選題(本題共8小題。每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的,不選、多選、錯選均不得分)
1．（2024·山東淄博·模擬預(yù)測）為順利完成月球背面的“嫦娥六號 ”探測器與地球間的通信，需在地月拉格朗日L2點處定位某一衛(wèi)星，該衛(wèi)星可以在幾乎不消耗燃料的情況下與月球同步繞地球做勻速圓周運動。已知地球、月球球心間的距離約為L2點與月球球心距離的 6倍，如圖所示。則地球與月球質(zhì)量的比值約為（ ）
A．36B．49C．83D．216
【答案】C
【詳解】設(shè)地月距離為L，則對月球
對衛(wèi)星
聯(lián)立解得
故選C。
2．（2024·黑龍江吉林·模擬預(yù)測）如圖所示，“鵲橋”中繼星處于地月拉格朗日點上時，可以和月球保持同步繞地球做勻速圓周運動。地球、月球和“鵲橋”中繼星均可視為質(zhì)點，忽略地球、月球以外的天體對”鵲橋”中繼星的引力，忽略“鵲橋”中繼星對月球的影響，則當(dāng)“鵲橋”中繼星處于拉格朗日點上時，下列選項正確的是（ ）
A．中繼星繞地球做圓周運動所需的向心力僅來源于地球?qū)λ囊?br>B．中繼星繞地球做圓周運動的周期大于月球繞地球做圓周運動的周期
C．中繼星繞地球做圓周運動的向心加速度小于月球繞地球做圓周運動的向心加速度
D．中繼星繞地球做圓周運動的線速度大于月球繞地球做圓周運動的線速度
【答案】D
【詳解】A．中繼星繞地球做圓周運動所需的向心力來源于地球和月球?qū)λ囊Φ暮狭?，故A錯誤；
B．由于中繼衛(wèi)星與月球具有相同的角速度，所以中繼星繞地球做圓周運動的周期等于月球繞地球做圓周運動的周期，故B錯誤；
C．由于中繼衛(wèi)星與月球具有相同的角速度，根據(jù)
可知，中繼星繞地球做圓周運動的向心加速度大于月球繞地球做圓周運動的向心加速度，故C錯誤；
D．由于中繼衛(wèi)星與月球具有相同的角速度，根據(jù)
可知，中繼星繞地球做圓周運動的線速度大于月球繞地球做圓周運動的線速度，故D正確。
故選D。
3．（2024·北京大興·三模）2024年，我國探月計劃第六個探測器嫦娥六號將于上半年出征月球，并且飛往月球背面采集土壤并返回地球。如圖所示，為地球的球心、為月球的球心，圖中的P點為地—月系統(tǒng)的一個拉格朗日點，在該點的物體能夠保持和地球、月球相對位置關(guān)系不變，以和月球相同的角速度繞地球勻速圓周運動。地球上的人總是只能看到月球的正面，嫦娥六號將要達(dá)到的卻是月球背面的M點，為了保持和地球的聯(lián)系，我國于4月12日成功發(fā)射鵲橋二號中繼通信衛(wèi)星，讓其在以P點為圓心、垂直于地月連線的圓軌道上運動。下列說法正確的是（ ）
A．我們無法看到月球的背面，是因為月球的自轉(zhuǎn)周期和公轉(zhuǎn)周期相同
B．發(fā)射嫦娥六號時，發(fā)射速度要超過第二宇宙速度，讓其擺脫地球引力的束縛
C．以地球球心為參考系，鵲橋二號中繼衛(wèi)星做勻速圓周運動
D．若“鵲橋二號”和月球的公轉(zhuǎn)軌道半徑之比為n，那么它們的公轉(zhuǎn)周期之比為
【答案】A
【詳解】A．看不到月球的背面，就是因為月球的自轉(zhuǎn)周期和公轉(zhuǎn)周期相同，故A正確；
B．嫦娥六號并沒擺脫地球引力的束縛，因此發(fā)射速度不會超過第二宇宙速度，故B錯誤；
C．以地球為參考系，鵲橋二號一方面繞地月系統(tǒng)共同的圓心做勻速圓周運動，另一方面繞P點做勻速圓周運動，因此以地心為參考系，它是兩個勻速圓周運動的合運動，故C錯誤；
D．鵲橋二號中繼衛(wèi)星受地球和月球共同引力的作用，月球只受地球的引力作用，則周期關(guān)系不滿足開普勒第三定律，故D錯誤。
故選A。
4．（2024·北京海淀·模擬預(yù)測）為簡單計，把地-月系統(tǒng)看成地球靜止不動而月球繞地球做勻速圓周運動，如圖所示，虛線為月球軌道。在地月連線上存在一些所謂“拉格朗日點”的特殊點。在這些點，質(zhì)量極小的物體（如人造衛(wèi)星）僅在地球和月球引力共同作用下可以始終和地球、月球在同一條線上。則圖中四個點可能是“拉格朗日點”的是（ ）
A．A、B、C點B．A、B、D點C．A、C、D點D．B、C、D點
【答案】C
【詳解】B點處的物體受到地球與月球的萬有引力的方向相同，而B到地球的之間小于月球到地球的距離，根據(jù)萬有引力提供向心力可知，B處物體的向心加速度要大于月球的向心加速度，不能與月球具有相等的角速度，故B點不可能是“拉格朗日點”，同理分析，A、C、D點可能是“拉格朗日點”。
故選C。
5．（2024·江蘇南通·模擬預(yù)測）2024年3月20日，“鵲橋二號”中繼星在文昌航天發(fā)射場成功發(fā)射升空，為嫦娥六號提供地月間中繼通信，將月球背面信息直接傳回地球。如圖所示，“鵲橋二號”定位于圖中拉格朗日L2點附近運動，在幾乎不消耗燃料的情況下與月球以相同的周期繞地球做圓周運動。下列說法正確的是（ ）
A．該衛(wèi)星受到地球與月球的引力的合力為零
B．該衛(wèi)星繞地球運動的角速度大于月球繞地球運動的角速度
C．該衛(wèi)星繞地球運動的線速度大于月球繞地球運動的線速度
D．該衛(wèi)星繞地球運動的向心加速度小于月球繞地球運動向心加速度
【答案】C
【詳解】A．該衛(wèi)星受到地球與月球的引力的合力提供該衛(wèi)星做圓周運動的向心力，不為零，故A錯誤；
B．該衛(wèi)星與月球以相同的周期繞地球做圓周運動，根據(jù)
可知該衛(wèi)星繞地球運動的角速度等于月球繞地球運動的角速度，故B錯誤；
C．根據(jù)
該衛(wèi)星繞地球運動半徑大于月球繞地球運動半徑，故該衛(wèi)星繞地球運動的線速度大于月球繞地球運動的線速度，故C正確；
D．根據(jù)
該衛(wèi)星繞地球運動半徑大于月球繞地球運動半徑，故該衛(wèi)星繞地球運動的向心加速度大于月球繞地球運動向心加速度，故D錯誤。
故選C。
6．（2024·北京海淀·模擬預(yù)測）1772年，法籍意大利數(shù)學(xué)家拉格朗日在論文《三體問題》中指出：兩個質(zhì)量相差懸殊的天體（如太陽和地球）所在同一平面上有5個特殊點，如圖中的、、、、所示，人們稱為拉格朗日點。若飛行器位于這些點上，會在太陽與地球共同引力作用下，可以幾乎不消耗燃料而保持與地球同步做圓周運動。若發(fā)射一顆衛(wèi)星定位于拉格朗日點，下列說法正確的是（ ）
A．該衛(wèi)星繞太陽運動周期大于地球公轉(zhuǎn)周期
B．該衛(wèi)星在點處于平衡狀態(tài)
C．該衛(wèi)星繞太陽運動的向心加速度大于地球繞太陽運動的向心加速度
D．該衛(wèi)星在處所受太陽和地球引力的合力比在處小
【答案】C
【詳解】AC．該衛(wèi)星與地球同步繞太陽運動，可知衛(wèi)星繞太陽運動周期等于地球公轉(zhuǎn)周期，根據(jù)
可知，該衛(wèi)星繞太陽運動的向心加速度大于地球繞太陽運動的向心加速度，選項A錯誤，C正確；
B．該衛(wèi)星繞太陽做勻速圓周運動，可知在點不是處于平衡狀態(tài)，選項B錯誤；
D．該衛(wèi)星在處所受太陽和地球引力的合力等于衛(wèi)星繞太陽做圓周運動的向心力，則根據(jù)
因在L2點的轉(zhuǎn)動半徑大于在L1的轉(zhuǎn)動半徑，可知衛(wèi)星在處所受太陽和地球引力的合力比在處大，選項D錯誤。
故選C。
7．（2024·河南許昌·一模）開普勒186F是人們迄今發(fā)現(xiàn)的最像地球的一顆行星，這顆行星位于天鵝座開普勒186紅外星5顆行星中的最外層，與恒星距離為5240萬公里，距離地球500光年。根據(jù)觀測發(fā)現(xiàn)某顆行星（下文稱為A星球）有一顆近地衛(wèi)星，當(dāng)?shù)厍虻慕匦l(wèi)星轉(zhuǎn)了4圈時，A星球的近地衛(wèi)星才轉(zhuǎn)了一圈，A星球的半徑約為地球半徑的，設(shè)地球和A星球的密度、表面的重力加速度分別用、、、表示。則下列說法正確的是（ ）
A．地球和A星球的密度之比
B．地球和A星球表面的重力加速度之比
C．分別在地球和A星球表面相同高度處以相同的速度平拋一個物體，A星球上的物體落地較早
D．A星球的自轉(zhuǎn)角速度增加到（為地球半徑）時，會發(fā)生解體
【答案】B
【詳解】A．由題意可知，
對于近地衛(wèi)星，在星球表面有
星球的體積為
星球的密度為
故地球和A星球的密度之比
故A錯誤；
B．對于近地衛(wèi)星，在星球表面有
地球和A星球表面的重力加速度之比
故B正確；
C．小球做平拋運動
物體落地的時間為A星球的重力加速度小，物體落地的時間較長，A星球上的物體落地較晚，故C錯誤；
D。設(shè)A星球最外端的一物體質(zhì)量為，當(dāng)角速度為時，該物體將要離開A星球，即
解得
故D錯誤。
故選B。
8．通常情況下中子星的自轉(zhuǎn)速度是非?？斓?，因此任何的微小凸起都將造成時空的扭曲并產(chǎn)生連續(xù)的引力波信號，這種引力輻射過程會帶走一部分能量并使中子星的自轉(zhuǎn)速度逐漸下降．現(xiàn)有一中子星(可視為均勻球體)，它的自轉(zhuǎn)周期為T0時恰能維持該星體的穩(wěn)定(不因自轉(zhuǎn)而瓦解)，則當(dāng)中子星的自轉(zhuǎn)周期增為T=2T0時，某物體在該中子星“兩極”所受重力與在“赤道”所受重力的比值為（ ）
A．B．2C．D．
【答案】D
【詳解】自轉(zhuǎn)周期為T0時恰能維持星體的穩(wěn)定，有：，當(dāng)中子星的自轉(zhuǎn)周期增為T=2T0時，在兩極有：，在赤道有：，聯(lián)立解得．故D正確，ABC錯誤．
二、多選題(本題共4小題。每小題列出的四個備選項中至少有一個是符合題目要求的。全部選對的得全分,選對但不全的得一半分,有選錯的得0分)
9．（2018·全國·一模）近期天文學(xué)界有很多新發(fā)現(xiàn)，若某一新發(fā)現(xiàn)的星體質(zhì)量為m、半徑為R、自轉(zhuǎn)周期為T、引力常量為G，下列說法正確的是( )
A．如果該星體的自轉(zhuǎn)周期，則該星體會解體
B．如果該星體的自轉(zhuǎn)周期，則該星體會解體
C．該星體表面的引力加速度為
D．如果有衛(wèi)星靠近該星體表面做勻速圓周運動，則該衛(wèi)星的速度大小為
【答案】AD
【詳解】AB. 如果在該星體“赤道”表面有一物體，質(zhì)量為，當(dāng)它受到的萬有引力大于跟隨星體自轉(zhuǎn)所需的向心力時，則有：
解得：
此時，星體處于穩(wěn)定狀態(tài)不會解體，而當(dāng)該星體的自轉(zhuǎn)周期：
此時，星體會解體，故A正確，B錯誤；
C. 在該星體表面，則有：
解得該星體表面的引力加速度為：
故C錯誤；
D. 如果有質(zhì)量為的衛(wèi)星靠近該星體表面做勻速圓周運動，則有：
解得該衛(wèi)星的速度大小為：
故D正確．
10．（2020·山東濰坊·二模）在宇宙中，當(dāng)一顆恒星靠近黑洞時，黑洞和恒星可以相互繞行，從而組成雙星系統(tǒng)。在相互繞行的過程中，質(zhì)量較大的恒星上的物質(zhì)會逐漸被吸入到質(zhì)量較小的黑洞中，從而被吞噬掉，黑洞吞噬恒星的過程也被稱之為“潮汐瓦解事件”。天鵝座X—1就是這樣一個由黑洞和恒星組成的雙星系統(tǒng)，它們以兩者連線上的某一點為圓心做勻速圓周運動，如圖所示。在剛開始吞噬的較短時間內(nèi)，恒星和黑洞的距離不變，則在這段時間內(nèi)，下列說法正確的是（ ）
A．它們間的萬有引力大小變大
B．它們間的萬有引力大小不變
C．恒星做圓周運動的線速度變大
D．恒星做圓周運動的角速度變大
【答案】AC
【詳解】AB．設(shè)質(zhì)量較大的為，質(zhì)量較小的為，則兩者之間的萬有引力為
解得數(shù)學(xué)知識可知，當(dāng)時，有最大值，根據(jù)題意可知質(zhì)量較小的黑洞吞噬質(zhì)量較大的恒星，因此萬有引力變大，故A正確，B錯誤；
CD．對于兩天體，萬有引力提供向心力，即
解得兩天體質(zhì)量表達(dá)式為
兩天體總質(zhì)量表達(dá)式為
兩天體的總質(zhì)量不變，天體之間的距離L不變，因此天體的周期T和角速度也不變，質(zhì)量較小的黑洞的質(zhì)量增大，因此恒星的圓周運動半徑增大，根據(jù)
可知，恒星的線速度增大。故C正確，D錯誤。
故選AC。
11．（2023·湖北·模擬預(yù)測）潮汐現(xiàn)象是指在月球和太陽引力作用下形成的海水周期性漲落現(xiàn)象。某同學(xué)查閱資料發(fā)現(xiàn)月球繞地球轉(zhuǎn)動的軌道半徑約為地球半徑的60倍，地球質(zhì)量約為月球質(zhì)量的80倍，地球表面的重力加速度為g，不考慮星球的自轉(zhuǎn)影響，由以上數(shù)據(jù)可估算出（ ）
A．月球繞地球做圓周運動的加速度為
B．月球繞地球做圓周運動的線速度為地球第一宇宙速度的
C．月球表面的重力加速度為
D．月球?qū)Φ厍蚝ＫΞa(chǎn)生加速度的最大值為
【答案】AD
【詳解】A．由
可得地球表面的重力加速度
由，
可得，月球繞地球做圓周運動的加速度
故A正確；
B．由
可得，月球繞地球做圓周運動的線速度
為地球第一宇宙速度的倍，故B錯誤；
C．月球的半徑未知，無法計算出月球表面的重力加速度，故C錯誤；
D．海水與月球最小距離為，月球?qū)Φ厍蚝ＫΞa(chǎn)生的加速度最大值
故D正確。
故選AD。
12．（2023·福建·高考真題）人類為探索宇宙起源發(fā)射的韋伯太空望遠(yuǎn)鏡運行在日地延長線上的拉格朗日L2點附近，L2點的位置如圖所示。在L2點的航天器受太陽和地球引力共同作用，始終與太陽、地球保持相對靜止?？紤]到太陽系內(nèi)其他天體的影響很小，太陽和地球可視為以相同角速度圍繞日心和地心連線中的一點O（圖中未標(biāo)出）轉(zhuǎn)動的雙星系統(tǒng)。若太陽和地球的質(zhì)量分別為M和m，航天器的質(zhì)量遠(yuǎn)小于太陽、地球的質(zhì)量，日心與地心的距離為R，萬有引力常數(shù)為G，L2點到地心的距離記為r（r

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高考物理一輪復(fù)習(xí)【專題練習(xí)】 專題31 雙星多星問題、張角問題、拉格朗日點和黑洞潮汐現(xiàn)象
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專題33雙星多星模型 衛(wèi)星的變軌及能量問題 拉格朗日點-高三物理一輪復(fù)習(xí)重難點逐個突破
專題31 雙星多星問題、張角問題、拉格朗日點和黑洞潮汐現(xiàn)象-2023屆高三物理二輪復(fù)習(xí)重點熱點難點專題特訓(xùn)

專題31 雙星多星問題、張角問題、拉格朗日點和黑洞潮汐現(xiàn)象-2023屆高三物理二輪復(fù)習(xí)重點熱點難點專題特訓(xùn)
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